PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
•
Phương pháp 1
d 2 '
d 2
d 1 '
d 1
Hai đường thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa
chúng bằng
90
o
•
Phương pháp 2
. 0a b u v
⊥ ⇔ =
r r
Với
,u v
r r
lần lượt là hai VTCP của a và b
•
Phương pháp 3 (sử dụng định nghĩa)

P
a
c
b
Nếu đường thẳng
( )a P
⊥
thì đường thẳng a vuông góc

a
A
C
B
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác
thì nó vuông góc với cạnh còn lại.
}
a AC, a BC a AB
⊥ ⊥ ⇒ ⊥
•
Phương pháp 6 (suy ra từ định nghĩa -nx tr 94-sgk)
c
b
a
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng
song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
}
b / /c , a b a c
⊥ ⇒ ⊥
•
Phương pháp 7 (Định lý ba đường vuông góc - tr 100 - sgk)
a
a '
b
B '
A
B
A '
Cho đường thẳng a không vuông góc với mp (P) và cho
đường thẳng b nằm trong mp (P). Khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a



•
Phương pháp 2 (Tc 3 - tr 98 - sgk)
P
b
a
Mặt phẳng nào vuông góc với một
trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
( )
}
( )
a / /b ; P a P b⊥ ⇒ ⊥
•
Phương pháp 3 (tc 4 - tr99-sgk)
P
a
Q
Đường thẳng nào vuông góc với một
trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại.
( ) ( ) ( )
}
P / / Q ; a P a (Q)⊥ ⇒ ⊥
•
Phương pháp 4 ( Sử dụng kết quả của HĐ3 - tr 98 - sgk)
d
A
C
B
O

Q
P
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P),
vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q).
( ) ( ) ( )
( )
( )
P (Q), P Q c
a Q
a P ,a c
⊥ ∩ = 

⇒ ⊥

⊂ ⊥


•
Phương pháp 6 (Hệ quả 2 - tr 107)
- 2 -
a
Q
R
P
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng
vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
( ) ( ) ( ) ( )
}
( )
P Q a ; P (R) ; (Q) R a R∩ = ⊥ ⊥ ⇒ ⊥

( ) ( ) ( ) ( )
}
( ) ( )
P / / Q ; R P R Q⊥ ⇒ ⊥
KHÁI NIỆM GÓC
1) Góc giữa hai đường thẳng :Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là góc giữa hai đường thẳng d1’
và d2’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với d1và d2

d 2 '
d 2
d 1 '
d 1
2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt
phẳng (P) bằng 90
0
.
Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó
trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) .
a
a '
a
P
3) Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
- 3 -

a
b
P

chéo vuông góc
2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi
2SA a=
, AB = a
Giải
K
N
M
O
D
A
B
C
S
1.a/ * CMR:
MN BDP
+) Ta có:
SAB SAD AM AN= ⇒ =V V
(2 đường cao tương ứng)

BM ND⇒ =
(do
MAB NAD=V V
)
+) Xét
SBDV
có
SB SD
MN BD
BM DN

MA BC
MA SB gt
⊥



⊥



MA SC
⇒ ⊥
(1đường thẳng
⊥
với 2 cạnh của 1 tam giác thì
⊥
với
cạnh còn lại)
CM tương tự ta có:
NA SC⊥
Vậy
( )
SC mp AMN⊥
• Cách 2:
+) Vì
( )
BC SAB⊥ ⇒
SB là hình chiếu của SC trên (SAB)
Lại có:
( )


⊥

Mặt khác: BD // MN
( )MN SAC MN AK⇒ ⊥ ⇒ ⊥
2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi
2SA a=
, AB = a
+) Vì AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
⇒
góc giữa (ABCD) và SC là góc giữa SC
và AC
+) Vì
ASCV
có AS = AC = a
2
0
45goc SCA⇒ = ⇒
góc cần tìm là
0
45
+)
SBCV
vuông tại B có
3,SB a BC a= =
· ·
0
1
tanCSB CSB 30
3 3

(định lý ba đường vuông góc)
Vậy
2 2 2 2 2 2
AD AC CD AB BC CD= + = + +
tức là:
2 2 2
AD a b c= + +
b/ Vì
·
·
0
90ABD ACD= =
nên điểm cách đều bốn điểm A, B, C, D là trung điểm O của AD
Bài 3: (BT 17 – tr 103 – SGK)
Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.
a/ Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn
b/ Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp (ABC) trùng với trực tâm tam
giác ABC
c/ Chứng minh rằng
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + +
Giải
A
B
C
O
A'
H

, mặt khác
OA BC⊥
nên
( )
BC AOK⊥
, suy ra
BC OK
⊥
. Tương tự như trên ta cũng có:
AB OK
⊥
. Vậy
( )
OK ABC⊥
, tức là K trùng với H.
c/ Nếu
AH BC⊥
tại
A
′
thì
BC OA
′
⊥
Vì OH là đường cao của tam giác vuông
AOA
′
(vuông tại O) và
OA
′

H
A
B
C
S
A'
a/ Gọi
AA
′
là đường cao của tam giác ABC, do
( )
SA ABC⊥
nên
SA BC
′
⊥
(định lý ba
đường vuông góc)
Vì H là trực tâm của tam giác ABC, K là trực tâm của tam giác SBC nên H thuộc
AA
′
, K
thuộc
SA
′
Vậy AH, SK, BC đồng quy tại
A
′
b/ Do H là trực tâm của tam giác ABC nên
BH AC⊥

b/ Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ
giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm
1
C
nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết
diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P)
Giải
a/
A
B
C
S
H
- 7 -
Kẻ
( )
SH mp ABC⊥
, do
SA SB SC
= =
nên ta có
HA HB HC
= =
Mặt khác, ABC là tam giác đều nên H trùng với trọng tâm G của tam giác đó.
Vậy
( )
SG ABC⊥

2
2 2 2 2

đường cao
1
AC
của tam giác SAC thì (P) chính là mp
( )
1
ABC
Do tam giác SAC cân tại S nên điểm
1
C
nằm trong đoạn thẳng SC khi và chỉ khi
·
0
90ASC <
Điều này tương đương với
2 2 2
AC SA SC< +
hay
2 2
2a b<
Trong trường hợp này, thiết diện của hình chóp bị cắt bởi (P) là tam giác
1
ABC

1
1 1
1 1
. . . .
2 2
ABC

a a
b
a b a
C C
b b
−
−
′
= =
Vậy
1
2 2 2
3
4
ABC
a b a
S
b
−
=
Bài 6: (BT 23 – tr 111 – SGK)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a
a/ Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’)
b/ Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo
thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.
Giải
- 8 -
P
Q
R

Vậy
( )
AC A BD
′ ′
⊥
Do
( ) ( )
//A BD B CD
′ ′ ′
nên
( )
AC B CD
′ ′ ′
⊥
b/ Gọi M là trung điểm của BC thì
MA MC
′
=
(vì cùng bằng
5
2
a
)
nên M thuộc mặt phẳng trung trực
( )
α
của
AC
′
Tương tự, ta chứng minh được N, P, Q, R, S cũng có tính chất đó (N, P, Q, R, S lần lượt

ABCDSA mp⊥
, SA = x. Xác
định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc
60
o
Giải
O
D
A
B
C
S
O 1
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Trong mặt phẳng (SAC) kẻ
1
OO
vuông góc với SC, dễ thấy mp
( )
1
BO D
vuông góc với
SC.
- 9 -
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) bằng góc giữa hai đường thẳng
1
BO
và
1
DO

(Vì
1
BO DV
cân tại
1
O
)

0
1
1
.tan 60
. 3
BO OO
BO OO
⇔ =
⇔ =
Ta lại có:
·
·
1 1
.sin .sin .
SA
OO OC OCO OC ACS OC
SC
= = =
Như vậy
1
3 3. . 3
SA

Mặt khác: AC = AD = BC = BD nên tam giác AJB vuông cân,
suy ra
2 2 2
2,AB AJ AJ a x= = −
hay
2 2
AJ a x= −
Vậy
( )
2 2
2AB a x= −
với a > x
Do IA = IB, tam giác AJB vuông tại J nên
1
2
JI AB=
, tức là
( )
2 2
1
2
2
IJ a x= −
b/ Rõ ràng là CI và DI vuông góc với AB. Vậy

( ) ( )
mp ABC mp ABD⊥

·
0

nên
SA AD⊥
Mặt khác SA bằng cạnh của hình thoi ABCD, nên
·
0
45SDA =
là góc phải tìm.
Vậy góc giữa BC và SD bằng
0
45
b/ Do ABCD là hình thoi nên
AC BD⊥
Mặt khác IJ // BD nên
AC IJ⊥
tức là góc giữa IJ và AC bằng
0
90
không đổi.
Bài 10: (BT 26 – tr 119 – SBT)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, và SA = SC, SB = SD. Gọi O là giao
điểm của AC và BD.
a/ Chứng minh rằng
( )
SO mp ABCD⊥
b/ Gọi d là giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD);
1
d
là giao tuyến của mp(SBC) và
mp(SAD). Chứng minh rằng
( )

1
d
qua S
Do
( )
SO mp ABCD⊥
nên
1
,SO d SO d⊥ ⊥
- 11 -
Vậy
( )
1
,SO mp d d⊥
Bài 11: (BT 27 – tr 119 – SBT)
Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai
đường chéo AC và BF vuông góc Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam
giác BCE và ADF. Chứng minh rằng
a/ ACH và BFK là các tam giác vuông
b/
BF AH⊥
và
AC BK⊥
Giải
A
F
B
C
E
D

Vậy
BF AH⊥
Tương tự ta có
AC BK
⊥
Bài 12: (BT 28 – tr 119 – SBT)
a/ Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC)
và I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông
góc.
b/ Cho tứ diện IABC có IA = IB = IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc; H là hình chiếu
của I trên mp(ABC) . Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC
có các cạnh bằng nhau.
Giải
I
M
A
B
C
D
H
a/ Kí hiệu cạnh của tứ diện đã cho là a, dễ thấy H là trọng tâm của tam giác ABC. Từ đó
- 12 -

2
2
2 2 2 2
3 6
3 9
a a
DH DA AH a

a
IM =
Xét tam giác IBC có IM là trung tuyến và
1
2
IM BC=
Vậy
IB IC⊥
Tương tự như trên, ta có IA, IB, IC đôi một vuông góc
b/ Vì IA, IB, IC đôi một vuông góc, IA = IB = IC và H là hình chiếu của I trên
mp(ABC) nên ABC là tam giác đều nhận H làm trọng tâm.
Ngoài ra
2 2 2 2 2
1 1 1 1 3
IH IA IB IC IA
= + + =
hay
3
IA
IH =
Do D là điểm đối xứng với H qua I nên
2
3
IA
DH =
và DA = DB = DC
Đặt IA = x thì
2
, 2
3

( ) ( )
mp SHC mp SDI⊥
Giải
I
H
C
A
B
D
S
a/ Gọi H là trung điểm của AB thì
SH AB⊥
- 13 -
Do
( ) ( )
SAB ABCD⊥
nên
( )
SH ABCD⊥
SH AD
⇒ ⊥
Mặt khác
AD AB⊥
Vậy
( )
AD SAB⊥
Từ đó
( ) ( )
SAD SAB⊥
Tương tự như trên ta có

( ) ( )
SDI SHC⊥
.
Bài 14: (BT 43 – tr 122 – SBT)
Cho hình chữ nhật ABCD với tâm O, AB = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong không gian
sao cho SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , đặt SO = h. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của AB và CD.
a/ Tính góc giữa mặt phẳng (SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm hệ thức
liên hệ giữa h và a để mp(SMN) vuông góc với các mặt phẳng (SAB) và (SCD)
b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tính h theo a để hai mặt phẳng đó
vuông góc.
Giải
O
N
M
C
A
B
D
S
a/ Vì
,MN AB SO AB⊥ ⊥
nên
( )
AB SMN⊥

( ) ( )
SAB SMN⇒ ⊥
Vậy góc giữa
( )

( )
St SMN⊥
, từ đó
·
MSN
hoặc
·
0
180 MSN−
là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và
(SCD)
Tính
·
MSN
Ta có:
2 2 2 2
SM SN h a= = +

·
( )
·
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 . cos
4 2 cos
MN SM SN SM SN MSN
a h a h a h a MSN
= + −
⇔ = + + + − +
- 14 -

Bài 15: (BT 44 – tr 122 – SBT)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vuông
góc với mặt đáy, SA = a. Tính:
a/ Các góc giữa hai mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp
b/ Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình
chóp.
Giải
D
A
B
I
J
C
S
C1
a/ Dễ thấy
( ) ( )
( ) ( )
SAB ABCD
SAD ABCD

⊥


⊥


nên góc giữa mặt bên (SAB) và (SAD) với mp(ABCD) bằng
0
90

b/ Vì
( ) ( )
SAD SAB⊥
nên góc giữa hai mặt phẳng đó bằng
0
90
Ta cũng có
( )
CD SAD⊥
nên
( ) ( )
SCD SAD⊥
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) bằng
0
90
. Tương tự, ta cũng có góc giữa
hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng
0
90
Ta cần phải tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)
Trong mp(ABCD), qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AC, nó cắt hai đường thẳng
BC và DC lần lượt tại I và J, thì
IJ SC⊥
Do đó,
·
1
IC J
hoặc
·
0

AJ a
AC
a
α
= = =
Đặt
·
1
AC I
β
=
thì
·
1 1
1
5.
tan 6
2
tan
2
5
6
a
AI AC ACI
AC AC
a
β
= = = =
Đặt
·

Trong mp (P), cho hình thoi ABCD với AB = a,
2 6
3
a
AC =
. Trên đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng (P) tại giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi, ta lấy điểm S
sao cho SB = a. Chứng minh rằng:
a/ Tam giác ASC vuông
b/ Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) vuông góc với nhau.
Giải
O
B
C
D
A
S
A1
a/ Ta có
2 2 2
2 6
4 ,
3
a
AC BD a AC+ = =
nên
2 2
2 2
4
3 3

. . 1 6 3
. . 2
2 3 3
OAOS OAOS a a
OA
SA
OA OS
= = = =
+
Mặt khác
2 3
3
a
BD =
, từ đó
·
0
1
90BA D =
hay hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc.
- 16 -
Bài 17 : (BT 45 - tr 122- SBT)
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(DBC). Gọi AE, BF là hai đường cao
của tam giác ABC; H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác DBC .
Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( ) ( )
( )
a)mp ADE mp ABC va mp BFK mp ABC
c) HK mp ABC
⊥ ⊥

E
F
K
H'
Trong mặt phẳng (P), cho hình chữ nhật ABCD với AB = b, BC = a. Gọi E, F lần lượt là
trung điểm của AD và BC. Trong mặt phẳng qua EF và vuông góc với (P)
Bài làm
Vì (SEF) vuông góc (ABCD)
và AD vuông góc EF
nên AD vuông góc (SEF)
Từ đó (SEF) vuông góc (SBC)
Dễ thấy (SAD) giao (SBC) tại St, St//AD
Do AD vuông góc (SEF), từ đó St vuông góc (SEF), tức là cung ESF hoặc 180
o
- cung
ESF là góc giữa hai mặt phẳng (ASD) và (SBC)
- 17 -
Vì S thuộc đường tròn đường kính È nên cung ESF là 90
o
Bài 19 (BT 52 - tr 124-SBT)
Hình lập phương ABCD, A'B'C'D' cạnh a
a) Tính góc tạo bởi hai đường thẳng AC' và A'B
b) Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh A'B', BC, Đ'
Chứng minh rằng AC' vuông góc với mp( MNP)
M
D'
C'
B'
A'
P

2
=MP
2
=
2
3a
2
Vậy MNP là tam giác đều mặt khác

2
2 2 2
2
2 2 2
5a
4
5a
' ' '
4
AN AP AM
A N C P C M
= = =
= = =
Từ đó
( )
'AC MNP⊥
Bài 20 (BT 54 - tr 124 m- SBT)
Hình lập phương ABCD, A'B'C'D' cạnh a . Xét tứ diện AB'CD'.Cắt tứ diện đó bằng mặt
phẳng đi qua tâm của hình lập phương và song song với mp(ABC). Tính diện tích thiết
diện thu được . Hãy xét kết quả của bài toán khi ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật
với ba kích thước là a,b,c

AB) và
(ABC)
O
B'
A'
C'
C''
M
C
B
A
Bài làm
Vì AB//A’B’ nên góc giữa BC’’ và A’B’ là góc giữa BC’’ và AB, Dễ thấy AC’’=BC’’
nên ABC’’ là tam giác cân . từ đó
·
0
'' 90ABC <
Vậy góc giữa AB và BC’’ là
·
''ABC
Gọi M là trung điểm của AB thì

5
. '' , ''
2 2
a a
MB BC MB MC= = ⊥
Từ đó
·
1

Vậy
·
'' 30
o
CMC =
hay góc giữa mp(ABC’’) và mp(ABC) bằng 30
o
- 19 -
ĐỀ BÀI
Bài 1: (VD – tr 101 – SGK)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD)
1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD
a/ Chứng minh rằng
MN BDP
và
( )
SC AMN⊥
b/ Gọi K là giao điểm của SC với mp (AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường
chéo vuông góc
2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi
2SA a=
, AB = a
Bài 2: (BT 16 – tr 103 – SGK)
Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c
a/ Tính độ dài AD
b/ Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D
c/ Tính góc giữa đường thẳng AD và mp (BCD), góc giữa đường thẳng AD và mp
(ABC)
Bài 3: (BT 17 – tr 103 – SGK)
Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.

1
C
nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết
diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P)
- 20 -
Bài 6: (BT 23 – tr 111 – SGK)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a
a/ Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’)
b/ Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo
thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.
Bài 7: (BT 24 – tr 111 – SGK)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và
( )
ABCDSA mp⊥
, SA = x. Xác
định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc
60
o
Bài 8: (BT 27 – tr 112 – SGK)
Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD
= BC = BD = a; CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a/ Tính AB, IJ theo a và x
b/ Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc?
Bài 9: (BT 16 – tr 117 – SBT)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA = AB và SA vuông góc với
BC
a/ Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC
b/ Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD. Chứng minh rằng góc
giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J
Bài 10: (BT 26 – tr 119 – SBT)

Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và
mp(SAB) vuông góc với mp(ABCD)
a/ Chứng minh rằng
( ) ( )
mp SAB mp SAD⊥
và
( ) ( )
mp SAB mp SBC⊥
b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
c/ Gọi h và I lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh rằng
( ) ( )
mp SHC mp SDI⊥
Bài 14: (BT 43 – tr 122 – SBT)
- 21 -
Cho hình chữ nhật ABCD với tâm O, AB = a, BC = 2a. Lấy điểm S trong không gian
sao cho SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , đặt SO = h. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của AB và CD.
a/ Tính góc giữa mặt phẳng (SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm hệ thức
liên hệ giữa h và a để mp(SMN) vuông góc với các mặt phẳng (SAB) và (SCD)
b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tính h theo a để hai mặt phẳng đó
vuông góc.
Bài 15: (BT 44 – tr 122 – SBT)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vuông
góc với mặt đáy, SA = a. Tính:
a/ Các góc giữa hai mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp
b/ Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình
chóp.
Bài 16: (BT 46 – tr 123 – SBT)
Trong mp (P), cho hình thoi ABCD với AB = a,
2 6

(do
MAB NAD=V V
)
+) Xét
SBDV
có
SB SD
MN BD
BM DN
=

⇒

=

P
* CMR:
( )
SC mp AMN⊥
• Cách 1:
+) Vì
( )
( )
( )

ABCD
BC AB gt
BC SA do SA
⊥


SC mp AMN⊥
• Cách 2:
+) Vì
( )
BC SAB⊥ ⇒
SB là hình chiếu của SC trên (SAB)
Lại có:
( )
1MA SB MA SC⊥ ⇒ ⊥
+)
( )
CD SAD⊥ ⇒
SD là hình chiếu của SC trên (SAD)
Lại có
( )
2AN SD AN SC⊥ ⇒ ⊥
Vậy từ (1) và (2) ta có:
( )
SC mp AMN⊥
• Cách 3:
+)
MN BDP
Mà
BD AC⊥
với AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
MN SC⇒ ⊥
+)
( )AM SC SC AMN⊥ ⇒ ⊥
b/ CMR:
AK MN⊥

SBCV
vuông tại B có
Bài 17 (Đề số 32 – tr 42- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam gíac cân với AB = AC = a và góc
0
120BAC =
, cạnh bên BB’ = a. Gọi I là trung điểm CC’. Chứng minh rằng tam giác AB’I
vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).
Bài 18 (Đề số 34 – tr 45- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của
điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) là trực tâm H của tam giác ABC, góc giữa đường thẳng
chứa cạnh bên và mặt phẳng đáy của hình lăng trụ bằng
α
. Chứng minh rằng hai đường
thẳng AA’ và BC vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt bên BCC’B’ của hình lăng trụ.
Bài19 ( Đề CĐ Giao thông Vận tải 2007)(Đề số 35 – tr 46- stt ĐTTS 2002-2003 đến
2008-2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, biết AB = AC =
AA’ = a (a > 0) .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BC’.
Bài 20 ( Đề CĐ Khối A- 2007)(Đề số 37 – tr 49- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng
3a
, cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy và Sa = 2a. Tính khoảnh cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a.
Bài 21 ( Đề CĐ cơ khí luyện kim - 2007)(Đề số 38 – tr 49- stt ĐTTS 2002-2003 đến
2008-2009)
Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc BC, AD = a và
khoảng cách từ D đến BC bằng a. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng
minh BC vuông góc mặt phẳng (ADH) và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng AD, BC.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, đường cao
3SH a=
. Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp SABCD.
Bài làm
I
M
N
H
O
K
D
C
B
A
S
Gọi H,K lần lượt là trung điểm của AB và CD, ta có:

·
0
, D
S 60
SH AB SK C
H K
⊥ ⊥
⇒ =
SHK⇒ ∆
là tam giác đều cạnh bằng a
Gọi
( )
I SK ABMN= ∩

S =
Bài 28( Đề CĐ HV – 2006)(Đề số 55 – tr 69- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
Bài làm
A
K
I
O
D
C
B
S
Ta có
( )
D DSA B B SAC⊥ ⇒ ⊥
và
( )
D DAC B B SAC⊥ ⇒ ⊥
tại O trong mặt phẳng (SAC), kẻ
AI SC⊥
và kẻ
OK SC⊥
tại K;
DOK B⊥

OK⇒
là đường vuông góc chung của SC và BD
⇒
Khoảng cách d(SC;BD)=OK=