Chơng 7
Dạng song tuyến tính
dạng toàn phơng
7.1 Dạng song tuyến tính
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa
Cho E là một không gian tuyến tính trên R.
Định nghĩa: ánh xạ f: Eì ER đợc gọi là một dạng song
tuyến tính trên E nếu : x,x,y,yE và ,àR ta có:
(i) f(x+x,y)=f(x,y)+f(x,y)
(ii) f(x,y)= f(x,y)
(iii) f(x,y+y)=f(x,y)+f(x.y)
(iv) f(x, ày)= àf(x,y)
Không gian tuyến tính trên R gọi là không gian tuyến tính thực.
2. Biểu thức của dạng song tuyến tính
Định lý: Mọi dạng song tuyến tính f(x,y) trong không gian
tuyến tính thực n chiều E trên cơ sở {e
1
,e
2
, ,e
n
}cho trớc đợc
biểu diễn duy nhất dới dạng
f(x,y)=
a x y
ij i j
j
n
i
n

, ,e
n
},ta gọi
248
A=
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
11 12 1
21 22 2
1 2














f(x,y)=(x
1
,x
2
, ,x
n
)
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
11 12 1
21 22 2
1 2












a. Dạng song tuyến tính đối xứng f(x,y) đợc gọi là xác định d-
ơng nếu xE: f(x,x)0 và f(x,x)=0 x=
b. Ma trận đối xứng A cấp n đợc gọi là xác định dơng nếu
xR
n
: x
T
Ax0 và x
T
Ax=0 x=
Hệ quả: f(x,y) là dạng song tuyến tính đối xứng có ma trận A.
f(x,y) xác định dơng khi và chỉ khi A xác định dơng.
Định nghĩa: Dạng song tuyến tính f(x,y) gọi là phản đối xứng
nếu f(x,y)=-f(y,x).
Hệ quả
1. Ma trận của dạng song tuyến tính phản đối xứng là một ma
trận phản đối xứng: A=-A
T
.
2. Mọi dạng song tuyến tính f(x,y) đều có dạng:
249
f(x,y)=
1
2
[f(x,y)+f(y,x)]+
1
2
[f(x,y)-f(y,x)] =g(x,y)+h(x,y)
trong đó g(x,y) là dạng song tuyến tính đối xứng, h(x,y) là dạng
song tuyến tính phản đối xứng.

Định nghĩa: Cho f(x,y) là một dạng song tuyến tính đối xứng
trên không gian tuyến tính thực E khi đó hàm f(x,x) đợc gọi là
một dạng toàn phơng trên E.
Khi đó trên không gian tuyến tính thực n chiều E dạng toàn
phơng f(x,x) có dạng:
f(x,x)=
a x x
ij i j
j
n
i
n
==

11
=(x
1
,x
2
, ,x
n
)
a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
11 12 1
21 22 2







=x
T
Ax
Trong đó x=(x
1
,x
2
, ,x
n
) là toạ độ của x trong cơ sở đã cho và
A là ma trận của dạng song tuyến tính đối xứng tơng ứng.
Ta cũng gọi A là ma trận của dạng toàn phơng, hiển nhiên A
là ma trận đối xứng.
Do tính đối xứng của ma trận A nên có thể viết:
f(x,x)=
a x x
ij i j
j
n
i
n
==

11

2
[f(x+y,x+y) -f(x,x)-f(y,y)]
2. Dạng chính tắc của dạng toàn phơng
Định nghĩa: Trong không gian tuyến tính thực n chiều E
nếu tìm đợc một cơ sở W={
1
,
2
, ,
n
}để trên cơ sở đó f(x,x) có
dạng:
f(x,x)=

=
n
i
iii
xa
1
2
'
=

i i
i
n
x'
2
1=


1
2
0 0
0 0
0 0

n













3. Đa dạng toàn phơng về dạng chính tắc
a. Phơng pháp Lagrange
Xét dạng toàn phơng:
f(x,x)=
a x
ii i

1. Nếu mọi a
ii
=0 thì phải có một tích chéo chẳng hạn 2a
12
x
1
x
2
với a
12
0, dùng phép biến đổi toạ độ
x
1
= x
1
+ x
2

x
2
= x
1
- x
2
còn các toạ độ khác giữ nguyên. Khi đó ta có:
2a
12
x
1
x

1
11
a
(a
11
x
1
+ +a
1n
x
n
)
2
+
a x
ii i
i
n
( )1 2
2=

+2
a x x
ij i j
i j n
( )1
2 <


=

a x
ii i
i
n
( )1 2
2=

+2
a x x
ij i j
i j n
( )1
2 <


là dạng toàn phơng cấp n-1.
Lặp lại quá trình trên sau nhiều nhất sau n-1 lần ta đa dạng
toàn phơng ban đầu về dạng chính tắc:
f(x,x)=
1
y
2
1
+
2
y
2
2
+ +
r






nn
x
x
x
T
y
y
y

2
1
1
2
1
, T là ma trận của cơ sở chính tắc.
Nếu đặt
r+1
= =
n
=0 thuật toán Lagrange cho định lý sau:
Định lý: Trong không gian n chiều E mọi dạng toàn phơng
f(x,x) đều đa đợc về dạng chính tắc
f(x,x)=
1
y

a a a
a a a
a a a
n
n
n n nn
11 12 1
21 22 2
1 2













. Gọi
k
=
a a a
a a a

1
+
2
y
2
2
+ +
n
y
2
n

Trong đó:
1
=
1
1


2
=


1
2

n
=



i
=


i i i
i i
y khi
y khi

=





0
0

khi đó f(x,x) có dạng
f(x,x)=sign(
1
)
z
1
2
+sign(
2
)
z
2

nên f xác định dơng khi và chỉ khi A xác định dơng. Khi đó theo
định lý Jacobian ta có tiêu chuẩn phân loại dạng toàn phơng:
Hệ quả : (Tiêu chuẩn Sylvester)
1. f(x,x) xác định dơng nếu chỉ số quán tính dơng của f bằng
n hay:
1
>0 ,
2
>0, ,
n
>0
2. f(x,x) xác định âm nếu chỉ số quán tính âm của f bằng n
hay:
1
<0 và
k

k+1
<0 (k=1,2, ,n-1)
3. f(x,x) tựa xác định dơng nếu chỉ số quán tính âm bằng
không và chỉ số quán tính dơng nhỏ hơn n.
4. f(x,x) tựa xác định âm nếu chỉ số quán tính dơng bằng
không và chỉ số quán tính âm nhỏ hơn n.
B. Bài tập
1. Kiềm tra các ánh xạ sau là dạng song tuyến tính:
a. f: R
n
ì R
n
R, với x=(x


2. Gọi T
2
(t)={x(t)=a
0
+a
1
cost+a
2
sint: t[-1,1]}, và
f(x,y)=


1
1
)().( dttytx
Chứng tỏ f(x,y) là một dạng song tuyến tính. Tìm ma trận của f
trên một cơ sở của T
2
(t).
254
3. Trong R
3
với cơ sở chính tắc I={e
1
,e
2
,e
3
} cho dạng song

1
1
1











2
=
2
1
1












y
1
+3x
2
y
2
+x
3
y
3
b. f(x,y)=x
1
y
1
+x
1
y
2
+2x
2
y
1
+3x
2
y
2
+x
3
y
3

(t)={x(t)= a
0
+a
1
t+a
2
t
2
+a
3
t
3
:t[0,1] }
Cho dạng song tuyến f(x,y)=
x t y t dt( ) ( )
0
1


a. Chứng tỏ f(x,y) xác định dơng.
b. Tìm ma trận của f(x,y) trên cơ sở {e
1
=1,e
2
=t,e
3
=t
2
,e
4

3
-8x
3
x
4
-x
2
4
b. f(x,x)=x
2
1
+2x
1
x
2
+2x
2
2
+4x
2
x
3
+5x
2
3

c. f(x,x)=x
2
1
-4x

1
x
2
+2x
1
x
3
+x
2
2
+4x
2
x
3
+x
2
3
f. f(x,x)=x
2
1
+ x
1
x
2
+ x
2
x
3
+x
2

1
x
3
+x
2
2
+x
2
3
c. f(x,x)= 2x
2
1
-2x
1
x
2
+4x
1
x
3
+x
2
2
+2x
2
3
255
8. Đa dạng toàn phơng sau về dạng chuẩn tắc
a. 2x
2

+x
2
3
c. x
1
x
2
+2x
2
2
+4x
1
x
3
+2x
2
x
3
+2x
2
3

d. x
2
1
+2x
1
x
2
+4x

1
+ 2x
2
2
+8x
2
3
+2 x
1
x
2
- 4x
2
x
3
10. Xác định để dạng toàn phơng là xác định dơng.
a. f(x,x)=x
2
1
+2x
2
2
+x
2
3
+2x
1
x
2
+4x

x
3
+5x
2
3

d. f(x,x)=x
2
1
+2x
1
x
2
+2x
2
2
+2x
2
x
3
+x
2
3
11. Tìm các giá trị của a để ma trận sau xác định dơng
a.
1
1
1
a a
a a










135
34
51
a
a
C. Lời giải hớng dẫn hoặc đáp số
1. a. Kiểm tra theo định nghĩa, f là dạng song tuyến tính.
b. (i)
{ ( ) '( )} ( )x t x t y t dt
a
b
+

=
x t y t dt
a
b
( ) ( )

+
x t y t dt

x t y t dt
a
b
( ) '( )

(iv)
x t y t dt
a
b
( ){ ( )}
à

=à
x t y t dt
a
b
( ) ( )

nên f là một dạng song tuyến trên E.
256
2. Gọi T
2
(t)={x(t)=a
0
+a
1
cost+a
2
sint: t[-1,1]}
Vì {1,cost,sint} là tập con của tập các hàm liên tục trên [-1,1]


1
1
cos tdt

0 a
13
=a
31
=
=


1
1
sin tdt

0
a
32
=a
23
=
=


1
1
sin.cos tdtt


0
+b
1
cost+b
2
sint.
f(x,y)=(a
0
,a
1
,a
2
)










100
010
002








b. Ma trận chuyển cơ sở tử I sang W là
T=
1 2 1
1 1 1
1 1 1












và T
T
=
1 1 1
2 1 1
1 1 1





634
391
416
Chú ý: Ta cũng có thể tính trực tiếp b
ij
=f(
i
,
j
).
257
4. a.Dạng song tuyến: f(x,y)=x
1
y
1
+2x
1
y
2
+2x
2
y
1
+3x
2
y
2
+x
3
y










100
032
011
không đối xứng, nên
không là dạng toàn phơng.
c. f(x,y) có ma trận










100
232
121
không đối xứng nên không là
dạng toàn phơng.

13
=
t dt
2
0
1

=
1
3
, a
14
t dt
3
0
1

=
1
4
a
22
=
t dt
2
0
1

=
1


=
1
5
, a
34
=
t dt
5
0
1

=
1
6
, a
44
=
t dt
6
0
1

=
1
7
Vậy ma trận của f(x,y) là:
258
A=
1























6.a.Bổ xung cho x
2
1
+6x
1
x
2
-4x

-4 x
2
x
4
thành bình phơng đủ ta đợc
f(x,x)=( x
1
+3 x
2
- 2x
3
)
2
-(2x
2
+x
4
)
2
-8x
3
x
4
Đổi biến




=
+=

-8
2
3
y
+8
2
4
y
Thực hiện phép đổi biến







=
+=
+=
+=
434
433
422
3211
5,05,0
5,05,0
2
23
xxy
xxy

2
- 8y
2
3
+8y
2
4

Chỉ số quán tính q=4, ma trận chuyển từ cơ sở ban đầu về cơ sở
chính tắc là
T=
1
5,05,000
5,05,000
1020
0231















2
,
3
,
4
} do đó toạ độ
của chúng trong cơ sở ban đầu và ma trận chéo B là:

1
=
1
0
0
0













2
=


















1
1
2
1
2
7

4
=














8000
0800
0010
0001
b. f(x,x)=(x
1
+x
2
)
2
+(x
2
+2x
3
)
2
+
2
3
x
T=


x
T=



















110
4
1
0
2
1
2
1
00

1
+x
2
+x
3
)
2
+2
2
2
x
-2
2
3
x
T=












110
110







1000
0100
0010
005,01
7.a. Ma trận của f(x,x) là: A=
2 1 2
1 1 0
2 0 5










Ta có:
1
=2 ,
2
= 1 ,
3

Để xác định {
1
,
2
,
3
} ta có:

1
= x
11
e
1
=
1
2
e
1
=(
1
2
,0,0)

2
= x
12
e
1
+ x
22

= x
13
e
1
+ x
23
e
2
+x
33
e
3
Lập hệ phơng trình với các ẩn cần tìm là x
13
,x
23
,x
33
với x
33
=1

2 2 1 0
0
2 51 1
13 23
13 23
13
x x
x x

,
3
} là:
261
T=
1
2
2 2
0 2 2
0 0 1
− −














B=T
T
AT=
1
2

2
3
2
2
2
1
2
1
2
2
1
yyy −+
8. a. f(x,x)=
2
3
2
32
2
2
1
3
)
3
4
(
2
3
)
2
(2

2
)
2
+
2
3
2
4
2






+
x
x
+
2
3
4
15









−−












++
d. f(x,x)=(x
1
+x
2
+2x
3
)
2
-(x
2
-x
3
)
2
-




+−






++ x
xx
x
x
x
9. XÐt ma trËn cña f(x,x)
A=










−
−
820

2
3
2
3
<<−
λ
262
Vậy các giá trị nguyên để f(x,x) xác định dơng là =-1, =0
và =1.
10.a. >4 b. Không tồn tai c.
5
6

<<
5
6
d. 1<<1
11. a. Ta có
1
=1,
1101
1
1
2
2
<<>== aa
a
a
23
3

2
,
3
=-a
3
+8a-17. Trên [-2,2], f(a)=-a
3
+8a-17<0
nên không tồn tại a để ma trận xác định dơng.
c. Không tồn tại a để ma trận xác định dơng.
7.3 Không gian với tích vô hớng
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa: Cho E là một không gian tuyến tính trên trờng số
thực R. Ta nói rằng trên E xác định một tích vô hớng nếu mỗi
cặp x,yE đợc ứng với một số thực gọi là tích vô hớng của x,y
ký hiệu <x,y> thoả mãn các điều kiện:
(i) <x,y>=<y,x>
(ii) <x,y>=<x,y> R
(iii) <x+x,y>=<x,y>+<x,y>
(iv) <x.x>0 xE và <x,x>=0 x=
Khi đó E đợc gọi là không gian với tích vô hớng.
Nếu E là một không gian tuyến tính n chiều thì ta cũng gọi E
là không gian với tích vô hớng n chiều.
Hệ quả: Mỗi dạng song tuyến tính f(x,y) đối xứng xác định d-
ơng là một tích vô hớng trên E. Ngợc lại, mỗi tích vô hớng <x,y>
263
là một dạng song tuyến đối xứng xác định dơng và f(x,x)=<x,x>
là một dạng toàn phơng xác định dơng trên E.
Định nghĩa: Ta gọi độ dài hay chuẩn của x là số

Khi đó: Nếu =
2

x,y đợc gọi là hai véc tơ trực giao.
Nếu =0 hay = x,y là hai véc tơ đồng phơng.
Nếu x= hoặc y= ta quy ớc góc tuỳ ý.
Hệ quả
1. x,y trực giao <x,y>=0.
2. x,y đồng phơng x=y.
3. Cơ sở trực chuẩn
Định nghĩa: Ta nói hệ m véc tơ {u
1
,u
2
, ,u
m
} là một hệ trực
giao trong không gian với tích vô hớng E nếu:
< u
i
, u
j
>=
u khi j i
khi j i
i
2
0
=


n
} là một cơ sở của không gian
với tich vô hớng n chiều E khi đó
a. U đợc gọi là cơ sở trực giao nếu hệ là trực giao.
b. U đợc gọi là cơ sở trực chuẩn nếu hệ trực chuẩn.
Hệ quả
1. Mọi cơ sở trực giao đều đa đợc về cơ sở trực chuẩn bằng
phép đổi biến:
i
=
u
u
i
i
(i=1,2, ,n)
2. I={e
1
,e
2
, ,e
n
} là một cơ sở trực giao khi và chỉ khi trên I
tích vô hớng có dạng:
<x,y>=
1
x
1
y
1
+

2
+ + y
n
e
n
còn
i
=<e
i
, e
i
> >0 (i=1,2, ,n)
3. Cơ sở W={
1
,
2
, ,
n
} là cơ sở trực chuẩn khi và chỉ khi
trên cơ sở đó
<x,y>=x
T
y= x
1
y
1
+ x
2
y
2

<x,y>=f(x,y)=x
T
Ay
nhận mọi cơ sở chính tắc của f làm cơ sở trực giao và mọi cơ sở
chuẩn tắc làm cơ sở trực chuẩn.
4. Trực giao hoá Gram_Smith
Định lý: Trong mọi không gian với tích vô hớng n chiều E đều
tồn tại cơ sở trực chuẩn.
Các bớc trực giao hoá:
1. Giả sử {e
1
,e
2
, , e
n
} là một cơ sở của E, hệ trực giao
{
1
,
2
, ,
n
} đợc xây dựng nh sau:
265
Chọn:
1
=e
1
k
= e
k
+
k1

1
+
k2

2
+ +
kk-1

k-1

trong đó các
k1
,
k2
, ,
kk-1
là các số sau:

kj
= -
< >
< >
e
k j

5. Phần bù trực giao
Định nghĩa: Giả sử G là một không gian con của không gian
với tích vô hớng n chiều E khi đó tập
F={ yE: <y,x>=0 xG }
gọi là phần bù trực giao của G, ký hiệu FG.
Tính chất: 1. F là một không gian con và E=FG.
2.Nếu {u
1
,u
2
, ,u
r
} là một cơ sở của G và có ma trận















nrnn
r

=+++
=+++
0

0
0
2211
2222112
1221111
nnrrr
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa

B. Bài tập
1.Chứng tỏ
a. f(x,y) = x
1
y
1
- x
1
y
2
- x
2
y
1

2
+ + x
n
y
n
là tích vô hớng trong R
n
và R
n
với tích vô hớng đó đợc gọi là
không gian Ơclit n chiều.
d. <f,g>=
f t g t dt( ) ( )


1
1
là tích vô hớng trên L[-1,1].
e. <x,y>= a
0
b
0
+a
1
b
1
+ +a
n
b
n

1
t+ +b
n
t
n

f. <A,B>=

= =
2
1
3
1i j
ijij
ba
trên không gian các ma trận M
2x3.
2. Tìm bất đẳng thức Bunhiacopski_Cauchy của các tích vô h-
ớng trong bài tập 1.
3. Chứng minh rằng không gian véc tơ các số phức C là không
gian với tích vô hớng, với tích vô hớng đợc định nghĩa:
z
1
z
2
=x
1
x
2
+y

1
22
yxyx +
(iii) <x,y>=
1
2
2
2
2
( )x y x y+
5. ánh xạ tuyến tính f: EF từ không gian với vô hớng E vào
không gian với tích vô hớng F đợc gọi là đẳng cự khi và chỉ khi
nó bảo toàn khoảng cách, tức là: d(f(x),f(y))=d(x,y) với bất kỳ
x,y thuộc E. Chứng minh ba điều kiện sau cho f là tơng đơng:
(i) f là đẳng cự.
(ii) f bảo toàn độ dài, nghĩa là
f x x( ) =
.
(iii) f bảo toàn tích vô hớng, nghĩa là
(f(x),f(y)>=<x,y>.
6. Chứng tỏ
a. Hệ U={ cos(2t ), cos(4t ), , cos(2nt )} là một hệ trực
chuẩn trên không gian L{-1,1}.
b.Hệ {1,t, ,t
n
} là cơ sở trực chuẩn trên P
n
(t) với tích vô hớng
<x,y>= a
0

3
- x
1
y
2
- x
2
y
1
-2x
2
y
3
- 2x
3
y
2
là một tích vô hớng trên R
3
. Tìm một cơ sở trực giao và một cơ
sở trực chuẩn bằng phép biến đổi dạng toàn phơng tơng ứng về
dạng chính tắc và dạng chuẩn tắc. Kiểm tra hệ trực giao và trực
chuẩn đó bằng tích vô hớng đã cho.
8. Cho E là không gian với tích vô hớng, S là không gian con
của E sinh bởi hệ trực chuẩn: U={u
1
,u
2
, ,u
m

9. Trong không gian với tích vô hớng, hệ cơ sở
U={u
1
,u
2
, ,u
n
} là cơ sở trực chuẩn khi và chỉ khi với mỗi x
thuộc E ta có x=
< >
=

x u u
i i
i
n
,
1
10. Cho S là không gian con của không gian với tích vô hớng
E sinh bởi tập các véc tơ trực chuẩn hữu hạn: S=L(u
1
,u
2
, ,u
m
)
a. Chứng minh rằng với mọi x bất kỳ thuộc S ta đều có
x
2
=

m
2
1
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x thuộc L(u
1
,u
2
, ,u
m
).
11. Cho {e
1
,e
2
, ,e
n
} là hệ cơ sở trực chuẩn trong không gian
với tích vô hớng E, x là véc tơ bất kỳ thuộc E: x=x
1
e
1
+x
2
e
2
+
+x
n
e
n


b a. Tìm các véc tơ trực giao với các véc tơ (1,2,1),(1,2,3).
b. Trực chuẩn hoá hệ véc tơ (1,1,1),(0,1,1),(0,0,2)
c. Tìm cơ sở trực giao của không gian con sinh bởi các véc
tơ: (0,1,2), (1,0,1)
269
13. Chứng tỏ
<x,y>=x
1
y
1
+2x
2
y
2
+8x
3
y
3
-x
1
y
2
-x
2
y
1
-2x
2
y

2
y
2
+2 x
2
y
3
+2 x
3
y
2
+5 x
3
y
3
là một tích vô hớng trên R
3
.
a. Tìm một cơ sở trực chuẩn của E.
b. Trực chuẩn hoá hệ véc tơ sau: (1,2,0),(1,0,3),(0,1,2)
15. Trong P
2
(t)=a
0
+a
1
t+a
2
t
2

+2x
2
y
3
+2x
3
y
2
+5x
3
y
3
b. <x,y>= x
1
y
1
-2x
1
y
2
-2x
2
y
1
+5x
2
y
2
+x
1

+4x
2
y
2
+2x
2
y
3
+2x
3
y
2
+8x
3
y
3
d. <x,y>=x
1
y
1
+2x
1
y
3
+2x
3
y
1
+x
2

+2x
2
y
3
+2x
3
y
2
+5x
3
y
3
17. Trong không gian Ơclit R
3
chứng tỏ hệ các véc tơ sau là
một cơ sở:
a. a
1
=(1,1,0), a
2
=(0,1,-1), a
3
=(0,0,1)
b. b
1
=(1,2,0), b
2
=(2,1,-1), b
3
=(1,0,1)

ax
19. Trên không gian Ơclit R
3
cho a=(1,1,0),b=(-1,0,1)
270
a. Tìm phần bù trực giao F của G=L(a,b) và một cơ sở trực
chuẩn của R
3
chứa {a,b} và hệ véc tơ vừa tìm đợc.
b. Chứng tỏ mọi phần tử x của R
3
đều có biểu diễn duy nhất
x=y+z với yG, zF. Tìm biểu diễn của x=(1,2,1).
20. Trên không gian Ơclide R
3
và R
4
tìm cơ sở trực chuẩn của
phần bù trực giao của các không gian con sinh bởi các véc tơ sau
a. a=(1,0,1,0), b=(1,-1,0,1),c=(0,1,1,0)
b. a=(1,0,1,0),b=(1,-1,0,1),c=(0,1,1,1)
c. a=(1,0,1,-1),b=(1,0,0,1),c=(2,0,1,0)
d. a=(2,1,0,1),b=(1,2,1,0),c=(1,2,0,3)
e a=(1,0,3),b=(-1,2,1),c=(0,2,4)
f. a=(1,0,1,2),b=(1,2,01),c=(1,-1,0,2)
Trực chuẩn hoá hệ véc tơ đã cho và các véc tơ vừa tìm đợc.
21. Trên R
4
cho x=(1,3,-1,3), a=(1,-1,1,1), b=(5,1,-3,3). Tìm
yL{a,b}, zF trực giao với L{a,b} sao cho x=y+z. Biểu diễn

có
1
=1>0,
2
=1>0,
3
=4>0 nên f xác
định dơng.
b.c.d.e,f: Kiểm tra theo định nghĩa hoặc thực hiện tơng tự a.
2. a. Chứng tỏ
),(),(),(
2
yyfxxfyxf
b.
yxyxyx ),cos(

c.
x y x y
i i
i
n
i
i
n
i
i
n
= = =










1
1
2
1
1
2
2
1
1
)()()()( dttgdttfdttgtf

e.




















1
1
2
1
1
2
2
1
1
)()()()( dttydttxdttytx

f.

= = === =
ì








+y
1
y
2
là một số thực. Kiểm tra 4
tính chất ta có:
+ <z
1
,z
2
>=<z
2
,z
1
>
+ <z
1
,z
2
>=<z
1
,z
2
>
+ <z
1
+z
2
,z
3

-2<x,y>
Vậy ta có:
a.
( )
2222
2 yxyxyx +=++
b. <x,y>=
( )
22
4
1
yxyx +
c.<x,y>=
( )
222
2
1
yxyx +
5. a. f là đảng cự nên d(f(x)-f(y))=d(x-y), chọn y= ta đợc:
d(f(x)-f())=d(x-) hay
xxf =)(
b. Từ
xxf =)(
và bài 4. Ta có:
272