Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
A.Lý thuyết
I.Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số
cho trước và a
≠
0
b. Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
- Đồng biến trên R khi a > 0
- Nghịch biến trên R khi a < 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a
≠
0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a
≠
0) là một đường thẳng
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
- Song song với đường thẳng y = ax, nếu b
≠
0, trùng với đt y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a
≠
0)
Bước 1. Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta được điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b
d. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a
≠

(a
≠
0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục
đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dười trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
III.Kiến thức bổ sung
1. Mặt phẳng tọa độ.
+) điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0
+) điểm nằm trên truc tung thì có hoành độ bằng 0
+) điểm nằm bên phải trục tung có hoành độ dương.
+) điểm nằm bên trái trục tung có hoành độ âm.
+) điểm nằm ở góc phần tư thứ nhất thì hoành độ và tung độ đều dương.
+) điểm nằm ở góc phần tư thứ hai thì hoành độ âm và tung độ dương.
+) điểm nằm ở góc phần tư thứ ba thì hoành độ và tung độ đều âm.
+) điểm nằm ở góc phần tư thứ tư thì hoành độ dương và tung độ âm.
1
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
2. Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
). Khi đó
- Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức
2 2

a = 1
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: y
= -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không?
Giải:
Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d)
II.Quan hệ giữa hai đường thẳng.
Xét hai đường thẳng : (d
1
) : y

= a
1
x + b
1
. (1)
(d
2
) : y

= a
2
x + b
2
. (2)
1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng
a) (d
1
) cắt (d
2
) a

điểm A,B,C.
c) Tính diện tích của ABC
Giải:
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm tọa độ giao điểm nhờ giải hpt
c) S
ABC =
S
ABE
+ S
CBE
hoặc S
ABC
= S
ABD
+ S
CBD
2
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
III.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui.
Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y).
Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại, kết hợp điều kiện hệ số
góc khác nhau để tìm ra tham số .
Ví dụ 4: ( Ví dụ 3 trang 37 trong tài liệu)
Cho 3 đường thẳng:
(d
1
): y = x + 2 (d
2
): y = 2x + 1 (d

a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt.
b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (V) có nghiệm kép.
c) (d) và (P) không giao nhau phương trình (V) vô nghiệm .
Ví dụ 6: Cho hàm số y = x
2
có đồ thị là Parabol ( P )
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Xác định a , b sao cho đường thẳng y = ax +b song song với đường thẳng y = – x +5 và
cắt Parabol (P) tại điểm có hoành độ bằng 1 .
Ví dụ 7 ( trang 37 trong tài liệu)
Cho hàm số y = x
2
(P) và hàm số y = x + 2 (d)
a) Vẽ đồ thị hai hàm số đã cho trên cùng một mặt
phẳng tọa độ.
b) Gọi A và B là giao điểm của (d) với (P). Tính diện
tích tam giác AOB.
c*) Tìm điểm M trên (P) để MA = MB
d*) Tìm điểm N trên cung AB của (P) sao cho tam
giác ANB có diện tích lớn nhất.
3
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
Ví dụ 8: Tìm m để (P): y = x
2
cắt đường thẳng y = 3x + m – 1 tại hai điểm A, B có hoành
độ x
A
; x
B
thoả mãn x

1
;y
1
) và B(x
2
;y
2
) nên ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình tìm a,b.
3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x
0
;y
0
) và tiếp xúc với (P): y = cx
2
(c 0).
+) Do đường thẳng đi qua điểm A(x
0
;y
0
) nên có phương trình :
y
0
= ax
0
+ b (3.1)
+) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = cx
2
(c 0) nên:
Pt: cx

=

⇔

=

. Từ đó tìm được x
o
; y
o
=> Kết luận
Ví dụ 10 (VD 2- Trang 36 trong tài liệu)
Cho đường thẳng (d) có phương trình: y = mx + 2.
a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
b) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng (d) bằng 1.
c) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ O đến (d) là lớn nhất.
Bài toán về hàm số bậc nhất
Bài tập 1
Cho hàm số y = (2m + 1)x + 3m – 2 có đồ thị là (d)
4
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
a)Tìm m để
1. Hàm số đồng biến, nghịch biến.
2. Đồ thị hàm số tạo với Ox một góc nhọn, tù.
3. Đồ thị hàm số đi qua điểm (-2;2).
4. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ 5.
5. (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 3.
6. (d) cắt (d’): y = 2x +3 tại một điểm trên trục tung .
7. (d) cắt (d’’):x + 2y = 5 tại một điểm trên trục hoành .
8. (d) cắt (d

d) Tìm m để ba điểm sau thẳng hàng : A(2;-2), B(1;1), C( m; 3m – 5).
Bài tập 4
Cho hai đường thẳng y = 2x + m - 1 , y = x + 2m. Tìm tập hợp các giao điểm của hai
đường thẳng trên.
Bài tập 5 Cho A(2;1), B(1;2), C(2;4), D(2m + 1 ; m – 3)
a) Xác định giao điểm của AB với hai trục toạ độ.
b) Tìm m để A, C, D thẳng hàng.
c) Xác định trực tâm H của tam giác ABC.
d) Tìm toạ độ điểm E để ABCE là hình bình hành.
Bài tập 6
Cho hàm số y= ( m-1)x + 3.
a) Tìm m để đồ thị hàm số song song đường thẳng y=2x?
b) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với 2 trục toạ độ tam giác cân?
c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành 1 góc 45
o
?
Bài tập 7
Tìm m ,n để hai đường thẳng (2m + 2)x -3ny = 4 và x + (m +n)y = 5 cắt nhau tại
điểm M(-1;2)
Bài tập 8
Tìm m để đường thẳng 3mx + ( m – 2)y = 4 đi qua giao điểm của hai đường thẳng y
= x – 1 ; 3y = x + 3
Bài tập 9
5
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
Bốn đường thẳng sau có đồng quy không : 3x + 2y = 13; 2x + 3y = 7; x – y = 6; 5x –
0y = 25
Bài tập 10
Cho hàm số y = 2x + 3. Gọi A,B là hai điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ lần
lượt là 4; -1. Hãy xác định khoảng cách AB và diện tích tam giác OAB

x 2 2;x
3
-
=- =
5. Tìm x để f(x) = 3; -3; 0
6. Tìm x để hàm số nhận giá trị -2; 9; 0
7. Vẽ đồ thị hàm số .
8. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số : A(-2;-4); B(-3;9); C(-1/2; -1)
9. Tìm m để D(m; 2m+3) thuộc đồ thị hàm số
10.Tìm m để f(m+2) = 4
11.Gọi A, B là hai điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là 3;-2. Viết phương
trình đường thẳng AB. Tìm giao điểm của AB với hai trục toạ độ.
12.Viết phương trình đường thẳng đi qua (1;2) và tiếp xúc với parabol trên.
13.Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y + x= 3 và tiếp xúc với
parabol trên.
14.Tìm m để (P) không có điểm chung với đường thẳng y = 2x + m – 3
15.Tìm m để (P) tiếp xúc với đường thẳng y = mx – 1. Xác định toạ độ tiếp điểm.
16.Tìm giao điểm của (P) và đường thẳng y – x = 2
17.Tìm m để (P) cắt đường thẳng y = 3x + m – 1 tại hai điểm A, B có hoành độ x
A
;
x
B
thoả mãn x
A
(1+ x
A
) + x
B
(x

( ) ( )
2 2
B A
1 x 1 x- + -
đạt giá trị lớn nhất.
6
Giáo viên: Nguyễn Quang Khiêm THCS Hàn Thuyên
22. Cho A, B là hai điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là 2; -1. Xác định m
để A, B, C (m-2; 3m +3) thẳng hàng.
23.Tìm m để đường thẳng y = 2mx + 1 – 2m cắt (P) tại hai điểm phân biệt thoả mãn
2008 2008
A B
x x 2+ =
24.Tìm các điểm trên (P) sao cho khoảng cách từ điểm đó đến trục hoành gấp đôi
khoảng cách từ điểm đó đến trục tung.
25.Chứng minh rằng : (P) luôn cắt đường thẳng y = 2mx +2m + 1 tại một điểm cố định
với mọi giá trị của m.
26.Xác định m để hai đường thẳng x+y=3 và x+3y = m + 2 cắt nhau tại một điểm thuộc
(P) .
Bài số 2: Cho các hàm số y = x
2
có đồ thị là (P) và y = 2x + 3 có đồ thị là (d).
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc (đơn vị trên các trục bằng
nhau).
b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
Tìm các điểm I thuộc (P) và I cách đều các trục tọa độ Ox, Oy (I khác gốc tọa độ O)
Bài số 3: Cho Parabol (P):
2
2
x