1
1
Giải tích toán học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, Tích phân xác định, tích phân, Tổng Darbox
Điều kiện khả tích, Hàm khả tích, Diện tích, thể tích, Tích phân suy rộng.Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục
vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.

Mục lục
Chương 6 Tích phân xác định 3
6.1 Định nghĩa tích phân xác định 3
6.1.1 Bài toán diện tích hình thang cong 3
6.1.2 Bài toán tính khối lượng 4
6.1.3 Định nghĩa tích phân xác định 4
6.1.4 Ý nghĩa hình học của tích phân xác định 6
6.2 Điều kiện khả tích 6
6.2.1 Điều kiện cần để hàm khả tích 6
6.2.2 Các tổng Darboux 7
6.2.3 Các tính chất của tổng tích phân Darboux 7
6.2.4 Dấu hiệu tồn tại của tích phân xác định 9
6.3 Các lớp hàm khả tích 10
3
3

Chương 6
Tích phân xác định
6.1 Định nghĩa tích phân xác định
6.1.1 Bài toán diện tích hình thang cong
Cho hàm số y = ()fx xác định, liên tục, không âm trên đoạn [a,b]. Xét hình thang cong
AabB (hình 6.1.1) là hình giới hạn bởi đồ thị của hàm số
()fx (trên [a,b]), các đường thẳng x
= a, x = b và trục hoành.

Hình 6.1.1
Với quan điểm của giải tích, ta hãy định nghĩa diện tích S của hình thang cong AabB.
Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia
0

x
< <
1n
x
−
<
n
x
≡ b. Đặt
i
x
Δ
=
i
x
–
1i
x
−
(i = 1,2, ,n).
Từ các điểm chia
i
x
(i = 1,2, ,n) ta dựng các đường thẳng x =
i
x
, như thế ta đã chia hình
thang cong AabB thành n hình thang cong nhỏ
1i
P

i
f . Diện tích các hình chữ nhật là:
1
()
ξ
f
Δ
1
x
,
2
()
ξ
f
Δ
2
x
, , ( )
ξ
n
f
Δ
n
x
.
Hiển nhiên tổng các diện tích của n hình chữ nhật biểu diễn gần đúng diện tích cần tìm S
của hình thang cong AabB đã cho. Nói một cách khác, ta có thể viết: S~
1
()
n

Δ
→ 0 (i =
1, n
) thì giá trị
giới hạn của tổng
1
()
n
ii
i
f
x
ξ
=
Δ
∑
chính là diện tích cần tìm S của hình thang cong đã cho:
S
=
0
1
lim ( )
ξ
Δ→
=
Δ
∑
i
n
ii

2
s , ,
1i
s
−
,
i
s , ,
1n
s
−
,
n
s = S.
và giả thiết rằng trên một đoạn nhỏ [
1i
s
−
,
i
s ] vật chất được phân phối đều, tức là tỉ khối không
đổi trên mỗi đoạn nhỏ và bằng tỉ khối tại mút trái
δ
=
1
()
δ
−
i
s . Khi đó, khối lượng tương ứng

i
s
Δ
=
1i
s
+
-
i
s (i=
1, n
).
Khi n tăng vô hạn sao cho max 0
i
s
Δ
→ , thì độ dài của các đoạn chia dẫn đến không và
khối lượng phân phối “đều từng khúc” sẽ dẫn đến khối lượng phải tìm:
m
=
1
1
()0
0
lim ( )
δ
+
−
−→
=

x
= b. Đặt
k
x
Δ
=
k
x
−
1k
x
−
và d = max Δ
k
k
x
, với
k=
1, n

5
5
Ta gọi bộ các điểm chia T = {
k
x
} là một phân hoạch của đoạn [a,b] và đại lượng d gọi là
đường kính phân hoạch. Trên mỗi đoạn chia [

} và vào cách chọn các điểm
k
ξ

và được gọi là tổng tích phân Riman của hàm
()fx
theo phân hoạch {
k
x
} của đoạn [a,b].
Bây giờ hãy thay đổi phân hoạch {
k
x
} và tìm giới hạn của tổng tích phân (6.1.3) khi d →
0.
Định nghĩa
Nếu tổng tích phân Riman (6.1.3) có giới hạn I khi d→ 0 không phụ thuộc vào phân
hoạch {
k
x
} của đoạn [a,b] và cách chọn các điểm
1
ξ
,
2
ξ
, ,
n
ξ
tức là 0

()
b
a
f
xdx
∫
. Như vậy , theo định
nghĩa ta có:
()
b
a
f
xdx
∫
=
0
1
lim ( )
ξ
→
=
Δ
∑
n
kk
d
k
f
x . (6.1.5)
Trong trường hợp này hàm f được gọi là khả tích theo Riman trên [a,b]. Số a và b được


()
b
a
f
xdx
∫
=
()
b
a
f
tdt
∫
=
()
b
a
f
zdz
∫
,v.v
(6.1.8)
Ví dụ 1: Cho ( )
f
x = 1,
x
∀∈
[a,b].
Với mọi phân điểm T = {

n
d
σ
→
= b − a.
Do đó:
b
a
dx
∫
= b
−
a.
6.1.4 Ý nghĩa hình học của tích phân xác định
Theo định nghĩa tích phân xác định vừa nói trên, diện tích hình thang cong được tính theo
công thức:
S =
()
b
a
f
xdx
∫
. (6.1.9)
Bây giờ ta hãy đưa ra điều kiện cần và đủ để hàm khả tích.
6.2 Điều kiện khả tích
6.2.1 Điều kiện cần để hàm khả tích
Định lí 6.2.11 Nếu hàm f khả tích trên đoạn [a,b] thì nó bị chặn trên đoạn này.
Chứng minh: Ta giả sử ngược lại rằng hàm f không bị chặn trên [a,b]. Bởi vì hàm f
không bị chặn trên [a,b] nên với phân điểm T bất kì của đoạn [a,b], hàm f không bị chặn ít

ξ
,
2
ξ
, …,
2
ξ
và kí hiệu:
22 33
' ( ) ( ) ( )
nn
f
xf x f x
σ
ξξ ξ
=Δ+Δ++Δ. (6.2.1)
Do f không bị chặn trên đoạn [
0
x
,
1
x
], nên với mọi M>0, ta chọn được
1
ξ
∈[
0
x
,
1

Δ
≥ |'|
M
σ
+ và tổng tích phân tương ứng
11
|||() '|
n
fx
σ
ξσ
=Δ+ ≥
11
|| ( ) || | | '||fx
ξ
σ
Δ
− ≥ M (6.2.3)
Do đó, tổng tích phân
n
σ
không thể có giới hạn hữu hạn, điều này nghĩa là tích phân xác
định của hàm f không tồn tại.
Nhận xét: Định lí trên chỉ là điều kiện cần mà không phải điều kiện đủ để hàm số là khả
tích, nghĩa là tồn tại hàm số bị chặn mà không khả tích. Ví dụ, ta hãy xét hàm Dirichlet
D:
 →  được cho dưới dạng:
1 nÕu h÷u t
Ø
()

kk n
k
n
kk n
k
Dxx
xx ba
xx
σξ
ξξ ξ
ξξ
−
=
−
=
−
=
=−=
⎧
−=−
⎪
⎪
=
⎨
⎪
−=
⎪
⎩
∑
∑

inf ( )
kk
x
xx
f
x
−
∈
,
k
M
=
1
[,]
sup ( )
kk
xx x
f
x
−
∈
,
k
ω
=
k
M
−
k
m . Đại lượng

lần lượt gọi là tổng tích phân Darboux dưới và tổng tích phân Darboux trên của hàm
()fx
trên đoạn [a,b] tương ứng với phân điểm T của đoạn [a,b].
Nếu
{
}
k
x
là một phân điểm của đoạn [a,b], ta có bất đẳng thức sau:

n
S
≤
n
σ
≤
n
S . (6.2.5)
6.2.3 Các tính chất của tổng tích phân Darboux

8
Tính chất 1: Tổng tích phân Darboux trên (dưới) tương ứng với phân điểm
{
}
k
x
của đoạn
[a,b] là cận trên (dưới) đúng của các tổng tích phân Riman tương ứng với cách chọn các điểm
khác nhau
k

ξ
ξξ
σ
. (6.2.6)
Do bất đẳng thức (6.2.5) ta chỉ cần chứng minh rằng có thể tìm được:
*
1
ξ
,
*
2
ξ
, ,
*
n
ξ
sao
cho:
*
1
()
n
kk
k
f
x
ξ
=
Δ
∑

ε
−
.
Khi đó:
*
1
()
n
kk
k
f
x
ξ
=
Δ
∑
>
1
n
kk
k
M
x
=
Δ
∑
−
ba
ε
−

ii
x
x
−
∈ . Khi đó:
n
σ
=
#
()
j
j
ji
f
x
ξ
Δ
∑
+ ( )
ii
f
x
ξ
Δ
.
Theo định nghĩa:
()
n
ST =
#

=
#
j
j
ji
mx
Δ
∑
+
1
*( ' ) **( ')
iii ii i
mxx m xx
−
−
+−
trong đó:
[]
1
,'
*inf
ii
i
x
x
mf
−
= ,
[]
',

−
+− = ()
n
ST.
Tương tự, ta chứng minh:
(') ()
nn
ST ST≤ . 9
9
Tính chất 3: Gọi
1
1
,SS
là tổng dưới, tổng trên ứng với phân điểm
1
T và
2
2
,SS
là tổng dưới,
tổng trên ứng với phân điểm
2
T . Khi đó:
2

trên bất kì) nên có cận trên đúng hữu hạn:

{
}
**
sup ,
nn
I
SIS
=
≥ . (6.2.7)
Tương tự tập hợp các tổng trên
{
}
n
S bị chặn dưới, nên nó có cận dưới đúng:

{
}
***
*
inf ,
nn
I
SIS II
=
≤≥ vµ (6.2.8)
Hiển nhiên ta có bất đẳng thức:

*

∀> ∃= >, sao cho nếu
δ
<
d thì:
ε
−
<
n
n
SS . (6.2.11)
không phụ thuộc vào cách chọn các điểm
1,
ξ
−
⎡
⎤
∈
⎣
⎦
kkk
x
x .
Chứng minh:
Điều kiện cần: Giả sử
()fx khả tích trên [a,b], khi đó tồn tại giới hạn:
0
lim
σ
→
=


10
22
n
II
ε
ε
σ
−
<<+ T
∀
(6.2.12)
12
, ,
ξ
ξξ
∀
n
.
Từ tính chất 1 và tính chất 2
1
1,
n
[,]
inf sup
22
ξ
ξ
ε
ε

d suy ra
(
)
0
lim 0
n
n
d
SS
→
−
=
.
Điều kiện đủ: Giả sử:
()
0
lim 0
n
n
d
SS
→
−=
. (6.2.15)
Khi đó tồn tại giới hạn:
00
lim lim
n
n
dd

,
kkk
x
x
ξ
−
∈ (6.2.18)
Suy ra:
(
)
nn
nn
n
SS ISS
σ
− − ≤−≤−
{
}
k
Tx∀=
,
[
]
1
,
kkk
x
x
ξ
−

−−
−= − Δ= Δ
∑∑
.
Từ đây ta suy ra điều kiện (6.2.10) có dạng:

1
0
lim 0
n
kkk
d
x
ω
=
→
∑
Δ=
. (6.3.1)
11
11
Định lí 6.3.1 Nếu ()
f
x liên tục trên [a,b] thì ()
f
x khả tích trên [a,b].
Chứng minh: Do

δ
>
sao cho nếu chia đoạn [a,b] thành những đọan nhỏ
có độ dài
k
x
Δ <
δ
(1,)kn=
, thì tất cả:
k
ba
ε
ω
<
−
(1,)kn= .
Từ đây đối với phân điểm bất kì
{
}
k
x
với đường kính d<
δ
ta có:
1
n
kk
k
x

Định lí 6.3.2 Hàm bị chặn và có cùng lắm một số hữu hạn điểm gián đoạn loại một trên [a,b]
thì khả tích trên [
a,b].
Ví dụ 1: Xét hàm số
1 khi 0
0 khi 0
1 khi 0
⎧
⎪
=
⎨
⎪
−
⎩
x
>
y
x=
x
<

trên đoạn [–1,1] (Hình 6.3.1)
Hàm số
y chỉ có một điểm gián đoạn loại một x = 0. Theo định lí trên nó khả tích. Về
phương diện hình học rõ ràng rằng:
I=
1
21
1
0ydx S S

−
Δ
==Δ.
Khi đó max 0
i
xΔ→ khi
n →∞
, ta chọn
1
ax
ξ
=
+Δ ,
2
2ax
ξ
=+Δ, ,
i
aix
ξ
=
+Δ ,…,
()
1
1
n
an x
ξ
−
=+ −Δ,

aaxax
xe e e e
+−Δ
+Δ + Δ
=Δ + + + +
n
σ
=
()
()
1
1
nx
ax
ex e e
−Δ
Δ
Δ+++ =
1
1
ba
a
x
e
ex
e
−
Δ
−
Δ

x
e
Δ
−
Δ
−
.
Theo định nghĩa:
() ()
()
0
lim 1
1
b
xab ab
x
x
a
x
edx e e e e
e
Δ
Δ→
Δ
=− =−−
−
∫

hay
b

+= +
∫∫∫
bbb
aaa
f
xgxdx fxdx gxdx. ( 6.4.1)
Chứng minh: Với phân điểm T bất kì và với cách chọn tùy ý (
[
]
1
,
kkk
x
x
ξ
−
∈ ) ta có
[]
()
0
1
() () lim ( )
αβ αξβξ
→
=
+= +Δ⎡⎤
⎣⎦
∑
∫
b

f
xgxdx
αβ
+
∫
=() ()
bb
aa
f
xdx g xdx
αβ
+
∫∫
, đpcm.
Định lí 6.4.2 Nếu f. g là hai hàm khả tích trên [a,b] thì tích của hai hàm g. f cũng khả tích trên
[
a,b].
Định lí 6.4.3 (Tính chất cộng của tích phân): Cho ba đoạn [a,b], [a,c] và [c,b]. Nếu ()fx khả
tích trên đoạn có độ dài lớn nhất thì nó cũng khả tích trên hai đoạn còn lại và
() () ()
bcb
aac
f
xdx f xdx f xdx=+
∫∫∫
. (6.4.2)
Chứng minh: a) Trước hết giả sử
a < c < b và
()fx
khả tích trên [a,b]. Xét phân điểm T


Trong cả hai vế của đẳng thức trên cho
0d → ta được
() () ()
bcb
aac
f
xdx f xdx f xdx=+
∫∫∫
.
b) Giả sử
b< a < c và ()fx khả tích trên [b,c]. Khi đó theo chứng minh trên ()fx khả tích
trên [
b,a], và [a,c], ta có

14
() () ()
cac
bba
f
xdx f xdx f xdx=+
∫∫∫
.
Chuyển vế ta được.
() () ()
acc
bba
f
xdx f xdx f xdx−=−+
∫∫∫

b
a
f
xdx
∫
>0. (6.4.5)
Chứng minh: Ta hãy chứng minh tính chất a)
Xét tổng tích phân bất kì của hàm ( )
f
x trên [a,b].
1
()
n
nkk
k
f
x
σξ
=
=
Δ
∑

Bởi vì ( ) 0
k
f
ξ
≥ ,
1
0

∫∫
. (6.4.6)
Chứng minh: Theo giả thiết ( )
gx
−
()
f
x ≥0
x
∀
∈[a,b] ta có
[]
() () 0
b
a
gx f x dx−≥
∫
.
Mặt khác theo tính chất tuyến tính
[]
() ()
b
a
gx f x dx−
∫
=
()
b
a
gxdx

f
x khả tích. Do
() () () ()
f
xfy fxfy−≤−

,[a,b]xy∀∈
, nên
()
[]
[]
()
1
1
k
,
k
,
,() sup () ()
sup ( ) ( ) ,
ω
ω
−
−
≤−
≤−=
kk
kk
xx
xx

Vậy
f
khả tích trên [a,b]
Hơn nữa
() () ()
f
xfxfx−≤≤
Theo định lí 6.4.6. Ta nhận được
() () ()
bbb
aaa
f
xdx fxdx fxdx−≤≤
∫∫∫

⇒
() ()
bb
aa
f
xdx f x dx≤
∫∫
(đpcm).
Định lí 6.4.8 (Đánh giá tích phân xác định): Nếu m và M tương ứng là giá trị nhỏ nhất và lớn
nhất của hàm
()
f
x trên [a,b], a < b, thì:
m(b–a)
≤

a
dx
∫

Hay
m(b–a)≤ ()
b
a
f
xdx
∫
≤
M(b – a).

16
Ví dụ: Chứng minh
2
1
0
1
1
x
edx
e
−
≤
≤
∫
.
Giải: Do

edx
e
−
−
≤≤−
∫
.
6.4.2 Các định lí giá trị trung bình
Định lí giá trị trung bình thứ nhất: Giả sử
()fx
là khả tích trên [a,b], (a<b) và
[]
a,b
infmf= ,
[]
,
sup .=
ab
M
f Khi đó
μ
∃ ,
mM
μ
≤≤
sao cho

()
()
b

fx mdx
Suy ra
() ()
()
b
a
mb a f xdx M b a−≤ ≤ −
∫

Hay
1
()
b
a
mfxdxM
ba
≤≤
−
∫
.
Đặt
1
()
b
a
f
xdx
ba
μ
=

∈[a,b] sao cho
()( )
()
b
a
f
xdx f c b a
=
−
∫
. (6.4.11)
17
17
Từ công thức (6.4.11) suy ra rằng giá trị trung bình của hàm
()
f
x liên tục trên [a,b]
bằng giá trị
()
f
c
của hàm dưới dấu tích phân, trong đó c là điểm nào đó, c thuộc đoạn [a,b].
Định lí giá trị trung bình thứ hai: Giả sử
a) ( )
f
x và tích ( )
f

a
f
xgxdx
∫
=
()
f
c
()
b
a
gxdx
∫
. (6.4.12)
Chứng minh:
Giả sử
()gx ≥ 0 với a< b.
Khi đó
() ()() ()mg x f x g x Mg x≤≤,
Suy ra:
m ()
b
a
gxdx
∫
≤
()()
b
a
f

a
gxdx
∫
ta được
1
()()
()
b
b
a
a
mfxgxdxM
gxdx
≤≤
∫
∫
.
Đặt
()()
()
b
a
b
a
f
xgxdx
gxdx
μ
=
∫

()fx.
Định nghĩa 2 Cho ()fx khả tích trên [a,b], khi đó
x
∀
∈
[a,b] hàm ()fx khả tích trên [a,x]
(hình 6.5.1). Ta có thể xét hàm số
φ
:[a,b]
→
 cho bởi
() ()
x
a
x
ftdt
φ
=
∫
. (6.5.3)
Hàm ( )
x
φ
gọi là tích phân xác định như hàm của cận trên.

Hình 6.5.1
6.5.2 Tích phân xác định như hàm của cận trên
Định lí 6.5.1 Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì
φ
là một nguyên hàm của f, tức là

]
( ) () ().
φφ
+− =
x
hxfchh (6.5.5)
19
19
trong đó
[]
() ,ch xx h∈+

Suy ra
()
()
00
()
() lim lim
hh
xh x
xfch
h
φφ
φ
→→
+−
′

đó theo định nghĩa ta có:
()
x
h
φ
+
()
xh
a
f
tdt
+
=
∫
=()
x
a
f
tdt
∫
+()
xh
x
f
tdt
+
=
∫

()

μ
(6.5.6)
trong đó
mM
μ
′′
≤≤
với
[]
in
′
=
x,x+h
mf,
[]
sup
′
=
x,x+h
M
f
Gọi
[]
[]
,
,
in , sup==
ab
ab
mfM f

∫
= () () ()−=
b
a
Fb Fa Fx (6.5.7)
Chứng minh: Ta thấy ( )
x
φ
= ()
x
a
f
tdt
∫
là một nguyên hàm của f. Do đó:
∃
∈C sao cho
()
x
a
ftdt
∫
()Fx
=
+C. (6.5.8)

Thay x = a vào (6.5.8) ta được C =− ()Fa. Do đó
()
x
a

x
=++=+−
+
∫
12ln( )=+.
Ví dụ 2: Tìm giá trị trung bình của hàm y = sinx trên đoạn
[
]
0,
π
, ta có
()
0
0
11 2
() sin os
fc xdx c
π
π
π
ππ
==−=
∫
x .
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của tích phân sau
a)
2
sin
x
a

d
tdt
dx
∫
=
2
sin
x
.
b)
2
1
b
d
tdt
da
a
+
∫
=
22
11
a
b
d
tdt a
da
⎛⎞
−+ =−+
⎜⎟

=
,
[
]
,t
α
β
∀∈ (6.6.1)
trong đó ( )
t
ϕ
là hàm khả vi liên tục trên
[
]
,
αβ
và ( ) a
ϕ
α
=
, ( ) b
ϕ
β
=
.
Giả sử
()Fx là nguyên hàm của ()
f
x , tức là ( )
f

= ()
b
a
Fx = ( ) ( )Fb Fa
−
(6.6.2)
và
[] []
() () ()
f
ttdtFt
β
β
α
α
ϕϕ ϕ
′
=
∫

21
21
=
[
]
[
]

I
xa xdx=−
∫

Đặt: .sin , . ostdt
xa tdxac==
()
44
222
422 2
000
I=a sin os sin 2 1 os4t
48
aa
tc tdt tdt c dt
πππ
=
=− =
∫∫∫

=
44
2
0
sin 4
84 16
π
π
⎛⎞
−=

=− =−===
∫∫∫
u
Icxxuduudu .
c) Tính
()
2
3
3
2
4
1tg
1tg
π
π
+
=
+
∫
x
I
dx
x

đặt
2
1
tg arctgu, d =
1+u
=⇒=uxx x du

⎣⎦
.
d) Tính
2
4
0
2os+3
π
=
∫
dx
I
cx
. Đặt tg
2
=
x
t 2arctg ,⇒=
x
t
2
2
d=
1
+
x
t

11
2

221
arctg arctg
5555
t
==

e) Tính
2
5
22 22
0
sin os
dx
I
axbcx
π
=
+
∫
(a,b>0)
5
I
()
2
222 2
0
cos tg
π
=
+

π
⎛⎞
⎜⎟
⎛⎞
==−=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎜⎟
⎝⎠
x
bb
aabab
aa
.
6.6.2 Phép lấy tích phân từng phần
Giả sử
()
ux
và v()
x
là hai hàm khả vi liên tục trên [a,b]. Ta có
()
vvv
′
′′
=+
uuu
Từ đây
v(v) v

sin
cos
π
=
∫
x
x
I
dx
x

Đặt
-3
33 2
sin sin 1
,coscos=
os cos 2cos
== ⇒= =−
∫∫
xx
u x dv dx v dx xd x
cx x x

4
4
4
1
22
0
0

11
11
2
00
00
() () () () ()
′′ ′ ′
==−=−
∫∫
I
xd f x xf x f x dx f x f x

(1) (1) (0)
f
ff
′
=−+
.
c) Tính
1
4
3
0
arcsin
I
xdx=
∫

Đặt arcsin sin , ostdttxxtdxc=⇒==
22

td t
44
22
32 2
2
3
0
00
4 ost 3 ost 12 sin
16 16
|
ππ
π
ππ
⎡⎤
⎢⎥
=+ − =−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫∫
Itctcdt tdt
44
22
22
0
00
12 sin 2 sin 3 24 os
16 16
ππ

tt cdt cdt

4
2
3
324
16
π
π
=− +I
Ví dụ 3: Tính tích phân
()
22
a
n
a
I
xadx
−
=−
∫
với n nguyên dương
Giải:
()() ()()
1
1
1
+
−−
=− + = − +


()( )
()()
12
12
−+
−
−
=−+
++
∫
a
nn
a
n
Ixadxa
nn

()( )
()() ()( )( )
12 22
1
12
−+ +−
−
−
⎡⎤
−
=−+−−+−
⎢⎥

a
xa
n
nn n

()
()
()( )( )
()()()
()
21
221
21!2
1!
12 21 21!
+
+
−
=− =
++ + +
n
nn
n
ana
In
nn n n
.
Ví dụ 4: Xây dựng công thức truy hồi cho các tích phân
2
0

2
0
2
os sin
2
nn
nn
Jc tdt tdtI
π
π
π
⎛⎞
=−==
⎜⎟
⎝⎠
∫∫

Vì lí do đó ta chỉ xây dựng công thức truy hồi cho tích phân
n
I

22
11
00
sin sin sin cos
nn
n
I
xxdx xd x
ππ

22
0
1 sin 1 sin
π
−
=− −
∫
n
nxxdx
Suy ra:
() ()
2
11
nn n
I
nI nI
−
=− −− hay
2
1
nn
n
I
I
n
−
−
=
Từ đây ta nhận được công thức:
22

dx dx
mm
ππ
−−
=
−
∫∫

22
21
00
22242
sin . . sin
212153
m
mm
x
dx xdx
mm
ππ
+
−
=
+−
∫∫

2
2
0
212331

. (6.6.8)
Ví dụ 5: Xây dựng công thức truy hồi cho tích phân:
2
a
0
sin
π
=
∫
xn
n
I
exdx.
Giải: Ta thấy
2
a
0
1
sin
π
=
∫
nx
n
I
xde
a

2
aa1

−
=−
∫
nx
n
excxde
aa

a
2
1
=
π
I
e
a
()
2
a1 a 22 1
2
2
0
0
sin os 1 sin cos sin sin
π
π
−−−
⎧⎫
⎪⎪
⎡

enexcxdxexdx
aa a

()
()
2
a
a2 2
2
2
0
1
1
sin 1 sin
π
π
−
−
=+ −
∫
xn
n
nn
I
eexxdx
aa
2
a
2
0

aa

()
22
aa
22
00
1
sin sin
−
−
∫∫
ππ
xn xn
nn
n
exdx exdx
aa