Bài 6: Phương sai số thay đổi

79
BÀI 6. PHƯƠNG SAI SAI SỐ THAY ĐỔI Mục tiêu

Sau khi kết thúc bài, học viên sẽ hiểu
được những vấn đề sau đây:
• Hiện tượng phương sai của sai số
(PSSS) thay đổi xảy ra khi nào?
• Hậu quả của PSSS thay đổi.
• Phát hiện PSSS thay đổi
• Các biện pháp khắc phục PSSS thay đổi

Nội dung

Hướng dẫn học
• PSSS thay đổi là gì?
• Hậu quả của PSSS thay đổi.
• Phát hiện PSSS thay đổi.
• Khắc phục PSSS thay đổi.

Thời lượng

• 8 tiết

quy, ta thường dùng phương pháp OLS (bài học số 3). Tuy nhiên, để
thực hiện được phương pháp OLS thì về mặt kỹ thuật, một giả thiết
trong mô hình cần thỏa mãn. Đó là giả thiết về sự bằng nhau của các
nhiễu ngẫu nhiên. Về bản chất thì giả thiết này muốn ngụ ý rằng sự phân tán trong các quan
sát của biến phụ thuộc là như nhau.

Câu hỏi

Vấn đề đặt ra, khi Ngân hàng BIDV nghiên cứu vấn đề trên bằng phương pháp kinh tế lượng
thì hậu quả sự phân tán tiết kiệm của người dân Hà Nội và Lai Châu khác nhau như vậy là gì? Bài 6: Phương sai số thay đổi

81
Trong các bài trước chúng ta đã dùng phương pháp bình phương bé nhất để ước lượng các hệ số
của mô hình hồi quy. Để phương pháp đó có hiệu quả, ta phải xét mô hình hồi quy dưới một số
giả thiết, trong đó có một giả thiết rất quan trọng là các nhiễu ngẫu nhiên
i
u có phương sai không
đổi. Một câu hỏi đặt ra là nếu giả thiết này bị vi phạm thì hậu quả sẽ thế nào? Đồng thời, làm thế
nào để phát hiện hiện tượng giả thiết đó bị vi phạm và khắc phục hiện tượng đó bằng cách nào?
Bài này xem xét các vấn đề nêu trên.
6.1. Nguyên nhân của hiện tượng phương sai sai số thay đổi
BÀI TOÁN
Thông thường mô hình hồi quy tuyến tính
i122i33i kkii
Y X X X u=β +β +β + +β + (6.1)
được nghiên cứu với giả thiết các nhiễu ngẫu nhiên
i

•
Quy mô của quan sát ảnh hưởng đến độ "tự do" của số liệu. Ví dụ khi tiến hành
điều tra về chi phí tiêu dùng và thu nhập của hộ gia đình, ta thấy những hộ gia đình
có thu nhập thấp thì việc chi tiêu của họ không mấy linh động, phần lớn thu nhập
của những hộ này sẽ tập trung vào các nhu cầu thiết yếu như thực phẩm, quần áo,
chỗ ở, đi lại. Như
thế chi tiêu của nhóm có thu nhập thấp tương đối đồng đều,
không biến động nhiều. Trong khi đó đối với nhóm có thu nhập cao thì ngoài việc
chi cho những nhu cầu thiết yếu, họ còn có khả năng lựa chọn chi tiêu cho du lịch,
giải trí, hoặc đầu tư hay không vào các lĩnh vực bất động sản, chứng khoán, … Do
vậy biến động về chi tiêu của nhóm này sẽ lớn.
•
Định dạng mô hình sai, điều này xảy ra do có sự bỏ sót biến hoặc dạng hàm hồi
quy không được lựa chọn phù hợp.

Bài 6: Phương sai số thay đổi

82
• Do tác động của các quan sát ngoại lai, là những quan sát có giá trị quá nhỏ hoặc
quá lớn so với những quan sát khác trong mẫu.
•
Kỹ thuật thu thập số liệu không đồng đều, cung cấp số liệu với chất lượng khác nhau.
6.2. Hậu quả của phương sai sai số thay đổi
Khi giả thiết phương sai sai số không thay đổi của mô
hình hồi quy bị phá vỡ thì sẽ dẫn tới một số hậu quả như
•
Các ước lượng bình phương nhỏ nhất của các hệ số
tuy vẫn là ước lượng không chệch nhưng không
phải là ước lượng hiệu quả, tức là không phải là ước
lượng có phương sai bé nhất;

)
2
i122i33ippi
exp Z Z Z⇒σ = α +α +α + +α .
Các mô hình hồi quy phụ này chứa p hệ số chưa biết và Z
p
là các biến với những
giá trị đã biết (có thể một số
p
Z hoặc là tất các biến đó được thành lập từ các biến
độc lập
i
X của mô hình hồi quy (6.3)).
BÀI TOÁN
Bài toán kiểm định:
02 3 p
1i
H : 0
H: 0
α=α= =α=
⎧
⎪
⎨
∃α ≠
⎪
⎩

Nếu giả thuyết
0
H được chấp nhận thì có nghĩa là phương sai sai số trong mô hình (6.3)

ˆ
u thay cho
i
σ
và
()
2
i
ˆ
ln u thay cho
()
2
i
ln σ . Các bước tiến hành như sau:
Bước 1: Dùng phương pháp OLS để ước lượng các hệ số
i
ˆ
β
trong phương trình hồi
quy (6.3).
Bước 2: Tính các phần dư:
ii122i kki
ˆ
u Y X X=−β−β −−β .
Bước 3a: Bình phương các phần dư
i
ˆ
u
để gán vào
2

i
ln
σ
trong mô hình hồi quy phụ (6.3c) và
ước lượng bằng phương pháp OLS để tìm
i
ˆ
α
.
Bước 4: Tính giá trị tiêu chuẩn thống kê
22
nRχ= với n là số quan sát (cỡ mẫu),
2
R
là hệ số xác định.
Bước 5: Tính xác suất ý nghĩa
{
}
22
p1
PP
−
=
χ>χ, trong đó
2
p
1
−
χ
là biến ngẫu nhiên có

tìm được, nếu
22
p1
()
−
χ>χ α
thì bác bỏ giả thuyết
0
H.
Ngoài các phương pháp kiểm định trên còn có các phương pháp kiểm định White và
kiểm định F cũng được dùng để kiểm định tính thuần nhất của các phương sai sai số
trong các mô hình hồi quy tuyến tính. Cụ thể,

Bài 6: Phương sai số thay đổi

84
• Kiểm định White:
Để đơn giản ta xét mô hình 3 biến
i122i33ii
YXXu=β +β +β + (6.4)
222
i 122i33i42i53i62i3i
XXXXXXσ=α+α+α+α+α+α (6.5)
Phép kiểm định White được tiến hành theo các bước sau:
Bước 1: Ước lượng mô hình (6.4) bằng phương pháp OLS để tìm được các
phần dư
i
ˆ
u.
Bước 2: Ước lượng mô hình (6.5) với

kết luận giả thuyết phương sai sai số thuần nhất bị vi phạm.
•
Kiểm định F
Ta sử dụng mô hình hồi quy phụ
()
(
)
2
2
i12 i
EYσ=α+α (6.6)
trong đó
()
2
ii
,E Yσ chưa biết và được thay bằng các ước lượng
22
ii
ˆ
ˆ
u,Y
có được từ hồi
quy gốc (6.6). Trong mô hình hồi quy này, xét thống kê
()
2
2
2
ˆ
F
ˆ

thuyết. Việc chấp nhận giả thuyết này tương đương với việc khẳng định không có
biến động đáng kể của phương sai sai số trong mô hình (6.3).
Ví dụ : Theo số liệu báo cáo phát triển thống kê ở 73 nước đang phát triển, trong
năm 1988 bao gồm nợ nước ngoài
88
D và tổng sản phẩm quốc nội
88
Y, đơn vị
được tính bằng triệu USD.Bài 6: Phương sai số thay đổi

85
Ta thực hiện hồi quy
88
D theo
88
Y ta được kết quả từ hồi quy này ta tính được giá
trị các phần dư
i
ˆ
u và được ký hiệu là
88
U. Kết quả của mô hình hồi này được cho
trong bảng sau:

Để kiểm tra xem trong mô hình trên, có hiện tượng phương sai sai số thay đổi hay
không, ta lần lượt tiến hành các phép kiểm định khác nhau như sau:
•

tương ứng với xác suất ý nghĩa rất nhỏ
(Prob=0.000). Vậy với mức ý nghĩa 5% ta có thể bác bỏ giả thuyết
0
H, kết luận có
sự thay đổi của phương sai sai số.
•
Kiểm định Breusch – Pagan :Thực hiện hồi quy của biến
2
88
U theo
88
Y

2
88 1 2 88
UY=α +α
ta được kết quả sau:

Áp dụng bài toán kiểm định
02
12
H: 0
H: 0
α
=
⎧
⎨
α
≠
⎩

Ta có:
2
n 73,R 0.4786== , do đó:
22
nR 34.93χ= = .
Với mức ý nghĩa
5%α= , tra bảng phân phối khi-bình
phương, ta thu được giá trị tới hạn
(
)
2
0.05
25.99χ=
. So sánh hai giá trị trên với
nhau, ta thấy
2
34.93 5.99χ= > . Vậy có thể bác bỏ giả thuyết
0
Hvà khẳng định có
hiện tượng phương sai sai số thay đổi.
•
Kiểm định F: Đối với kiểm định này, ta thực hiện hồi quy phụ
22
88 1 2 88
UY=α +α .
với
88
ˆ
Y
là giá trị ước lượng được khi thực hiện hồi quy

2
t 3.138253
=
, Prob = 0.0025 < 0.05
α
= . Vậy ta bác bỏ giả thuyết
0
H,
khẳng định có hiện tượng phương sai sai số thay đổi.
Chú ý: Ta thấy cả bốn phương pháp kiểm định trên đều đưa ra cùng một kết luận đối
với hiện tượng phương sai sai số thay đổi. Trong thực hành không nhất thiết phải thực
hiện tất cả bốn phép kiểm định đó, mà chỉ cần lựa chọn thực hiện một phép kiểm định
là đủ.
6.4. Biện pháp khắc phục hiện tượng không thuần nhất của phương sai sai số
Mô hình hồi quy có hiện tượng phương sai sai số thay đổi có thể gây ra những hậu quả
như đã trình bày ở phần trước. Nó phá hủy tính không chệch, tính vững của các ước
lượng. Vì vậy cần phải có biện pháp khắc phục hiện tượng đó.
Ta xét hai trường hợp:
•
Đã biết phương sai
2
i
σ của các sai số;
•
Chưa biết phương sai
2
i
σ của các sai số.
Trường hợp 1 : Đối với trường hợp
2

β+β + (6.8)
Chia cả hai vế của phương trình trên cho
i
σ
, ta thu được
i1i2ii
12
ii ii
YX Xu
=
β+β +
σσ σσ
.
Đặt
** * *
i1i 2ii
i1i 2i i
ii ii
YX Xu
Y;X ;X ;u
=
===
σ
σσσ
.
Khi đó (6.8) được viết lại thành
** **
i11i22ii
YX Xu
=

ˆˆ
,
β
β của
12
,ββ trong
(6.9) cũng là các ước lượng của mô hình (6.7).
Trường hợp 2: Khi chưa biết phương sai sai số
2
i
σ
, ta sẽ lần lượt xét các trường hợp
riêng như sau:
•
Nếu phương sai sai số tỷ lệ với bình phương biến giải thích X, tức là
222
ii
E(u ) X=σ
thì ta có thể biến đổi mô hình gốc (6.7) thành
i1 i
212i
ii i i
Yu
1
v
XX X X
β
=
+β + =β +β + .
Mô hình này có phương sai sai số

bằng cách dùng mô hình lôgarit.
Chẳng hạn, trước tiên người ta dùng mô hình log
tuyến tính
i12 ii
YlnXu
=
β+β + .
Nếu mô hình này vẫn là định dạng sai thì người ta
hiệu chỉnh bằng mô hình log - log tuyến tính
i12 ii
ln Y ln X u
=
β+β +

Bài 6: Phương sai số thay đổi

90
TÓM LƯỢC CUỐI BÀI
• Hiện tượng phương sai của sai số thay đổi
Mô hình
i122i33ii
YXXu=β +β +β +
Trong phương pháp OLS có giả thiết:
(
)
2
i
Var u
≡
σ , phương sai sai số không đổi (đồng đều)

Lập hàm hồi quy phụ, trường hợp có tích chéo (
cross terms)
222
i 1 2 2i 3 3i 4 2i 5 3i 6 2i 3i i
XXXXXXv.σ=α+α +α +α +α +α +
H
0
: Mô hình đầu có PSSS đồng đều.
H
1
: Mô hình đầu có PSSS thay đổi.
Kiểm định F:
22
qs
nR
∗
χ= .
o Kiểm định:
2
χ
Nếu
()
22
qs
5
α
χ>χ : bác bỏ giả thuyết H
0
.
• Các biện pháp khắc phục PSSS thay đổi

C. Phần dư.
D. Giá trị tuyệt đối của các phần dư.
5. Trong kiểm định White phát hiện PSSS thay đổi, nếu mô hình ban đầu có 2 biến độc lập thì
trong mô hình hồi quy phụ có bao nhiêu biến độc lập (không có tích chéo).
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
6. Khi mô hình có PSSS thay đổi, ta luôn có thể khắc phục nó bằng cách sử dụng lôgarit của
các biến trong mô hình.
A. Đúng.
B. Sai.

Bài 6: Phương sai số thay đổi

92
7. Nếu trong kiểm định White để phát hiện PSSS thay đổi, tính được thống kê khi bình phương
là 1.624 với p-value tương ứng là 0.444, sử dụng mức ý nghĩa 0.05. Vậy kết luận là:
A. Có PSSS thay đổi.
B. Không có PSSS thay đổi.
C. Không có kết luận với những thông tin ở trên.
8. Nếu trong mô hình có phương sai của sai số thay đổi, nó làm cho:
A. Phương sai của các ước lượng OLS không phải là nhỏ nhất.
B. Các ước lượng OLS không phải là tuyến tính.
C. Không ảnh hưởng gì đến các ước lượng OLS.
D. Không ước lượng được các tham số bằng phương pháp OLS.
9. Phương pháp dùng đồ thị để phát hiện ra PSSS thay đổi là:
A. Vẽ đồ thị của X lần lượt theo từng biến độc lập.
B. Vẽ đồ thị của phần dư với lần lượt các biến độc lập.
C. Vẽ đồ thị của bình phương các phần dư với lần lượt các biến độc lập.
D. B hoặc C.