SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 1995-1996
Môn thi: Toán 12 (vòng1)
Ngày thi:23-12-1995
Thời gian làm bài:180 phút
Bài I
Xét đường cong:
3 2
y mx nx mx n= − − +
(C)
Tìm các cặp số (m; n) sao cho trong các giao điểm của (C) với trục hoành có hai giao điểm
cách nhau 1995 đơn vị và khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến trục hoành là 2000 đơn
vị.
Bài II
Với những giá trị nào của m thì trong khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 
ta luôn có:
3 2 2
sin 2 os 3 sin osm mc m c
α α α α
+ ≤
Bài III
Cho hai dãy số
( )
n
a

x y
a b
+ =
với tâm O và các tiêu điểm
1 2
,F F
. Qua O,
1
F
vẽ các đường
song song MOM', MF
1
N'. Tính tỉ số:

1 1
. '
. '
OM OM
F N F N
1
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 1996-1997
Môn thi: Toán 12 (vòng1)
Ngày thi:21-12-1996
Thời gian làm bài:180 phút
Bài I
Cho dãy
( )
n
x

os2x+ m+3 os2 =8sin 2 os 2 sin +m+4c c c x m
α α α
− +
Hãy xác định giá trị của m sao cho với mọi giá trị của
α
thì phương trình có nghiệm.
Bài IV
Trên mặt phẳng toạ độ vuông góc Oxy, cho các điểm A(-1; 0); B(2; 0);
H(-2; 0); và M(-1; -0,6). Kẻ đường thẳng
( )
∆
vuông góc với AB tại H và đường tròn (C)
nhận AB làm đường kính.
Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn tiếp xúc với
( )
∆
và tiếp xúc trong với (C) sao cho điểm
M nằm ở bên ngoài đường tròn (I).
2
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 1997-1998
Môn thi: Toán 12 (vòng1)
Ngày thi:25-12-1997
Thời gian làm bài:180 phút
Câu 1 (5 điểm):
Cho hàm số
( )
2
2
x

x x
x a
x x
x a
π π
− −
− − +
+ + + =
− + +
Câu 3 (5 điểm):
Cho
1 2 3 4
, , ,
6 4
x x x x
π π
≤ ≤
Chứng minh rằng:
( )
( )
2
1 2 3 4
1 2 3 4
4 3 1
1 1 1 1
cotgx cotgx cotgx cotgx
cotgx cotgx cotgx cotgx
3
+
 

) tại 3 điểm phân biệt A,
I, B (theo thứ tự), tiếp tuyến tại A và tiếp tyuến tại B của (C) lần lượt cắt đường cong tại điểm
thứ hai là M và N. Tìm m để tứ giác AMBN là hình thoi.
Câu 2 (5 điểm):
Giải hệ phương trình:
( )
6 4
sinx
siny
10 x 1 3 2
5
;
4
x y
e
y
x y
π
π
−

=



+ = +





Câu 1 (5 điểm):
Cho hai hàm số
( )
1
x
f x
x
=
+
và
( ) arctgxg x =
1. Cmr: đồ thị của chúng tiếp xúc nhau.
2. Giải bất phương trình:
( ) ( )f x g x x≥ +

Câu 2 (5 điểm):
Cho tam giác ABC thoả mãn:
( )
( )
( )
2 2 2
2
3
4
cot cot cot
3 cot cot cot 2 2 2
a b c
m m m
A B C
abc g g g

có ít nhất một nghiệm nguyên.
Câu 4 (5 điểm):
Trong hệ toạ độ trực chuẩn Oxy cho đường tròn (C) có phương trình:
2 2
4x y+ =
1. Tìm tham số m để trên đường thẳng y=m có đúng 4 điểm sao cho qua mỗi điểm có 2
đường thẳng tạo với nhau góc 45
0
và chúng đều tiếp xúc với đường tròn (C).
2. Cho 2 điểm A(a;b), B(c;d) thuộc đường tròn (C) chứng minh:
4 3 4 3 4 3 6a b c d ac bd− − + − − + − − ≤
.
5
Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội
Kỳ thi chọn đội tuyển lớp 12 thành phố
tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2000-2001.
Môn thi: Toán
Ngày thi: 29 tháng 12 năm 2000
Thời gian làm bài: 180phút
______________________
Câu I (4 điểm):
Cho các số thực a
1
, a
2
, ,a
n
; b
1
, b

+ +c
n
)(b
1
+b
2
+ +b
n
)
2
Câu II (4 điểm):
Gọi N
*
là tập hợp tất cả các số nguyên dơng.
Hãy tìm tất cả các hàm f : N
*
N
*
thoả mãn điều kiện:



+

=+
lẻ n nếu12n
chẵn n nếun
)n(f))n(f(f
12
Câu III (4 điểm):

4 2 2
2y x m x n= +
Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m v n th cú 3 im cc tr l cỏc nh ca mt tam giỏc
u ngoi tip mt ng trũn cú tõm l gc to .
Cõu 2 (4 im):
Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca a v b tho món iu kin:
1
2
a


v
1
a
b
f
sao cho biu thc
( )
3
2 1a
P
b a b
+
=

t giỏ tr nh nht.
Tỡm giỏ tr nh nht ú.
Cõu 3 (4 im):
Gii bt phng trỡnh:
3

. Hai im M v N trờn (E). Chng minh rng: 4
ng thng MF
1
, MF
2
, NF
1
, NF
2
cựng tip xỳc vi mt ng trũn.
Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội
Kỳ thi chọn đội tuyển lớp 12 thành phố
tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia năm học 2001-2002.
Môn thi: Toán
7
Ngµy thi: 29 th¸ng 12 n¨m 2000
Thêi gian lµm bµi: 180phót
______________________
Câu 1. (4 điểm)
Chứng minh rằng không tồn tại 19 số nguyên dương phân biệt a
1
; a
2
; ;a
19
thỏa mãn đồng thời
các điều kiện sau:
S(a
1
) = S(a

biết dãy x
n
được xác định như sau:
1 2
2
2 1
1; 1
1
1
2
n n n
x x
x x x n
+ +
= = −



= − ∀ ≥


Câu 4. (4 điểm)
Hai người tham gia một trò chơi với luật chơi như sau: Họ lần lượt viết trên cùng một bảng ,
mỗi lần chỉ viết một số là ước nguyên dương lớn hơn 1 của 100! (nhưng không được viết lặp
lại). Người thua cuộc là người mà sau lượt đi của mình thì tất cả các số trên bảng là nguyên
tốt cùng nhau. Hỏi ai là người chiến thắng trong trò chơi trên?
Câu 5. (4 điểm)
Cho tam giác nhọn không cân A
1
BC nội tiếp trong đường tròn (C). Gọi H

SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 2002-2003
Môn thi: Toán 12
Ngày thi: 7-12-2002
Thời gian làm bài:180 phút
Bµi I (4 ®iÓm)
8
Cho hàm số y=
2x
3x)m121(mx
22
+
+++
Tìm giá trị của tham số m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tiếp xúc với đờng tròn có
tâm I(0; 1) và có bán kính lớn nhất.
Bài II (4 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, chứng minh bất đẳng thức
tg
5
A+ tg
5
B+ tg
5
C 9 (tgA+tgB+tgC)
Bài III (4 điểm)
Tìm quỹ tích điểm M(x; y) có toạ độ thoả mãn hệ:





1. Nếu J thuộc A
1
A
3
thì O thuộc A
2
A
4
2. Các trực tâm của 4 tam giác A
1
A
2
A
3
, A
1
A
2
A
4
, A
1
A
3
A
4
, A
2
A
3




+ + =


Câu 3. (4 điểm)
Chứng minh rằng không tồn tại đa thức f(x) có bậc 4 thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
1) f(x) có các hệ số hữu tỉ
2)
( )
min 2f x = −
¡
Câu 4. (4 điểm)
Trong không gian cho đường gấp khúc L có độ dài m. Gọi a, b, c là độ dài các hình chiếu của
L lên ba mặt phẳng tọa độ.
1) Chứng minh rằng: a + b + c
6m≤
2) Tồn tại hay không đường gấp khúc đóng L sao cho a + b + c = m
6
Câu 5. (4 điểm)
Hãy tìm số tự nhiên k lớn nhất sao cho với mọi cách tô đen 2002 ô của một tờ giấy kẻ ô
vuông vô hạn thì luôn chọn ra được k ô đen đôi một không có điểm chung.
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 2003-2004
Môn thi: Toán 12
Ngày thi: 5-12-2003
Thời gian làm bài:180 phút
Câu 1 (4 điểm):
Giải và biện luận theo tham số a số nghiệm của phương trình:

32 40 10 3 0x x x− + − =
Câu 5 (4 điểm):
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P):
2
2y px=
( p>0 ), tiêu điểm là F. Từ một
điểm I kẻ 2 đường thẳng tiếp xúc với (P) tại M và N.
1. Cmr:
FIM∆
đồng dạng với
FIN∆
.
2. Một đường thẳng (d) tuỳ ý tiếp xúc với (P) tại T và cắt IM, IN tại Q và Q'.
Cmr:
FQ.FQ'
FT
không phụ thuộc vị trí của (d).
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 2004-2005
Môn thi: Toán 12
Ngày thi: 3-12-2004
Thời gian làm bài:180 phút
Bài 1 (4 điểm):
11
Cho hm s: f(x)=
1
5
4
54
+ xmx

xx

+=+
Bi 4 (4im):
Mt t giỏc cú di ba cnh bng 1 v din tớch bng
4
33
.Hóy tớnh di cnh cũn li
v ln cỏc gúc ca t giỏc.
Bi 5 (4im):
Cho t din ABCD DA=a, DB=b, DC=c ụi mt vuụng gúc vi nhau.Mt im M tu ý
thuc khi t din.
1.Gi cỏc gúc to bi tia DM vi DA, DB, DC l

.,,
.
Cmr:
2sinsinsin
222
=++

2.Gi
DCBA
SSSS ,,,
ln lt l din tớch cỏc mt i din vi nh A, B, C, D ca khi t
din. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:

DCBA
SMDSMCSMBSMAQ +++=
sở giáo Dục & Đào tạo hà nội

Giải hệ phơng trình:





=+
=++++


020062005.22004
0)y2005x121)(yx21(1yx2
2
y1
x1yx
2
Bài IV (4 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn bán kính R. Gọi diện tích tứ giác là S v độ
dài các cạnh là AB=a, BC=b, CD=c, DA=d .
1. Chứng minh đẳng thức: (4RS)
2
=(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)
2. Chứng minh rằng nếu 4(SR)
4
= (abcd)
3
thì tứ giác là hình vuông.
Bài V (4 điểm)
Hình chóp S.ABC có các cạnh bên đôi một vuông góc và SA=a, SB=b, SC=c. Gọi A, B,
C là các điểm di động lần lợt thuộc các cạnh SA, SB, SC nhng luôn thỏa mãn

C
cú 3 im cc tr A, B, C.
2. Chng minh rng tam giỏc ABC cú trng tõm c nh khi tham s m thay i.
Cõu 2 (3 im):
Gii cỏc phng trỡnh sau:
13
1.
5 3
15 11 28 1 3x x x+ + =
( tinh don dieu, nghiem x = - 1 , vt dong bien, vp nghbien)
2.
( )
2 2
4 1 1 2 2 1x x x x + = + +
( pt an la sqrt(1 + x
2
) )
Cõu 3 (3 im):
Tam giỏc ABC cú di cỏc cnh l a, b, c v bỏn kớnh R ca ng trũn ngoi tip tho
món h thc:
( )
3 2bc R b c a

= +

. Chng minh rng tam giỏc ú l tam giỏc u.
Cõu 4 (4 im):
Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s a h phng trỡnh sau cú nghim:
( )
( ) ( )

1. Cmr: mt phng (DMN) luụn cha mt ng phng c nh v
x + y = 3xy.
2. Xỏc nh v trớ ca M, N din tớch ton phn t din ADMN t giỏ tr nh nht v
ln nht.Tớnh cỏc giỏ tr ú.
Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội
Kỳ thi chọn đội tuyển Học Sinh Giỏi lớp 12 thành phố
năm học 2006-2007
Môn thi: Toán
Ngày thi: 28 tháng 11 năm 2006
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I (4 điểm)
Giải hệ phơng trình sau:







=
+

+
=
+
+
+
0
yx
yx2

Câu V (4 điểm)










+

>=


=
+
)2n( kxx)2n(x
x3x
)0a,Ra( ax
1n
1k
kn1n
12
1
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dơng n
0
sao cho
0

. Cmr: abcd > a + b + c + d + 8.
Cõu 3. (4 im)
Trong mt ng trũn cho 2 dõy AB v CD ct nhau ti M. Gi N l trung im ca BD,
ng thng MN ct AC ti K. Cmr:
2
2
AK AM
KC CM
=
Cõu 4. (4 dim)
Tỡm tt c cỏc hm
:f Ă Ă
tha món:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2
1 1 1 1 2 , ,f x z f y z f z x f y z z x f y x y z+ + + = + + + Ă
15
Câu 5. (4 điểm)
Trên mặt phẳng cho 50 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và mỗi điểm được
tô bằng 1 trong 4 màu. Chứng minh rằng tồn tại 1 màu và ít nhất 130 tam giác không cân với
các đỉnh được tô bởi màu này.
SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI
Năm học 2008-2009
Môn thi: Toán 12

( dat x = sint)
2. Cho x và y là các số thực thỏa mãn phương trình: x
2
+ y
2
– 4x – 6y + 12 = 0. Tìm x, y
sao cho A = x
2
+ y
2
đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
Bài 3. (5 điểm)
16
1. Cho a, b, c là ba kích thước của một hình hộp chữ nhật có đường chéo bằng
3
.
Chứng minh:
2 2 2 2 2 2
3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
2. Cho dãy số (u
n
) với
2
1
4 1

. Cmr:
( )
( )
2 2
2 2
2
b c b c
AE
+ + +
=
17