Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
®Ị sè 1
C©u 1: Cho x =
2 2 2
2
b c a
bc
+ −
; y =
2 2
2 2
( )
( )
a b c
b c a
− −
+ −
TÝnh gi¸ trÞ P = x + y + xy
C©u 2:Gi¶i ph¬ng tr×nh:
a,
1
a b x+ −
=
1
a
+
1
b
+
1

+
+
=
3
( 1)
a
x +
+
2
( 1)
b
x +
C©u 4:Chøng minh ph¬ng tr×nh: 2x
2
– 4y = 10 kh«ng cã nghiƯm nguyªn.
C©u 5:Cho
∆
ABC; AB = 3AC. TÝnh tû sè ®êng cao xt ph¸t tõ B vµ C
§Ị sè 2
C©u 1:Cho a,b,c tho¶ m·n:
a b c
c
+ −
=
b c a
a
+ −
=
c a b
b

C©u 5: Cho
∆
ABC c©n t¹i A, trªn AB lÊy D, trªn AC lÊy E sao cho:AD = EC = DE = CB.
a, NÕu AB > 2BC. TÝnh gãc
µ
A
cđa
ABCV
b, NÕu AB < BC. TÝnh gãc
µ
A
cđa
HBCV
.
®Ị sè 3
C©u 1:Ph©n tÝch thµnh nh©n tư:
a, a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc
b, (x-y)
3
+(y-z)
3
+ (z-x)
3
C©u 2:Cho A =

C©u 3:a, Cho x+y+z = 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa M = x
2
+ y
2
+ z
2
b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa P =
2
( 10)
x
x +
C©u 4:a, Cho a,b,c > 0, CMR: 1 <
a
a b+
+
b
b c+
+
c
c a+
< 2
b, Cho x,y
≠
0 CMR:
2
2
x
y
+
2

5
+1
C©u 2:a, Cho a+b+c = 0, TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc:
A =
2 2 2
1
b c a+ −
+
2 2 2
1
c a b+ −
+
2 2 2
1
a b c+ −
b, Cho biĨu thøc: M =
2
2 3
2 15
x
x x
−
+ −
+ Rót gän M
+ T×m x
∈
Z ®Ĩ M ®¹t gi¸ trÞ nguyªn.
C©u 3: a, Cho abc = 1 vµ a
3
> 36, CMR:

2
(c+a) + c
2
(a+b)
C©u 5:a, T×m x,y,x
∈
Z biÕt: x
2
+ 2y
2
+ z
2
- 2xy – 2y + 2z +2 = 0
b, T×m nghiƯm nguyªn cđa PT: 6x + 15y + 10z = 3
C©u 6: Cho
ABCV
. H lµ trùc t©m, ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i B, víi AC t¹i C c¾t nhau t¹i D.
a, CMR: Tø gi¸c BDCH lµ h×nh b×nh hµnh.
b, NhËn xÐt mèi quan hƯ gi÷a gãc
µ
A
vµ
µ
D
cđa tø gi¸c ABDC.
§Ị sè 5
C©u 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tư:
a, (x
2
– x +2)

+ z
2003
BiÕt x,y,z tho¶ m·n:
2 2 2
2 2 2
x y z
a b c
+ +
+ +
=
2
2
x
a
+
2
2
y
b
+
2
2
z
c
- 2 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
C©u 3: a, Cho a,b > 0, CMR:
1
a

0
C©u 4: a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt: E =
2 2
2 2
x xy y
x xy y
+ +
− +
víi x,y > 0
b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt: M =
2
( 1995)
x
x +
víi x > 0
C©u 5: a, T×m nghiƯm
∈
Z cđa PT: xy – 4x = 35 – 5y
b, T×m nghiƯm
∈
Z cđa PT: x
2
+ x + 6 = y
2
C©u 6: Cho
ABCV
M lµ mét ®iĨm
∈
miỊn trong cđa
ABCV

– x = 3, TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc.
M = x
4
- 2x
3
+ 3x
2
- 2x + 2
C©u 3:a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa M = x(x+1)(x+2)(x+3)
b, Cho x,y > 0 vµ x + y = 0, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa N =
1
x
+
1
y
C©u 4: a, Cho 0
≤
a, b, c
≤
1. CMR: a
2
+ b
2
+ c
2

≤
1+ a
2
b + b

+
2
y
y x z+ +
+
2
z
z x y+ +
=
3
4
C©u 6:Cho h×nh vu«ng ABCD, trªn CD lÊy M, nèi M víi A. KỴ ph©n gi¸c gãc
·
MAB
c¾t BC t¹i P, kỴ
ph©n gi¸c gãc
·
MAD
c¾t CD t¹i Q. CMR PQ
⊥
AM
®Ị sè 7
C©u 1:Cho a, b, c kh¸c nhau tho¶ m·n:
2 2 2
2
b c a
bc
+ −
+
2 2 2

Z
- 3 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
a, Ph©n tÝch M thµnh nh©n tư.
b, CMR: M
M
120
∀
a
∈
Z
C©u 4: Cho N
≥
1, n
∈
N
a, CMR: 1+ 2+ 3+ +n =
( 1)
2
n n +
b, CMR: 1
2
+2
2
+ 3
2
+ +n
2
=

+ b
2
+ c
2
≤
5
C©u 8: Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã chiỊu dµi BC gÊp 2 lÇn chiỊu réng CD, tõ C kỴ Cx t¹o víi CD mét
gãc 15
0
c¾t AD t¹i E. CMR:
BCEV
c©n.
®Ị sè 8
C©u 1: Cho A =
3 2
3 2
2 1
2 2 1
n n
n n n
+ −
+ + +
a, Rót gän A
b, NÕu n
∈
Z th× A lµ ph©n sè tèi gi¶n.
C©u 2: Cho x, y > 0 vµ x+y = 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa P = (1 -
2
1
x

+ 2
3
+3
3
+ +n
3
=
2 2
( 1)
4
n n+ +
C©u 6: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:
(x-1)(3x+2) > 3x(x+2) + 5
C©u 7:Chia tËp N thµnh c¸c nhãm: 1; (2,3); (4,5,6) , nhãm n gåm n sè h¹ng. TÝnh tỉng c¸c sè trong
nhãm 94.
C©u 8:Cho h×nh vu«ng ABCD. M, N lµ trung ®iĨm AB, BC, K lµ giao ®iĨm cđa CM vµ DN. CMR: AK
= BC
®Ị sè 9
C©u 1: Cho M =
a
b c+
+
b
a c+
+
c
a b+
; N =
2
a

2
– 2x -14 lµ sè chÝnh ph¬ng.
- 4 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
b, T×m c¸c sè
ab
sao cho
ab
a b−
lµ sè nguyªn tè
C©u 5: Cho a, b, c, d lµ c¸c s« nguyªn d¬ng
CMR: A =
a
a b c+ +
+
b
a b d+ +
+
c
b c d+ +
+
d
a c d+ +
kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn.
C©u 6:Cho
ABCV
c©n (AB=AC) trªn AB lÊy ®iĨm M, trªn phÇn kÐo dµi cđa AC vỊ phÝa C lÊy ®iĨm N
sao cho: BM = CN, vÏ h×nh b×nh hµnh BMNP. CMR: BC
⊥

c ac a+ +
Q =
3
2 2
b
a ab b+ +
+
3
2 2
c
b bc c+ +
+
3
2 2
a
c ac a+ +
a, CMR: P = Q
b, CMR: P
≥

3
a b c+ +
C©u 2:Cho a, b, c tho¶ m·n a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. CMR:
abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ca)

+
+
C©u 6:Cho x =
2 2 2
2
b c a
ab
+ −
; y =
2 2
2 2
( )
( )
a b c
b c a
− −
+ −
TÝnh gi¸ trÞ: M =
1
x y
xy
+
−
C©u 7: Gi¶i BPT:
1 x a x− < −
(x lµ Èn sè)
C©u 8:Cho
ABCV
, trªn BC lÊy M, N sao cho BM = MN = NC. Gäi D, E lµ trung ®iĨm cđa AC, AB, P
lµ giao cđa AM vµ BD. Gäi Q lµ giao cđa AN vµ CE. TÝnh PQ theo BC

Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
b, Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR cã Ýt nhÊt mét bÊt ®¼ng thøc sai trong c¸c bÊt ®¼ng thøc sau:
2a(1-b) > 1 8c(1-d) > 1
3b(1-c) > 2 32d(1-a) > 3
C©u 4: Gi¶i BPT: mx(x+1) > mx(x+m) + m
2
– 1
C©u 5: a, T×m nghiƯm nguyªn tè cđa PT: x
2
+ y
2
+ z
2
= xyz
b, T×m sè nguyªn tè p ®Ĩ 4p + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng.
C©u 6:T×m sè cã 2 ch÷ sè mµ sè Êy lµ béi sè cđa tÝch hai ch÷ sè cđa nã.
C©u 7:Cho h×nh thang ABCD (BC// AD). Gäi O lµ giao ®iĨm cđa hai ®êng chÐo AC, BD; Gäi E, F lµ
trung ®iĨm cđa AD, BC. CMR: E, O, F th¼ng hµng.
®Ị sè 12
C©u 1:T×m ®a thøc f(x) biÕt:
f(x) chia cho x+3 d 1
f(x) chia cho x-4 d 8
f(x) chia cho (x+3)(x-4) th¬ng lµ 3x vµ d
C©u 2:a, Ph©n tÝch thµnh nh©n tư: A = x
4
+ 2000x
2
+ 1999x + 2000
b, Cho:

2 2
2 2
x xy y
x y
+ +
+
(x≠0; y≠0)
C©u 6:a, T×m nghiƯm nguyªn cđa PT: 2x
2
+ 4x = 19 – 3y
2
b, CMR ph¬ng tr×nh sau kh«ng cã nghiƯm nguyªn: x
2
+ y
2
+ z
2
= 1999
C©u 7:Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn BD lÊy M, tõ M kỴ c¸c ®êng vu«ng gãc AB, AD t¹i E, F.
a, CMR: CF = DE; CF
⊥
DE
b, CMR: CM = EF; CM
⊥
EF
c, CMR: CM, BF, DE ®ång qui
®Ị sè 13
C©u 1:a, Rót gän: A = (1-
2
4

≥

2
a b c+ +
b, Cho ab
≥
1. CMR:
2
1
1a +
+
2
1
1b +

≥

2
1ab +
C©u 3: T×m x, y, z biÕt:
x+2y+3z = 56 vµ
1
1x −
=
2
2y −
=
3
3z −
C©u 4:a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa M =

2
2 2 3 2
1
) : ( ) :
x x y y x
y xy x xy x xy x y y
−
− +
+ + − +
a, T×m §KX§ cđa A
b, T×m x, y ®Ĩ A > 1 vµ y < 0.
C©u 2:
a, Gi¶i PT: x
4
+ 2x
3
– 2x
2
+ 2x - 3 = 0
b, Gi¶i BPT: 3 – mx < 2(x-m) – (m+1)
2
C©u 3: Cho a, b, c > 0. CMR:
3
2
a b c
b c a c a b
+ + ≥
+ + +
C©u 4:CM: A = n
6

= 0. TÝnh gi¸ trÞ M =
6 6 6
3 3 3
x y z
x y z
+ +
+ +
C©u 2: Cho a ≠ 0 ;
±
1 vµ
1 2
1 2 3
1 2
1 11
; ;
2 1 1
x xa
x x x
a x x
− −−
= = =
+ + +
T×m a nÕu x
1997
= 3
C©u 3:T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm ©m :
( 2) 3( 1)
1
1
m x m

. §êng th¼ng
qua D vµ vu«ng gãc víi AD c¾t AC t¹i E. So s¸nh S
ADMV
vµ S
CEMV
§Ị sè 16
C©u 1:Cho (a
2
+ b
2
+ c
2
)( x
2
+ y
2
+ z
2
) = (ax + by + cz)
2
. CMR:
x y z
a b c
= =
víi abc ≠ 0
- 7 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
C©u 2: Cho abc ≠ 0 vµ
2 2 4 4

+ 6x
2
– 18x = 2001 kh«ng cã nghiƯm nguyªn.
b, T×m 4 sè nguyªn d¬ng sao cho tỉng cđa chóng b»ng tÝch cđa chóng
C©u 6: Cho n
∈
N vµ n >1
CMR: 1 +
2 2 2
1 1 1
2
2 3 n
+ + + <
C©u 7:Cho
ABCV
vỊ phÝa ngoµi
ABCV
vÏ tam gi¸c vu«ng c©n ABE vµ CAF t¹i ®Ønh A.
CMR: Trung tun AI cđa
ABCV
vu«ng gãc víi EF vµ AI =
1
2
EF
C©u 8: CMR:
21 4
14 3
n
n
+

2
+ y
2
C©u 4:a, Cho a, b, c > 0 vµ a+b+c
≤
1
CMR:
2 2 2
1 1 1
9
2 2 2a bc b ac c ab
+ + ≥
+ + +
b, Cho a, b, c tho¶ m·n a+b+c = 2; ab+bc+ca = 1.
CMR: 0
≤
a, b, c
≤

4
3
C©u 5: TÝnh tỉng S = 1+2x+3x
2
+4x
3
+ + nx
n-1
(x≠1)
C©u 6: T×m nghiƯm nguyªn cđa PT:
xy xz yz

bc a b c b c a
+ − + − + −
=
+ + + −
TÝnh gi¸ trÞ P = (x+y+xy+1)
3
C©u 3:Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR cã Ýt nhÊt mét bÊt ®¼ng thøc sai trong c¸c bÊt ®¼ng thøc sau:
2a(1-b) > 1 8c(1-d) > 1
3b(1-c) > 2 32d(1-a) > 3
C©u 4:Cho P = 5x+y+1; Q = 3x-y+4
CMR: NÕu x = m; y = n Víi m, n
∈
N th× P.Q lµ sè ch½n.
C©u 5:a, CMR PT: 2x
2
– 4y
2
= 10 kh«ng cã nghiƯm nguyªn.
b, T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt n > 1 sao cho:
A = 1
2
+ 2
2

+ +n
2
lµ mét sè chÝnh ph¬ng.
C©u 6:Cho
ABCV
vu«ng c©n ë A, qua A vÏ ®êng th¼ng d sao cho B, C thc cïng nưa mỈt ph¼ng cã

1
2 2 2
bc ca ab
a bc b ac c ab
+ + =
+ + +
C©u 2: a, Cho a, b, c > 0
CMR:
2 2 2 2 2 2
1 1 1a b b c a c
a b b c a c a b c
+ + +
+ + ≤ + +
+ + +
b, Cho 0
≤
a, b, c
≤
1. CMR: a+b+c+
1
abc

≥
1 1 1
a b c
+ +
+ abc
C©u 3: a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt:
A =
1 2 5 3 8x x x+ + + + −

cđa BC, N lµ trung ®iĨm cđa DE. CMR: MN // ®êng ph©n gi¸c trong cđa gãc
µ
A
cđa
ABCV
C©u 6: T×m c¸c sè nguyªn d¬ng n vµ sè nguyªn tè P sao cho
P =
( 1)
1
2
n n +
−
- 9 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
®Ị sè 20
C©u 1:a, Cho a+b+c = 1; a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 vµ
x y z
a b c
= =
; abc ≠ 0
CMR: xy + yz + xz = 0
b, Cho x, y, z > 0 vµ 2x
2

a b c d
b c d a c d a b d a b c
+ + +
+ + + + + + + +
C©u 5: T×m c¸c sè chÝnh ph¬ng sao cho chia nã cho 39 ®ỵc th¬ng sè nguyªn tè vµ d 1
C©u 6:Cho tø gi¸c ABCD, ®êng th¼ng AB vµ CD c¾t nhau t¹i E. Gäi F, G lµ trung ®iĨm cđa AC, BD.
a, CMR: S
EFGV
=
1
4
ABCD
S
b, Gäi M lµ giao ®iĨm cđa AD, BC. Chøng minh FG ®i qua trung ®iĨm ME.
§Ị sè 21
C©u 1: Cho a, b, c tho¶ m·n a+b+c = abc
CMR: a(b
2
-1)( c
2
-1) + b(a
2
-1)( c
2
-1) + c(a
2
-1)( b
2
-1) = 4abc
C©u 2: Cho n lµ sè nguyªn tè

+y
2
+xy = 4
C©u 6: T×m c¸c sè a, b, c tho¶ m·n ®ång thêi c¸c B§T:
a b c< −
;
b a c< −
;
c a b< −
C©u 7:Cho h×nh thang ABCD (AD//BC), AD > BC. C¸c ®êng chÐo AC vµ BD vu«ng gãc víi nhau t¹i I.
Trªn AD lÊy ®iĨm M sao cho AM cã ®é dµi b»ng ®é dµi trung b×nh cđa h×nh thang ABCD.
CMR:
MACV
c©n t¹i M
®Ị sè 22
C©u 1:Cho x
3
+ x = 1.
TÝnh A =
4 3 2
5 2
2 3 5
2
x x x x
x x x
− + − +
− − +
C©u 2:Gi¶i BPT:
2 2
1 4 3x x− + − =

0
. CMR:
MCAV
®Ịu
§Ị sè 23
C©u 1: a, Cho a
2
+ b
2
+ c
2
=
ab bc ca+ +
. CMR: a = b = c
b, Cho (a
2
+ b
2
)( x
2
+ y
2
) = (ax+by)
2
. CMR:
a b
x y
=
víi x, y ≠ 0
c, Rót gän:

-1 thi d x+5.
c, NÕu n lµ tỉng 2 sè chÝnh ph¬ng th× n
2
còng lµ tỉng 2 sè chÝnh ph¬ng.
C©u 3:a, Cho A = 11 1 (n ch÷ sè 1), b = 100 05 (n-1 ch÷ sè 0). CMR: ab + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng.
b, T×m nghiƯm tù nhiªn cđa PT: x+y+1 = xyz
C©u 4: a, Cho x, y
∈
N T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa A =
8 ( )
x y
x y x y
+
+ − +
b, Cho x, y, z > 0 x+y+z = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt B =
x y
xyz
+
C©u 5: a, MCR:
7 1 1 1 1 1 5
1
12 2 3 4 99 100 6
< − + − + + − <
b, MCR:
1 1 1 1
1 ( ; 0)
2 3 4 2 1 2
n
n
n N n+ + − + + > ∈ >

− −
− + − −
TÝnh gi¸ trÞ M biÕt: x
2
+9y
2
-4xy = 2xy-
3x −
C©u 2:a, Cho a+b = ab. TÝnh (a
3
+b
3
-a
3
b
3
)
3
+ 27a
6
b
6
.
b, Cho a, b tho¶ m·n:
2
2
a b
a b a b
+ =
+ −

9

≤
0; bc
5
(c-b)
9
(a-c)
13
≤
0; c
9
a
7
(b-c)
5
(b-a)
3
≤
0
C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = (x+5)
4
+ (x+1)
4
C©u 6:Cho
ABCV
cã 3 gãc nhän, ®êng cao AH, BK, CL c¾t nhau t¹i I. Gäi D,E,F lµ trung ®iĨm cđa
BC, CA, AB, Gäi P, Q, R lµ trung ®iĨm cđa IA, IB, IC.
a, CM: PQRE, PEDQ lµ h×nh ch÷ nhËt.
b, CM: PD, QE, RF c¾t nhau t¹i trung ®iĨm cđa mçi ®o¹n th¼ng.

C©u 4:Cho 2 ®êng th¼ng ox vµ oy vu«ng gãc víi nhau vµ c¾t nhau t¹i O, Trªn ox lÊy vỊ hai phÝa cđa O
hai ®o¹n th¼ng OA = 4cm; OB = 2cm. Gäi M lµ mét ®iĨm n»m trªn ®êng trung trùc cđa ®o¹n AB. MA,
MB c¾t nhau víi oy ë C vµ D. Gäi E lµ trung ®iĨm cđa AC, F lµ trung ®iĨm cđa BD.
a, CMR: MF + ME =
1
2
(AC+BD)
b, §êng th¼ng CF c¾t ox t¹i P. Chøng minh P lµ mét ®iĨm cè ®Þnh khi M di chun trªn ®êng
trung trùc cđa AB.
C©u 5:T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa ph©n sè mµ tư sè lµ mét sè cã 3 ch÷ sè, MÉu sè lµ tỉng c¸c ch÷ sè cđa
tư sè.
®Ị sè 26
C©u 1:Cho x, y > 0 sao cho: 9y(y-x) = 4x
2
. TÝnh:
x y
x y
−
+
C©u 2: Cho a, b, c tho¶ m·n: abc = 1 vµ
2 2 2
2 2 2
a b c a c b
b c a c b a
+ + = + +
CMR: Cã Ýt nhÊt 1 ph©n sè lµ b×nh ph¬ng cđa mét trong 2 sè cßn l¹i.
C©u 3:T×m c¸c nghiƯm nguyªn tho¶ m·n 2 BPT: 16 + 5x > 3+ 11 vµ
7 3
6
4 2 2

a b c
c a b
− − −
+ + ≥ − +
C©u 6:Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD, LÊy P thc BD, trªn tia CP lÊy M sao cho
PM = CP, KỴ ME ⊥ AD; MF ⊥ AB
a, CMR: AM // BD; EF // AC
b, CMR: E,F,P th¼ng hµng.
C©u 7: Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh lµ 1, trªn AB, AD lÊy M,N sao cho
·
MCN
= 45
0
. TÝnh chu vi
AMNV
®Ị sè 27
C©u 1:Cho M = x
3
+x
2
-9x-9; N = (x-2)
2
– (x-4)
2
a, Rót gän A =
M
N
b, CMR: NÕu x ch½n
⇒
A tèi gi¶n.

a, CMR:
ODEV
®ång d¹ng víi
HABV
b, Gäi G lµ träng t©m cđa
ABCV
CMR: O, G, H th¼ng hµng.
§Ị sè 28
C©u 1: Rót gän: A =
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
x y z
x z z x x y
+ +
− + − + −
, víi x+y+z = 0
C©u 2:a, CMR: M =
7 2
8
1
1
n n
n n
+ +
+ +
kh«ng tèi gi¶n
n Z
+
∀ ∈

4
+b
4
+c
4

≥
abc(a+b+c).
b, CMR: NÕu a, b, c lµ sè ®o 3 c¹nh cđa 1 tam gi¸c th×:
a
2
+b
2
+c
2
< 2(ab+ac+bc).
C©u 5:Cho x, y tho¶ m·n: x
2
+y
2
= 4+xy.
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa A = x
2
+y
2
C©u 6:Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh lµ 1. Trªn AB, AD lÊy P, Q sao cho
APQV
c©n cã chu vi lµ 2.
a, CMR: PQ + QD = PQ
b, CMR:

a, CMR: A =
a b c d
a b c a b d b c d a c d
+ + +
+ + + + + + + +
kh«ng lµ sè nguyªn.
b, T×m 5 sè tù nhiªn liªn tiÕp sao cho lËp ph¬ng cđa sè nµy b»ng tỉng c¸c lËp ph¬ng cđa 4 sè cßn
l¹i.
C©u 4: Cho x, y, z tho¶ m·n. xyz = 1;
1 1 1
x y z
x y z
+ + < + +
CMR: Cã 1 trong 3 sè x, y, z lµ lín h¬n 1.
C©u 5:Cho
ABCV
, ®êng th¼ng d c¾t AB, AC, trung tun AM t¹i E, F, N.
a, CMR:
2AB AC AM
AE AF MN
+ =
b, Gi¶ sư d // BC. Trªn tia ®èi cđa tia FB lÊy K, KN c¾t AB t¹i P, KM c¾t AC t¹i Q. CMR: PQ //
BC.
C©u 6:Cho h×nh thang cã ®é dµi hai ®êng chÐo lµ 3,5. §é dµi ®o¹n th¼ng nèi trung ®iĨm 2 ®¸y lµ 2.
T×m diƯn tÝch h×nh thang?
§Ị sè 30
C©u 1:CMR:
; 1n N n∀ ∈ ≥
2 2
1 1 1 1 9

210 víi mäi x
∈
N
C©u 4: Cho:
0 , , 1a b c≤ ≤
. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa: P = a+b+c-ab-bc-ca
C©u 5:Cho
ABCV
vu«ng t¹i B, trªn tia ®èi tia BA lÊy D sao cho: AD = 3AB. §êng th¼ng vu«ng gãc
víi CD t¹i D c¾t ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AC t¹i E. CMR:
BDEV
c©n
®Ị sè 31
C©u 1:Cho a+b+c = 0
CMR:
( )( ) 9
a b b c c a c a b
c a b a b b c c a
− − −
+ + + + =
− − −
C©u 2:T×m x, y, z biÕt:
2 2 2
x y z+ +
≤
xy+3y+2z -4
C©u 3:Cho a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cđa 1 tam gi¸c.
CMR:
1
a b b c c a

b, CMR: Sè a = 11 1 + 44 4 + 1 lµ b×nh ph¬ng cđa mét sè tù nhiªn.
(Trong ®ã cã 2k ch÷ sè 1 vµ k ch÷ sè 4).
C©u 2:a, T×m sè d cđa phÐp chia: x
2002
+x+1 chia cho x
2
-1
b, T×m sè nguyªn d¬ng x, y sao cho :
3(x
3
-y
3
) = 2001.
C©u 3: a, Cho a, b, c > o.
CMR:
1 1 1 9
2( )a b b c c a a b c
+ + ≥
+ + + + +
b, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt:
y = x
3
-6x
2
+21x+18 Víi
1
1
2
x− ≤ ≤
.

2
– zx = b
z
2
– xy = c
Th× ax+by+cz chia hÕt cho a+b+c
C©u 3:a, Cho n
∈
N, CMR: A = 10
n
+ 18n – 1 chia hÕt cho 27.
b, CMR: n
5
m – nm
5
chia hÕt cho 30 víi mäi m,n
∈
Z.
C©u 4: a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cđa M =
2
4 3
1
x
x
+
+
b, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa: N =
2
2 2
8 6x xy

®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
®Ị sè 34
C©u 1:Ph©n tÝch sè 1328 thµnh tỉng cđa 2 sè nguyªn x, y sao cho:
x chia hÕt cho 23, y chia hÕt cho 29. TÝnh x, y khi x-y = 52.
C©u 2:Cho f(x) =
5 3
2
30 6 15
x x x
− +
a, Ph©n tÝch f(x) thµnh tÝch.
b, Chøng tá f(x) nhËn gi¸ trÞ nguyªn kh¸c 17 víi mäi x
∈
Z.
C©u 3:Cã bao nhiªu sè
abc
víi
1 6;1 6;1 6a b c≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
tho¶ m·n abc lµ sè ch½n.
C©u 4:Cho
ABCV
, trung tun AM. Gäi E, F lµ c¸c ®iĨm lÇn lỵt thc AB, AC sao cho ME = MF.
CMR:
ABCV
lµ tam gi¸c c©n t¹i ®Ønh A trong c¸c trêng hỵp:
a, ME, MF lµ ph©n gi¸c trong cđa
;AMB AMCV V
b, ME, MF lµ trung tun cđa
;AMB AMCV V
®Ị sè 35

+x+1) = 4y(y+1)
C©u 5: Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh lµ a. LÊy M
∈
AC, kỴ ME
⊥
AB, MF
⊥
BC. T×m vÞ trÝ cđa M ®Ĩ
DEF
S
nhá nhÊt.
C©u 6:Cho
ABCV
cã
µ
A
= 50
0
;
µ
B
= 20
0
. Trªn ph©n gi¸c BE cđa
·
ABC
lÊy F sao cho
·
FAB
= 20

x
= 7. CMR: x
5
+
5
1
x
lµ sè nguyªn.
C©u 2:Cho a, b, c > 0. CMR:
3 3 3
a b c
ab bc ca
b c a
+ + ≥ + +
C©u 3:Cho a, b, c > 0 vµ a+b+c = 1.
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A =
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )a b c
a b c
+ + + + +
C©u 4:X¸c ®Þnh a, b sao cho f(x) = ax
4
+bx
3
+1 chia hÕt cho g(x) = (x-1)
2
.
C©u 5:T×m nghiƯm nguyªn cđa PT:
1 1 1

3 ( ) 3 2
a c d d
b d c c
− +
≤ ≤
− +
C©u 4: Cho tø gi¸c låi ABCD. CMR: AD.BC + DC.AB
≥
AC.BD
C©u 5:Cho
ABCV
, O lµ ®iĨm n»m trong tam gi¸c ABC, ®êng th¼ng AO, BO, CO c¾t c¸c c¹nh cđa
ABCV
t¹i A
1
, B
1
, C
1
. T×m vÞ trÝ cđa O ®Ĩ: P =
1 1 1
OA OB OC
OA OB OC
+ +
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
- 17 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
§Ị sè 38
C©u 1:a, Gi¶i PT:

( 2) ( 4)
x x x
x x
+ − −
− − −
b, CMR: NÕu a
2
-bc = x; b
2
-ac = y; c
2
-ab = z;
Th× ax + by + cz chia hÕt cho x+y+z
C©u 4:Cho gãc vu«ng xEy quay quanh ®Ønh E c¶u h×nh vu«ng EFGH. Ex c¾t FG, GH t¹i M, N; Ey c¾t
FG, GH t¹i P, Q
a, CMR:
,NEP MMQV V
vu«ng c©n
b, Gäi R lµ giao cđa PN, QM. Gäi I, K lµ trung ®iĨm cđa NP. QM. Tø gi¸c EKRI lµ h×nh g×?
c, CMR: F, H, K, I th¼ng hµng.
C©u 5:Cho
ABCV
cã diƯn tÝch lµ S. Trªn AB lÊy BB
1
= AB. Trªn BC lÊy CC
1
= BC, trªn AC lÊy AA
1
=
AC.

3
+ 2n
2
+ 2n + 1 kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng
C©u 2:T×m nghiƯm nguyªn cđa PT:
x
7
– x
5
+x
4
– x
3
– x
2
+ x = 1992.
C©u 3:Cho x, y, z, t > 0 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa:
A =
x y z t y z t x z t x y t x y z
y z t x z t x y t x y z x y z t
+ + + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + + + + + +
C©u 4:a, Cho a, b, c ®«i mét kh¸c nhau. CMR: Trong c¸c B§T sau cã Ýt nhÊt mét B§T lµ sai.
(a+b+c)
2

≤
9ab; (a+b+c)
2

uuuuuuux
(n ch÷ sè)
C©u 2:CMR: S = 1+2+3+ +n (n
∈
N) cã tËn cïng lµ 0, 1, 3, 5, 6 hc 8.
- 18 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
C©u 3: a, CMR: 1
2
+ 2
2
+ + n
2
=
( 1)(2 1)
6
n n n+ +
b, CMR: Víi n
∈
N th×:
( 1)(2 1)
6
n n n+ +
lµ sè nguyªn.
C©u 4:CMR: NÕu n
∈
Z th×:
5 3
7

( )( ) 0
a b b c c a c a b
c a b a b b c c a
− − −
+ + + + =
− − −
b, CMR víi mäi x, y
∈
Z
A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y
4
lµ sè chÝnh ph¬ng.
C©u 2:T×m sè nguyªn x, y, z tho¶ m·n:
x
2
+ y
2
+ z
2
< xy + 3y -3
C©u 3: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt: y =
2
4 3
1
x
x
+
+
C©u 4: T×m x, y
∈

1 1 1
x y z
x y z
+ + < + +
CMR: Cã ®óng 1 trong 3 sè lín h¬n 1.
C©u 2:T×m gi¸ trÞ nguyªn x, y tho¶ m·n ®ång thêi:
x+y
≥
25
y
≤
2x+18
y
≥
x
2
+4x
C©u 3:Gi¶i PT:
2 3
3 4 1x x− + − =
C©u 4:Cho 3 sè a, b, c tho¶ m·n: a
4
+b
4
+c
4
< 2(a
2
b
2

CMR:
2 2 2
0
( ) ( ) ( )
a b c
b c c a a b
+ + =
− − −
C©u 2:Cho a, b, c
≠
0 vµ
0
x y z
a b c x y z
a b c
+ + = + + = + + =
. CMR: xa
2
+ yb
2
+ zc
2
= 0.
C©u 3: Gi¶i PT:
a, (x-4)(x-5)(x-6)(x-7) = 1680.
b,
2
2
2
2 7

a, CMR: CA.DB cã gi¸ trÞ kh«ng ®ỉi (theo a).
b,
2
2
CA OA
DB OB
=
c, X¸c ®Þnh vÞ trÝ A, B sao cho DB = 4CA.
d, Cho
2
8
3
AOB
a
S =
V
. TÝnh CA + DB theo a.
§Ị sè 44
C©u 1:Cho a > b > 0. So s¸nh A, B:
A =
2 1 2 1
2 2
1 1
;
1 1
n n
n n
a a a b b b
B
a a a b b b

x y z x y z
a b c a b c
+ +
= + +
+ +
C©u 3:a, Cho a, y, z
0
≥
CMR: a(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y)
0
≥
b, Cho a, b, c tho¶ m·n a+b+c > 0; ab+bc+ca > 0; vµ abc > 0.
- 20 -
Đề thi Học sinh giỏi toán 8 -Phạm Quốc
Tùng Dương
CMR: C¶ 3 sè ®Ịu d¬ng.
C©u 4:T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = x
100
– 10x
10
+10.
C©u 5:Víi gi¸ trÞ nµo cđa A th× PT:
2 1 3x a x− + = +
cã nghiƯm duy nhÊt.
C©u 6:Cho
ABCV
®êng th¼ng d//BC c¾t AB, AC t¹i D, E.
a, CMR: Víi mäi ®iĨm F trªn BC lu«n cã
DEF
S

+ + +
+ + + + + + + + + + + +
C©u 2: Cho a, b > 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: P =
2 2
2 2
ab a b
a b ab
+
+
+
C©u 3:a, Cho a, b
∈
Q vµ a, b kh«ng ®ång thêi b»ng kh«ng. CMR:
2 2 2
2 2 2
1
1 1 1
a b c
a b c
+ + >
+ + +
b, Cho a, b, c tháa m·n: a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. CMR:
1
1

0
≠
; a
3
+b
3
+c
3
= 3abc
TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc: P =
(1 )(1 )(1 )
a b c
b c a
+ + +
C©u 2:a, T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa M =
2
2
3 6 10
2 3
x x
x x
+ +
+ +
b, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = x
2
+ 26y
2
- 10xy + 14x - 76y + 59.
C©u 3:Cho a+b+c+d = 1
CMR: (a+c)(b+d) + 2ac +2bd

x
2
– (x+y)
2
= -(x+y)
2
C©u 5:X¸c ®Þnh a, b, c ®Ĩ: f(x) = x
4
+ax
2
+bx+c chia hÕt cho g(x) = (x-3)
3.
C©u 6:Cho O lµ trùc t©m cđa
ABCV
(cã 3 gãc nhän). Trªn OB, OC lÊy B
1
, C
1
sao cho:
·
1
AB C
=
·
0
1
90AC B =
. CMR: AB
1 =
AC

) + z
3
(y-x
2
) + xyz(xyz-1)
C©u 2: T×m x ®Ĩ: P =
4 3 2
2
4 16 56 80 356
2 5
x x x x
x x
+ + + +
+ +
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
C©u 3: CMR:
2 2
1 1 1 1
1
1 1n n n n
+ + + + >
+ −
víi n
N∈
; n > 0.
C©u 4: T×m nghiƯm nguyªn d¬ng cđa PT:
2(x+y+z) + y = 3xyz.
C©u 5:Cho
ABCV
, trung tun AD. Gäi G lµ träng t©m

CMR: a
3
-3ab+2c = 0.
b, X¸c ®Þnh a, b, c, d ®Ĩ ®¼ng thøc sau ®óng víi mäi x.
3
4 2
2
1 1 1 1
x x a b cx d
x x x x
+ +
= + +
− + − +
C©u 2: Cho a, b, c
0≠
. Gi¶i PT:
1 1 1
2( )
x a x b x c
bc ac ab a b c
− − −
+ + = + +
C©u 3:a, Cho a, b, c lµ ®é dµi c¸c c¹nh cđa 1 tam gi¸c.
CMR:
2
a b c
b c c a a b
+ + <
+ + +
b, Cho a, b, c lµ sè tù nhiªn kh«ng nhá h¬n 1.

TÝnh
ABCD
S
c, T×m ®iĨm K trªn BD sao cho ®êng th¼ng qua K vµ song song AB bÞ hai c¹nh bªn vµ 2 ®êng
chÐo chia thµnh 3 ®o¹n b»ng nhau.
- 23 -