Phần thứ nhất
Lý thuyết và các phơng pháp tính tấm
Chơng 1
Lý thuyết tính tấm chịu uốn
Tấm là vật thể hình khối có chiều cao h (chiều dày) rất nhỏ so với hai kích thớc
còn lại h<<a,b, hình 1-1.
Mặt phẳng trung bình là mặt phẳng cách đều mặt trên và mặt dới của tấm.

Hình 1-1. Hình dạng và kích thớc tấm
Tấm chịu uốn đợc phân loại thành tấm mỏngvà tấm dầy.
Tấm đợc gọi là tấm mỏng khi [12,17]:

10
1
l
h

min
và
10
1
5
1
h
w
ữ
max
(w
max
là chuyển vị pháp lớn nhất).
Tấm đợc gọi là tấm dày khi:


.
Từ các giả thiết của Kirchhoff, chuyển vị
),,(),,(
;
zyxzyx
u v
, biến dạng, ứng
suất, nội lực đợc xác định qua chuyển vị
( )
yx
w
,
và bài toán 03 chiều trở thành bài
toán 02 chiều.
1.1.2. Các phơng trình cơ bản
Nói chung, bài toán cơ học đợc giải trên cơ sở 3 nhóm phơng trình cơ bản: hình
học, vật lý, cân bằng kết hợp với các điều kiện biên.
- Nhóm phơng trình hình học biểu thị quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị.
- Nhóm phơng trình vật lý biểu thị quan hệ giữa biến dạng và ứng suất.
- Nhóm phơng trình cân bằng biểu thị điều kiện cân bằng (tĩnh, động) của phân tố
hoặc toàn hệ.
1. Phơng trình hình học
Xét tấm mỏng có chiều dày h=const, vật liệu đàn hồi tuyến tính. Tách từ tấm một
phân tố VCB có các cạnh dx, dy, hình 1-2.

Hình 1-2. Biến dạng của phân tố tấm
Theo lý thuyết đàn hồi và giả thiết 3:
0
z

zu
yx
zyx


=
),(
),,(
.
(1.2)
y
w
zv
yx
zyx


=
),(
),,(
.
(1.3)

Hình 1-3. Xác định chuyển vị ngang qua chuyển vị pháp tuyến
Các thành phần biến dạng của tấm đợc xác định theo công thức:
2
(x,y,z ) (x,y)
x x
2
u w

,
y
k
,
xy
k
là độ cong uốn và độ cong xoắn.
2
yx
2
x
x
w
k


=
),(
;
2
yx
2
y
y
w
k


=
),(



=+

=
2
2
2
2
22
1
.
1 y
w
x
wzEE
yxx
à
à
à
à

(1.8)
( )







2
1
xy yx xy
Ez w
G
x y

à

= = =
+
(1.10)
trong đó:
E
- mô đun đàn hồi của vật liệu;
3
à
- hệ số Poisson;
G
- mô đun trợt của vật liệu.
( )
à
+
=
12
E
G
(1.11)

Hình 1-4 và 1-5 Các thành phần ứng suất và mô men


+


==
2/
2/
2
2
2
2
.
h
h
pxx
y
w
x
w
DdzzM
à
(1.12)









===
2/
2/
2
1.
h
h
pxyyxxy
yx
w
DdzzMM
à
(1.14)
trong đó:
p
D
- độ cứng trụ.
( )
2
3
112
.
à

=
hE
D
p
(1.15)
với:












=














=
2
1
00


,
zy

do biến dạng uốn gây ra đợc xác định từ điều kiện cân bằng.
Các thành phần nội lực của tấm đợc biểu diễn trên hình 1.6.

Hình 1-6. Các thành phần nội lực của tấm
3. Phơng trình cân bằng
Xét cân bằng của một phân tố tấm dới tác dụng của các thành phần nội lực và
ngoại lực phân bố
),( yx
q
, hình 1-6.
Chiếu các lực lên trục OZ và giản ớc cho
dxdy
:
0q
y
Q
x
Q
yx
y
x
=+


+


xyy
=+






(1.22)
Từ (1.21
ữ
22) và kết hợp với mô men uốn và mô en xoắn biểu diễn qua hàm mặt
võng
( )
,x y
w
theo (1.12
ữ
14), lực cắt
x
Q
,
y
Q
đợc xác định bằng công thức:
( )
2
,
x p
x y


=
(1.25)
Thay (1.23), (1.24) vào (1.20) và chú ý đến (1.12
ữ
14), phơng trình cân bằng của
tấm có dạng:
( )
4 4 4
,
4 2 2 4
2
x y
p
q
w w w
x x y x D

+ + =

(1.26)
Phơng trình này gọi là phơng trình Sophi-Giecman.
1.2. tính tấm chịu uốn theo lý thuyết Reissner-mindlin
1.2.1 Góc xoay có kể đến biến dạng trợt
Khi tính tấm chịu uốn theo lý thuyết Kirchhoff đã bỏ qua biến dạng cắt (
0
zyzx
==

) và các thành phần biến dạng, ứng suất, nội lực đợc xác định qua



= +

(1.27)
x y
w
y


= +

(1.28)
6

Hình 1-6 Góc xoay pháp tuyến
1- Đờng thẳng đứng; 2. Vị trí pháp tuyến của đờng thẳng đứng
3. Vị trí nghiêng của đờng thẳng đứng
4. Tiếp tuyến với mặt trung bình; 5. Mặt trung bình
Từ (1.27
ữ
1.28), góc xoay của câc pháp tuyến:
x y
w
x


= +

(1.29)
à


=


+


(1.31)
Lực cắt
x
Q
,
y
Q
đợc xác định bằng công thức:


=
2h
2h
xzx
dzQ
/
/

;

+


(1.33)
hay
{ }
[ ]
{ }
s
Q C

=
(1.34)
trong đó:
{ }
{ }
T
yx
QQQ =
(1.35)
7
{ }
{ }
T
x y

=
(1.36)
[ ]
( )

M
, mô men xoắn
xy
M
đợc xác định theo lý
thuyết Kirchhoff và lực cắt
x
Q
,
y
Q
do biến dạng trợt xác định theo (1.34) dới
dạng tổ hợp:
( )
( )
( )
3
2
1 0 0 0
1 0 0 0
12 1
0 0 1 / 2 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
2 1
x x
y y
xy xy
x x
y y



=











+



(1.38)
hay
{ }


(1.39)
trong đó
,
x y

xác định theo (1.29
ữ
30) và
xyyx
kkk ,,
xác định theo công thức:
x
k
y
x


=

;
y
k
x
y


=

;

T
yxxyyx
p
QQMMM=

(1.42)
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
5x5
s
f
p
C0
0C
C






=
(1.43)
{ }
{ }
T
x y xy x y
p









+


+










=






(1.45)

w
y
w
x
w
DM
2
2
2
2
2
2
px
=


=










+



=
y
w
x
w
y
w
DM
py
à
(1.47.2)
1.3.3. Biên tự do
Điều kiện biên tự do, ví dụ tại y=b, hình 1.7, mô men uốn
y
M
, mô men xoắn
xy
M
, lực cắt
y
Q
bằng không:
( ) ( ) ( )
0QMM
by
y
by
xy
by
y

dới dạng các lực tập trung ngợc chiều nhau. Giá trị của các lực tập trung tại đầu
các đoạn ab và bc là
xy1
MT =
và
dx
x
M
MT
xy
xy2


+=
. Chiếu các lực tập trung
tại điểm b lên phơng OZ:
dx
x
M
TTQ
xy
12y


==

, vì
y
Q




=
y
w
x
w
M
x
à
;
( )
02
2
3
3
3
=


+


=
yx
w
x
w
Q
x

3
3
3
=


+


=
xy
w
y
w
Q
y
à
(1.48.2)
1.3.4. Biên tựa đàn hồi
Ví dụ dầm đóng vai trò là biên tựa đàn hồi. Xét điều kiện biên tại x=a, hình 1.8,
điều kiện biên tơng thích giữa dầm và tấm có dạng:
1. Điều kiện biên thứ nhất
Độ võng của dầm bằng độ võng của tấm. Độ võng của dầm gây ra do tải trọng
phân bố là lực cắt tơng đơng
x
Q
của tấm.
10

Hình 1.8 Biên tựa đàn hồi

3
3
4
4
2
à
(1.49.1)
2. Điều kiện biên thứ hai
Mô men xoắn của dầm bằng mô men uốn
x
M
của tấm.
ax
p
ax
p
y
w
x
w
D
yx
w
y
GJ
==





0
2
2
2
2
=










+


=
=ax
px
y
w
x
w
DM
à
(1.49.3)
1.4. Thế năng toàn phần của tấm chịu uốn

- năng lợng do biến dạng cắt.
Năng lợng
s
U
do biến dạng cắt đợc xác định bằng công thức:
( )
( )
2
2
1
. .
2
s x y
S
U G S dxdy


= +
(1.52)
thay
x

và
y

theo (1.29
ữ

ữ
ữ




(1.53)
Thay
G
theo (1.11) vào (1.52):
( )
( )
2
2
3
2
2
6 1
24 1
s y x
S
Eh w w
U dxdy
h x y

2
24 1
y y y
x x x
b
S
Eh
U dxdy
x x y y y x

à

à
à







= + + + +

ữ ữ ữ
ữ ữ








(1.56.2)
12