Chương I. SỐ THỰC VÀ HÀM SỐ
§ 1. TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ
1. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
1.1. Khái niệm tập hợp
Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa. Người ta
thường mô tả tập hợp. Chẳng hạn, tập hợp các học sinh trong một lớp học, tập hợp
các số tự nhiên, tập hợp nghiệm của phương trình
2
4 3 0x x− + =
,…
Một vật (hoặc đối tượng) nào đó nằm trong tập hợp được gọi là một phần tử
của tập hợp. Ta ký hiệu
x X∈
nếu
x
là phần tử của tập hợp
X
;
x X∉
nếu
x

không phải là phần tử của tập hợp
X
.
Một tập hợp được coi là đã cho nếu ta có thể xác định được một đối tượng
thuộc hay không thuộc tập hợp.
Ví dụ 1. Cho tập hợp
{ }
1, 2, 3X =
thì

và
{ }
2, 4, 6, , 2 , B n=
thì
B A⊂
. Hiển
nhiên
A A⊆
với mọi tập hợp
A
.
Định nghĩa 2.
A B
A B
B A
⊆

= ⇔

⊆

Nếu
A
không bằng
B
ta viết là
A B≠
Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập hợp rỗng, ký hiệu là Ø. Tập hợp
rỗng là tập hợp con của mọi phần tử. Chẳng hạn tập nghiệm thực của phương trình
2

A A A
. Tập hợp
{ }
1
: ,
n
k k
k
A x x A k
=
∩ = ∈ ∀
gọi là giao của các tập hợp đã cho.
1
Nếu giao của các tập hợp bằng rỗng ta nói các tập hợp đó rời nhau. Hiển
nhiên
A A A
∩ =
.
Ví dụ 1. Nếu
{ }
0,2,4, ,2 , A n=
và
{ }
1,3,5, ,2 1, B n= −
thì
{ }
0,1,2, , , ;A B n A B Ø∪ = = ∩ =¥
Định lý 1. Với các tập hợp
,A B
và

thì ta gọi hiệu
A B
−
là phần bù của tập hợp
B
đối với tập hợp
A
và ký hiệu là
A
C B
.
Ví dụ 2.
{ }
1,2,3,4,5A =
và
{ }
1,5,6,7B =
{ }
1,2,3A B− =
,
{ }
6,7B A− =
Ví dụ 3.
{ } { }
1,2,3, , , ; 2,4,6, ,2 , A n B n= =
{ }
1,3,5, ,2 1,
A
A B C B n− = = −
1.2.3. Công thức đối ngẫu De Morgan

( )
( )
C E CE
α α
α α
∩ = ∪
Chứng minh.
1.2.4. Tích Decartess.
Tích Decartess của hai tập hợp
X
và
Y
là tập hợp
{ }
x ( , ): ,X Y x y x X y Y= ∈ ∈
Ví dụ. Nếu
{ } { }
, , ; ,X x y z Y a b= =
thì
2
{ }
x Y= ( , );( , );( , );( , );( , );( , )X x a x b y a y b z a z b
.
1.3. Ánh xạ
1.3.1. Ánh xạ
Định nghĩa 1. Cho hai tập hợp
X
và
Y
. Nếu có một quy luật

được gọi là tạo ảnh của
y
, ký hiệu
: ( )f x y f x=a
Ví dụ 1. Ánh xạ hằng
0
:f X Y
x y
→
a
Ví dụ 2. Cho
X Y⊆
. Ánh xạ
:f X Y
x x
→
a
được gọi là ánh xạ đồng nhất.
Định nghĩa 2. Cho ánh xạ
:f X Y→
. Với mỗi tập con
A X⊂
, ta ký hiệu
{ }
( ) ( ) :f A y f x x A= = ∈
gọi là ảnh của tập hợp
A
qua ánh xạ
f
.

. Với các tập con
,M N Y⊂
ta có
1.
1 1
( ) ( )M N f M f N
− −
⊂ ⇒ ⊂
2.
1 1 1
( ) ( ) ( )f M N f M f N
− − −
∩ = ∩
3.
1 1 1
( ) ( ) ( )f M N f M f N
− − −
∪ = ∪
4.
1 1 1
( ) ( ) ( )f M N f M f N
− − −
− = −
nếu
M N⊃
1.3.2. Đơn ánh, toàn ánh, song ánh
3
1.3.3. Ánh xạ ngược
1.3.4. Ánh xạ tích
§ 2. TẬP HỢP SỐ THỰC

là số chẵn, tức là
2p k=
.
Do đó ta nhận được
2 2
2q k=
và
q
cũng là số chẵn. Điều đó mâu thuẫn với
( )
, 1p q =
.
Nếu chỉ hạn chế trong tập hợp các số hữu tỷ thì có những đoạn thẳng không
có độ dài. Chẳng hạn độ dài đường chéo của hình vuông có cạnh bằng
1
không
phải là số hữu tỷ
p
q
. Bởi vì nếu ngược lại thì
2
2
2
p
q
=
.
2. Tiên đề Achimede. Với mỗi số hữu tỷ
0r >
luôn tồn tại một số tự nhiên

đếu lớn hơn mọi số thuộc nhắt cắt
đó. Tức là nếu
p
α
∈
và
q
α
∉
thì
p q<
. Thật vậy, giả sử ngược lại thì xảy ra
hai khả năng sau
+
q p
α
= ∈
.
+
q p
α
< ∈
thì theo tiên đề (ii) ta được
q
α
∈
.
Định nghĩa 2. Ta gọi tập những số không thuộc nhắt cắt
α
là lớp trên của nhắt cắt

α
∈
và số hữu tỷ
q p<
, thì
p r<
. Do đó
q p r< <
, tức là
q
α
∈
.
(iii). Giả sử tập
α
có số lớn nhất là
m
. Khi đó
m r<
và hiển nhiên
2
m r
m r
+
< <
Do đó
2
m r
α
+

Ví dụ 2. Tập
α
gồm mọi số hữu tỷ không dương và những số hữu tỷ dương
a
mà
2
2a <
là một nhát cắt.
(i). Hiển nhiên
0
α
∈
và
2
α
∉
.
(ii). Giả sử
p
α
∈
và số hữu tỷ
q p<
.Khi đó.
+ nếu
0q <
thì
q
α
∈

2
m
m m
n n n
 
+ = + + <
 ÷
 
,
tức là

2
2
1 2
2
m
m
n n
+ < −
(1)
Bởi vì
2
1 2 1 2m m
n n n
+
+ ≤
,
nên ta sẽ có (1) nếu chọn được
n
đủ lớn sao cho

không có số bé nhất. Thật vậy, giả sử tập
{ }
2
' : 0; 2r r r
α
= ∈ > >
¤
5
Có số bé nhất là
'r
α
∈
. Bởi vì
0r >
và
2
2r >
nên
1r
>
và
1
0r
n
− >
. Ta chọn
n
đủ lớn sao cho
2
2

r n
n r
< − ⇔ >
−
.
Rõ ràng
1
'r
n
α
− ∈
và
1
r r
n
− <
. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ
r
không phải là
số bé nhất trong lớp trên
'
α
.
Nhận xét 3. Mỗi nhát cắt
α
thuộc một trong hai loại sau:
Loại 1. Lớp trên
'
α
có số bé nhất.

4. Quan hệ thứ tự trong
¡
Định nghĩa 1. Cho hai nhát cắt
α
và
β
. Ta nói hai nhát cắt đó bằng nhau, viết là
α β
=
nếu các tập
α
và
β
bằng nhau. Ngược lại ta nói chúng khác nhau, viết là
α β
≠
.
Định nghĩa 2. Cho hai nhát cắt
α
và
β
. Ta nói rằng
+
α
bé hơn
β
và viết là
α β
<
(hoặc

+
>
,
+
α
không âm nếu
0
α
+
≥
+
α
âm nếu
0
α
+
<
,
+
α
không dương nếu
0
α
+
≤
.
6
Định lý 1. Với các nhát cắt
α
và

+ Hoặc
p
α
∈
và
p
β
∉
. Khi đó
α β
>
.
Định lý 2. Cho các nhát cắt
,
α β
và
γ
. Nếu
α β
<
và
β γ
<
thì
α γ
<
.
Chứng minh. Bởi vì
β γ
<

. Nếu
γ
là tập các số hữu tỷ
; ,r p q p q
α β
= + ∈ ∈

thì
γ
∈¡
.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh
γ
là một nhát cát. Thật vậy
(i). Hiển nhiên
γ
khác rỗng. Gọi
s
và
t
là những số hữu tỷ mà
s
α
∉
và
t
β
∉
thì
s t p q+ > +

q
β
∈
sao cho
r p q= +
. Ta chọn số hữu tỷ
t
sao cho
s t q= +
. Khi đó
t p<

(vì
,s r r p q< = +
). Từ
t p<
và
p
α
∈
suy ra
t
α
∈
. Bởi vì
t
α
∈
và
q

γ
+ ∈
và
s q r+ >
, hay
r

không phải là số lớn nhất trong
γ
.
Định nghĩa 1. Giả sử
,
α β
∈¡
. Nhát cắt
{ }
: ,r p q p q
γ α β
= = + ∈ ∈
được
gọi là tổng của các nhát cắt
α
và
β
, ký hiệu là
α β
+
.
Định lý 1. Với các nhát cắt
,

<
thì
α β α γ
+ < +
6. Với các nhát cắt
α
và
γ
tồn tại duy nhất nhát cắt
β
sao cho
α β γ
+ =
. Ta gọi
β
là hiệu của hai nhát cắt
γ
và
α
, ký hiệu là
γ α
−
.
5.2. Phép nhân nhát cắt
7
Bổ đề 2. Cho các nhát cắt
0
α
+
>

khi 0
khi <0
α α
α
α α
+
+

≥

=

−


Rõ ràng
0
α
+
>
với mọi
α
và
0
α
=
nếu và chỉ nếu
0
α
+


Định lý 2. Cho các nhát cắt
, ,
α β γ
bất kỳ ta có
1.
. .
α β β α
=
2.
( ) ( )
. . . .
α β γ α β γ
=
3.
( )
. . .
α β γ α β α γ
+ = +
4.
.0 0
α
+ +
=
5.
. 0 0 0
α β α β
+ + +
= ⇔ = ∨ =
6.

γ α β
=
. Ta gọi nhát cắt
γ
là thương của
β
và
α
, ký hiệu là
β
α
.
Định lý 3. Với các nhát cắt hữu tỷ
,p q
bất kỳ ta có
1.
( )p q p q
+ + +
+ = +
2.
. ( . )p q p q
+ + +
=
3.
p q p q
+ +
< ⇔ <
Chứng minh.
1. Nếu
r p q

r s t= +
. Như vậy
r p q
+ +
∈ +
.
2. Chứng minh như tính chất 1.
3. Nếu
p q
+ +
<
thì sẽ có số hữu tỷ
r
sao cho
r q
+
∈
và
r p
+
∉
. Do đó
p r q< <
tức là
p q<
.
Ngược lại, nếu
p q<
thì
p q

sao cho
,p p
β α
∈ ∉
. Chọn số
hữu tỷ
r p>
sao cho
r
β
∈
(điều này thực hiện được vì trong
β
không có số lớn
nhất). Vì
,r r r
β
+
∈ ∉
nên
r
β
+
<
.
Mặt khác
p r
+
∈
và

p p
α
α
+
+
∈

⇒ <

∉

Ngược lại, nếu
p
α
+
<
thì tồn tại số hữu tỷ
q
sao cho
q
p
q p p q
α
α
+
∈

⇒ ∈

∉ ⇒ ≤

A B∩ = ∅
(iv). nếu
,A B
α β
∈ ∈
thì
α β
<
.
Khi đó tồn tại một và chỉ một số thực
γ
sao cho
α γ
≤
với mọi
A
α
∈
và
γ β
≤

với mọi
B
β
∈
.
Chứng minh.
Duy nhất. Giả sử tồn tại hai số
1 2

γ γ β
< ≤
với mọi
B
β
∈
suy ra
3
A
γ
∈
; từ
1 3
α γ γ
≤ <
với
mọi
A
α
∈
suy ra
3
B
γ
∈
. Điều đó mâu thuẫn với
A B∩ = ∅
.
Tồn tại. Ta gọi
γ

Do
B ≠ ∅
nên có thể lấy được số
B
β
∈
. Chọn số hữu tỷ
q
β
∉
. Khi đó
q
α
∉
với mọi
A
α
∈
. Bởi vì (iv) nên
α β
<
, tức là
q
γ
∉
. Vậy
γ
≠ ¤
.
(ii). Lấy

A
α
∈
sao cho
p
α
∈
. Do
α
là nhát cắt
nên tồn tại
q
α
∈
và
q p>
(theo tiên đề (iii) đối với nhát cắt). Vì
q
α
∈
với
A
α
∈
nên
q
γ
∈
. Điều đó chứng tỏ
γ

γ
∈
thì tồn tại số
A
α
∈
sao cho
p
α
∈
. Từ đó
suy ra
β α
<
. Điều đó mâu thuẫn với (iv). Vậy
γ β
≤
với mọi
B
β
∈
.
Hệ quả. Với các giả thiết của Định lý trên thì hoặc
A
chứa số lớn nhất hoặc
B

chứa số nhỏ nhất.
Chứng minh.
Do giả thiết

γ
∈
và
B
γ
∈
.
8. Cận trên và cận dưới
Định nghĩa 1. Cho tập số thực
E
. Ta nói
(i). Tập hợp
E
bị chặn trên nếu tồn tại số
β
sao cho với mọi
x E∈
thì
x
β
≤
. Khi đó ta cũng nói
β
là một cận trên của tập
E
.
10
(ii). Tập hợp
E
bị chặn dưới nếu tồn tại số

thì mọi số
1
β β
>
cũng là cận
trên của
E
.
Định nghĩa 2.
(i). Cận trên
β
nhỏ nhất của tập hợp
E
gọi là cận trên đúng của tập
E
, ký
hiệu là
sup E
β
=
. Hay
sup
0 :
x E x
E
x A x
ε ε
β
β
ε β ε


∀ > ∃ ∈ < +

Ví dụ 1. Cho
*
1
:E n
n
 
= ∈
 
 
¥
. Khi đó
sup 1 , inf 0E E E E= ∈ = ∉
.
Định nghĩa 3. Nếu
sup E
β
=
và
E
β
∈
thì
β
được gọi là giá trị lớn nhất của
E
,
ký hiệu là

2. Nếu
E
bị chặn dưới thì tồn tại
inf E
.
Chứng minh.
1. Ký hiệu
A
là tập số thực được xác định như sau:
:A x E x
α α
∈ ⇔ ∈ <
còn
B
là tập số thực không thuộc
A
. Như vậy không có phần tử nào của
A
là cận
trên của
E
và mọi phần tử của
B
đều là cận trên của
E
. Muốn chứng minh tồn
tại cận trên đúng ta chứng minh
B
có số bé nhất. Trước hết ta thấy
,A B

(iii).
A B∩ = ∅
11
(iv). Lấy
,A B
α β
∈ ∈
. Vì
A
α
∈
nên tồn tại
x E∈
sao cho
x
α
<
; vì
B
β
∈
nên
x
β
≤
. Như vậy
α β
<
.
Theo hệ quả của Định lý Dedekin thì hoặc

. Điều đó chứng tỏ rằng
α
không phải là số lớn nhất của
A
. Vậy trong
A
không có số lớn nhất và trong
B
có số nhỏ nhất.
2. Chứng minh tương tự
9. Hệ số thực mở rộng
Định nghĩa 1. Hệ thống số thực mở rộng, ký hiệu là
¡
gồm tập hợp số thực
¡
và
hai ký hiệu
,−∞ + ∞
thoả mãn các điều kiện sau đây:
1. với mọi
x∈¡

x−∞ < < + ∞
;
0
x x
= =
−∞ +∞

( ) ; ( )x x+ +∞ = +∞ − +∞ = −∞

.
Như vậy trong
¡
mọi tập hợp số thực đều có cận trên đúng và cận trên đúng.
§ 3. HÀM SỐ
3.1. Khái niệm hàm số
3.2. Các phương pháp cho hàm số
3.3.Các phép toán trên hàm số
3.4. Các hàm số đặc biêt
3.4.1. Hàm số đơn điệu
3.4.2. Hàm số bị chặn và hàm số không bị chặn
3.4.3. Hàm số chẵn và hàm số lẻ
3.4.4. Hàm số tuần hoàn
3.5. Hàm số hợp
12
3.6. Hàm số ngược
3.7. Các hàm sơ cấp đơn giản
13