Phần I. căn bậc hai_ căn bậc n
Đ 1 một số kiến thức cơ bản liên quan

A. Kiến thức cần nhớ:
1.Bất phơng trình tích
a) Nhị thức bậc nhất: Nhị thức bậc nhất là biểu thức có dạng f(x) = ax + b (a 0).
Nghiệm của phơng trình ax + b = 0 cũng gọi là nghiệm của nhị thức ( x
0
= -
a
b
).
b) Định lí: (Định lí về dấu nhị thức bậc nhất).
Nhị thức ax + b (a 0) cùng dấu với a với mọi giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức ,
trái dấu với a với mọi giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.

Ví dụ:
Xét dấu các nhị thức sau:
a) f(x) = 2x 3 ; b) g(x) = -3x 5
Giải
Ph ơng pháp: +) Xác định dấu của hệ số a
+) Tìm nghiệm của nhị thức
+) Kết luận: Dựa vào định lí để kết luận
a) Ta có: a = 2 > 0.
Nhị thức có nghiệm x
0
=
3
2
Vậy f(x) < 0 nếu x <
3

5
).
2. Bất phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
a) |f(x)| < a



<<
>
axfa
a
)(
0
; b) |f(x)| a





axfa
a
)(
0
;
c) |f(x)| > a
















>

axf
axf
a
a
)(
)(
0
0
.
B. Các ví dụ:
Ví dụ1:
Giải các bất phơng trình sau:
a) 2x 7 < 0 ; b) -4x + 3 0 ;
c) (2x 7)( -4x + 3) 0 ; d)
0
62
)2)(1(
<

.
Vậy x
4
3
là nghiệm của bất phơng trình đã cho.

c) (2x 7)( -4x + 3) 0 (*)
Cách 1: Biến đổi tơng đơng
(*)










+




+

034
072
034
072






4
3
2
7
4
3
2
7
x
x
x
x

2
7
4
3
x
Vậy Bpt (*) có nghiệm là x













2
7
;
4
3

d)
0
62
)2)(1(
<


x
xx
1) Nghiệm của các nhị thức bậc nhất:
2
x 1 = 0 x = 1; 2 x = 0 x = 2; 2x 6 = 0 x = 3
2) Lập bảng xét dấu:

x
- 1 2 3 +
x 1
- 0 + | + | +

2x x + 1 < 0 2x(x 1) (x 1) < 0
(2x 1)(x 1) < 0

b) x
2
+ 4x +5 0 x
2
+ 4x + 4 + 1 0 (x + 2)
2
+ 1 0
Luôn đúng với mọi x.

c) -2x
2
+4x 6 0 -2(x
2
2x + 1) 4 0 -2(x - 1)
2
4 0 vô lí.

d) 2x
2
5x + 2 < 0 2x
2
4x x + 2 < 0 2x(x - 2) (x 2) < 0
(2x 1)(x - 2) < 0.
Ví dụ3:
Giải các bất phơng trình sau:
a) |1 - 3x| < 2 ; b) |5x + 3| > 4 ;
c) |x






<
>
5
7
5
1
x
x
Vậy bất phơng trình có nghiệm x (-;-
5
7
)(
5
1
;+).
c) |x
2
5x + 5| 1




+
+
155







<

+
>

+
3
2
13
3
2
13
x
x
x
x









0
2
)2(3)13(
0
2
)2(3)13(
x
xx
x
xx
(*)








<


>

0
2
56
0
2
7

Chú ý: Nhiều bạn thờng hay mắc sai lầm ở phép biến đổi:








<

+
>

+
3
2
13
3
2
13
x
x
x
x




<+

xx
<
+

65
2
2
2
.
Đ 2 biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số
A. Kiến thức cần nhớ:
1) Hằng đẳng thức đáng nhớ:
+) (a b)
2
= a
2
2ab + b
2
.
+) (a b)
3
= a
3
3a
2
b + 3ab
2
b
3
+) a

m
)
n
= a
m.n
= a
n.m
; +) (abc)
m
= a
m
b
m
c
m
.
+)
m
m
m
b
a
b
a
=






n
n
aa =
; +)
( )
nnn
n
cbacba =
+)
b
a
ba =:
(b 0); +)
baba =
2
4
nếu a 0
nếu a < 0
+) a





=
ba
ba
b
2
2

I.Các ví dụ:
Phân tích thành nhân tử các đa thức sau:
a) ab + ac + b
2
+ 2bc + c
2
; b) x
3
6x
2
+ 11x 6;
c) x
6
x
4
2x
3
+ 2x
2
d) x
6
y
6
d) x(y
2
z
2
) + y(z
2
x

làm nhân tử chung:
x
6
x
4
2x
3
+ 2x
2
= x
2
(x 1)
2
(x
2
+ 2x + 2)
c) Dùng hằng đẳng thức:
x
6
y
6
= (x - y)(x + y)(x
2
xy + y
2
)(x
2
+ xy + y
2
)

.
- Nếu P(x) có nghiệm x = a, tức P(a) = 0 thì P(x) chia hết cho (x a) và ngợc lại.
Khi đó P(x) = (x - a)Q(x) trong đó Q(x) có bậc n 1.
- Nếu tổng các hệ số a
n
+ a
n-1
+ + a
2
+ a
1
+ a
0
= 0 thì P(x) có nghiệm x = 1.
- Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì P(x) có nghiệm x = - 1
Phân tích thành nhân tử các đa thức sau:
a) a
3
+ 3a
2
6a 8 ; b) a - 3
a
+ 2;
c)
xxx 2
3
; d) a + 4
a
+ 3
e) a

(
x
+ 1)(
x
- 2) .
d) a + 4
a
+ 3 = (
a
+ 1)(
a
+ 3)
e) a
a
- 2b
b
- 3b
a
= a
a
- 2b
b
- 2b
a
- b
a
=
a
(a - b) 2b(
a

- b - b) = (
a
+
b
)[a b -
b
(
a
+
b
)]
= (
a
+
b
)
2
(
a
- 2
b
).
II.Bài tập vận dụng:
Bài 1: Phân tích thành nhân tử:
a) a
2
2ab c
2
+ b
2

x
- 6x 2;
e) 2a +
ab
- 6b với a > 0; b > 0; f) 6y
2
5y
x
- x;
g) 6
xy
- 4x
x
- 9y
y
+ 6xy ; h) x - 2
1x
- a
2
.
Bài 3: Phân tích thành nhân tử:
a) x
4
4x
2
+ 12x 9 ; b) x
4
4x 1 ;
c) x
3

Rút gọn các biểu thức
a) C =
3232 ++
; b) D =
31221269269 +
Giải
a)
( ) ( )
2
31
2
1
324
2
1
32 ==
b)
33.626269 ++=+
;
93.32.21231221 +=

Thực hiện các phép tính:
a)
( )( )
154610154 +
; b)
( )( )
53210.53 +
;
Giải

; b) N =
(
)
2
7 2 6 7 2 6 + +
.
Giải
a) Chú ý rằng : 5 +
6
=
( )
2
3 2+
; 5 -
6
=
( )
2
3 2
b) Chú ý: 7
( )
2
2 6 6 1 =
.

Thực hiện các phép tính:
6
Ví dụ 1:
Ví dụ 3:
Ví dụ 2:

.
Từ đó: Q =
2 1 3 2 2008 2007 2008 1 + + + =
.
II.Bài tập vận dụng:
Rút gọn các biểu thức sau:
1)
10211
; 2)
1429
; 3)
10275262
62526113
+++
+++
; 4)
3471048535 ++
;
5)
5210452104 ++++
; 6)
5429454294 +
;
7)
322
32
322
32




Cho biểu thức:
A =
44
2
+ xxx
a) Tìm tập xác định của biểu thức A.
b) Rút gọn các biểu thức A.

Giải
a) Biến đổi biểu thức:
A =
44
2
+ xxx
=
2
)2( xx
=
2 xx
Điều kiện để A có nghĩa:
x |x - 2|



+

44
0
22

xx
;
c)C=
( ) ( ) ( )
( ) ( )
xyyyxx
xyyyxx
266
3255
++++
+++++
và tính giá trị của biểu thức nếu
2008=+ yx
.

Giải
a) A=
4
65

+
x
xx
=
)2)(2(
632
+
+
xx
xxx

x
xxx
c)C=
( ) ( ) ( )
( ) ( )
xyyyxx
xyyyxx
266
3255
++++
+++++
.
Ta có: MT =
)6)(( +++ yxyx
TT =
)6)(1( +++ yxyx
VậyC=
( ) ( ) ( )
( ) ( )
xyyyxx
xyyyxx
266
3255
++++
+++++
=
yx
yx
+
+ 1

với x > 2
2
.
d) B =
22
1025168 xxxx +++
với 4 < x < 5.
Giải
a)Vì x <
2
1
nên x 1 < 0 |x - 1| = 1 x
1 2x > 0 |1 2x| = 1 2x
Vậy A = 1 x (1 2x) = x
b) 2x -
2
x
- 1 = 2x - |x| - 1 =





13
1
x
x
3x
2
4x + 1 = 3x

1
1
1
1
+
=
aa
< 0 (vì -a < -1 < 0)
Suy ra: P(a).P(-a) < 0.
c) Có thể viết Q =
1
12

++
x
xx

vì x > 2
2
|x| = x;|2 - x| = x 2, đồng thời 2x 1 0, do đó :
Q =
1
12
12
12
12
=


=




+
+
+
+
1
11
1
:1
11
1
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a
Tính giá trị của B nếu a =
324 +
; b =
324
Bài 2: Rút gọn biểu thức
B =
422422 + xxxx

Bài 3: Rút gọn các biểu thức:

a
aa
B =
( )
















+
+
+
++







x
.
D =
)(2
2222
yx
yxxyxx

+
với x > y > 0.
E =








+





















a
a
a
a
1
1
2
1
0 < a < 1.
P = (a + b) -
1
)1)(1(
2
22
+
++
c
ba
với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1.
Q =

babaa
babaa
+
+
22
22
23
23
và tính số trị của biểu thức nếu
3
1
=
b
a
Bài 5: Rút gọn biểu thức
a)
baba
baba
352
32
+
+
; b)
12
43


xx
xx
; c)















+
+
+
1
1.
1
1
a
aa
a
aa
.
Dạng 3: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến số
Ph ơng pháp:
Thực ra đây cũng là bài toán rút gọn biểu thức, vì vậy khi thực hiện bài toán này các em chỉ
việc rút gọn biểu thức đó đến khi không còn biến số thì ta đợc điều phải chứng minh.

+) x 9 =
)3)(3( + xx
MTC =
)2)(3)(3( ++ yxx
Vậy :
A =
)2)(3)(3(
)2)(9()3)(6()3)(32(
++
++++
yxx
yxxxyxyx
= 0
Suy ra A không phụ thuộc vào biến số (đpcm).
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số:
B =
( )
2
2
11
:
2
yx
yx
yxxy

+




xy x y
xy
x y x y
+


=
( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2
2 2
1
x y
xy x y x y xy
x y x y x y

+
= = =

(đpcm).
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số:
C =
2
2
1 1 1 1
. 1
1
2 2 2 2

2(1 )(1 )
a a a a a
a
a a a
+ + + + +
+
+
=
2
(1 )(1 1 ) 2 2 2 (1 )
1
2 (1 ) 2 (1 )
a a a a a a
a a a a
+ + +
= =

(đpcm).
II.Bài tập vận dụng:
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến số:
a)
( )
2
2
.
2
xy x y y
x
x y
x y x y

.
c)
( )
2 3
2
. :
2
x y y xy y xy
y
x y
x y
x x y y
+ +

+
+ +
Với x > y > 0.
d)
2 2
1 1
:
2
2 2
xy
x xy y
x xy y x xy y


ữ
ữ

( )
.
( ) ( ) ( )( )
b a ab a b
a a b b a b a b a b

+

ữ
ữ
+
( )( )
.
( ) ( )
a b a b ab a b
ab a b a b a b
+ +
= =

(đpcm).
Chứng minh đẳng thức:
2
2
2 2 2 2
x y x y y
y
y x

2( )2 2
2( )( )
x y y y
x y x y x y
+
=
+ +
(đpcm).
Chứng minh đẳng thức:
2
3 3
. 1
a b a b
ab
a b
a b+ +
=
ữ
ữ
ữ
ữ

+ Với a > 0 ;b > 0; a b.
Giải

(đpcm).
II.Bài tập
Chứng minh các đẳng thức sau:
1)
2 2
2 2 2 2
1 3 2 4 1
: 1
2 4 2 4 4
y x y
x y y x x y x y x+
+ + =
ữ
ữ
+ Với x 0; y 2x.
2)
6 4 2 3 2
4 2 2 2
3 3 1 ( 1) ( 1) ( 1)
:
2 1 1 1
a a a a a a
a a a a
+ + +

=
ữ
ữ

+ +

Với a > 0; a 1.
5)
2
1 1
. (1 )
1 1
a a a a
a a a
a a

+
+ =
ữ ữ
ữ ữ
+

Với a 0 ; a 1
6)
2 2 2 2 4 2
4 2
2 2 2 2
1
a x a x a a
x x

ữ
+



a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị của M khi a =
3
2 3+
.
Giải
a) Điều kiện để M có nghĩa là:
1 0
1 0
a
a
>


+ >

-1 < a < 1
M =
2 2 2 2
2 2
3 1 3 1 3 1 1
: .
1 1
1 3 1
a a a a

2 3 2 3

=
+

Thay vào M ta có: M =
2 2
1 3(2 3) 1 2 3 ( 3) (1 3) 3 1 = + = =
Cho biểu thức: N =
1 2
1 :
1
1 1
a a
a
a a a a a

+
ữ ữ
ữ ữ
+
+

a)Rút gọn N.
b)Tìm các giá trị của a sao cho N < 1.
c)Tính giá trị của N nếu a = 19 - 8
3
Giải
a)Điều kiện có nghĩa a 0 và a 1.
N =

1 0
1
a a
a
+ +
<


2
0
1
a
a
+
<

(1)
Vì a + 2 > 0 nên
1 0a <
0 a < 1.
Vậy 0 a < 1 thì N < 1.
c)Nhận xét: a = 19 - 8
3
=
2
(4 3)
Thay vào biểu thức , ta đợc :
N =
19 8 3 4 3 1 24 9 3 15 3
2

x x x x x x
x x x x
+ + + + +
=
+ +
=
( 1)( 2) 1
( 1)( 2) 1
x x x
x x x
+ + +
=
+
13
Ví dụ 2:
Ví dụ 3:
b) P = 1 +
2
1x
, Ta có P Z
2
1x
Z
x
- 1 là ớc của 2.Do đó
x
- 1 nhận
các giá trị bằng 1; 2, từ đó:
+)
x

b)Chứng minh rằng A 0.
c) So sánh A với
A
.

Giải
a)Điều kiện:
0
0
x
y
x y








(*)
A =
2
( )
:
x x y y x y xy
x y
y x
x y x y



+ + +
+
ữ
ữ
+ +

=
2
( ) ( )
.
x y x xy y x y
x y x xy y

+ + + +
ữ
ữ
+ +

=
xy
x xy y +
b) Ta có :
xy
0 và x -
xy
+ y =
2
3
0

< 1
A
(
A
- 1) < 0 A <
A
.
Thực hiện các phép tính sau :
14
Ví dụ 4:
Ví dụ 5:
a) A =
2 2
4 4x x x x + +
Với x 2.
b)
2
: ( )
a a b b b
ab a b
a b a b

+
+
ữ
ữ
+ +

Với a 0 ; b 0
Giải

ab a b
a b a b

+
+
ữ
ữ
+ +

=
( )( ) 2
: ( )
a b a ab b b
ab a b
a b a b

+ +
+
ữ
ữ
+ +

=
( )
2
: ( )
b
a ab b ab a b
a b
+ +

: 1
9 1
3 1 1 3 3 1
a a a
a
a a a


+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

a) Rút gọn A.
b) Tìm các giá trị của a để A =
6
5
Giải
Điều kiện:
0
1
9
a
a






+ + +

=
( 1)(3 1) (3 1) 8 3
:
(3 1)(3 1) 3 1
a a a a
a a a

+ +

ữ
ữ
ữ
+ + =
3 2 1 3 1 8 3 1
.
3
(3 1)(3 1)
a a a a a
a a

+ + +
ữ ữ
ữ ữ
+


3 1
a a
a
+

=
6
5

5 5 18 6a a a+ =

5 13 6 0a a + =

4
9
25
a
a
=



=


Vậy với a = 4 hoặc a =
9
25
thì A =
6

0
1
1
4
a
a
a


>







B =
2 1 2
1 .
1
1 2 1
a a a a a a a a
a
a a a

+ +

ữ
ữ

( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)
1 .
(1 )(1 ) (1 )(1 ) 2 1
a a a a a a a a a a a
a a a a a a

+ + + + + +

ữ
ữ
+ + +

=
( 1) (2 1)
2 1 ( 1)
1 .
1 (1 )(1 ) 2 1
a a a
a a a
a a a a a+ ữ

ữ
+ +


( 1)
1 1 .
(1 )
a a
a
a a

+

ữ
ữ
+ +

=
1 ( )
1 .
(1 )
a a a a
a
a a

+ + +

ữ
ữ
+ +

16
Ví dụ 7:
=

a
a

= +

=


c) Biết rằng (
a
-1)
2
0 nên a + 1 2
a
hay
a

1
2
a +
.
Do đó, ta có :
a +
a
+ 1 a+
1
2
a +
+1 =
3

1 :
25
2 15 5 3
x x x x x
x
x x x x

+
+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

a)Rút gọn M.
b)Với giá trị nào của x thì M < 1.
Giải
Điều kiện :
0
9
25
x
x
x







ữ
ữ
+ + +
=
( 5) 25 16
1 :
( 5)( 5) ( 5)( 3) ( 5)( 3)
x x x
x x x x x x

ữ
ữ
ữ
+ + +
=
9
1 :
( 5) ( 5)( 3)
x x
x x x


5 (3 )(3 )
x x
x x x

+

ữ
ữ
ữ
+ + =
5
3 x+
.
b)Với M < 1
5
3 x+
< 1 5 < 3 +
x

x
> 2 x > 4.
Vậy với x > 4 thì M < 1.
Bài tập
17
Ví dụ 8:
Bài 1: Cho biểu thức Q =
1 3 1 3

b) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên.
Bài 3: a)Chứng minh đẳng thức:
2
2
3 4 (2 )
1
1 1
a a
a a

=
+ +
b) Từ kết quả trên suy ra với giá trị nào của a thì biểu thức P =
2
3 4
1
a
a

+
đạt giá trị nhỏ
nhất? Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 4: Cho biểu thức : Q =
1 1 1 1 1
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x

+ +

1 1
1
a a a
a
a a a
a+ +

ữ
ữ
ữ
ữ
+ + +
a)Rút gọn P.
b) Xét dấu của biểu thức: P.
1 a
.
Bài 8: Cho biểu thức: P =
1 1 1 2
:
1 2 1
a a
a a a a

+ +

3 3
3 3
1 1 2 1 1
. :
x y x x y y
x y
x y x y
x y xy+ + +
+ + +

ữ
ữ
+
+
a) Rút gọn A.
b) Cho xy = 16. Xác định x, y để A có giá trị nhỏ nhất
Bài 11: Cho biểu thcsau với x > 0, y > 0, x 4y, x 1:
18
A =
3
2 1
.
2 2 2 1
x x x

1
1 1
a a
a
a a a a a


ữ ữ
ữ ữ
+
+ + + +

a)Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A nếu x = 2008 -2
2007
.

Phần II hàm số
hàm số bậc nhất-phơng trình & hệ phơng trình bậc nhất
Đ 1 Khái niệm về hàm số
A. kiếm thức cần nhớ
1.Định nghĩa: Hàm số là một quy tắc đặt tơng ứng mỗi giá trị x D duy nhất một giá trị
y R . Kí hiệu y = f(x).
2. Các khái niệm liên quan:
+) Giá trị x gọi là biến số (đối số) của hàm số. Giá trị y gọi là giá trị của hàm số.
+) Tập D gọi là tập xác định của hàm số.
+) Tập M gồm tất cả các giá trị của y gọi là tập giá trị của hàm số.
Chú ý: Nếu hàm số đợc cho bởi một công thức thì tập xác định của hàm số là tập hợp tất
cả các giá trị của x làm cho biểu thức đó có nghĩa.
3. Đồ thị của hàm số:

c.Đồ thị: Đồ thị hàm số bậc nhất là một đờng thẳngcắt cả trục tung và trục hoành lần lợt tại
A(0;b),B(-
b
a
;0).

19
y
x
y
x
O
O
A(0;b)
B(-;0)
a > 0
a < 0
A(0;b)
B(-;0)
Nhận xét: Đồ thị hàm số đồng biến là một đờng hớng lên từ trái qua phải.
Đồ thị hàm số nghịch biến là đờng hớng xuống từ trái qua phải.
- Đồ thị của hàm số bậc nhất còn gọi tắt là đờng thẳng , còn biểu thức y = ax + b còn gọi là
phơng trình của đờng thẳng, a gọi là hệ số góc của đờng thẳng và
tana

=
(với

là góc
tạo bởi đờng thẳng và trục hoành).

2



1 2
1 2
a a
b b
=





d
1
d
2


1 2
1 2
a a
b b
=




; d





=


hoặc
y
c ax
x
b




=


.
Tập hợp các điểm M(x;y) trong đó x, y thỏa mãn (2) là một đờng thẳng.

5. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn:
Có dạng:



(I)



ax + by = c (2)
Phơng pháp thế: Rút một ẩn từ một phơng trình rồi thế vào phơng ttrình còn lại.
Phơng pháp cộng đại số: cân bằng hệ số của một ẩn ở cả hai phơng trình rồi trừ theo vế hai
phơng trình để khử bớt một ẩn.Tìm ẩn còn lại.
B. các ví dụ về giải toán
Cho hàm số y = (m - 1)x + m (d)
a) Xác định m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b) Xác định m để đờng thẳng (d) :
1) Song song với trụ hoành.
2) Song song với đờng thẳng có phơng trình: x 2y = 1. (d)
3) Cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ x = 2 -
3
2
.
c) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi , tìm điểm cố
định đó.
Giải
a) -Hàm số đồnh biến nếu: m 1 > 0 m > 1.
-Hàm số đồnh biến nếu: m 1 < 0 m < 1.
b)Tìm m:
1) Đờng thẳng (d) song song với Ox khi và chỉ khi m 1 = 0 m = 1.
2) Viết lại đờng thẳng (d) dới dạng: y =
1
2
x -
1
2
Hai đờng thẳng (d) và (d) song song với nhau khi và chỉ khi :
1
1

c) Điểm cố định:
Cách 1: (Phơng pháp hệ số bất định)
Gọi M(x
0
;y
0
) là điểm cố định (nếu có) của đờng thẳng (d), khi đó:
y
0
= (m - 1)x
0
+ m m R
(m - 1)x
0
+ m y
0
= 0 (*) m R
Vì (*) đúng với mọi m R nên:
Với m = 0: - x
0
y
0
= 0 x
0
= -y
0
(a)
Với m = 1: 1 y
0
= 0 y

+ = =



+ = =Vậy đờng thẳng (d) luôn đi qua một điển cố định M(-1;1).
21
Ví dụ 1:
Ví dụ 2:
Cho hàm số y = (m - 2)x + n () trong đó hai số m , n là hai số thực cho trớc.
a) Tìm m và n để đờng thẳng () đi qua hai điểm A(1;-2) và B(3; -4).
b) Tìm m và n để đờng thẳng () cắt trục tung tại điểm M có tung độ y = 1 -
2
và cắt trụ
hoành tại điểm N có hoành độ x = 2 +
2
.
c) Tìm m, n để đờng thẳng () :
1) Vuông góc với đờng thẳng có phơng trình x 2y = 3. (
1
)
2) Song song với dờng thẳng có phơng trình 3x + 2y =1. (
2
)
3) Trùng với đờng thẳng có phơng trình y 2x + 3 = 0. (
3
)
Giải




+ + =



=

c) Xác định m, n:
1) Đờng thẳng (
1
) viết lại dới dạng: y =
1 3
2 2
x
Điều kiện để đờng thẳng () vuông góc với đờng thẳng (
1
) là:
(m - 2).
1
2
= -1 m 2 =-2 m = 0.
2) Viết 3x + 2y = 1 dới dạng y = -
3
2
x +
1
2
, điều kiện là :

+ x (1) (x là ẩn )
a) Giải phơng trình khi m =
2 1+
.
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất âm.
Giải
a) Đa phơng trình về dạng: (m - 1)x = m
2
+1
Với m =
2 1+
ta có phơng trình:
2
x = (
2
+ 1 )
2
+1
x = 2
2
+ 2.
b) Điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm duy nhất là:
m 1 0 m 1 Khi đó: x =
2
1
0 1
1
m
m
m

3 0
1
( 1) 0
3
x
x
x
x x
x









.
Với điều kiện trên thì (1) 2(x
2
- x) = (x 3 )(2x + 5)
2x
2
2x = 2x
2
+ 5x 6x 15

2
+ 2 + 3x
3
+ 3x
2
+ 3x 3x
2
3x 3 = 0
x = 0 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x = 0.

Giải các phơng trình sau:
a)
1 2 1x x =
( 1) ; b)
2
2 1 3 2 2 1x x + + =
(2);
c)
1 3 0x y + + =
(3); d)
2 1 0x y x y + + =
(4).
Giải
a) C ách1: Xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu 1 2x 0 x
1
2
:
1 2 1x x =

x
x x
x
x x
x








=
=






=



=


Vô lí.
Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm.

c) Chú ý rằng nếu a 0 và b 0 thì a +b = 0
0
0
a
b
=


=

. Vậy

1 3 0x y + + =

1 0 1
3 0 3
x x
y y
= =



+ = =

23
Ví dụ 5:
Vậy phơng trình có cặp nghiệm là: (1; -3).
d) Tơng tự:

2 1 0x y x y + + =

Giải
a) Khi a =
3
- 1 hệ có dạng :
2 3 1
( 3 1) 2
5 2 3
( 3 1) 3 3 3 5
5 2 3
x
x y
x y
y

+
=


=




+ =



=



x
a

+
3
a
là hai
đờng thẳng có hệ số góc khác nhau nên cắt nhau.
Vậy hệ luôn có nghiệm với mọi a.
c) Theo câu b) ta có hệ có nghiệm duy nhất
2
3 2
1
a
x
a
+
=
+
; y =
2
3 2
1
a
a

+
nên:
x + y < 0
2 2

+

Giải các hệ phơng trình:
a)
6 6 5
4 3
1
x y xy
x y
+ =



=


; b)
1 2 1
2
2 1 1
5
y x
x y
x y

+
+ =

+


y
ta có hệ :
1
6 6 5
2
1
4 3 1
3
u
u v
u v
v

=

+ =




=


=


;
Từ đó suy ra hệ có nghiệm (2;3).
b) Với điều kiện
1

2
= 0 t = 1.
Vậy:
1 1
1 1 2 2.
2 1 2 1
y y
x y
x x

= = =
+ +
Ta có hệ sau:
2 2 1
5 4
x y x
x y y
= =



+ = =

(Thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ có nghiệm: (1;4).
Giải hệ phơng trình:
1
2 5
x y
y x


1
2 5
x y
y x
=


= +


3
4
x
y
=


=

(thỏa mãn điều kiện (*).
Từ (2) và (2) ta có hệ:
1 1
2 5 2
x y x
y x y
= =



= + =

+ b b = y
0
kx
0
. Thay vào (*) , ta có y = kx + (y
0
kx
0
) , hay:
b) Xét các trờng hợp:
y
1
= y
2
và x
1
x
2
: Đờng thẳng MN//Ox có phơng trình: y = y
1
(= y
2
)
x
1
= x
2
và y
1
y