Ch ơng 5 . Tích phân xác định
5.1. Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân xác định
5.1.1. Tính diện tích hình thang cong.
a. Hình thang cong. Hình thang cong tạo bởi đồ thị hàm f(x) trên [a; b]
là phần mặt phẳng toạ độ đợc giới hạn bởi các đờng y = f(x), y = 0, x = a và
x = b.
b. Bài toán. Hãy tính diện tích hình thang cong tạo bởi đồ thị hàm y = f(x)
trên [a; b].
Gọi S là diện tích hình thang cong tạo bởi đồ thị hàm f(x) trên [a; b]
và T là phép chia [a; b] thành n đoạn tuỳ ý bởi các điểm chia:
a = x
0
< x
1
< x
2
< < x
n
= b.
Qua điểm x
k
(k=
,n1
) dựng các đờng thẳng song song với trục tung.
Thì hình thang cong đ cho đã ợc chia thành n hình thang cong con.
Đặt
k
x

= x
k

] và f(c
k
) (k=
,n1
). Thì diện tích mỗi
hình chữ nhật đó xấp xỉ bằng diện tích của hình thang cong con tơng ứng,
chúng càng gần nhau khi
k
x

càng nhỏ. Khi đó: S
n
=
( )
k
n
k x
k
f c
=


1
S.
Nh vậy, S =
( )
( )
k
n
k x

= b.
Đặt
k
x

= x
k
x
k-1
, l(T) =
k
x
k n
max


1
Lấy tuỳ ý c
k
[ x
k-1
; x
k
] (k=
,n1
) và thành lập tổng S
n
=
( )
k

b
a
f x dx

=
( )
( )
k
n
k x
n
k
l T
lim f c
+
=



1
0
.
2
Chú ý 5.1. Trong định nghĩa 5.1,đ định nghĩa tích phân xác định của hàmã
f(x) trên [a; b] với giả thiết a < b. Nếu a b, bằng cách định nghĩa tơng tự
ta có:
( )
b
a
f x dx

tồn tại
và hữu hạn. Mặt khác, theo định nghĩa tích phân xác định thì sự tồn tại
của
( )
( )
k
n
k x
n
k
l T
lim f c
+
=



1
0
= I (hữu hạn) không phụ thuộc vào cách chọn phép
chia T và cách chọn các điểm c
k
. Vì vậy, khi tính
( )
b
a
f x dx

bằng định nghĩa,
mà hàm f(x) khả tích trên [a; b] thì có thể chọn phép chia T đặc biệt và các

.
Giải. (i)
b
a
dx

. f(x) = 1 (x[a; b]) f(x) liên tục trên [a; b]. Do đó khả
tích trên [a; b]. Theo nhận xét 5.1 có thể chọn phép chia [a; b] đặc biệt và
các điểm c
k
đặc biệt nh sau:
Gọi T là phép chia [a; b] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia:
a = x
0
< x
1
< x
2
< < x
n
= b.

k
x

= x
k
x
k-1
=

=
( )
k
n
k x
k
f c
=


1
=
n
k
b a
n
=


1
= b a.
Vậy
b
a
dx

=
( )
( )
k

+

= b a.
(ii)
b
a
xdx

. f(x) = x (x [a; b]) f(x) liên tục trên [a; b]. Do đó khả
tích trên [a; b]. Theo nhận xét 5.1 có thể chọn phép chia [a; b] đặc biệt và
các điểm c
k
đặc biệt nh ở phần trên. Khi đó,
f(c
k
) = x
k
= a + k
b a
n

(k=
,n1
).
4
S
n
=
( )
k

2
.
Vậy
b
a
xdx

=
( )
k
n
k x
n
k
lim f c
+
=


1
=
( )
( )
n
b a
lim a b a
n
+



( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
=


.
Tính chất 5.3. Với a, b, c là các hằng số hữu hạn bất kỳ ta luôn có:
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
= +

.
Tính chất 5.4. Nếu f(x) g(x) (x [a; b]) thì
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx


.
Tính chất 5.5. Nếu f(x) khả tích trên [a; b] thì nó khả tích trên mọi đoạn
con của [a; b].
Tính chất 5.6. Tích phân xác định không phụ thuộc vào
biến số lấy tích phân. Nghĩa là:
( )
b

2
) = M (x [a; b]).
Theo các tính chất 5.1, 5.4 và kết quả của ví dụ 5.1 (i) ta có:
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
m b a mdx f x dx Mdx M b a
= =

.
( )
b
a
m f x dx M.
b a
= à


1
Chứng tỏ à là một giá trị thuộc tập giá trị của hàm f(x) trên [a; b].
Mà f(x) liên tục trên [a; b] nên theo định lý 2.10, tồn tại c [a; b] sao cho:
f(c) =
( )
b
a
f x dx
b a

1


b a
=
= >

1
0
.
( ) ( )
k
n
b
k x
a
k
f x dx f c
b a b a
=




1
1 1
.
6
Vậy nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì tồn tại c [a; b] sao cho:
f(c) =
( ) ( )
k
n

a
f x dx
b a

1
. Nghiệm
của phơng trình trên thuộc [a; b] chính là điểm cần tìm.
5.3. Mối liên hệ giữa tích phân bất định
và tích phân xác định.
Qua ví dụ 5.1 ta thấy việc tính một tích phân xác định bằng định
nghĩa gặp rất nhiều khó khăn. Để tính tích phân xác định đợc đơn giản
hơn chúng ta xét mối liên hệ giữa tích phân bất định và tích phân xác định
từ đó suy ra phơng pháp tính tích phân xác định.
5.3.1. Tích phân với cận trên biến đổi.
7
Định nghĩa 5.3. Cho hàm f(x) khả tích trên [a; b]. Với mỗi x [a; b], hàm
f(t) khả tích trên [a; x]. Thì
( )

x
a
f t dt
đợc gọi là tích phân với cận trên
biến đổi của hàm f(x) trên [a; b].
Định lý 5.3. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a;b] thì
( )
x
a
f t dt


) F(x) =
( ) ( )
x
x x
a a
f t dt f t dt
+


=
( )
x
x
x
f t dt
+

.
Vì f(x) liên tục trên [a; b] nên liên tục trên [x; x+
x
], theo định lý giá
trị trung bình tồn tại c [x; x+
x
] sao cho:
f(c) =
( )
x
x
x
x

là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]. Vì vậy, nếu hàm f(x) liên
tục trên [a; b] thì:
( ) ( )
x
a
f x dx f t dt C.
= +

Điều này nói lên mối liên hệ giữa TPBĐ và TPXĐ.
8
5.3.2. ứng dụng.
Định lý 5.4. (Định lý Niutơn-Lepnit).
Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x)
trên [a; b] thì:
( )
b
a
f x dx

= F(x)
b
a
= F(b) F(a).
Chứng minh. Theo giả thiết f(x) liên tục trên [a; b] nên với mỗi x [a; b],
f(x) liên tục trên [a; x]. Do đó, f(x) khả tích trên [a; x].
Đặt

(x) =
( )
x




= +



Mà
( )
a
a
f x dx =

0

( )
b
a
f x dx

= F(b) F(a).(đpcm)
Qua định lý 5.4 ta thấy để tích
( )
b
a
f x dx

ta có thể tiến hành nh sau:
Chứng minh hàm f(x) liên tục trên [a; b]; Tìm một nguyên hàm của f(x)
trên [a; b] bằng cách tính F(x) =

+3 xác định, liên tục trên [0;1]và có một
nguyên hàm là F(x) =
1
3
x
3
+ 3x trên [0;1].
áp dụng định lý 5.4 ta có:
( )
x dx
+

1
2
0
3
= (
1
3
1
3
+ 3.1) (
1
3
0
3
+ 3.0) =
4
3
.

b
a
f x dx

(x [a; b]).
Nếu đặt x =

(t) trong đó

(t) tăng (hoặc giảm), khả vi trên [

;

],

(t) liên tục trên [

;

]; có miền giá trị [a; b]; và

(t) 0 ( t (

;

)). Thì:
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx f t t dt

cos x

+

2
0
2 3
, d)
x x dx

2
2 2
0
4
.
Giải. a)
xdx
x +

2
0
3
4 1
. Hàm f(x) =
x
x +
3
4 1
xác định và liên tục khi x >


= = =
+

3
2 3
2
0 1
3 3
3 1 5
1
8 24 8 61 1
4 1
.
b)
x dx

3
2
0
9
.
Hàm f(x) =
x
2
9
xác định và liên tục khi x [3; 3]. Do đó, nó liên
tục và khả tích trên [0; 3].
Đặt x = 3sint = (t) với t
;



3
2
1
0
.

( )
x dx cos tdt cos t dt t sin t
= = + = + =

3
2 2
2 2
0 0 0
9 9 9 9
2 2
9 9 1 2 2
2 2 4 4
0 0
.
c)
dx
cos x

+


;

0
2
, có miền giá trị [0;1];

(x) =
x
cos

1
0
2
2
và là hàm liên tục trên
;


ữ

0
2
. x = 2arctgt dx =
dt
t+
2
2

2
x
2
4
xác định và liên tục khi x [2; 2]. Do đó, nó
liên tục và khả tích trên [0; 2].
Đặt x = 2sint = (t) với t
;

0
2
.
12
Thì (t) là hàm xác định, tăng, khả vi trên
;

0
2
, có miền giá trị
[0;2];

(t) = 2cost 0 và là hàm liên tục trên
;


a a
x
a
u x
dx u x dx
b

=
+

0
1
.
áp dụng: Tính
x
x dx
e

+

2
1
1
1
.
Giải. Vì 0 < b 1 nên
x
b+
1
1

t t x
a a a a
x t t x
a a a a
u x b u t b u t b u x
dx dt dt dx
b b b b



= = =
+ + + +

1 1 1 1
.
2I =
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
a a a a
x x
a a a a
u x b u x
dx dx u x dx u x dx u x dx
b b

+ = = +
+ +

0

2
thoả m n giả thiết của ví dụ 5.4. ã áp
dụng kết quả trên ta đợc:
x
x dx
x dx x
e

= = =
+

2
1 1
2 3
1 0
1
1 1
3 30
1
.
Ví dụ 5.5 Cho hằng số a > 0; hàm f(x) khả tích và là hàm lẻ trên [a; a].
Chứng minh rằng:
( )
a
a
f x dx

=

0

= + = +
= + =


0 0
0 0
0 0
0
á p dụng . Hàm
( )
x
f x
x
=
+
5
2
1
liên tục, do đó khả tích và là hàm lẻ
trên [1; 1]. áp dụng kết quả vừa chứng minh ta có:
( )
a
a
f x dx

=

0
.
5.4.2. Phơng pháp tích phân từng phần.



2
0
, c)
x
arcsin dx
x +

3
1
1
, d)
( )
x
x e
dx
x +

2
1
2
0
2
.
Giải. a)
( )
e
x ln xdx


1
=
( )
e e
x e
x x ln x x

+
=
ữ

2 2
2
1
2 21 1
.
b)
xsinmxdx


2
0
. Hàm f(x) = x sin mx xác định và liên tục trên [0;

2
]. Do
đó, nó liên tục và khả tích trên [0;

2
].

x cosmx sinmx cos sin
m m
m m
π π
π π π
− + = − +
2 2
1 1 1
2 2
2 2 2
0 0
.
c)
x
arcsin dx
x +
∫
3
1
1
. Hµm f(x) = arcsin
x
x + 1
liªn tôc vµ kh¶ tÝch trªn
[1;3].
C¸c hµm u(x) = arcsin
x
x + 1
, v(x) = x lµ c¸c hµm kh¶ vi trªn [1; 3].
u(x) = arcsin

3
2
arcsin
2
2

d x dx
x
x
+ −
+
∫ ∫
3 3
1 1
2
2
1
=
x arctg x arcsin
π π
− + = + − +
3 3
3
1 3 3
4 21 1
.
d)
( )
x
x e

e
x
, v

(x) =
( )
x +
2
1
2
u

(x) = xe
x
(x+2), v(x) =
x +
1
2
.
.
5.5. Tích phân suy rộng
Trong những phần trớc, chúng ta mới tính đợc
( )
b
a
f x dx

khi a, b là
các hằng số hữu hạn; f(x) là hàm liên tục trên [a; b] hoặc là hàm liên tục
trên [a; b] trừ ra một số hữu hạn các điểm mà tại đó hàm f(x) gián đoạn

( )
a
f x dx
+

=
( )
b
a
b
lim f x dx
+

.
17
Nếu giới hạn trên tồn tại và hữu hạn thì tích phân suy rộng
( )
a
f x dx
+

đợc gọi là hội tụ. Trong trờng hợp ngợc lại thì đợc gọi là phân
kỳ.
Ví dụ 5.7. Tính:
dx
x
+
+

2

+

2
1
1
=
( )
b
b b
dx
lim lim arctgb arctga
x
+ +

= =
+

2
1
4
1
.
Hay tích phân suy rộng trên hội tụ.
2. Tích phân suy rộng cơ bản loại 2.
Cho hàm f(x) liên tục trên (; b]. Với mọi a (a < b), thì hàm f(x) liên
tục do đó khả tích trên [a; b]. Nếu tồn tại
( )
b
a
a


đợc gọi là hội tụ. Trong trờng hợp ngợc lại thì đợc gọi là phân
kỳ.
Ví dụ 5.8. Tính:
dx
x



1
3
.
Giải. Ta có: Hàm f(x) =
x
3
1
liên tục trên (;1];
18
= =
ữ


a
a a
dx
lim lim
x a

a (nghĩa là
( )
x a
lim f x
+

= +
). Với mọi

> 0 (đủ nhỏ để a < a+

< b) thì hàm
f(x) liên tục do đó khả tích trên (a+

; b]. Nếu tồn tại
( )
b
a
lim f x dx
+
+


0
. Thì
giới hạn đó đợc gọi là tích phân suy rộng loại 3 của hàm f(x) trên [a; b] và
ký hiệu là
( )
b
a




0
1
2
1
.
Hàm f(x) =
x
2
1
1
liên tục trên (1; 0] và
x
lim
x
+

= +

2
1
1
1
. Với mọi

> 0 (đủ nhỏ để 1 < 1+

< b) thì hàm f(x) liên tục do đó khả tích trên


0
1
2
2
1
. Hay tích phân suy rộng trên hội tụ.
19
4. Tích phân suy rộng cơ bản loại 4.
Cho hàm f(x) liên tục trên [a; b) và f(x) gián đoạn vô hạn bên trái tại
b (nghĩa là
( )
x b
lim f x


= +
). Với mọi

> 0 (đủ nhỏ để a < b

< b) thì hàm
f(x) liên tục do đó khả tích trên [a ; b

]. Nếu tồn tại
( )
+




( )
b
a
f x dx

đợc gọi là hội tụ. Trong trờng hợp ngợc lại thì đợc gọi là phân
kỳ.
Ví dụ 5.10. Tính:
dx
x


0
1
. Hàm f(x) =
x
1
liên tục trên [1; 0) và
x
lim
x


= +
0
1
.
Với mọi

> 0 (đủ nhỏ để 1 < 0

x
+ +



= = +


0
1
0 0
0 1
.
Hay tích phân suy rộng trên phân kỳ.
Chú ý 5.2. (i) Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] trừ một số hữu hạn điểm
gián đoạn loại 1. Thì quy ớc tính
( )
b
a
f x dx

nh tính tích phân xác định.
(ii) Khi tính tích phân xác định bằng phơng pháp đổi biến số, mà sau
khi đổi biến ta đợc một tích phân suy rộng . Thì tính tích phân mới theo
tích phân suy rộng.
20
5.5.2. Tích phân suy rộng.
( )
b
a

dx
x x +

2
1
2
4 3
.
Giải. a)
dx
x x

4
2
0
3
. Hàm f(x) =
x x
x x

=




2
1 1 1 1
3 3
3
là hàm liên tục trên

x x
+ +

= = +

2
3 3
1
3
.
Vậy
dx dx dx dx
x x x
x x
= + +



4 3 4 4
2
0 0 3 0
1 1 1
3 3 3 3 3
3
=
dx dx dx
lim lim lim
x x x
+ + +


4
.
Vậy tích phân đ cho là tích phân suy rộng phân kỳ.ã
21
b)
dx
x x +

2
1
2
4 3
. Hàm f(x) =
( )
x
2
1
1 2
là hàm liên tục trên các miền
(1;
3
2
) và (
3
2
; 2]. Ta lại có:
( )
( )
x x
lim f x lim

lim lim
x x
x x
+ +

+


= +
+


2
1
1 2
3
2 2
2
3
1 1
2 2 2
0 0
2
2 2
4 3
1 2 1 2
( )
lim arcsin arcsin
+


Câu 1: Định nghĩa tích phân xác định; áp dụng định nghĩa đó tính
xdx

2
1
.
Câu 2: Định nghĩa hàm số khả tích trên [a;b]. Chứng tỏ rằng nếu hàm f(x)
khả tích trên [a;b] thì f(x) là hàm bị chặn trên [a;b].
Câu 3: Phát biểu các tính chất của tích phân xác định. Chứng minh định
lý giá trị trung bình.
22
Câu 4: Định nghĩa tích phân với cận trên biến đổi. Chứng minh rằng nếu
f(x) là hàm liên tục trên [a;b] thì đạo hàm của tích phân với cận trên biến
đổi của f(x) trên (a;b) bằng hàm số dới dấu tích phân; từ đó suy ra mối liên
hệ giữa tích phân bất định và tích phân xác định.
Câu 5: Phát biểu và chứng minh định lý Nutơn-Lepnít; từ đó suy ra phơng
pháp tính tích phân xác định trên [a;b] của hàm liên tục trên [a;b].
Câu 6: Phân biệt sự khác nhau giữa một nguyên hàm và tích phân với cận
trên biến đổi của cùng một hàm số trên [a;b].
Câu 7: Định nghĩa các tích phân suy rộng cơ bản và tích phân suy rộng.
Câu 8: Nêu các ứng dụng của tích phân xác định( nêu và mô tả công thức
tính cho từng trờng hợp).
23