1
1
Giải tích toán học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Từ khoá: Giải tích toán học, Giải tích, tích phân không xác định, tích phân, nguyên
hàm, Phép thế Euler.Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục
vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.

Mục lục

Chương 5 Tích phân không xác định 3
5.1 Tích phân không xác định 3
5.1.1 Định nghĩa nguyên hàm 3
5.1.2 Các tính chất 3
5.1.3 Định nghĩa tích phân không xác định 3
5.1.4 Các tính chất của tích phân không xác định 3
5.1.5 Bảng các tích phân cơ bản 4
5.2 Cách tính tích phân không xác định 5
5.2.1 Dựa vào bảng các tích phân cơ bản 5
5.2.2 Tính tích phân nhờ phép đổi biến 6
5.2.3 Phương pháp tính tích phân từng phần 7

r
q
s
ax b ax b
IRx dx
cx d cx d
⎡⎤
++
⎢⎥
=
++
⎢⎥
⎣⎦
∫
18
5.5.3 Tích phân các nhị thức vi phân 18
5.6 Tích phân các biểu thức dạng
2
R( , )
x
ax bx c
+
+
với
0a
≠
19
5.6.1 Phép thế Euler thứ nhất 20
5.6.2 Phép thế Euler thứ hai 20
5.6.3 Phép thế Euler thứ ba 21

=
. Sau đó khi biết vận tốc v, ta cần tìm quãng đường s=s(t) của chuyển động, biết
rằng
ds
v
dt
=
.
5.1.1 Định nghĩa nguyên hàm
Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên tập D, nếu cả hai hàm cùng được xác
định trên tập D và
() () , Fx fx x DD
′
=
∀∈ ⊂\ . (5.1.1)
5.1.2 Các tính chất
Ta có các tính chất sau mà có thể dễ dàng thu được từ định nghĩa.
a) Nếu F và G là các nguyên hàm của hàm f và hàm g tương ứng trên tập D, thì FG
α
β
±

trong đó vµ αβ là các hằng số, là nguyên hàm của hàm fg
α
β
±
trên tập D.
b) Nếu F là nguyên hàm của hàm f trên tập D, thì hàm F+C, trong đó C là hằng số tuỳ ý cũng
là nguyên hàm của hàm f trên tập D.
Ta gọi biểu thức F(x) + C, trong đó C là hằng số tuỳ ý, là họ nguyên hàm của hàm f trên

u
udu C R
α
α
αα
α
+
==+
=+≠−∈
+
∫∫
∫

3) ln| |
4)
uu
du
uC
u
edu e C
=+
=+
∫
∫

5) cos sinudu u C=+
∫

6) sin cosudu u C=− +
∫

u
=+
∫

2
1
12) cth
sh
du u C
u
=− +
∫

2
arcsin
1
13)
arccos
1
uC
du
uC
u
+
⎧
=
⎨
−+
−
⎩


22
arcsin
13 )
ar ccos
⎧
+
⎪
⎪
=
⎨
−
⎪
−+
⎪
⎩
∫
u
C
du
a
a
u
au
C
a
5

22
du 1
15) ln
2
au
C
aau
au
+
=+
−
−
∫

2
2
du
16) ln .uuaC
ua
=+++
+
∫

5.2 Cách tính tích phân không xác định
5.2.1 Dựa vào bảng các tích phân cơ bản
Ví dụ 1:
a) Tính
2
1
(1 )Ixdx=+

dx
I
x
x
=
∫
.
Bởi vì
22
22 22 2 2
1sincos11
sin cos sin cos cos sin
xx
x
xxxxx
+
==+

nên
2
22 2 2
11 1 1
cos si n cos sin
Idxdxdx
xx x x
⎛⎞
=+ = +
⎜⎟
⎝⎠
∫∫∫

⎝⎠
∫

2
4
2
1
1
.
xx
x
Ie dxedxxdx
x
eC
x
−
⎛⎞
=+ = +
⎜⎟
⎝⎠
=−+
∫∫∫6
5.2.2 Tính tích phân nhờ phép đổi biến
Giả sử cần tính tích phân ()fxdx
∫
. Ta hãy đưa vào biến mới ()
x

′
=

b) Phép đổi biến thứ hai
Giả sử hàm f(x) được viết dưới dạng
() [()]. () .fx g x xdx
ψ
ψ
′
=

Khi đó
() [()]. () ()fxdx g x xdx gudu
ψψ
′
==
∫∫ ∫
(5.2.2)
trong đó ()ux
ψ
= .
Nếu () () , th×gudu Gu C=+
∫

() () ()f x dx g u du G u C
=
=+
∫∫
(5.2.3)
Ví dụ 2:

x
xx
xC
=
′
==− =−
=− +
∫
∫∫ ∫

3
2
3
2
)
( 2 2)arctg( 1)
[( 1) 1]arctg( 1)
dx
cI
xx x
dx
I
xx
=
++ +
=
++ +
∫
∫


∫
7
7
2
2
2
2
2
4
2
4
22
Do , ®Æt ta cã
1
arctg
1() 1()
x
x
uu
x
uu
edx
Iux
e
edu de
IeC
ee

IC
⎛⎞
=−+
⎜⎟
⎝⎠11
1
(11 12)
66
uu C=−+11
1
(1 ) (11 1) .
66
x
xC=+ −+
5.2.3 Phương pháp tính tích phân từng phần
Theo qui tắc lấy đạo hàm một tích:
()duv udv vdu
=
+
.
Lấy tích phân cả hai vế ta được
.uv udv vdu=+
∫
∫

1
1
2
44 4
ln ln ln
dx x x
Ix x xdx
x
==−
∫∫4
23
1
42
ln ln
x
x
xxdx=−
∫
44
2
1
424
ln ln
x
dx
xx=−
∫

∫

Đặt u = arcsinx, dv = dx, ta được
2
1
1
du dx
x
=
−
vx=
2
2
1
arcsin
x
Ix x dx
x
=−
−
∫

2
2
1arcsinIx x xC
=
+−+.
c) Tương tự
2
3

xb
=+−
+
+−
=+−
+
∫
∫2
2
4
22
22 2
ln( ) .
2
xb dx
Ixxb dxb
xb xb
b
x
xb xbdx x xbC
+
=+− +
++
=+−++ +++
∫∫
∫


aa a
==+
∫∫
(5.2.5)
Mặt khác 9
9
sin sin
ax
ax
e
ebxdx bxd
a
=
∫∫
sin cos
ax
ax
eb
bx e bxdx
aa
=−
∫
(5.2.6)
Thay (5.2.6) vào (2.2.5), sau một vài phép biến đổi đơn giản, ta được
22
cos sin
cos

với
*
nN∈ .
Ta có
11
cos cos cos cos sin
nn n
x
dx x xdx xd x
−−
==
∫∫ ∫122
12
1
11
cos sin ( ) cos sin
cos sin ( ) cos ( ) cos .
nn
nnn
xxn x xdx
x
x n xdx n xdx
−−
−−
=+−
=+− −−
∫

n
x
dx x x xdx
nn
−−
−
=− +
∫∫
. (5.2.10)
b) Xét tích phân
22
()
n
n
dx
J
xa
=
+
∫
với 0
*
, nNa
∈
≠
Ta biết
1
22
1
arctg

x
nxaxdx
xa
−+
−
−
−
−
==+
+
=−−++
+
∫∫
∫

hay
2
1
221 22
21()
() ()
n
nn
xx
Jndx
xa xa
−
−
=+−
++

+−
=+−
++
=+−−
+
∫

Suy ra
2
1
221
21 23() ( )
()
nn
n
x
naJ nJ
xa
−
−
−= +−
+

hay
1
2212 2
23
21 21
()
()( ) ()

a) Tích phân dạng I
ln| |
A
dx A x a C
xa
=
−+
−
∫
.
b) Tích phân dạng II
1
1
1
1
()
() ()
kk
AA
dx C k
k
xa xa
−
=
−+≠
−
−−
∫
.
c) Tích phân dạng III

Ta hãy xét tích phân thứ hai ở vế phải (5.3.3). Đặt
2
2
24
,,,
pp
x
tq dx dt
α
+= − = =
2222
2
24
()
dx dx dt
xxpq p p t
xq
α
==
++ +
++−
∫∫ ∫

2
22
122
arctg arctg
44
.
dx t x p

−+
=+++ +
−−
MNMpxp
x
px q C
qp qp
(5.3.4)
d) Tích phân dạng IV
22
2
22
()( )
() ()
kk
MMp
xp N
Mx N
Idx dx
xpxq xpxq
++ −
+
==
++ ++
∫∫
(5.3.5)
Tích phân ở vế phải trong (5.3.5) được tách thành hai tích phân. Để tính tích phân thứ
nhất ta đặt
2
x

(5.3.6)
Còn tích phân thứ hai, kí hiệu bằng
2,k
J , ta có
2
222
,
()()
k
kk
dx dt
J
xpxq t
α
==
++ +
∫∫

trong đó
2
,
p
tx=+
2
2
4
p
q
α
=− (5.3.7)


22 2
2
67 2
37
55 5
7
35arctg
55
ln( ) .
ttdt
dt dt
ttt
t
tC
−
=
=−=
++ +
=+− +
∫∫∫

Trở về biến x, ta nhận được
2
2
65 7 2
349arctg
25
55
ln( )

x
x
Idx dx dx
xx xx xx
++
+
== +
++ ++ ++
∫∫∫12
Ta có
11
22 2
2
22
22
(2 1) 1
(1) 1
1
13
(1)
[( ) ]
24
x
JdxC
xx xx
dx
Jdx

==+
+++
∫∫

trong đó
2
3
4
a =

22
2
2212
arctg
3
33
33
4
tt
JC
t
=+ +
+

22
2
1
22121
2
arctg

()
()
m
n
Px
fx
Qx
=
(5.3.8)
trong đó
()
m
Px và ()
n
Qx là các đa thức hữu tỉ bậc m,n tương ứng là:
1
110
() ( 0)
mm
mmm m
Px bx b x bxb b
−
−
=+ +++ ≠
và
1
110
() ( 0)
nn
nnn n

mmnnm
Px D Qx R x
−
=+ (5.3.9)
trong đó
()
mn
Dx
−
và
1
()
m
Rx là các đa thức, đồng thời: m
1
< n
Ví dụ như
432 3
3 3 10 16 ( 3)( 3 4) (3 4)xxx x x xx x−+−+=− +−++
.
Từ (5.3.9), bằng cách chia tử số cho mẫu số ta được
1
()
()
() ()
() ()
m
m
mn
nn

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k l
st
st
nn k ll
Qx ax c x c x px q x px q=− − ++ ++
(5.3.11)
trong đó
11
2( ) ,
kli
ssttnc+++ ++ = là các số thức và
2
40
jj
pq
−
< với i=1,…, k;
j=1,…, k.
Ví dụ như
42 2
1( 21)( 21),xxxxx+= + + − +
32 2
27442(2)(0,5).xxx x x−++=− +

Định lí 5.3.2 (Định lí khai triển)
Một số phân thức hữu tỉ thực sự với mẫu số
()
n
Qx

−

12
2

()
()
k
k
s
s
k
k
k
B
BB
xc
xc
xc
+
++ +
−
−
−11
2
11
Cx D

Mx N
x
px q
+
+
++
22
22
2

()
()
ll
l
tt
t
ll
ll
Mx N
Mx N
xpxq
xpxq
+
+
+++
++
++
(5.3.12)
Các hệ số
1 11

xxx xx x x
+
==++
+
++ ++ +

Từ khai triển trên suy ra
22
111 1 1()()()( )()Ax x Bxx Cx Dxx
=
+++ +++ + (5.3.13)
cho x = 0 ta được A = 1
cho x = −1 ta được B =
1
2
−

cho x = i ta được 1 = −C−D+i(D−C).
Từ đây suy ra C = D =
1
2
−
Do đó
22 2
11111
212
11
()
()()
x


trong đó R là hàm hữu tỉ của hai đối số. Ta có thể hữu tỉ hoá tích phân trên bằng cách đặt
tg
2
,
x
tx
π
π
=−<<.
Thật vậy
2
22 2
21 2
2arctg
11 1
sin , cos , ,
tt dt
xxxtdx
tt t
−
====
++ +
.
Do đó, có thể đưa ra tích phân I về dạng 15
15
2

,
x
tx
π
π
=−<<
.
Khi đó
2
2
2arctg
1
,
x
tdx dt
t
==
+
.
2
2
22
2
1
2121
21
11
dt
dt
t

Ví dụ 2: a) Tính
32
sin cos
dx
I
x
x
=
∫

1
32 3 2
1
cos sin
.
sin cos sin ( sin )
xdx
Idx
x
xxx
==
−
∫∫
Đặt t = sinx
1
32 3
2
11 1 1
21 21
1

2
ln| sin | ln( sin )( sin )
sin
ln| tg | .
sin
IxxxC
x
IxC
x
=− + − − + +
=− + +

b) Tính
3
2
2
sin
cos
x
Idx
x
=
+
∫

2
2
1
2
(cos)sin

23 2
2
cos cos ln(cos )IxxxC=−+ ++
.
Ví dụ 3: a) Tính
1
4
1 sin
dx
I
x
=
−
∫

1
22
1(sin)cos
dx
I
x
x
=
+
∫

Đặt
2
2
222


Ta có
2
1
22
2
11 1 1 1
11
1
22
21 21
2
2
()
()
t
Idt dt dt
tt
t
⎡⎤
⎢⎥
+
==+=+ =
⎢⎥
++
⎢⎥
+
⎣⎦
∫∫ ∫


=
+
∫

2
222 22 2
2
2
11
arctg(())
dt dt b b
ItC
aaabt ba b
t
b
== = +
+
+
∫∫

1
arctg tg().
b
x
C
ab a
=+
Ví dụ 4: Tính
3
2

Ví dụ 5: Tính
22
(1 ) 1
dx
I
x
x
=
−+
∫
.
Đặt sh , ch ,
x
tdx tdt==
2
1ch
x
t+= .
2
22
2
(cth )
sh
1
1sh 2cth
1
sh
dt
dt d t
t

−2
2
11 2
ln .
22
12
xx
C
xx
++
=+
+−

Ví dụ 6: Tính
22
Iaxdx=+
∫
.
Đặt sh , ch , arsh( )
x
xaudxauduu
a
== =
222 22 2
1ch2
sh ch ch
2

cx d
+
=
+
∫

(với m nguyên dương)
Đặt
m
m
m
ax b dt b
tx
cx d
ct a
+−
=⇒=
+
−+
và ta có công thức
(,)()
mm
mm
dt b dt b
IR t dt
ct a ct a
−−
′
=
−+ −+

==
−+
−
+
+
∫∫

Đặt
32
3
332
116
,
1
1(1)
xt t
t x dx dt
x
tt
++
=⇒= =−
−
−−
, từ đây
32
12
3( )
1
11
dt t

=
−
.
5.5.2 Tích phân dạng
,( ) ,( ) ,
p
r
q
s
ax b ax b
IRx dx
cx d cx d
⎡⎤
++
⎢⎥
=
++
⎢⎥
⎣⎦
∫

trong đó ,
p
r
qs
là các phân số tối giản.
Gọi m là bội số chung nhỏ nhất của q và i, đặt .
m
ax b
t

−
==−+−+−
+
∫∫

987654
6( )
987654
tttttt
IC= −+−+− + trong đó
6
1tx
=
+ .
5.5.3 Tích phân các nhị thức vi phân
()
mnp
Ixabxdx=+
∫
, trong đó a,b là hăng số, m,n,p là hữu tỉ
Trước hết đặt
11
1
1
,
n
nn
x
zxzdx zdz
n

m
q
n
+
−=
. Ta thấy p, q là cá số hữu tỉ và 19
19
1
()
pq
Iabzzdz
n
=+
∫

Ta hãy xét các trường hợp sau:
a) Nếu q hữu tỉ, p nguyên. Giả sử
r
q
s
=
, hãy đặt
1
s
tz
=
hay

++
==
∫∫

Giả sử
r
p
s
=
, đặt
1
().
s
abz
t
z
+
=

Ví dụ 3: Tính
4
4
.
1
dx
I
x
=
+
∫

z
zz
z
==
+
+
∫∫

Đặt
1
3
4
442
114
() ,
1(1)
zt
t z dz dt
z
tt
+−
=⇒= =
−−

43 2
42 4
22 2
114
.
4

22
tt tC
⎡⎤
=− + − − + +
⎢⎥
⎣⎦

111
arctg ln| |
221
t
It C
t
−
⎛⎞
=− + +
⎜⎟
+
⎝⎠
với
1
4
4
4
1
()
x
t
x
+

Bình phương hai vế ta có
222
2ax bx c ax axt t
+
+= ± + .
Giả sử trong (5.6.1) lấy dấu – trước a , ta được
2
2
tc
x
bat
−
=
+
. (5.6.2)
Khi đó
2
2
2
at bt c a
ax bx c
at b
++
++=
+
và
2
2
2
(2 )

xaxbxcxt
tt
−−+−
= + +=+=
−−

2
2
2( 1)
(1 2 )
tt
dx dt
t
−+−
=
−
. Thay các biểu thức này vào tích phân trên, ta thu được
2
21
ln| | .
1
1
dt t
IC
t
t
−
=
=+
+

2
,
ct b
x
at
−
=
−

2
2
2
ct bt c
ax bx c xt c
at
−+
++=+ =
−
(5.6.4)
2
22
2
()
ct bt ca
dx dt
at
−+
=
−
. (5.6.5)

1,
1(1)
tt tt
xx dx
tt
+− − +−
+− = =
++

22
(1)
222arctg(1)
22 (1)1
dt d t
ItC
tt t
+
=− =− =− + +
++ + +
∫∫

Thay
2
11
x
x
t
x
++−
=

α
++= −. Bình phương hai vế ta được
2
22
2
()()()
ta
ax x t x x
ta
α
β
αβ α
−
−−=−⇒=
−
(5.6.7)
2
2
22
()( )
ta a a
ax bx c t x t t
ta ta
αβ βα
αα
−−+
++= −= −= =
−−
+−
∫

Giải:
Đặt
2
2
2
2
2( 1) ,
2
t
xx x tx
t
+
+−= − ⇒=
−
22
6
,
(1)
tdt
dx
t
=−
−

2
2
3

21
1
ln ln
221
1
1
xx
xx x
x
IC C
xx xx x
x
+−
+
+−+−
−
=
+= +
+− +−−+
−
−
.
5.6.4 Tích phân eliptic
Khác với phép tính vi phân, trong phép tính tích phân tồn tại những hàm số sơ cấp mà
tích phân không xác định của nó không thể biểu diễn được qua một số hữu hạn các hàm sơ
cấp khác. Những tích phân như vậy được gọi là tích phân eliptic. Ví dụ như
2
22
sin cos
,, , ,sin,cos

5.6 Bài tập chương 5
5.1 Tính các tích phân sau:
2
2
1)
2
x
dx
x −
∫

22
2)
(1 )
x
dx
x
+
∫

23
3
3) 1
x
xdx+
∫

3
8
4)

ch
dx
x
∫

2
3) sh
x
dx
∫

2
4) ch
x
dx
∫

22
5)
sh ch
dx
x
x
∫

5.3 Tính tích phân sau
3
1)
13
x

∫
4) sin ln(tg )
x
xdx
∫

5.5 Tính các tích phân sau
4
6
sin
1)
cos
x
dx
x
∫

∫
35
2)
sin cos
dx
x
x
.
2
3
3)
cos sin
dx

(1 )
dx
x
x+
∫24
3)
11
dx
x
x+++
∫

11
4)
()()
nn
n
dx
xa xb
+
−
−−
∫
.
5.7 Tính tích phân sau:
2
1)