LTĐH 2009 GV VÕ SĨ KHUÂN
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC-HÌNH HỌC
( có giải chi tiết )
B06 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =
a 2
, SA = a
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I
là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng
(SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
HD: Cách 1: Dễ thấy I là trọng tâm ∆ABD ⇒ BI =
2
BM
3
=
a 2
3
và AI =
1 a 3
AC
3 3
=
∆ABI có BI
2
+ AI
2
=
2 2
2 2
2a 3a
a AB
3 9

=
SABC
1 1 1
V . BA.BC.SA
6 6 6
=
=
1
a.a 2.a
36
⇒ V
ANIB =
3
a 2
36
C2:
Xét ∆ABM và ∆BCA vuông đồng dạng ?
·
·
·
·
·
0 0
ABM +BAC =BCA+ BAC =90 90AIB MB AC⇒ = ⇒ ⊥
(1)
SA ⊥(ABCD) ⇒SA ⊥MB (2).
Từ (1) và (2) ⇒MB ⊥(SAC) ⇒(SMB) ⊥(SAC).
Gọi H là trung điểm của AC ⇒NH là đường trung bình của ∆SAC
⇒NH = SA/2= a/2 và NH//SA nên NH ⊥(ABI), do đó V
ANIB

2
= A'D
2
- A'B
2
= a
2
,suy ra ∆BO'D đều BH= ? .
Vì AOO' là tam giác vuông cân cạnh bên bằng a nên:
S
AOO'
= a
2
/2
Vậy thể tích khối tứ diện OO'AB là:
2
1 3
.
3 2 2
a a
V = =
1
y
z
x
B
S
C
D
A

.
1 3
. .
3 6
S ABC ABC
a
V SA S
∆
= =
(đvtt)
+ ∆SAB vuông tại A có AM là đường cao
⇒ SM.SB = SA
2
⇒
2
2
4
5
SM SA
SB
SB
= =
+ ∆SAC vuông tại A có AN là đường cao
⇒ SN.SC = SA
2
⇒
2
2
4
5

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các
cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện
CMNP.
HD:
Gọi H là trung điểm của AD.
Do ∆SAD đều nên SH ⊥ AD.
Do (SAD) ⊥ (ABCD) nên
SH⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ BP (1)
Xét hình vuông ABCD ta có
∆CDH = ∆BCP
CH ⊥ BP (2) .
Từ (1) và (2) ⇒ BP⊥ (SHC) .
Vì MN//SC và AN // CH ⇒(AMN) // (SHC)
Do đó: BP⊥(AMN) ⇒ BP⊥ AM.
Kẻ MK ⊥ (ABCD) , Ta có: V
CMNP
= (1/3)MK.S
CNP
2 3
1 3 1 3
; . ;
2 4 2 8 96
CNP CMNP
a a a
MK SH S CN CP V= = = = =

B07 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC.
Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN
và AC.

, BA = BC = a,
AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA =
2a
. Gọi H là hình chiếu vuông góc
của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến
mặt phẳng (SCD) .
HD:
Kẻ CE vuông góc AD, thì tứ giác OBCE là hình vuông nên CE=AE=ED=a. Sử dụng định
lý Pitago ta có: CD
2
=2a
2
,SC
2
= 4a
2
,SD
2
= 6a
2
;
SD
2
=SC
2
+ SD
2
⇒ ∆ SCD vuông tại C.
b) Gắn vào hệ trục tọa độ Oxyz:
A(0, 0, 0); B(a, 0, 0); C(a, a, 0); D(0, 2a, 0); S(0, 0, a).

2
– AH
2
= 3a
2
⇒A'H =
3a
Vậy
3
'.
1
' .
3 2
A ABC ABC
a
V A H S= =
Trong tam giác vuông A'B'H có: HB'
2
= A'B'
2
+ A'H
2
=4a
2
nên tam giác
B'BH cân tại B'. Đặt ϕ là góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C' thì ϕ = B'BH
·
BH/2 1
' ;cos =
BB' 2.2 4

D
I
B
H
LTĐH 2009 GV VÕ SĨ KHUÂN
B08 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB =
3a
và
mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai
đường thẳng SM, DN.
Gọi H là hình chiếu của S trên AB, suy ra SH ⊥ (ABCD). Do đó SH là đường cao của hình
chóp S.BMDN.Ta có: SA
2
+ SB
2
= AB
2
nên tam giác SAB vuông tại S, suy ra SM = AB/2
Do đó tam giác SAM đều, suy ra SH =
3a
/2 . Diện tích tứ giác BMDN là
S
BMDN
=S
ABCD
/2 = 2a
2
.Thể tích khối chóp S.BMDN là V
SBMDN

a
SME
a
ϕ ϕ
= = =

D08 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh
bên AA' =
2a
. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C.
HD:
Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông cân tại B. Thể tích khối lăng trụ là
V
ABC.A'B'C'
= AA’.S
ABC
=
3
2
1 2
2.
2 2
a
a a =
(đvtt).
Gọi E là trung điểm của BB’.Khi đó mặt phẳng (AME) song song với B’C nên khoảng
cách giữa hai đường thẳng AM,B’C bằng khoảng cách giữa B’C và mặt phẳng (AME).
Nhận thấy khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME) bằng khoảng cách từ C đến mp(AME).
Gọi h là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME).