Tài liệu Ôn thi Đại Học
LỜI NÓI ĐẦU
Các em học sinh thân mến!
Chắc rằng tất cả các em đều có mơ ước thành đạt trên con đường học vấn; Tuy nhiên không
phải dễ dàng bởi trước tiên các em phải bước vào được ngưỡng của Đại học, điều mà không dễ ai
cũng làm được.
Bằng kinh nghiệm của bản thân, tôi viết tài liệu này ngõ hầu trang bị thêm cho các em những
kiến thức, kĩ năng, phương pháp giải các phương trình lượng giác, giúp các em tự tin trước khi bước
vào trường thi;
Mong rằng với kinh nghiệm của tôi cộng với lòng đam mê, khát khao của các em sẽ giúp các
em thành đạt trên đường học vấn.
Tài liệu chia làm 3 phần Trang
- Phần I : Tóm tắt lý thuyết : 2-6
- Phần II : Phương pháp giải
- 1- Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 6-8
2- Phương trình đưa về phương trình đối xứng đối với sinx và cosx 8-11
3-Phương trình đưa về phương trình đẵng cấp bậc n đối với sinx và cosx 10-12
4-Phương trình lượng giác dùng công thức hạ bậc 12-14
5-Phương trình lượng giác đưa về dạng chuẩn dùng công thức nhân ba 14-16
6-Phương trình lượng giác dùng phương pháp đặt ẩn phụ 16-21
7- Phương trình lượng giác dùng phương pháp so sánh 21-25
8- Tìm nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện cho trước 25-27
9- Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước
27-29
10- Giải và biện luận phương trình lượng giác theo tham số 29-31
11- Bài toán hai phương trình tương đương 31-34
12- Một số bài toán dùng nhiều phép biến đổi lượng giác để đưa vế phương trình tích có
nhiều cách giải khác nhau tùy vào cách nhìn 34-37
- Phần III: các bài tập tự luyện. 38-41
Nhâm Thìn 2012
Hoàng Kim Dĩnh

α
α
cos
sin
, α ≠
2
π
+ kð, k∈Z ; cotα =
α
α
sin
cos
, α ≠ kð, k∈Z
tanα. cotnα = 1, α ≠k
2
π
k∈Z

x
2
sin
1
= 1 + cot
2
α , α ≠ kð, k∈Zx
2
cos

2
π
sin(
2
π
+α) =cosα ; cos(
2
π
+α) = -sinα; tan(
2
π
+α) =-cotα ; cot(
2
π
+α) =-tanα
4) Công thức cộn g
sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa ; sin(a-b) = sinacosb - sinbcosa ;
cos(a+b) = cosacosb – sinasinb ; cos(a-b) = cosacosb + sinasinb ;
tan(a+b) =
ba
ba
tantan1
tantan
−
+
; tan(a-b) =
ba
ba
tantan1
tantan

a ; cos3a = 4cos
3
a – 3 cosa
Hong Kim Dĩnh Trang : 2
Tài liệu Ôn thi Đại Học
tan2a =
aa
a
tantan1
tan2
−
6) Công thức hạ bậc
sin
2
a =
2
2cos1 a−
; cos
2
a =
2
2cos1 a+
sin
3
a =
4
3sinsin3 aa −
; cos
3
a =

cos
2
ba −
; sina - sinb = 2cos
2
ba +
sin
2
ba −
;
cosa + cosb = 2cos
2
ba +
cos
2
ba −
; cosa - cosb = -2sin
2
ba +
sin
2
ba −
;
tana + tanb =
ba
ba
coscos
)sin( +
; tana - tanb =
ba

π
) =
2
cos(x +
4
π
)
II/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1-Phương trình lượng giác cơ bản
Với u, v biểu thức của ẩn x.
sinu = sinv ⇔



+−=
+=
ππ
π
2 vu
k2 vu
l
cosu = cosv ⇔



+−=
+=
π
π
2 vu

acotax + b = 0 (4)
b) Cách giải :
(1) ⇔ sinx = -
a
b
 /-
a
b
/ > 1 thì phương trình vô nghiệm ;
* /-
a
b
/≤ 1 thì đặt sinv= -
a
b
; v ∈ [-
2
π
,
2
π
]
Ta được phương trình lượng giác cơ bản : sinx = sinv
(2) tương tự (1) , v ∈ [0.ð]
(3) ⇔ tanx = -
a
b
, x
≠


b) Cách giải : Đặt t = cosx , sinx , tanx, cotx
(5),(6),(7),(8) ⇔ at
2
+ bt + c = 0 (9)
là phương trình bậc hai đối với t, giải phương trình (9) ta tìm t
biết t ta suy ra x với lưu ý :
t = cosx, sinx thì /t/ ≤ 1
4 -Phương trình bậc nhất đối với sin, cos
a) Dạng : asinx + bcosx = c (10) với a, b,c ∈ R
b) Cách giải :
Cách 1 Chia hai vế cho
ba +
2
Đặt cosv =
22
ba
a
+
; b / sinv =
22
ba
b
+
,v ∈ [0.2ð]
Lúc đó (10) ⇔ sinxcosv + sinvcosx =
22
ba
c
+
⇔ Sin(x + v) =

x
Bước 1 : Xem các giá trị của x = ð + 2kð ,( k∈ Z ) có phải là nghiệm của
(10) hay không ?
Bước 2 : Với x
≠
ð + 2kð ,( k∈ Z ), đặt t=tan
2
x
(10) ⇔ (b+c)t
2
– 2at +c – b = 0 phương trình bậc hai theo t .
6 -Phương trình đối xứng đối với sin, cos
a) Dạng : a(sin x + cosx) + bsinx cosx + c = 0 (11) với a, b,c ∈ R
a/sin x + cosx/ + bsinx cosx + c = 0 (12)
b) Cách giải : Đặt t = sin x + cosx =
2
sin(x+
4
π
) , /t/ ≤
2
t = /sin x + cosx/ =
2
/sin(x+
4
π
)/ , 0≤/t/ ≤
2
khi đó : sinx cosx = (t
2

khi đó : sinx cosx = (1 - t
2
) /2 và phương trình (13),(14)
trở thành phương trình bậc hai theo t, chọn t thoả mãn điều kiện sau đó
giải phương trình lượng giác cơ bản
2
sin(x-
4
π
) = t hay
2
/sin(x-
4
π
)/=t
6 -Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin, cos
a) Dạng : asin
2
x + b sinx cosx + c cos
2
x + d = 0 (15), với a, b,c,d ∈ R
b) Cách giải :
Cách 1 Sử dụng công thức hạ bậc :
sin
2
a =
2
2cos1 a−
; cos
2

Tài liệu Ôn thi Đại Học
- Không được cộng độ và radian với nhau . Thí dụ không được viết
x = 90
0
+ kð mà phải viết x =
2
π
+ kð hoặc x = 90
0
+ k360
0
.
- Phải chỉ rỏ các giá trị k, l, m, n … trong nghiệm.
- Cần nhớ gía trị đặc biệt của các hàm lượng giác để làm toán cho nhanh.
PHẦN II : PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1) Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Bài 1 Giải các phương trình sau :
a) 2 + cos2x = -5sinx (Đề thi ĐHQG Hà Nội 97 khối D)
b) cos2x + 3cosx + 2 = 0 (Đề thi ĐH Đà Nẵng 97 khối D)
c) cos
2
x + sinx +1 = 0 (Đề thi ĐH Đà Lạt 2001 khối D)
d)
x
x
sin1
cos
−
= 1 + sinx (Đề thi ĐH Huế 97 khối D1)
e)

Trước khi giải các phương trình này các em hãy đọc qua tất cả các phương trình để tập nhận
xét, rồi nhận dạng trên cơ sở đó chọn cách biến đổi sử dụng công thức thích hợp cho từng
phương trình để chuyển từng phương trình về dạng bậc hai đối với một hàm lượng giác
Bài giải
a) 2 + cos2x = -5sinx
Nhận xét : Chỉ chứa sinx, cos2x ta nghĩ ngay ra rằng biến đổi cos2x về sinx bằng công thức
nhân đôi cos2x=1-2sin
2
x thì ta được phương trình bậc hai theo sinx.
Giải
2 + cos2x = -5sinx ⇔ 2 + (1 – 2sin
2
x ) = -5 sinx ⇔ 2sin
2
x – 5sinx – 3 = 0 (1) ;
(1) là phương trình bậc hai đối với sinx , ta đã biết cách giải bằng cách đặt t = sin x ,
/t/ ≤ 1 ta được phương trình bậc hai : 2t
2
– 5t – 3 = 0 ⇔



−=
=
2/1
3
t
t
, Với 2 giá trị t tìm được
chúng ta nhớ phải kiểm tra lại điều kiện /t/ ≤ 1,như vậy t=3 loại;




+=
+−=
ππ
ππ
kx
kx
26/7
26/
, (k∈ Z) .
b) cos2x + 3cosx + 2 = 0
Nhận xét : Phương trình chỉ chứa cosx và cos2x nên ta sử dụng công thức nhân đôi
cos2x = 2cos
2
x – 1 thì ta được phuơng trình bậc hai theo cosx :
cos2x + 3cosx + 2 = 0 ⇔ 2cos
2
x –1 + 3cosx +2 = 0
Hong Kim Dĩnh Trang : 6
Tài liệu Ôn thi Đại Học
⇔ 2cos
2
x + 3cosx +1 = 0 (các em tự giải tiếp)
c) cos
2
x + sinx +1 = 0
Nhận xét : Phương trình chỉ chứa cos
2

x ⇔ cosx = cos
2
x
⇔ cos
2
x- cosx = 0 ⇔ cosx(1-cosx)= 0




=
=
1cos
0cos
x
x

 Ta thấy cosx = 0 không thỏa mãn điều kiện sinx
≠
1
 Với cosx = 1 ta có : cosx = cos0 ⇔ x = 2kð , (k∈ Z)
Vậy : Nghiệm phuơng trình : x = 2kð , (k∈ Z)
e)
xx 2coscos5 −
+ 2sinx = 0 (*)
Nhận xét Phương trình có ẩn trong căn bậc hai, nên thường ta tìm cách làm mất căn bậc hai,
nếu ta chuyển 2sinx về vế phải rồi bình phương thì ta được phương trình chứa cosx, cos2x, sin
2
x dễ
dàng chuyển về phương trình bậc hai theo cosx, tuy nhiên chúng ta lưu ý rằng :

Với cosx= 1/2 ⇔



+−=
+=
ππ
ππ
23/
23/
kx
kx
, (k∈ Z)
Do sinx ≤ 0
Vậy : Nghiệm của phương trình là x = -
3
π
+ k2ð , (k∈ Z)
f) 3sinx + 2/cosx/ - 2 = 0 (*)
Nhận xét Phương trình có ẩn trong gí trị tuyệt đối , nên thường ta tìm cách phá giá trị tuyệt đối
bằng định nghĩa, nhưng đối với bài toán này ta có thể bình phương thì quá trình giải đơn giản hơn:
Giải
(*) ⇔ 2(/cosx/ - 1) = -3sinx
⇔ 4(/cosx/ - 1)
2
= 9sin
2
x (1) , 0 ≤ sinx
(1) ⇔ 4cos
2

 1-cos
2
x = cosx(1+cosx)
 2cos
2
x + cosx - 1 = 0




=
−=
2/1cos
1cos
x
x
(thoả mãn điều kiện bài toán)
Vậy Nghiệm của phương trình là : x = (2k+1)ð
x = +
3
π
+ 2lð (k,l,m∈ Z)
x = -
3
π
+2mð
h) cos(2x +
4
π
) + cos(2x-

4
2
x
+ cos
4
2
x
= 1 – 2sinx
Giải
sin
4
2
x
+ cos
4
2
x
= 1 – 2sinx  1-
2
1
sin
2
x = 1 –2sinx  sin
2
x –4 sinx = 0
 sinx(sinx –4) = 0 



=

2
x)tan2x (Đề thi ĐH - khối A-B-D 84 )
2-Phương trình đưa về phương trình đối xứng đối với sinx và cosx
Nều trong phương trình chỉ có sinx+cosx và sin2x thì ta đưa về phương trình đối xứng đối
với sinx và cosx.
Lưu ý Khi đặt t=sinx+cosx , /t/ ≤
2
thì :
sinx cosx = (t
2
-1)/2 và một số biểu thức đối xứng cần nhớ
sin
3
x + cos
3
x = (-t
3
+ 3t) /2 ; sin
4
x + cos
4
x = (-t
4
+2t
2
+1)/2
Hong Kim Dĩnh Trang : 8
Tài liệu Ôn thi Đại Học
Đương nhiên vì sinx và cosx đều có thể biểu diễn theo t=tan
2

x = sin2x(Đề thi ĐH Nnghiệp I 2000 -)
Bài giải
a) sinx cosx = 6(sinx+cosx-1)
Nhận xét Đây là phương trình đối xứng đối với sinx, cosx rất rõ ràng, ta chỉ cần thực hiện
theo đúng cách giải thì không khó khăn gì.
sinx cosx = 6(sinx+cosx-1)
* Đặt t = sinx+cosx =
2
sin(x+
4
π
) , điều kiện /t/ ≤
2
thì phương trình viết lại :
(t
2
– 1)/2 = 6(t-1) ⇔ t
2
– 12t +11 = 0
⇔ t = 1 hoặc t = 11 (loại ) ⇔
2
sin(x+
4
π
) = 1
⇔ sin(x+
4
π
) = 1/
2

(k,l,m∈ Z)
b) sinx cosx +2sinx +2cosx =2
sinx cosx +2sinx +2cosx =2
⇔ sinx cosx +2(sinx +cosx) =2 ( cách giải như trên )
c)
12sin
sincos
+
+
x
xx
=1
Nhận xét : Phương trình chỉ chứa sinx + cosx và sin2x ta đặt t như trên. Tuy nhiên lưu ý
chứa ẩn ở mẫu số nên trước khi giải cần đặt điều kiện sin2x
≠
1 .
Giải
 Điều kiện : sin2x
≠
1
 Với điều kiện trên phương trình viết lại :
 cosx + sinx = sin2x + 1
 Đặt t = sinx+cosx =
2
sin(x+
4
π
) , điều kiện /t/ ≤
2
thì ta có :

sin(x-
4
π
) =1
Nhận xét : Trong phương trình chứa
2
sin(x-
4
π
) = sinx - cosx và sin2x , sau khi biến đổi ta
có phương trình giống bài d,e . (Các em tự giải)
g) /sinx+cosx/+3sin2x =1
Nhận xét : Trong phương trình chứa /sinx+cosx/ và sin2x nên theo cách giải ta đặt :
t= /sinx+cosx/ =
2
/sin(x+
4
π
)/ với điều kiện 0≤t ≤
2
Giải
Với cách đặt như trên thì phương trình /sinx+cosx/+3sin2x =1 viết lại như sau :
t + 3(t
2
– 1 ) = 1 ⇔ 3t
2
+ t – 4 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t =
3
4
−

x – sin
3
x = (cosx – sinx)( sin
2
x + sinx cosx + cos
2
x) =(cosx – sinx)( 1 + sinx cosx )
như vậy phưong trình chỉ chưá cosx-sinx và sinx cosx ta đã biết cách giải.
Giải
1+cos
3
x – sin
3
x = sin2x ⇔ 1+ (cosx – sinx)( 1 + sinx cosx ) = 2sinx cosx
Đặt t = sinx – cosx =
2
sin(x-
4
π
) , điều kiện /t/ ≤
2
thì phương trình viết lại :
1-t[1+(1-t
2
)/2]=1-t
2
⇔ t=0 hoặc t
2
+ 2t + 3 = 0 (vô nghiệm)
 sin(x-

π
+2mð , x = -ð+ 2lð )
c) sin2x -4(sinx – cosx) = 4 (ĐS : x = -
2
π
+2mð , x = 2lð )
d) /xinx-cosx/ + 4sin2x = 1 (ĐS : x =
2
π
+2mð , x = ð+ 2lð )
x = -
2
π
+2nð , x = 2kð )
3-Phương trình đưa về phương trình đẵng cấp bậc n đối với sinx và cosx
Bài 5 Giải các phương trình sau :
a) 2sin
2
x – cosx sinx – cos
2
x = -1 (Đề thi ĐH Nông N1 1997 - A)
Hong Kim Dĩnh Trang : 10
Tài liệu Ôn thi Đại Học
b) 3cos
4
x – 4cos
2
x sin
2
x + sin

2
x = -1 ⇔ 2sin
2
x – cosx sinx +1– cos
2
x = 0
⇔ 2sin
2
x – cosx sinx +sin
2
x = 0 ⇔ 3sin
2
x – cosx sinx = 0
 sinx( 3sinx – cosx ) = 0 ⇔



=−
=
0cossin3
0sin
xx
x
,đây là hai phương trình
đã biết cách giải.
Lưu ý Ta có thể giải cách khác
2sin
2
x – cosx sinx – cos
2

x ta được phương trình bậc 4 theo tanx
tan
4
x – 4tan
2
x +3 = 0 đặt t = tan
2
x , 0 ≤ t thì phương trình viết lại :
t
2
- 4 t + 3 = 0 ⇔ t=1 hay t = 3
+ Với t = 1 ta có tan
2
x = 1 ⇔



−=
=
1tan
1tan
x
x
⇔



+−=
+=
ππ





+−=
+=
+−=
+=
ππ
ππ
ππ
ππ
nx
mx
lx
kx
3/
3/
4/
4/
( k,l,m.n ∈ Z )
c) 4(cos
4
x+ sin
4
x) +
3
sin4x = 0
Nhận xét : Trong phương trình thoạt nhìn vào ta thấy không phải là phương trình đẵng cấp đối
với sinx và sinx. Tuy nhiên nếu biến đổi :

2
2x + 2
3
sin2x cos2x = 2 ⇔ -2sin
2
2x +2
3
sin2x cos2x+2 = 0
 2cos
2
2x +2
3
sin2x cos2x = 0 đây là phương trình đã biết cách giải.
Hong Kim Dĩnh Trang : 11
Tài liệu Ôn thi Đại Học
Lưu ý Thử giải phương trình trên theo hai cách khác nhau để rèn luyện kỷ năng.
d) cos
3
x+ sin
3
x = sinx-cosx
Nhận xét Vế trái cos
3
x+ sin
3
x vế phải sinx-cosx thoạt nhìn ta thấy chúng không có liên quan
gì với nhau , nhưng để ý :
sinx-cosx = (sinx-cosx)(sin
2
x + cos

3
x + cosxsin
2
x – sinxcos
2
x = 0 ⇔ cosx= 0 hay 2cos
2
x + sin
2
x –sinxcosx =0
 cosx = 0 ⇔ x =
2
π
+ kð (k∈ Z)
 2cos
2
x + sin
2
x –sinxcosx = 0 ⇔ 2 + tan
2
x – tanx = 0 (vô nghiệm)
Vậy : Nghiệm của phương trình là : x =
2
π
+ kð (k∈ Z)
Bài 6 Giải các phương trình sau : (tự giải)
a) 3sin
2
x – 2sinx cosx – cos
2

4
x + 3cos
3
xsinx +6cos
2
xsin
2
x-cosxsin
3
x+cos
4
x = 2 (Đs : x =
2
π
+ kð, x= lð)
e) 4(sin
3
x+cos
3
x) = cosx + 3sinx (Đề thi dự bị 1-ĐH – 2004-A)
4-Phương trình lượng giác dùng công thức hạ bậc
Khi gặp các phương trình có chứa sin
2
x, cos
2
x , sin
4
x, cos
4
x , sin

3x =
2
3
(Đề thi ĐHQG HN -D - 2000)
c) sin
2
x + sin
2
3x -3 cos
2
2x = 0 (Đề thi ĐH Kế toán – TC - 2001)
d) sinxcos4x +2sin
2
2x = 1-4sin
2
(
4
π
-
2
x
) (Đề thi ĐH Cảnh Sát ND – 2001)
e) sin
6
x + cos
6
x =cos4x (Đề thi HV Ngân Hàng – 1998)
Bài giải
a) cos
2

=2
⇔ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 ⇔ (cos2x+ cos8x) +(cos4x+cos6x) = 0
⇔ 2(cos5xcos3x+cos5xcosx) = 0 ⇔ 2cos5x(cos3x+cosx) = 0⇔ 4cos5xcos2xcosx= 0
Hong Kim Dĩnh Trang : 12
Tài liệu Ôn thi Đại Học
⇔





=
=
=
05cos
02cos
0cos
x
x
x
⇔





+=
+=
+=
ππ




+=
+=
+=
5/10/
2/4/
2/
ππ
ππ
ππ
mx
lx
kx
(k,l,m ∈ Z)
b) sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x =
2
3

Nhận xét : Đây là phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác sin của góc x,2x,3x cách tốt
nhất để giải là chúng ta hạ bậc .
Giải
sin

04cos
x
x
⇔



−=
=
2/12cos
04cos
x
x
⇔





+−=
+=
+=
ππ
ππ
ππ
mx
lx
kx
23/22
23/22

ππ
ππ
mx
lx
kx
3/
3/
4/8/
(k,l,m ∈ Z)
c) sin
2
x + sin
2
3x -3 cos
2
2x = 0 (Đề thi ĐH Kế toán – TC - 2001)
Nhận xét : Đây là phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác sin , cos của góc x,2x,3x
chúng ta cũng làm như trên .
sin
2
x + sin
2
3x -3 cos
2
2x = 0⇔
2
2cos1 x−
+
2
6cos1 x−

+=
+=
ππ
ππ
ππ
kx
kx
kx
2/3
2/2
2/
⇔





+=
+=
+=
3/6/
2/4/
2/
ππ
ππ
ππ
kx
kx
kx
(k,l,m ∈ Z)

x
)
Nhận xét Nếu để ý kĩ thì chúng ta thấy 2sin
2
x biến đổi được về cos4x như vậy vế trái chưá
tích cos4x(sinx –1), còn vế phải con đường tốt nhất là hạ bậc
2sin
2
(
4
π
-
2
x
)= 1-cos2 (
4
π
-
2
x
) = 1-cos (
2
π
-x) = 1-sinx đến dây ta có thể giải được .
Giải
sinxcos4x +2sin
2
2x = 1-4sin
2
(

6
x =cos4x
Giải
sin
6
x + cos
6
x =cos4x  sin
4
x + cos
4
x – sin
2
xcos
2
x =cos4x
 1-3 sin
2
xcos
2
x =cos4x  1-
4
3
sin
2
2x =1-2sin
2
2x  sin2x=0
2x = kð (k∈ Z)  x = kð/2 (k∈ Z)
Bài 8 Giải các phương trình sau : (tự giải)

3x = cos
2
2x+ cos
2
4x (Đề thi ĐHKT HN - 2000)
e) 2cos
2
(
2
π
cos
2
x) = 1 cos(ðsin2x) (Đề thi ĐH Tây Ng -A – 1998)
f) sin
4
x + sin
4
(x+
4
π
)+cos
4
(x+
4
π
)=
8
9
(Đề thi ĐHGTVT - 2001)
g) sin

2
x + 2 = 0 (Đề thi CĐ xây dựng số 2-2005)
n) 3cos4x – 8 cos6x + 2cos
2
x + 3 =0 (Đề thi dự bị ĐH -2003-B)
o)
2 2
3
4sin 3 cos2 1 2cos ( )
2 2
x
x x
π
− = + −
(Đề thi dự bị 1-ĐH – 2005-A)
5-Phương trình lượng giác đưa về dạng chuẩn dùng công thức nhân ba
Khi gặp các phương trình có chứa sin3x, cos3x , sin6x, cos6x , … hay
sinx , sin
3
x hoặc cosx, cos
3
x….thì đầu tiên các em thử dùng công thứcnhân ba để
giải thử xem , sau đó mới tìm cách giải khác.
Hong Kim Dĩnh Trang : 14
Tài liệu Ôn thi Đại Học
Bài 9 Giải các phương trình sau
a) 4sin3x –3cos2x = 3(4sinx – 1) (Đề thi QGHN – A - 1995)
b) sin3x + 2cos2x –2 = 0 (Đề thi Đà Nẵng– A - 1998)
c) 4cos
2







∈
+−=
+=
=
Zmlk
max
lax
kx
,,
2
2
ππ
π
π
.
Vậy Nghiệm của phương trình là :





+−=
+=
=




−=
=
2/3sin
2/1sin
x
x




+=
+=
ππ
ππ
26/5
26/
lx
kx
(k,l∈ Z)
(phương trình sinx= -
2
3
vô nghiệm)
Vậy Nghiệm của phương trình là :




 -4cos
3
x + 8cos
2
x – 3cosx = 0  cosx(-4cos
2
x +8cosx –3)= 0
 cosx=0 hay 4cos
2
x –8cosx +3 = 0
* Với cosx = 0  x =
2
π
+ kð (k∈ Z)
* Với 4cos
2
x –8cosx +3 = 0 



=
=
2/3cos
2/1cos
x
x
 cosx =
2
1
(vì cosx =

mx
lx
kx
2/
23/
23/
(k,l,m∈ Z)
d) sin3x + cos2x = 1+2sinxcos2x
Nhận xét Đây cũng là phương trình có sin3x cho nên gợi ý cho ta biểu diễn toàn bộ các biểu
thức còn lại theo sinx.
Giải
sin3x + cos2x = 1+2sinxcos2x  3sinx – 4sin
3
x + 1- 2sin
2
x = 1+ 2sinx cos2x
 3sinx – 4sin
3
x - 2sin
2
x = 2sinx cos2x  sinx (3-4sin
2
x – 2sinx – 2cos2x) = 0
 sinx [3-4sin
2
x – 2sinx – 2(1-2sin
2
x)] = 0  sinx(1-2sinx) = 0





+=
+=
=
ππ
ππ
π
26/5
26/
mx
lx
kx
(k,l,m∈ Z)
Bài 10 Giải các phương trình sau (tự giải)
a) 4(sin3x - cos2x) = 5(sinx-1) (Đề thi ĐH Luật - 1999)
b) 4sin
3
x –1 = 3sinx -
3
cos3x (Đề thi Hải Quan - 1998)
c) cos3x – 2cos2x = 2 (Đề thi ĐH CSND - 2000)
d) sin3x + sin2x = 5sinx (Đề thi ĐH Y Hải Phòng– 2000)
e) cos10x+2cos
2
4x + cos3xcosx=cosx+8cosxcos
3
3x
(Đề thi ĐH KT-KT –1998)
f) cos3x + cos2x – cosx -1 = 0 (Đề thi ĐH – 2006-D)

) =
2
sinx (Đề thi ĐH SP Hải Phòng B – 2001)
e) sin(
10
3
π
-
2
x
) =
2
1
sin(
10
π
+
2
3x
) (Đề thi ĐH Thủy Lợi – 2001)
BÀI GIẢI
a) 8cos
3
( x+
3
π
) = cos3x
Hong Kim Dĩnh Trang : 16
Tài liệu Ôn thi Đại Học
Nhận xét Giữa hai đại lượng ( x+

2
t =
4
1
.
 Với cost = 0  t =
2
π
+kð x+
3
π
=
2
π
+ kð  x =
6
π
+ kð
 cos
2
t =
4
1




−=
=
2/1cos





+=
+=
+−=
=
ππ
ππ
ππ
π
2n/6
23/
23/2
x
mx
lx
kx
(k,l,m,n∈ Z)
b) sin
3
(x-
4
π
) =
2
sinx
Giải
Đối với bài toán này ta thấy nếu đặt t = x-

t sint = cost 



=−
=
1cossin
0cos
tt
t

 Với cost = 0  t =
2
π
+ kð  x-
4
π
=
2
π
+ kð  x =
4
3
+ kð (k∈ Z)
 -costsint = 1  sin2t = -2 Vô nghiệm .
Vậy Nghiệm của phương trình là : x =
4
3
+ kð (k∈ Z)
c) sin(3x –

(k∈ Z)
Hong Kim Dĩnh Trang : 17
Tài liệu Ôn thi Đại Học
 x+
4
π
= k
2
π
 x = -
4
π
+ k
2
π
(k∈ Z)
Vậy Nghiệm của phương trình là : x = -
4
π
+ k
2
π
(k∈ Z)
Bài 10 Giải các phương trình sau : (tự giải)
a) sin
3
(x+
4
π
) =

b) 3
1tan +x
(sinx+ 2cosx) = 5(sinx + 3cosx) (Đề thi ĐH QGHCM – A2 –98)
c) cot2
x
= tan2
x
+ 2tan2
x+1
(Đề thi ĐH An Ninh – 1999)
d) tan2x + sin2x =
2
3
cotx (Đề thi ĐH Thủy Lợi – 1997)
e) sin2x + 2tanx = 3 (Đề thi ĐH Bách Khoa –A –2001)
f) tanx + 2cot2x = sin2x (Đề thi Học Viện HCQG – 2001)
g) 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx (Đề thi Học Viện Quân Y –2001)
h) tanx +2cot2x = sin2x (Đề thi ĐHSP Hà Nội –2001)
BÀI GIẢI
a) 1 + 3tanx = 2sin2x
Giải
* Điều kiện x
≠

2
π
+ kð đặt t = tanx thì :
1 + 3tanx = 2sin2x  1+ 3t = 4t/(1 + t
2
)

2
π
+k
π
chia hai vế cho cosx ta được phương trình theo tanx do đó
nếu đặt t = tanx ta có thể tìm t suy ra x.
Giải
Với cách đặt như trên phương trình viết lại : 3
1+t
(t+2) = 5(t+3)
 (
1+t
-2)[3(t+1) +
1+t
+ 5] = 0 
1+t
=2  t = 3  tanx = tana (tana =3)
 x = a +k
π
, k
∈
Z (vì 3(t+1) +
1+t
+5 >0 )
Vậy Nghiệm của phương trình : x = a +k
π
, k
∈
Z với tana = 3.
c) cot2

3
(t+1) = 0  t = -1 hay t = 1
Hong Kim Dĩnh Trang : 18
Tài liệu Ôn thi Đại Học
+ Với t = 1 ta có : tan2
x
= 1  2
x
=
4
π
+ k
π
(k
∈
Z
+
)  x = log
2
(
4
π
+ k
π
)
+ Với t = -1 ta có : tan2
x
= -1  2
x
= -

π
),(k,l
∈
Z
+
)
d) tan2x + sin2x =
2
3
cotx
Giải
 Điều kiện : 2x
≠
k
2
π
, k
∈
Z  x
≠
k
4
π
, k
∈
Z
 Với điều kiện trên đặt t = tanx thì phương trình viết lại :
3t
4
+ 8t

π
, (l
∈
Z)
Vậy Nghiệm của phương trình : x =
6
π
+ k
π
, x = -
6
π
+ l
π
, (l,k
∈
Z)
Bài 12 Giải các phương trình sau (tự giải)
a) sin2x + 2tanx = 3 (Đề thi ĐH Bách Khoa –A –2001)
b) tanx + 2cot2x = sin2x (Đề thi Học Viện HCQG – 2001)
c) 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx (Đề thi Học Viện Quân Y –2001)
d) tanx +2cot2x = sin2x (Đề thi ĐHSP Hà Nội –2001)
e) sinx +
3
cosx +
xx cos3sin +
=2 (Đề thi ĐHSP2 Hà Nội –200-DE)
c- Khi gặp những phương trình chỉ có chứa tanx+cotx ,
xtan
1

Bài 13
a) 2cot
2
x + 2/cos
2
x + 5tanx + 5 cotx + 4 = 0 (Cao Đẵng SP Hà Nội a 2001)
b) 3/sin
2
x + 3tan
2
x + 4(tanx + cotx ) – 1 = 0 (Đề số 13 trong bộ đề thi đại học)
BÀI GIẢI
a) 2/cos
2
x +2cot
2
x + tanx + 5 cotx + 4 = 0
 Điều kiện : x
≠
k
2
π
 Đặt t = tanx + cotx , /t/
≥
2 phương trình viết lại :
2t
2
+ 5t + 2 = 0  t = -
2
1

Z
 Với điều kiện trên phương trình viết lại :
3(tan
2
x + cot
2
x) + 4(tanx + cotx) – 1 = 0 .
 Đặt Đặt t = tanx + cotx , /t/
≥
2 ta có :
3(t
2
– 1) +4t – 1 = 0  3t
2
+ 4t – 4 = 0  t = -2 hay t =
3
2
(loại)
 t = -2  x = x = -
4
π
+ k
π
, k
∈
Z.
Vậy Nghiệm của phương trình là : x = -
4
π
+ k

a) 9sin
3
x – 5 sinx + cos
3
x = 0
Ta thấy cosx
≠
0 , nên chia hai vế cho cos
3
x với lưu ý 1+ tan
2
x = 1/cos
2
x thì phương trình viết lại
như sau :
9 tan
3
x –5tanx(1+tan
2
x) +1 = 0  4tan
3
x –5tanx +1 = 0  (tanx-1)(4tan
2
x + 4tanx – 1) = 0
Tới đây ta đã biết cách giải.
Lưu ý Phương trình trên có thể biến đổi để đưa về phương trình đẵng cấp bậc ba đối với sin và cos
như sau : 9sin
3
x – 5sinx(sin
2

x) –4tan
3
x = 6  tan
3
x – 2tan
2
x – 3tanx +6= 0  (tan
2
x-3)(tanx – 2) = 0






−=
=
=
3
3
2
tgx
tgx
tgx







3/
trong đó k,l,m
∈
Z và tana = 2.
d) sinx – 4 sin
3
x + cosx = 0 (tự rèn luyên bằng cách giải theo cách ở trên).
Riêng đối với bài này chúng ta có thể làm cách sau :
 Ta thấy cosx = 0 không phải là nghiệm
 Với cosx
≠
0 ta nhân hai vế của phương trình với cosx ta được :
cosx sinx –4cosx sin
3
x + cos
2
x = 0  sin2x –2sin2x(1-cos2x) + 1+cos2x = 0
 sin2x + cos2x –2sin2xcos2x +1 = 0 đây là phương trình bậc nhất đối xứng đối với sin2x,
cos2x nên ta đặt t = sin2x+cos2x , /t/
≤
2
được :
t –(t
2
–1) +1 = 0  t
2
–t –2 = 0  t = -1 hay t = 2 loại
Với t = -1 ta có sin(x+
4
π

2
2
=A
3
2
= … =A
n
2
= 0
Ngoài ra cần nhớ lại các bất đẵng thức đã học :
 Bất đẵng thức CÔSI :

a
1,
a
2,
a
3
… ,a
n
không âm ta có : (a
1+
a
2 +
a
3+
… +a
n
) /n
≥


ab

Dấu bằng xảy ra

a = b .
 Bất đẵng thức BUNHIACOPSKY (Svacxơ):

a
1,
a
2,
a
3
… ,a
n ,
b
1,
b
2,
b
3
… ,b
n
ta có
(

a
1
b

+a
3
2
+…+a
n
2
) (b
1
2

+b
2
2
+ b
3
2
+….+ b
n
2
)
Dấu bằng xảy ra

a
1
/b
1
=

a
2

x – 4
3
cosx + 2
3
tanx + 4 = 0 (Đề 32.III.2 Bộ đề thi ĐH)
b) sin
2000
x + cos
2000
x = 1 (Đề thi ĐH Đà Nẵng 2000)
c) (cos2x – cos4x)
2
= 6 + 2sin3x (Đề thi ĐH An Ninh 1997)
d) cos
4
x + sin
4
x + 1/sin
4
x + 1/cos
4
x = 8 +
2
sin y
(Đề thi ĐH Y Hà Nội 1996)
e) tanx + cotx =
2
(sinx+cosx) (Đề thi ĐH DL ĐĐ 1997)
f) 2cosx +
2

2
x -4
3
cosx + 3tan
2
x + 2
3
tanx + 4= 0
 4cos
2
x -4
3
cosx + (
3
)
2
+ 3tan
2
x + 2
3
tanx + 1= 0
 (2cosx –
3
)
2
+ (
3
tanx + 1)
2
= 0

 x =
6
π
+ k2
π
(k
∈
Z)
Vậy Nghiệm của phương trình là : x =
6
π
+ k2
π
(k
∈
Z) .
b) sin
2000
x + cos
2000
x = 1
Nhận xét Đây là bài toán có dạnh sin
n
x + cos
n
x = 1 thường ta thay 1=sin
2
x + cos
2
x sau đó biến

 sin
2
x (1-sin
n-1
x) = 0 và cos
2
x(1-cos
n
x) = 0 từ đây ta tìm được nghiệm.
Hong Kim Dĩnh Trang : 21
Tài liệu Ôn thi Đại Học
Giải
sin
2000
x + cos
2000
x = 1  sin
2
x(1-sin
1998
) + cos
2
x(1-cos
1998
x) = 0
 sin
2
x (1-sin
1998
x) = 0 và cos


=
=



=
=
1cos
0sin
1sin
0cos
1sin
0cos
1cos
0sin
x
x
x
x
x
x
x
x
 x = k
2
π
(k
∈
Z)

xx





−=
=
13sin
1sin
2
x
x






−=−
=
1sin4sin3
1sin
3
2
xx
x
 sinx = 1  x =
2
π

+
4
1
a
+
4
1
b
=( a
4
+ b
4
)(1+
44
1
ba
)
ta được (cos
4
x + sin
4
x)(1 +
xx
44
cossin
1
)=(1-2sin
2
xcos
2

sin y





=
=
12sin
1sin
2
x
y








+=
+=
24
2
2
ππ
π
π
lx

Nhận xét Vế trái tanx + cotx =
xxcossin
1
=
x2sin
2
còn vế trái
2
(sinx+cosx) = 2sin(x+
4
π
) do ta được :
tanx + cotx =
2
(sinx+cosx)  sin2x sin(x+
4
π
) =1 













π
( k
∈
Z)
Vậy Nghiệm của phương trình là : x =
4
π
+ 2k
π
( k
∈
Z)
f) 2cosx +
2
sin10x = 3
2
+ 2 cos28x sinx
Nhận xét Nhìn vào phương trình này chúng ta thấy khó có thể tìm một mối quan hệ nào giữa
các hàm lượng giác các góc x, 10x, 28x. Tuy nhiên ta có thể chuyển vế để rồi so sánh :
Giải
2cosx +
2
sin10x = 3
2
+ 2 cos28x sinx  2(cosx- cos28x sinx)= 3
2
-
2
sin10x
Lúc đó : Vế trái áp dụng bất đẵng thức Bunhiacopski cho 4 số cosx, -sinx, 1, cos28x 2(cosx-






−=
=
=
xxx
x
x
sin28coscos
128cos
110sin
2

Giải hệ phương trình này ta được x =
4
π
+ 2k
π
(k
∈
Z)
Vậy Nghiệm của phương trình là : x =
4
π
+ 2k
π
(k

x
2
sin2 −
+sinx
x
2
sin2 −
=3 (Đề 146 III.I)
Hướng dẫn
a) sinx+ cosx =
2
(2-sin3x)
Hong Kim Dĩnh Trang : 23
Tài liệu Ôn thi Đại Học
Biến đổi vế trái sinx+cosx =
2
sin(x +
4
π
)
≤

2

Vế phài
2
(2-sin3x)
≥

2

2
−
= 2(1 + sin
2
2x)
Ap dụng bất đẵng thức Bunhiacopski cho 4 số 1,1,cos3x,
x3cos2
2
−
ta có :
cos3x +
x3cos2
2
−

≤

22
11 +

222
)3cos2(3cos xx −+
= 2
còn vế trái 2(1+sin
2
2x)
≥
2 suy ra phương trình đã cho tương đương với hệ :



3
π
+5x) = 0
sin15x = - sin(
3
π
+5x)  sin15x = sin(-
3
π
-5x) đây là phương trình cơ bản.
2) Khi k=2 phương trình viết lại : sin15x + sin(
3
π
+5x) = 2 , dưạ vào tính chất của
/sinx/
≤
1 , ta sẽ được hệ, giải hệ này ta tìm được nghiệm.
e) sinx + 2sin2x = 3 + sin3x
Biến đổi ta được phương trình : sin2x – cos2x sinx =
2
3
Ap dụng bất đẵng thức Bunhiacopski ta được phương trình vô nghiệm.
f) sin
3
x + cos
3
x = 2 – sin
4
x
Ta có vế trái sin

2 , và sinx
x
2
sin2 −

≤
/sinx/
x
2
sin2 −
áp dụng bất đẵng thức
cô si cho hai số không âm /sinx/
x
2
sin2 −

≤

2
)sin2(sin
22
xx −+
=1
Do đó phương trình tương đương với hệ :





=−

π
) =1 + 2sinx.
Thuộc đoạn [
2
π
,3
π
]. (Đề 16.III.2 Bộ đề thi ĐH)
b) Tìm các nghiệm của phương trình : sinx cos4x – sin
2
2x = 4 sin
2
(
4
π
-
4
x
) –
2
7

Thoả mãn điều kiện : /x-1/
3
.
(Đề thi ĐH SP Hà Nội – 2000 – A)
c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : cos[
)]80016093(
8
2

thuộc đoạn [
2
π
,3
π
]. (Đề 16.III.2 Bộ đề thi ĐH)
Giải
sin(2x+
2
5
π
) –3cos(x -
2
7
π
) =1 + 2sinx  cos2x +3sinx –1- 2sinx = 0
 sinx(2sinx-1) = 0 



=
=
2/1sin
0sin
x
x





13
π
,
6
15
π
,
6
17
π
.
Vậy Nghiệm của phương trình là : x =
π
, 2
π
, 3
π
,
6
13
π
,
6
15
π
,
6
17
π
.

7
 sinx cos4x-sin
2
2x =2-2cos(
2
π
-
2
x
) –
2
7
 sinx cos4x-
2
4cos1 x−
= 2-2sinx –
2
7
 cos4x(sinx+
2
1
) = -2(sinx+
2
1
)
Hong Kim Dĩnh Trang : 25