Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC
Người thực hiện: Triệu Thu Thuỷ
Tổ: Khoa học tự nhiên- Khoa Văn hoá, Ngoại ngữ
Trường Sĩ quan Chính trị - Thành phố Bắc Ninh - Tỉnh Bắc Ninh
Số điện thoại: 0987730790

Đã có rất nhiều phương pháp được đưa ra để giải phương trình bậc 4 trên
trường số phức như phương pháp hệ số bất định, công thức Cardano. Sau đây tôi
xin đưa ra một phương pháp để giải phương trình bậc 4: x
4
+ax
3
+bx
2
+cx+d=0
Rdcba ∈,,,
trên trường số phức, đó là chúng ta sẽ phân tích vế trái của phương
trình đã cho thành nhân tử. Và cách phân tích cụ thể như sau:
1. Phương trình dạng x
4
+ax
2
+bx+c=0 (*)
Cách giải chung: phân tích

( )
( )
2
2
224

p
b
n
2
−
=
thế vào (3) ta được :
)4(
4
.
4
)(
2
22
c
p
b
p
ap
=−
+
.
Trong phương trình (4) ta chỉ cần tìm một nghiệm p mà không cần giải cả
phương trình (4). Sau đó thay vào phương trình (1), (2) tìm n, m và giải phương
trình ban đầu.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau trên trường số phức:
z
4
-24z-32=0
Giải:

pm
. Để giải hệ (1), (2), (3) ta rút
hai ẩn m, n theo p từ (1) và (2) sau đó thế vào phương trình (3).
Từ (1) ta có:
2
p
m =
; từ (2) ta có
p
n
12
=
thế vào (3) ta được :
)4(05761282032
144
.
4
23
2
2
=−+−⇔−=− ppp
p
p
p
.
Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=4, từ đó m=2, n=3.
Vậy phương trình đã cho trở thành:
( )
( )
( ) ( )

Ta có:
( )
( )
2
2
224
5185 nzpmzzzz +−+=−−−

( )
2224
22 pnmpnzzpmz −+−−+=
Đồng nhất hệ số ta có:
( )
( )





−=−
−=−
−=−
35
2182
)1(52
22
pnm
pn
pm
.

Vậy phương trình đã cho trở thành:
( )
( )
( ) ( )



=++
=−−
⇔
=++−−
⇔
=+−+
053
013
053.13
01.92
2
2
22
2
2
2
zz
zz
zzzz
zz
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là :
.
2

( ) ( ) ( ) ( )
( )
2014048
02203216
96962464964881632248
02202162242.82
4
223234
234
=−−⇔
=−+−
+−+−+−++−+−⇔
=−−−−+−+−
yy
y
yyyyyyyyy
yyyy
Ta có :
( )
( )
2
2
4 2
y 48.y 140 y m p y n− − = + − +

( )
4 2 2 2
y 2m p y 2pny m pn= + − − + −

Đồng nhất hệ số ta có:

)6(0576.4560140
576
.
4
3
2
2
=−−⇔−=− pp
p
p
p
.
Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=4, từ đó m=2, n=6.
Vậy phương trình (6) trở thành:
( )
( )
( ) ( )



=−−
=++
⇔
=−−++
⇔
=+−+
0102
0142
0102.142
06.42

234
=+++⇔
=+−+
+−+−+−++−+−⇔
=+−+−+−+−
yyy
y
yyyyyyyyy
yyyy
Ta có :
( )
( )
2
2
4 2 2
y 13.y 18.y 13 y m p y n+ + + = + − +

( )
4 2 2 2
y 2m p y 2pny m pn= + − − + −

Đồng nhất hệ số ta có:
( )
( )





=−

2
2
=−++⇔=−
+
ppp
p
p
p
.
Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=-9, từ đó m=2, n=1.
Vậy phương trình (4) trở thành:
( )
( )
( ) ( )



=−+−
=+++
⇔
=−+−+++
⇔
=+++
0323
0323
0323.323
01.92
2
2
22

234
=+−+− zzzz
Triệu Thu Thủy Trang 5