BÀI TẬP HK 2 – LỚP 10
-
1
-

Bất phương trình bậc 1 :
1. Xét dấu biểu thức
1/ A = 2x + 3 2/ B = 7 – 4x
3/ C = 2x – x
2
4/ D = (2x - 1)(5 -x)(x - 7).
5/ E = -3x
2
+ 2x – 7 6/ F = x
2
- 8x + 15
7/
1 1
3 3
G
x x
= -
- +
8/
2 1 4 6
3 4
( x )( x )
H
x
- +
=

x
-
>
-
2/
2 5
1 2 3
x x
£
- +

3/
4 5
4 2 2 1
x x
-
<
- +
4/
4 2
3 1 2
x x
-
>
+ -

5/
1 3
2
2 1


9/
2 4
1 3
x x
x x
+ +
³
- -
10/
1 2 3
1 3 2
x x x
+ <
- + +

11/
1 1 1
1 2 2
x x x
+ >
- + -
12/
0
1
(5 -x)(x - 7)
x
£
-



3/
3 5 2
x
- <
4/ 2 1
x x
+ <

5/
2 2 3
x x
- > -
6/
2 1
x x
+ ³ +

TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS - THPT LẠC HỒNG
-
2
-

7/
3x – 2 6
³
8/
2 5 1
x x
- £ +

c/ (m + 1) x + m < 3x + 4 d/
2
1
mx x m
+ > +
e/ x + 2m < 1 + 2mx f/
2
1 1 2
( m )x mx
+ > -
g/
5 1 2 3 4
(m )x m x
+ + < +
h/
3 3
ax b bx a
+ > +

5. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm :
a/
2 2
4 3
m x m x m
+ - < +
b/
2
1 3 2
m x m ( m )x
+ ³ + -

2 3 1
17 4 3
x x
x x
ì
- £ -
í
+ < +
î

3/
2 3 3 1
4 5
5
3 8
2 3
x x
x
x
ì
- +
<
ï
ï
í
ï
+ ³ -
ï
î
4/

3
2 2 3 5
4
x
x
( x ) x
ì
-
- >
ï
ï
í
ï
- > -
ï
î
6/
4 5
3
7
3 8
2 5
4
x
x
x
x
ì
-
< +

3 1 2 1 2
2 3 4
3 1 2 1
4 5 3
x x x
x x x
ì
+ - -
- <
ï
ï
í
- - +
ï
+ >
ï
î

9/
2 3
1
1
1 2
0
1
x
x
(x )(x )
x
ì

ï
+ -
î

11/
1
1 2
1
x
x
+
< £
-
12/
2 5
1 2
3
x
x
+
- < £
-

8. Tìm các nghiệm nguyên của hệ phương trình sau:
1/
5
6 4 7
7
8 3
2 25

ï
- <
ï
î

2/ Tìm số nguyên lớn nhất thỏa mãn hệ bất phương trình:

3 1 3 2 5 3
1
4 8 2
4 1 1 4 5
3
18 12 9
x (x ) x
x x x
ì
- - -
- - >
ï
ï
í
- - -
ï
- > -
ï
îBất phương trình bậc 2 :
1. Xét dấu các biểu thức :

= + -

7/ f(x) = -2x
2
+ 3x + 3 8/
2
3 2 8
f(x) x x
= - - +

9/ f(x) = 4 – x
2
10/ f(x) = 2x
2
– 3x
11/ f(x) = (3 – x)(x
2
+ x – 2) 12/ f(x) = (3x
2
+ 7x)(9 – x
2
)
13/
2
2
2 3 5
4
x x
f(x)
x

- - +
=
-

17/
( )
3 2
3 3
2
x x x
f(x)
x x
- - +
=
-

18/
2
2
10
2
2 3
f(x) x x
x x
= + -
- +

2. Giải các bất phương trình sau
1/ –x
2

9/
2
2 5 2 0
x x
- + £
10/
2
2 3
x x
£ -
11/
2
11 3
0
5 7
x
x x
+
>
- + -
12/
2
2
3 2
0
1
x x
x x
- -
£

16/
2 5 3
3 2 5
x x
x x
+ -
<
- +

BÀI TẬP HK 2 – LỚP 10
-
5
-

17/
2
2 4 3
2 7
5
x x
x
x
- -
³ +
-
18/
2
2
3 1
1

2 5 1
3
6 7
x
x
x x
-
<
-
- -
22/
2
3
2
1
x
x x
-
³
+ +

23/
2 3
1 1 2 3
1
1 1
x
x
x x x
+

- +

27/
3 2
2 5 6
0
1
x x x
x(x )
- - +
>
+

28/
3 4
3 2
3 2 5 2 3
0
1 4 2
(x ) ( x ) ( x)
( x) (x )
+ - -
£
- -

3. Tìm những giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm :
a/
2
5 4 2 0
(m )x mx m

x ( m )
- -
x – 2m + 5 = 0
3/ (m – 1)x
2

2
-
(m – 2)x – (7m +1) = 0
4/
2
2 1 3 0
mx (m )x m
- - + - =

TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS - THPT LẠC HỒNG
-
6
-

5. Giải các hệ bất phương trình :
1/
2
2
4 5 6 0
4 12 5 0
x x
x x
ì
- - <

í
- - + >
ï
î
4/
2
2
16 0
2 15 0
x
x x
ì
- £
ï
í
+ - >
ï
î

5/
2
2
2 13 18 0
3 20 7 0
x x
x x
ì
- + >
ï
í

x x
ì
- - + >
ï
í
+
+ >
ï
-
î
8/
( )
( ) ( ) ( )
2
4
2 2 2
5 6
1 10 2 34
x x
x x x
ì
- á
ï
í
ï
+ - ñ -
î

9/
2

4 2 2 1 1 0
x ( m )x m m
- - + + + ³

4/
2 2
2 2 1 1 0
(m )x (m )x
+ - + + ñ

5/
2
2 3 2 3 0
(m )x (m )x m
+ + + + + £

6/
2
2 2 3 1 0
(m )x (m )x m
- - - + - á

7/
2
4 1 5 0
mx (m )x m x
- + + + á "

8/
2

f(x) (m )x ( m )x m
= + - - + +

c)
2
1 2 1 3 2
f(x) (m )x (m )x (m )
= - - + + -
8. (NC) Định m để các bất phương trình sau :
1/
2
1 2 1 3 3 0
(m )x (m )x m
+ - - + - £
vô nghiệm.
2/
2
1 2 3 0
(m )x mx (m )
+ - - - á
Vô nghiệm.
3/
2
2 1 4 0
(m )x (m )x
+ - - + <
Vô nghiệm
4/
2
3 2 4 0

x x x
- + = -
2/
2
4 2 1
x x
- + = -

3/
2 2
5 4 6 5
x x x x
- + = + +
4/
2 5 3 7
x x
- = -
5/
2
5 1 1 0
x x
- - - =
6/
1 2 3
x x
- + - =

7/
4 3
x x

2
2
x x
x (x )
- + +
=
-

2/ Giải các bất phương trình sau :
1/
2
2 3
x x x
- < -
2/
2
1 2
x x
+ - £

3/
2
2 5 3 0
x x
- - <
4/
2
8 3 4
x x x
- > + -

1/ Giải các phương trình sau :
1/
2 3 3
x x
- = -
2/ 5 10 8
x x
+ = -

3/
2
3 1 3
x x x
+ + = 4/
2
2 1 2
x x
- + =

5/
2 5 4
x x
- - =
6/
2
4 6 4
x x x
- + = +

7/

9 3
x x x x
+ - - = +

14/
2 2
1 7 1 10 0
x x
+ - + + =

15/
2 2
6 9 4 6 6
x x x x
- + = - +

16/
2 2
3 15 2 5 1 2
x x x x
+ + + + =

17/
2 2 1 2 2 1 2
x x x x
+ + + + + - + =

BÀI TẬP HK 2 – LỚP 10
-
9

- - £ -

3/ 2 5 8
(x )(x ) x
+ - £ -
4/
3 2 0
x x
- - <

5/
2
3 10 2
x x x
- - > -
6/
2
2 7 5 1
x x x
+ + > +

7/
2
3 8 26 11
(x )( x) x x
- - + > - +
8/
2 2
5 10 1 7 2
x x x x

40 9
45 4
50 2
Cộng 30
a. Lập bảng phân bố tần suất.
b. Vẽ biểu đồ tần số hình cột, đường gấp khúc tần số và biểu
đồ tần suất hình quạt.
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS - THPT LẠC HỒNG
-
10
-

c. Tìm số trung bình cộng, số trung vị, mốt của mẫu số liệu.
d. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu.
2. Đo chiều cao của 36 học sinh của một trường THPT, ta có mẫu
số liệu sau (đơn vị: cm)
160 161 161 162 162 162 163 163 163 164
164 164
164 165 165 165 165 165 166 166 166 166
167 167
168 168 168 168 169 169 170 171 171 172
172 174
a. Tính số trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai và độ
lệch chuẩn của mẫu số liệu.
b. Lập bảng phân bố tần số, tần suất với các lớp ghép là
[160; 163), [163; 166),
c. Vẽ biểu đồ tần suất hình cột, hình quạt.
d. Tính số trung bình và độ lệch chuẩn nhận được từ bảng
trên. So sánh với kết quả nhận được ở câu b.
3. Thành tích chạy 50m của học sinh lớp 10A ở trường C (đơn vị:

b. Xét xem xạ thủ nào bắn giỏi hơn?
5. Cho các số liệu ghi trong bảng sau
Thời gian hoàn thành một sản phẩm ở một nhóm công nhân
(đơn vị:phút)
42 42 42 42 44 44 44 44
44 45
45 45 45 45 45 45 45 45
45 45
45 45 45 45 45 45 45 45
45 54
54 54 50 50 50 50 48 48
48 48
48 48 48 48 48 48 50 50
50 50
a/ Hãy lập bảng phân bố tần số ,bảng phân bố tần suất.
b/ Trong 50 công nhân được khảo sát ,những công nhân có
thời gian hoàn thành một sản phẩm từ 45 phút đến 50 phút
chiếm bao nhiêu phần trăm?
6. Chiều cao của 30 học sinh lớp 10 được liệt kê ở bảng sau (đơn
vị cm):
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS - THPT LẠC HỒNG
-
12
-

145 158 161 152 152 167
150 160 165 155 155 164
147 170 173 159 162 156
148 148 158 155 149 152
152 150 160 150 163 171

bảng phân bố.
9 Số lượng khách đến tham quan một điểm du lịch trong 12 tháng
được thống kê như ở bảng sau:

Thán
g
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12
Số
khách
430

550

43
0
520 55
0
515
55
0
11
0
52
0
430

55
0

1
1
sina cosa
cosa sina
-
=
+
b.
1
1
cosa sina
sina cosa
+
=
-

c.
1
1
cosa
tana
sina cosa
+ =
+
d.
1 2
1
sina cosa
cosa sina sina
+

A = 3(sin
4
x + cos
4
x) – 2(sin
6
x + cos
6
x)
B = cos
2
x.cot
2
x + 3cos
2
x – cot
2
x + 2sin
2
x
C =
2 2
2
cot x cos x sinxcosx
cotx
cot x
-
+
D =
2 2 2 2


E = cos
4
x + sin
2
xcos
2
x + sin
2
x
6. Tính các giá trị lượng giác của góc a, biết:
a. sina =
3
5
và
2
p
< a < p
b. cosa =
4
15
và 0
2
p
< a <

c. tana =
2
và
3

-
khi cosa =
1
3
-
(180
0
< x < 270
0
)
C =
3
2
sina cosa
cosa sina
+
-
khi tana = 3
BÀI TẬP HK 2 – LỚP 10
-
15
-

D =
2 2
2 2
2 2
2 3 4
sin sin cos cos
sin sin cos cos

3
5 4
2 2
sin( a) cos a cot( a) tan a
æ ö æ ö
p p
p + - - + p - + -
ç ÷ ç ÷
è ø è ø

C =
3 3
2 2 2
cos( a) sin a tan a cot a
æ ö æ ö æ ö
p p p
p - + - - + -
ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø

D =
3
4 6 2
2
cot(a )cos a cos(a ) sin(a )
æ ö
p
- p - + + p - - p
ç ÷
è ø

0
406
316
0 0
(cot44 tan26 )cos
cos
+

B =
0
0
23 216
126
0
0
0
sin( 4 ) cos
tan36
sin144 cos
- -
-

C =
0
0
288 72
108
0
0
0

o
+ cos215
o
+ cos275
o
+ cos287
o
.
11. Tính:
a. cosx biết
2 6 2
sin x sin sin x
æ ö æ ö
p p p
- + = +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø

b. sinx biết
2 4 2
cos x sin cos x
æ ö æ ö
p p p
- + = +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø

c. sinx biết
2 2
cos x sin sin(x )

– a), tan(a – 720
0
), cot(450
0
+ a)
biết cosa = 0,96 (360
0
<a < 450
0
)
b.
5
2
cos( a), sin a , tan(a ), cot(a )
æ ö
p
p - + + p - p
ç ÷
è ø

BÀI TẬP HK 2 – LỚP 10
-
17
-

biết sina =
5
13
-
(p < a < 2p )

A B C
sin cos
+
=

e.
2 2
B C A
cos sin
+
= f.
2 2
A C B
tan cot
+
=
g. Tính: tan(3A + B + C).cot(B + C - A)

Công thức cộng
1. Thu gọn các biểu thức:
A = sin32
0
cos62
0
– cos32
0
sin62
0

B = cos44

tan22 tan38
tan22 tan38
+
-
F =
1
0 0
0 0
tan42 tan12
tan42 tan12
-
+

G =
1
1
0
0
tan15
tan15
+
-

2. Thu gọn các biểu thức:
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS - THPT LẠC HỒNG
-
18
-

A =

0

d.
7
12
p
e.
12
p
f.
17
12
p

4. Chứng minh các đẳng thức:
a.
2
4
sinx cosx sin x
æ ö
p
± = ±
ç ÷
è ø

b.
2
4
cosx sinx cos x
æ ö

5. Cho
0
1
45
2
cos(a )
+ =
. Tính cosa và sina.
Công thức nhân
1. Thu gọn các biểu thức:
a. sinx.cosx b.
2 2
x x
sin .cos

c. sin3xcos3x
d. sin15
0
cos75
0
e. cos
2
15
0
– sin
2
15
0
f. 2sin
2

x – sin
4
x b. 3cos
2
x – 4sinxcosxsin
2
x – 1
c.
4 1
cos x
cotx tanx
+
-
d.
1
1 4
sin4x cos4x
cos x sin4x
+ -
+ +

3. Tính:
a. tan15
0
, sin15
0
b. cos67
0
30’ , sin67
0

2
2 2 2 2
x x
cos sin ; x
p
+ = - < < p

e.
2
a
cos
nếu
12 3
13 2
sina ; a
p
= - p < <
f.
2
a
sin
nếu sina = 0,8 và 0
2
a
p
< <

5. Chứng minh:
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS - THPT LẠC HỒNG
-

sin x
tan x
cos x
æ ö
+ p
= +
ç ÷
è ø
d.
2
1 2 1
1 2 1
sin x tanx
sin x tanx
- -
=
+ +

e. 2
cosx sinx cosx sinx
tan2x
cosx sinx cosx sinx
+ -
- =
- +Công thức biến đổi:
1. Biến đổi thành tổng:
a. sin36

0
d. sin70
0
+ sin20
0

e. 2cos2x –1 f. 2sinx –
3

g. tan66
0
+ tan24
0
h. tan54
0
– tan24
0

3. Thu gọn các biểu thức:
a.
2 2
3 3
cos x cos x
æ ö æ ö
p p
- + +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
b.
5

1 1 1
AH AB AC
= +
·
2 2
BA BH.BC; CA CH.CB
= =
·
2
HA HB.HC
=

·
2 2 2
BC AB AC
= +

·
AH.BC AB.AC
=Hệ thức lượng trong tam giác thường:

Một số quy ước trong tam giác ABC
Cạnh: AB = c ; AC = b ; BC = a
Độ dài đường cao : AA’ = h
a
; BB’ = h
b

a b c bc.cosA
= + -2 2 2
2
b a c ac.cosB
= + -2 2 2
2
c a b ab.cosC
= + -

· Định lý hàm số sin:

2
a b c
R
sinA sinB sinC
= = =
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS - THPT LẠC HỒNG
-
22
-

· Định lý về trung tuyến:

2


1/ Cho tam giác ABC , tính a , h
a
, R , r biết :
a) A = 60
0
, b = 8 , c = 5
b) B = 120
0
, a = 5 , c = 3
2/ Cho tam giác ABC , tính góc A , h
a
, m
a
và đường phân giác
trong AD biết :
a) a = 14 , b = 10 , c = 16
b) a = 13 , b = 7 , c = 8
3/ Tính các góc của tam giác ABC biết :
a) a = 2
3
, b = 2
2
, c =
6 2
-
b) a =
6
, b = 2 , c =
3 1

0

a) Tính BC , đường cao AH và trung tuyến AM.
b) Gọi E , F là hình chiếu của H trên AB và AC . Tính EF .
c) Tính độ dài đường phân giác trong AD của DABC .
Cho tam giác ABC có AB = 6 , AC =10 , BC = 14 .
a) Tính góc A , R , r .
b) Phân giác trong góc A cắt BC tại E . Tính BE , CE .
8/ Cho tam giác ABC có AB = 3 , BC = 5 , AC = 6 . Trên cạnh
AB và BC lấy điểm M và K sao cho BM = 2 AM , 3KB =
2KC Tính MK .
9/ Cho tam giác ABC có B = 60
0
, C = 45
0
, a = 3 . Tính b , c .

Chứng minh hệ thức :
1. Cho tam giác ABC . Chứng minh :
a) a = b.cosC + c.cosB b) sinA = sinB cosC + sinC cosB
c) h
a
= 2RsinBsinC d) m
a
2
+ m
b
2
+ m
c

= h
a
2

3. Cho tam giác ABC không cân tại A có hai trung tuyến BD và
CE . Chứng minh rằng :
a) AB
2
.CE
2
– AC
2
.BD
2
=
2 2 2 2 2
2
4
(b c )(b c a )
- + -

b) AB.CE = AC.BD Û b
2
+ c
2
= 2a
2

4. Gọi S là diện tích DABC . Chứng minh rằng :
a) S = 2R

3) Qua M(- 4; 0) và có VTPT
1 5
n ( ; )
=
r

4) Qua B(-2; 6) và có VTPT
0 3
n ( ; )
= -
r

5) Qua hai điểm A(-2; 3) và B(4; - 5).
6) Qua hai điểm M(4; 2) và N(-5; 2).
7) Qua A(2; 3) và song song với trục Ox.
8) Qua M(2; -5) và song song trục Oy.
9) Qua B(6; -3) và vuông góc với phân giác góc xOy.
10) Qua C(-1; 2) và song song với phân giác phần tư thứ II cùa
mp Oxy.
11) Qua D(-3; -2) và song song (d): 3x -2y + 4 = 0.
12) Qua E(0; 2) và vuông góc (d): 2x +3y - 4 = 0.
13) Là đường trung trực của đoạn AB với A(-2; 2) ; B(3; -4).
2/ 1. Chứng minh phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
A(a; 0) và B(0; b) với
0 0
a ;b
¹ ¹
là
1
x y

1. Tìm hình chiếu H của M trên (d).
2. Tìm điểm M’ là đối xứng của M qua (d).
6/ Viết phương trình các cạnh của tam giac ABC trong các trường
hợp sau:
1. Biết hai đường cao (AH): 2x - 7y – 6 = 0;
(CH): 7x – 2y -1 = 0. và cạnh (AC): x – y +2 = 0.
2. Biết đỉnh B(2;-1) và phương trình hai đường cao:
2x - y + 1 = 0; 3x + y + 2 = 0.
3. Biết B(1; 3) đường cao (AH): 2x + y – 4 = 0; trung tuy
ến
(AM): x + 2y + 1 = 0.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
1/ Tìm tọa độ giao điểm của các cặp đường thẳng sau:
1.
1 2
6 8 0 2 2 3 0
(d ): x y vaø (d ): x y
+ - = - - =

2.
1 2
2
2 4 0
1
4
2
x t
(d ): x y vaø (d ):
y t