Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Mục Lục
Phn mt: Nhng vn chung
Ni dung Trang
Lý do chn ti.3
Mc lc nghiờn cu 3
i tng nghiờn cu .3
Nhim v nghiờn cu 4
Phng phỏp nghiờn cu 4
Gi thuyt khoa hc 4
Phn hai: Ni dung nghiờn cu
H thng cỏc bi toỏn s v ch s.
cỏc bi toỏn thờm bt 5
Thờm ch s vo mt s t nhiờn.
Bt ch s.
Cỏc bi toỏn tỡm s lng cỏc s 10
Bi toỏn tỡm cỏc s t nhng s cho trc.
Bi toỏn tỡm cỏc s tha món yờu cu khỏc.
Cỏc bi toỏn tỡm s tha món iu kin cho trc 16
Bi toỏn tỡm hai s khi bit tng v hiu ca hai s ú.
Cỏc bi toỏn v s t nhiờn v tng, hiu, tớch, thng cỏc ch s ca nú.
Cỏc bi toỏn v s t nhiờn v cacỏ ch s to thnh.
Cỏc bi toỏn v tng ca s t nhiờn v cỏc ch s ca nú.
Bi toỏn v trung bỡnh cng.
Cỏc bi toỏn tỡm thnh phn cha bit trong phộp tớnh .30
Cỏc bi toỏn xột ch s tn cựng ca nú 34
Gii thiu mt s bi toỏn thi hc sinh gii 36
Phn ba: Kt lun v xut ý kin.
Ti liu tham kho
Năm học: 2009-2010

a. Tỡm hiu c s lý thuyt v s v ch s.
b. Phõn loi cỏc bi tp s v ch s.
c. Su tm cỏc bi tp nõng cao.
5. Phng phỏp nghiờn cu.
Tham kho ti liu, phõn tớch v tng hp ti liu.
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
6. Gi thuyt khoa hc.
Vic dy hc toỏn s v ch s cho hc sinh tiu hc s giỳp phỏt trin trớ
thụng minh, nng lc t duy linh hot sỏng to c bit l rốn luyn phng phỏp v
kh nng suy lun lụgớc. Nhn dng cỏc bi tp v la trn phng phỏp thớch hp
gii toỏn. ng thi rốn cho hc sinh tớnh tớch cc, c lp sỏng to trong suy
ngh v trong thc hnh. Rốn luyn cho hc sinh c tớnh cn cự, nhn ni trung
thc v vt khú trong hc tp..
Phn hai:
Nội dung nghiên cứu
H thng cỏc bi toỏn s v ch s
1. Cỏc bi toỏn thờm, bt ch s vo mt s t nhiờn
1.1. Bi toỏn thờm ch s vo mt s t nhiờn.
Mun nhõn mt s vi 10, 100, 1000,.ta ch vic vit thờm 1,2,3,ch s 0
vo bờn phi s ú.
T quy tc trờn ta suy ra:
+ Khi vit thờm 1,2,3 , ch s 0 vo bờn phi mt s t nhiờn khỏc 0 thỡ s
ú gp lờn 10, 100, 1000, .ln.
+ Khi vit thờm 1, 2, 3,. ch s khỏc 0 vo bờn phi mt s t nhiờn khỏc 0
ta c mt s mi gp lờn 10, 100, 1000, s ban u cng vi s n v va
vit thờm vo bờn phi s ú.
+ Khi vit thờm 1, 2, 3,. ch s khỏc 0 vo bờn trỏi mt s t nhiờn thỡ s ú
tng lờn s n v ỳng bng giỏ tr ch s ng hng y.

ab
= 4764
(ab x 100 + 12) - ab = 4764 ( phân tích cấu tạo số)
(ab x 100 - ab) + 12 = 4764 (trừ một tổng đi một số)
ab x (100 - 1) +12 = 4764 (nhân một số với một hiệu)
ab x 99 = 4764 - 12 (tìm số hạng)
99 x ab = 4752
ab = 4752 : 99 (tìm thừa số)
ab = 48
Thử lại 4812 - 48 = 4764 (chọn)
Vậy số cần tìm là 48.
Đáp số : 48.
- Trên là các bài toán thêm chữ số vào bên phải một số tự nhiên, ngoài ra ta
còn gặp phải những bài toán thêm chữ số vào bên trái số một số tự nhiên.
Bài toán 3: Nếu viết thêm chữ số 2 vào bên trái một số tự nhiên có ba chữ số
thì nó tăng gấp 17 lần. Tìm số đó?
Bài giải
Gọi số cần tìm là
abc
(a,b,c < 10, a>o)
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Khi viết thêm chữ số 2 vào bên trái số này ta đợc số
abc2
Theo bài ra ta có:
abc2
=
abc
x17

Viết chữ số 0 xen giữa chữ số hàng trăm và hàng chục đợc số mới có dạng
aobc.
Ta có aobc = 7 x abc
a x 1000 + bc = 7 x (a x 100 + bc)
a x 1000 + bc = 700 x a + 7 x bc
1000 x a 700 x a = 7 x bc bc
300 x a = 6 x bc
50 x a = bc (cùng chia cả hai vế cho 6) (1)
Từ (1) suy ra a chỉ có thể nhận giá trị là 1 (vì nếu a 2 thì a x 50 là một số có
ba chữa số nên bc = 50)
Vậy số cần tìm là 150.
Đáp số : 150.
1.2. Bớt chữ số.
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Muốn chia một số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn cho 10, 100, 1000 ta
chỉ việc xóa đi 1,2,3 chữ số 0 ở bên phải số đó.
Bài toán 1: Chia số hàng nghìn của một số có bốn chữ số lớn gấp ba lần hiệu
giữa chữa số hàng trăm và hàng chục của nó. Nếu xóa đi chữ số hàng nghìn thì số đó
giảm đi 9 lần. Tìm số tự nhiên đó?
Bài giải:
Gọi số cần tìm là abcd (a,b,c,d <10, a > 0)
Khi xóa đi chữ số hàng nghìn ta đợc số bcd
Theo bài ra ta có
abcd = bcd x 9
a x 1000 + bcd = bcd x 9 (Phân tích cấu tạo số)
a x 1000 = bcd x 9 bcd (Tìm số hạng)
a x 1000 = 8 x bcd
bcd = a x (1000 : 8) (Tìm thừa số)

thì số đó tăng lên 9 lần?
Bài 4. Cho một số có hai chữ số. Nếu viết thêm bên phải số đó hai chữ số nữa
thì đợc số mới hơn số đã cho 1986 đơn vị. Hãy tìm số đã cho và hai chữa số viết
thêm.
Bài 5. Tìm một số có 5 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 1 vào tận cùng
bên trái hoặc tận cùng bên phải của số đó ta đợc hai số có 6 cha số mà số nọ gấp 3
lần số kia.
2. Các bài toán về tìm số lợng các số.
2.1. Bài toán tìm số các số từ những số cho trớc
Khi gặp các bìa toán tìm số các số từ những số cho trớc, nếu đếm trực tiếp
chúng ta phải viết tất cả các số thỏa mãn yêu cầu đầu bài, rồi đến từng số một. Cách
này rất dài dòng. Vậy khi gặp các bài toán dạng này ngoài cách giải trực tiếp là liệt
kê tất cả các trờng hợp ấy ra rồi đếm thì ta còn có cách giải khác bằng cách tính toán
dựa trên những đặc tính riêng bịêt của từng loại sự kiện. Sau đây là một số bài toán
cụ thể.
Bài toán 1. Với 4 chữ số 6,7,8,9 có thể viết đợc bao nhiêu số có 4 chữ số mà
các chữ số của nó khác nhau?
Bài giải
Cách 1. Gọi số phải tìm là abcd (a 0)
Nhận xét : có 4 cách chọn chữa số hàng nghìn (là một trong 4 chữ số 6,7,8,9)
ứng với mỗi cách chọn chữ số hàng nghìn thì có 3 cách chọn chữ số hàng trăm
(là một trong ba chữ số còn lại)
ứng với mỗi cách chọn chữ số hàng trăm thì có 2 cách chọn chữ số hàng chục
(là một trong hai chữ số còn lại)
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
ứng với mỗi cách chọn chữ số hàng chục thì có một cách chọn chữ số hàng
đơn vị.
Vậy số chữ số có thể viết đợc là : 4 x 3 x 2 x 1 = 24 (số)

4 chữ số trên?
Bài giải
Sử dụng sơ đồ cây ta có: nếu đặt chữ số 1 ở vị trí hàng chục thì hàng đơn vị sẽ
là một số trong 4 chữ số: 1, 2, 3, 4 khi đó ta có sơ đồ sau:

1 1 1 1
2 2 2 2
1 2 3 4
3 3 3 3
4 4 4 4
Vậy số các số có hai chữ số là : 4 x 4 =16 (số)
2.2. Bài toán tìm số lợng các số thỏa mãn yêu cầu khác.
2.2.1. Bài toán tìm số lợng các số thỏa mãn tính chẵn, lẻ.
Bài toán 1: Với 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 em viết đợc bao nhiêu số có 4 chữ
số thỏa mãn một và chỉ một điều kiện trong các điều kiện sau :
a. là số chẵn
b. là số lẻ
Bài giải
a. Gọi số có 4 chữ số là abcd (a 0)
Vì abcd là số chẵn nên có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị (là một trong 3 chữ
số 2, 4, 6)
Số cách chọn chữ số hàng nghìn là 7 cách .
Số cách chọn chữ số hàng trăm là 7 cách.
Số cách chọn chữ số hàng chục là 7 cách.
Vậy các số có 4 chữ số và là số chẵn là :
3 x 7 x 7 x 7 =1029 (số)
b. Gọi số có 4 chữ số là: abcd (a 0)
Vì abcd là số lẻ nên số cách chọn chữ số hàng đơn vị là 4 cách (là một trong 4
chữ số 1, 3, 5, 7)
Năm học: 2009-2010

543, 542, 541, 532, 531, 521, 432, 431, 421, 321
Vậy số các số có 3 chữ số thỏa mãn đề bài là 10 số.
2.2.4. Một số bài toán khác.
Bài toán 1. Có bao nhiêu số có bốn chữ số mà tổng của bốn chữ số đó là
chẵn?
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Bài giải
Gọi abcd (a 0 ) là số gồm bốn chữ số mà a + b + c + d là số chẵn.
Có chín cách chọn chữ số a (là một trong những chữ số khác 0)
Có 10 cách chọn chữ số b (là một trong 10 chữ số)
Có 10 cách chọn chữ số c (là một trong 10 chữ số)
Vậy số cách chọn 3 chữ số a, b, c là 9 x 10 x 10 = 900 (cách)
Để tổng a + b + c + d là số chẵn :
Nếu a + b +c là số lẻ thì phải chọn d là chữ số lẻ, suy ra có 5 cách chọn chữ số
d (là một trong các chữ số : 1, 3, 5, 7, 9)
Nếu a + b + c + d là số chẵn thì phải chọn d là số chẵn, suy ra có 5 cách chọn
d (là một trong các chữ số 0, 2, 4, 6, 8)
Vậy mỗi cách chọn 3 chữ số a, b, c thì có 5 cách chọn chữ số d suy ra các số
gồm có 4 chữ số mà tổng các chữ số là một số chẵn là : 900 x 5 = 4500 (số)
3. Bài toán tìm số thoả mãn điều kiện cho trớc.
3.1. Bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó.
Bài toán 1. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 55 và hiệu của chúng bằng
15?
Bài giải
Khi giải bài bài toán này thì ta cần phân tích bài toán nh sau :
- Nếu ta giả thiết số lớn giảm đi 15 đơn vị thì hai số sẽ bằng nhau (đều bằng số
bé). Bớc này thực chất ta biểu diễn số lớn theo số bé.
- Nh vậy tổng sẽ giảm đi 15 đơn vị và tổng này bằng hai lần số bé.

Ta có sơ đồ
Số thứ nhất :
2
Số thứ hai 51
2 2
Số thứ ba
Số bé nhất là : [ 51 (2 + 2 + 2)] : 3 = 15.
Số thứ hai là : 15 + 2 = 17.
Số thứ ba là : 17 + 2 = 19.
Đáp số : 15, 17 , 19.
3.2. Các bài toán về số tự nhiên tổng, hiệu, tích, thơng các chữ số của nó.
Bài toán 1. Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó gấp 21 lần hiệu của chữ số
hàng chục trừ đi số hàng đơn vị.
Bài giải
Gọi số cần tìm ab ( a 0, a > b; a,b < 10)
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Theo bài ra ta có : ab = 21 x (a b)
a x 10 + b = 21 x a 21 x b (cấu tạo số)
21 x a = a x 10 + b + 21 x b (tìm số bị trừ)
11 x a = b x 1 + 21 x b (cùng bớt đi a x 10)
a x 11 = 22 x b.
a = 2 x b (cùng chia cho 11)
Vậy các số thoả mãn đầu bài là : 21, 42, 63, 84.
Đáp số : 21, 42, 63, 84.
Bài toán 2. Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó gấp 3 lần tích các chữ số của
nó?
Bài giải
Gọi số cần tìm là ab (a 0, b 0; a,b < 10)

a x 10 + 8 = a x 4
14 x a = 8
a = 8/14
8/14 không phải là số tự nhiên nên loại.
- Nếu b = 9 thì a x 10 + 9 = a x 9 x 3
a x 10 + 9 = a x 27
17 x a = 19
a = 9/17
9/17 không phải là số tự nhiên nên loại.
Vậy số phải tìm là 15 và 24.
Đáp số 15 và 24.
Ngoài ra còn nhiều cách giải khác.
3.3. Các bài toán về số tự nhiên và các chữ số tạo thành.
Bài toán 1. Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó gấp 9 lần chữ số hàng đơn vị?
Bài giải
Gọi số phải tìm là ab (a 0; a,b < 10)
Theo bài ra ta có ab = b x 9
Cách 1 : Vì a 0 nên b 0
Vì b x 9 có tận cùng là b (b 0) nên b = 5.
Do đó ab = 5 x 9 = 45
Vậy số phải tìm là 45.
Cách 2 : Vì ab = b x 9 nên
ab = b x (10 1)
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
ab = b x 10 b (một số nhân một hiệu)
ab + b = b0 (tìm số bị trừ)
Vì b + b có tận cùng bằng 0 mà b 0 nên b = 5
Do đó ab = 50 5 = 45

Trần Thị Hải lý
101 + bc + b + c = 106
bc + b + c = 106 101 = 5
bb + c x 2 = 5 do đó b phải là số lẻ
Giả sử lấy giá trị nhỏ nhất của b là 1 thì :
11 + c x 2 = 5. không thể tìm giá trị thích hợp của c vì tổng lại nhỏ hơn một số
hạng của tổng (5 < 11)
Vậy không có số có ba chữ số phù hợp với đầu bài
- Giả sử số phải tìm là số có hai chữ số : ab ( a 0. a, b < 10)
Theo bài ra ta có : ab + a + b = 106
Nếu lấy giá trị lớn nhất của a + b là 9 x 2 = 18 thì giá trị nhỏ nhất của ab là
106 18 = 88 tức a 8
Từ ab + a + b = 106 ta có
aa
+ b x 2 = 106. Suy ra a chẵn vậy a = 8
Khi đó ta có : 88 + b x 2 = 106.
b = (106 88) : 2 = 9
Thử lại : 89 + 8 + 9 = 106
Vậy số cần tìm là 89.
Đáp số : 89.
Bài toán 2. Tìm số có 4 chữ số, biết rằng tổng các chữ số của nó thì bằng hiệu
của 1990 và số phải tìm?
Bài giải
Gọi số phải tìm là abcd (a 0; a,b,c,d < 10)
Theo bài ra ta có : 1990 abcd = a + b + c + d hay
abcd + a + b + c + d = 1990
Nhận xét vì a + b+ c + d + d < 9 x 5 = 45 nên nếu phép cộng có nhớ sang hàng
chục thì nhớ nhiều nhất là 4, do đó phép cộng này không thể nhớ sang hàng trăm.
Vậy ab = 19. khi đó ta có :
19cd + 1+ 9 + c +d = 1990

Số 5 là trung bình cộng của ba số 2, 8 và 5.
- Trờng hợp 3 : Số 5 là số trung bình cộng của bốn số
Ta có : 5 x 4 = 20, trong dãy số không có 4 số nào có tổng bằng 20 (loại)
- Trờng hợp 4 : Số 5 là số trung bình cộng của năm số
Ta có : 5 x 5 = 25. Không có năm số nào trong dãy số có tổng là 25 (loại)
- Trờng hợp 5 : Số 5 là số trung bình cộng của sáu số
Ta có : 6 x 5 = 30. Không có 6 số nào trong dãy số có tổng là 30 (loại)
- Trờng hợp 6 : Số 5 là số trung bình cộng của bảy số
Ta có : 7 x 5 = 35. mà bảy số trong dãy số có tổng là 53 (loại)
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Vậy có các số thoả mãn điều kiện bài toán là :
Số 5 là số trung bình cộng của 2 và 8.
Số 5 là số trung bình cộng của 2, 5 và 8.
Bài tập áp dụng
Bài 1 : Trong một phép trừ biết tổng của hai số bì trừ, số trừ và hiệu bằng 6542
và hiệu lớn hơn số trừ 684. Tìm số bị trừ, số trừ và hiệu?
Bài 2 : Tổng của hai số lẻ liên tiếp là 284. Tìm hai số đó.
Bài 3 : Tìm số có 3 chữ số biết rằng khi chia số đó cho tổng các chữ số của nó
thì đợc thơng là 11?
Bài 4 : Có bao nhiêu số gồm 3 chữ số có tổng các chữ số là 5?
Bài 5 : Trung bình cộng của 3 số là 50. Tìm số thứ ba biết rằng nó bằng trung
bình cộng của hai số đầu?
Bài 6: Tìm số có hai chữ số sao cho nếu lấy 3 lần chữ số hàng chục trừ đi 1thì
bằng chữ số hàng đơn vị.
4. Các bài toán tìm thành cha biết trong một phép tính.
Bài toán 1 :
Xác định các chữ a,b,c, trong phép tính sau:
abc

Vậy b = 8, khi đó ta có các thừa số 286 và 826.
Thực hiện nhân : 286
x
826
1716
572
2288
236236
- Nếu a = 3 thì tích riêng thứ hai : 3bc x 3 = **3.
Suy ra c phải bằng 1. Nhng khi đó tích riêng thứ nhất :
3b1 x 1 không phải là số có bốn chữ số (loại)
Vậy a không thể bằng 3.
Nh vậy ta có phép tính 286 x 826 = 236236.
Bài tập áp dụng
Bài 1 : Tìm số ab biết aba x aa = aaaa
Bài toán 2 : Thay mỗi chữ số trong phép tính sau bởi chữ số thích hợp để phép
tính đúng.
a, abab + ab = 8568
b, 12abc = abc x 97
c, 7ab : 26 = ab.
d, X + XA + XAN + XANH = 4321.
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Bài 3. Thay các chữ a,b,c,d bằng các chữ số thích hợp :
(ab + 15) x cd = 1440.
(ba + 5) x cd = 680
Biết a = b + 1.
5. Các bài toán về xét chữ số tận cùng của số.
Để làm tốt dạng bài tập này học sinh cần nhớ các biểu thức sau :

Vậy 4 số đó là : 11, 12, 13, 14.
Giới thiệu một số bài toán thi học sinh giỏi
Bài toán 1 (Hà NôI 2000)
Tìm tất cả các số chẵn có 3 chữ số mà khi chia mỗi số đó cho 9 ta đợc thơng là
số có 3 chữ số?
Bài toán 2 : (Bắc Giang 2001)
Tìm ba số lẻ liên tiếp có tổng bằng 111.
Bài toán 3 ; (Thái Bình 2001)
Có tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số mà tổng các chữ số của nó bằng 3?
Bài toán 4 : (Vĩnh Phúc 2001)
Tìm tất cả các số có 3 chữ số, biết rằng mỗi số đó chia hết cho 5 và khi chia
số đó cho 9 ta đợc thơng là một sóo có 3 chữ số.
Bài toán 5 : (Hà Tĩnh 2002)
Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 9, chia hết cho 5 và
chia hết cho 2?
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Phần Ba : Kết luận và đề xuất ý kiến
I. Kết luận.
Giải các bài toán số và chữ số là một nội dung kiến thức quan trọng trong ch-
ơng trình môn toán ở Tiểu học. Dạng toán này rất đa dạng và phong phú, mỗi bài
toán có nhiều cách giải khác nhau. Sự phong phú đó buộc ngời giáo viên phải có
những gợi ý, dẫn dắt, hớng dẫn cụ thể cho các em. Trong quá trình giải toán giáo
viên nên vận dụng các phơng pháp linh hoạt sao cho phù hợp với nhận thức của học
sinh, giúp học sinh nắm vững phơng pháp giải toán, tránh đợc sai lần trong giải các
dạng bài tập số và chữ số.
khi giải các bài toán số và chữ số giáo viên cần giúp học sinh phân biệt đợc bài
toán đó thuộc dạng toán nào đã học. Khi giải các bài toán đó càn phải sử dụng những
kiến thức, công thức nào để học sinh giải bài toán một cách tốt nhất.

Xác nhận của BGH
Đồng ích, ngày 29 tháng 5 năm 2010
Ngời viết
Trần Thị Hải lý
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Năm học: 2009-2010
Sáng kiến kinh nghiệm GV:
Trần Thị Hải lý
Năm học: 2009-2010