C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 1 4.1.2 Ổn đònh của hệ tuyến tính
• Ptvp tổng quát mô tả một hệ thống ĐKTĐ :
11
11
11
() () () ()
( ) ( )
nn mm
ono m
nn mm
dct d ct drt d rt
aa actbb brt
dt dt dt dt
−−
−−
+++=+++ (4.1)
• Hàm truyền :
1
1
1
1

() ()
()
() ()
mm

p
t
qd i
i
ct e
λ
=
=
∑

Với
i
p
là nghiệm của phương trình đặc tính (còn gọi là pt đặc trưng):
1
1
0( )
nn
on
As as as a
−
=+ ++=
ii i
p
j
α
β
=±
: được gọi là cực (pole)
Nghiệm của
4.2 Tiêu Chuẩn Ổn Đònh Đại Số
4.2.1 Điều kiện cần :
Điều kiện cần để hệ thống ổn đònh là tất cả các hệ số của ptđt phải khác 0
và cùng dấu.
Ví dụ
:
32
3210sss+−+= → không ổn đònh
42
2530sss+++= → không ổn đònh
432
45210ssss++++=
→ chưa kết luận

4.2.2 Tiêu chuẩn ổn đònh Routh
• Ptđt :
1
11
0
nn
onn
as as a s a

c
c
α
−
−
=

C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 4

• Phát biểu tiêu chuẩn Routh :
Điều kiện cần & đủ để hệ thống ổn đònh là tất cả phần tử nằm ở cột 1 đều
dương. Số lần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 bằng số nghiệm bên phải.

Ví dụ : Xét tính ổn đònh của hệ thống có ptđt
432


0
0
3
1
1
4
a
a
α
==

2
s
31 2 3 3
.ca a
α
=
−

19
52
42
.
=
−=
32 4 3 5
.ca a
α
=

41 3 4 32
.ca c
α
=
−
810
21
99
.
=
−=
0
31
5
41
92 81
10 9 20
/
/
c
c
α
== =

0
s
1

p
dA s
ds
rồi tính tiếp tục.
• Nghiệm của đa thức phụ ()
p
As cũng là nghiệm của ptđt
Ví dụ : Xét tính ổn đònh của hệ thống có ptđt :
5432
488740sssss+++++=
C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 6
2
44()
p
As s=+
→ 80
()
p

- Đường chéo ma trận là các hệ số từ
1
a đến
n
a
- Lần lượt ghi các hàng lẻ và chẵn
• Phát biểu tiêu chuẩn Hurwitz
Điều cần và đủ để hệ thống ổn đònh là tất cả
các đònh thức con chứa đường chéo của ma
trận Hurwitz đều dương

4.3 Phương Pháp Quỹ Đạo Nghiệm Số
4.3.1 Khái niệm
• Hệ thống có ptđt :
2
40ssK++=
• Nghiệm của ptđt ứng với các giá trò K • Đònh nghóa : Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của ptđt khi
có một thông số nào đó trong hệ thống thay đổi từ 0

⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
MMMM M
C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 7
4.3.2 Qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số
• Hàm truyền :
1
()
() ()
k
Gs
G
GsHs
=
+



• Qui tắc 1 : Số nhánh QĐN = bậc của ptđt = số cực của
0
()Gs = n
• Qui tắc 2 : Khi K = 0 các nhánh của QĐN xuất phát từ các cực của
0
()Gs.
Khi
K →∞
, m nhánh tiến đến m zero, n-m nhánh còn lại
→∞
theo các
tiệm cận (xác đònh bởi qui tắc 5,6)
• Qui tắc 3 : QĐN đối xứng qua trục thực
• Qui tắc 4 : Một điểm trên trục thực thuộc về QĐN nếu tổng số cực và zero
bên phải nó là một số lẻ.
• Qui tắc 5 : Góc tạo bởi các đường tiệm cận của QĐN với trục thực :

21
012
()
( , , , )
l
l
nm
π
α
+
==±±
−

() ( )
Gs
Gs l
π
⎧=
⇔
⎨
∠=+
⎩
C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 8
• Qui tắc 7 : Điểm tách nhập (nếu có) của QĐN nằm trên trục thực và là
nghiệm của pt :
0
dK
ds
=

• Qui tắc 8 : Giao điểm của QĐN với trục ảo xác đònh theo 2 cách sau :
- Áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz
- Thay
sj
ω
=
vào ptđt (4.12), cân bằng phần thực & ảo → tìm được giao
điểm & giá trò K
• Qui tắc 9 : Góc xuất phát của QĐN tại cực phức
j
p
tính theo :
0

p
)
• Qui tắc 10
: Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0 →+∞
• Qui tắc 11
: Hệ số khuếch đại dọc theo QĐN xác đònh từ điều kiện biên
độ
1
()
()
N
s
K
Ds
=Ví dụ 4.7 : Vẽ QĐN hệ thống
• Phương trình đặc tính :
10 1 0
23
()
()()
K

3
21 21
1
30 3
1
()
()()
()
()
l
ll
l
nm
l
π
α
ππ π
αα
απ
⎧
==
⎪
⎪
++
⎪
== ⇒=−=−
⎨
−−
⎪
==

2
2549
0 785
,
,
s
s
=−
⎧
⎨
=−
⎩
→ chọn điểm
2
s
• Giao điểm của QĐN với trục ảo :
Cách 1
: Áp dụng tiêu chuẩn Routh
10
23
()()
K
ss s
+=
++
→
32
56 0sssK
+
++= (2)

30
gh
K = vào (2) → giải phương trình :
12 3
56 6,,ssjsj=− = =−3
s
1
6

2
s
5

K

3
1
5
α
=
1
s
1
6
5
.K−
0

2
60
50
jj
K
ωω
ω
⎧
−+ =
⎨
−+=
⎩

→
0
6
0
30
,
K
K
ω
ω
⎧
=
⎧
=±
⎨⎨
=
=

10
820()
K
ss s
+
=
++

• Cực :
123
042
,
,
p
pj==−±, n = 3
• Zero : không có, m = 0
• QĐN có 3 nhánh tiến ra ∞ theo các đường tiệm cận
• Góc tiệm cận
1
2
3
0
3
21 21
1
30 3
1
()
()()
()

• Điểm tách nhập là nghiệm pt 0
dK
ds
=
cực
zero
042 42 08
30 3
[( )( )]jj
OA
nm
−
+−+ +−− −
== =−
−−
∑
∑
C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 11
32
2
10 820
820
()
()
K
Kss s
ss s

108200
820()
K
ss sK
ss s
+=→+++=
++

Thay
sj
ω
=
→
32
820 0() () ()jj jK
ωω ω
+++=
→
32
820 0jjK
ωω ω
−− + +=
2
3
00
80
20 0
20 160
,
,

=− −+ −
{
}
0
180 4 2 0 4 2 4 2[( ) ] arg[( ) ( )]agr j j j= − −+ − + −+ −−−
{}
01 0 0 00 0
2
180 90 180 153 5 90 63 5
4
() , ,tg
−
⎧⎫
=− +=− +=−
⎨⎬
−
⎩⎭


10
()
()
N
s
K
Ds
+=

• Cực :
12 34
03 42
,
,,
p
ppj==− =−± → n = 4
• Zero :
1
1
z
=− → m = 1
→ QDN có 4 nhánh xuất phát từ các cực khi K=0. Một nhánh tiến đến zero
1
1
z
=− , ba nhánh tiến ra vô cùng theo các tiệm cận
• Góc tiệm cận
1
2
3

==
⎪
⎪
⎩

• Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực
• Điểm tách nhập là nghiệm của pt 0
dK
ds
=

(1)
→
2
3820 10()( )()ss s s Ks+++++=
2
3820
1
()( )
()
ss s s
K
s
+++
=−
+


=− ±
⎩

QĐN không có điểm tách nhập
(không nằm trên trục thực)

cực
zero
03 42 42 110
41 3
[ ( )( )( )]()jj
OA
nm
−
+− +−+ +−− −−
== =−
−−
∑∑
C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 13
• Giao điểm của QĐN với trục ảo
Thay
sj
ω
= vào
2
3820 10()( )()ss s s Ks+++++=
432
11 44 60 0()jKjK
ωωω ω
−−+++=

Vậy giao điểm là
5893,sj=± , 322
gh
K
=

• Góc xuất phát tại cực phức
3
p

0
11
180 arg( ) arg( )
mn
j
ji ji
ii
ij
p
zpp
θ
==
≠
=+ −− −
∑∑

0000000
31234
180 180 146 3 153 4 116 6 90 33 7() ,(,,),
θββββ

=
++

• Ptđt : 10() ()GsHs+= →
400
10
6()()
ss s a
+
=
++

Nhận xét : tham số a nằm dưới mẫu số
→ cần đưa về dạng
10
()
()
N
s
K
Ds
+=

64000()()ss s a+++=
2
6400 60() ()ss ass++ + +=
32
6
10
6 400

π
απ
++
====
−−

• Giao điểm giữa tiệm cận và trục thực
• Điểm tách nhập là nghiệm của pt 0
dK
ds
=

32
6
10
6 400
()as s
ss
+
+=
++
→
32
6400 60()ss ass++ + +=
32
2
6400

2
29,s =− cực
zero
10 2 6 2 6 0 6
8
32
[ ( ) ( )] [ ( )]jj
OA
nm
−
−+−+ +−− −+−
== =−
−−
∑∑
C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 15
• Giao điểm QĐN với trục ảo :
Thay
sj
ω
= vào ptđt :
32
6 400 6 0()ss ass++ + +=
→
32
664000()sasas++ + + = →
32
6 6 400 0()jaaj

⎩⎩ ⎩

Vậy giao điểm là
585,sj=± tương ứng 57,
gh
a
=

• Góc xuất phát của QĐN tại cực phức
2
p

0000000
21234
180 180 71 6 36 7 26 6 90 171 7()() (,,)(, ),
θββββ
=++−+=+ + − +=


điểm (-1, j0)
2
l
vòng theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) khi
ω

thay đổi
0 →∞, trong đó l là số cực của hệ hở ()Gs nằm bên phải mặt
phẳng phức.

Ví dụ 4.16
: Cho hệ thống hở không ổn đònh có đặc tính tần số như các hình
vẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn đònh ?

Ổn đònh

Bài toán
: Biết đặc tính tần số của hệ hở ()Gs → Xét tính ổn đònh của hệ
thống kín ( )
k
Gs

Không ổn đònh
Ổn đònh
Không ổn đònh
C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 18
Tiêu chuẩn Bode
Hệ thống kín
()
k
Gs ổn đònh nếu hệ thống hở ()Gs có độ dự trữ biên và độ
dự trữ pha dương
0
0
GM
M
>
⎧
⇒
⎨
Φ>
⎩
hệ thống ổn đònh

=

• Tần số cắt pha
π
ω
−
: tại đó 180()
o
π
ϕ
ωπ
−
=
−=−
• Độ dự trữ biên (GM – Gain Margin) :
1
()
GM
M
π
ω
−
= hoặc tính theo dB
()
GM L
π
ω
−
=−
• Độ dự trữ pha ( MΦ - Phase Margin) : 180 ()

(rad/sec)
2
π
ω
−
=
(rad/sec)
35()
L
dB
π
ω
−
=
→
35()GM L dB
π
ω
−
=− =−

0
270()
c
ϕω
=− →
000
180 180 270 90() ( )
o
c