lim
x

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009
……………………………  mùa thi 2009  Trang
1

2
2
0
ln(cos )
lim (?)
ln(cos )
x
ax a
T
bx b

 
SỞ GD & ĐT KHÁNH HÒA
TRƯỜNG THPT TÔ VĂN ƠN



 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009
……………………………  mùa thi 2009  Trang
2 BÀI VIẾT NÀY DÀNH TẶNG
TRẦN LÊ PHƯƠNG TRANG
11A1 KHTN THPT TÔ VĂN ƠN
CÔ BÉ ĐÁNG YÊU VÀ DỄ THƯƠNG NHẤT!
f x
g x

, trong đó
( ); ( )
f x g x
cùng dần tới 0 khi x dần tới
0
x
được gọi là giới hạn
dạng
0
0
. Đây là dạng giới hạn thường gặp vì nó hay!
@ Các bạn có thấy thiếu điều gì không? Đó là khái niệm về giới hạn đấy, cực kì hay nha, vì bài
viết này chỉ nhằm luyện thi đại học nên những bài toán đi sâu vào giới hạn không được chúng tôi
đề cập nhiều! Nói chung giải thành thạo những bài của đại học chỉ là phần ngoài của giới hạn
thôi nhé, hấp dẫn còn ở đằng sau. Bạn đừng cười nhiều vì làm bài kiểm tra được điểm cao nha,
bình thường thôi!
 Khái niệm giới hạn dãy số:


1 2
( ) , , , ;
n n
a a a a có giới hạn là số a nếu bắt đầu từ một chỉ
số nào đó, mọi số hạng
n
a
đều nằm trong một lân cận bất kì của điểm a, tức là ở ngoài lân cận

x


;
0
1
lim 1
x
x
e
x





0
ln(1 )
lim 1
x
x
x



;
1
0 0
1
lim 1 lim(1 )

2 1 8
lim
x
x x
T
x

  
 ( ĐHQGHN 1997 )
Lời giải. ( bạn đang cười vì : ‘ tôi làm nó quá nhiều ‘ )
Trước hết ta thêm bớt 2 trên tử rồi tách ra như sau
3
0 0
2( 1 1) (2 8 )
lim lim
x x
x x
T
x x
 
   
  tại sao lại là số 2? Đến đây chắc chắn bạn sẽ làm theo cách
nhân lượng liên hiệp, ( ko hay cho lắm, nếu căn lớn hơn ). Bạn chú ý nhá:
lim
x

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009

      
    
(cách giải này có cái hay là
chúng ta đã loại đi những dấu căn cồng kềnh, khi đổi biến thì nhớ đổi ‘cận’ của giới hạn). Ưu
điểm hơn qua bài toán sau:

 Thí dụ 2. Tìm giới hạn
5
4
1
2 1 2
lim
1
x
x x
T
x

  


( ĐHSPHN 1999 )
ĐS:
7
10
T  , cách giải hoàn toàn tương tự bài 1 cái bạn thử xem nhen!
Câu hỏi đặt ra là làm sao tìm được hệ số tự do thêm bớt vào ( trong bài 1 là số ‘2’ ấy ). Bạn xem
bài toán tổng quát từ đó rút ra suy nghĩ nhé:
( ) ( )
lim

0 0 0
1 cos 1 os2 1 cos 1 os2
lim( cos . ) lim limcos .
x x x
x c x x c x
T x x
x x x x
  
   
   
2 2
1 2 5
2 2 2
  

Tổng quát:
2 2 2
2
0
1 cos 2 cos 1 2
lim
2
x
xco x nx n
x

   

 Thí dụ 4. Tìm giới hạn
cos os3

T T T
 
với
cos os3 cos os3
1
2 cos os3 2
0 0
1 1 cos os3
lim lim .
x c x x c x
x c x
x x
e e x c x
T
x x
 

 
 
  
 
 
 

cos os3
cos os3 2 2
0
1 1 os3 1 cos
lim
x c x

   

 Thí dụ 5. Tính giới hạn
0
ln(sinx cos )
lim
x
x
T
x



Lời giải. Biến đổi
2
0 0
ln(sinx cos ) ln(1 sin 2 ) sin 2
lim lim( . )
2 sin 2 2
x x
x x x
T
x x x
 
 
  ( nhớ học công thức nhan
các anh em )
lim
x



Vậy
1.1 1
T
 
( chú ý phải trình bày cẩn thận các phép đổi cận thì giang hồ mới chấp nhận ví
như ko được viết
0
sin 2
lim 0
2
x
x
x


)

 Thí dụ 6. Tìm giới hạn
3
lim
1
x
x
x
T
x


 

vì vậy
2
2 1 1
2
1 1 1
lim 1 lim 1 1
t t
t t
T e
t t t
 
 
 
     
     
 
     
 
     
  Thí dụ 7. Tìm giới hạn


3
3 2 2
lim 3 1
x
T x x x x

 
   
   
2
3
3
3
lim 1
3 3
1 1 1
x
x x

 
 
   
 
 

o
2
2
1
lim ( 1 ) lim
1
x x
x
Du x x x
x x x
 

x
x

( ĐH Bách Khoa HN 1997 ) – cùi bắp
Lời giải.
0 0
sin(sinx) sinx sin(sinx)
lim lim . 1
sinx
x x
x x
 
 lim
x

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009
……………………………  mùa thi 2009  Trang
6
 Thí dụ 9. Tìm giới hạn
 
2

   
 
   
2 2
2
0
2sin (1 1 )
2
lim 1
4
2
x
x
x
x

 
 
 
 
 
( bạn
trình bày chỗ này rõ ra nhé! )

 Thí dụ 10. Tính giới hạn sau
2
0
1 os 2
lim
sin

Chỉ là những phép biến đổi khéo léo ở bạn đó!

 Thí dụ 11. Tìm giới hạn sau
0
1
lim . os
x
T x c
x

 ( ĐH Giao Thông 1997 )
Lời giải. Bài này phải dùng pp đánh giá nói đúng hơn là nguyên lí kẹp của vaiơstrat ( hic sách
giáo khoa 11 cho nhỏ bên cạnh nhà mượn rùi, ghi nhầm có gì bà con bỏ qua nhen )
Tóm tắt pp: Giả sử ta có :
o ( ) ( ) ( );
u x f x v x x D
   
( tập xác định của ba hàm số này )
o lim ( ) lim ( ) ;
x a x a
u x v x Dieu a D
 
  

Thì lim ( ) ;
x a
f x Dieu a D

 


 
  Thí dụ 12. Tìm giới hạn sau
0
1 1 sin3
lim
1 cos
x
x
T
x

 


( ĐHQG HN 1997 )
Lời giải. Biến đổi như sau
lim
x

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009
……………………………  mùa thi 2009  Trang
7

0 0

c x
x
a x
c x
  
 

   

 
2
0
lim 1 cos 4sin 3 3 2
x
x x

   

 Thí dụ 13. Tính giới hạn sau
sinx
lim
sinx
x
x
T
x





T
x
x
x
x
  
 


 

 
   

 


 
  Thí dụ 14. Tính giới hạn sau
3 2
0
2 1 1
lim
sinx
x
x x
T




   
0 0
2 1 1 2 1 1
1 2
lim lim . 1
sinx
2 1 1 sinx 2 1 1
x x
x x
A
x x
x
 
   
  
   

o








3 32 2 2 2


Bạn đang nghĩ “ ôi sao mà biến đổi khéo léo quá vậy trời, liệu tui có làm được như vậy không?
Huhu “. Tôi xin nói khẽ với bạn: “ thật đơn giản, chỉ cần bạn luyện tập tốt ( ko cần làm nhiều
), nhưng bạn phải thật sự hiểu ý nghĩa và hình thức của các giới hạn cơ bản

 Thí dụ 15. Tính giới hạn
2
2
0
3 cos
lim
x
x
x
T
x


 ( ĐHSP HN 2000 )
Lời giải. vẫn với câu nói: “ không thử sao biết “ – trừ khi bạn có công lực hàng khủng nhìn thấy
ngay, hehe!
lim
x

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009
……………………………  mùa thi 2009  Trang
8

x
x x
x
e
x
x
 

   
 
 
 
( chỗ này tôi viết tắt nhé, các bạn phải thông qua một
bước tam gọi là đổi cận của giới hạn như đã trình bày ở cái thí dụ trước )
@ wow wow đói bụng quá ăn cơm cái đã, mới đánh ba tiếng mà được nhiêu đây cũng kha khá
rồi, hè hè chúng ta chuẩn bị sử dụng vũ khí nguyên tử để tiêu diệt vương quốc giới hạn nha! (
11h55 am, 29 – 3 – 2009 ).
Nhưng thôi chúng ta cùng tiếp tục với những ví dụ khác đã!

 Thí dụ 16. Tính giới hạn sau
2
0
1 cos cos2 cos3
lim
x
x x x
T
x



0
x

thì
1
y

vì thế em có :
 
 
1 2
1 1
1 1
lim lim
1
1 1
n
n n
y y
y y
T a a
y
y y y y
 
 
 
 

    
1 2

x x x
T
x

   

Lời giải. Trước hết bài toán này khá hay và khó, với những căn thức như vậy chúng ta sẽ liên
tưởng đến kết quả mà chúng ta đã có trong thí dụ 17, vậy phải làm sao khi mà bài toán này có
chứa tích của tới ba dấu căn khác bậc.
Ta sử dụng biến đổi sau đây

3
4
1 2 1 3 1 4 1
x x x
   
=
3
1 2 1 2 1 2 1 3
x x x x
     
3 3
4
1 2 1 3 1 2 1 3 1 4 1
x x x x x
       lim
x

3
4
0 0 0
1 2 1 1 3 1 1 4 1
lim lim lim
x x x
x x x
T
x x x
  
 
     
  
 
 
 
2 3 4
2 3 4
  

@ Hoàn toàn bạn có thể tạo ra những bài toán như ý muốn của bạn từ những ý tưởng cơ bản,
thế mới biết toán học là muôn màu muôn vẻ!

 Thí dụ 19. Tính giới hạn sau
4
lim tan2 .tan( )
4
x
T x x


 
 
Phần 2. Các bài toán về tính liên tục và có đạo hàm của hàm số

 Hàm số liên tục tại điểm
0
x x

khi và chỉ khi


0 0
0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x f x
 
 
 
 Đạo hàm của hàm số
( )
y f x

tại điểm
0
x x


( bạn hãy hiểu thật rõ về
đạo hàm nhé )
Định lí: Nếu hàm số
( )
f x
có đạo hàm tại
0
x
thì liên tục tại điểm đó. ( điều ngược lại không phải
lúc nào cũng đúng )

@ Sau đây chúng ta cùng giải một số bài toán về : “ tính liên tục và đạo hàm “. Các dạng này chỉ
nhằm kiểm tra một tiết, thi học kì dành cho khối 11 hoặc dành cho kì thi tốt nghiêp thời tiền sử
(he), nhưng ( tôi đang nhấn mạnh ) nếu người ra đề muốn thì họ có thể biến chuyển thành những
bài toán hay, khá khó, thường có mặt trong các kì thi học sinh giỏi. Giải phần này để ta hiểu hơn
về lí thuyết từ đó có thể ứng dụng tính liên tục để giải phương trình, cái này mới quan trọng vì thi
đại học thường có!

 Thí dụ 20. Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm
1
x

:
lim
x

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009



0 0
0
0
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x x x
x x
f x f x f x f x
 
 

  

Bài toán chúng ta đang xét ứng với
0
1
x

, bạn cũng nên biết rằng hàm số của chúng ta đang cần
xét là hàm hai quy tắc, một điều rất quan trọng nữa là khi
1
x

đồng nghĩa với
x
chưa bằng
1

hay

f x f


4
3
m
 
. Hãy nhớ đây là bài toán tìm m và đề cho hàm số của chúng ta đã liên
tục tại điểm x=1 rồi. Bài toán này khác với bài toán xét tính liên tục của một hàm số!

 Thí dụ 21. Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm
3
x



t anx 3cot
3
( ) ;
3
;
3
x
x
y f x x
m x





x


nên :
3
lim ( ) ( )
3
x
f x f




a m
 
( nếu bạn vẫn thấy khó hiểu thì nên ngẫm nghĩ lại những gì mình mới
đọc rồi hãy tiếp tục nha, toán liên quan đến lí thuyết hay lém )

@ Hehe, bạn đang tự tin, ui dễ ợt mà có gì không hiểu, ừ nếu như từ những bài giới hạn ban đầu
mà chúng tôi đề cập đến bạn có thể tạo ra được những bài liên tục như thế này, thì chắc chắn bạn
đã hiểu rồi đấy! Nào chúng ta cùng qua một số bài tính đạo hàm mà phải dùng đến định nghĩa
mới mong có solution đẹp!
lim
x

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009
……………………………  mùa thi 2009  Trang

3 3
0 0 0
( ) (0) 1 1 tanx sinx 1
lim lim lim .
0 tanx sinx 2
x x x
f x f e e
T
x x x
 
  
   
   
 
( chú ý đổi
cận giới hạn nha, khuya quá rồi đang làm biến, thông cảm, các bạn làm cho ra kết quả như trên
nghen )
Vậy
1
'(0)
2
f


@ Liệu có ai trong các bạn đặt ra câu hỏi này : ‘ ủa sao hàm số chưa biết có liên tục hay không
mà tính đạo hàm trời ‘. Hehe, việc có đạo hàm tại một điểm sẽ làm hàm số liên tục tại điểm đó
chứ không phải liên tục tại một điểm thì hàm số có đạo hàm tại điểm đó ( làm ơn nhớ dùm ).

 Thí dụ 23. Tính đạo các hàm số sau
a.







tại điểm x=0
Lời giải. a.
0 0
( ) (0) 1
'(0) lim lim sin 0
0
x x
f x f
f x
x x
 

  

(?)
Vì sao giới hạn này bằng không chúng ta hãy dùng nguyên lí kẹp nhá, xem lại ví dụ 11
b. thí dụ này các bạn làm tương tự.

@ Các bạn có đặt ra câu hỏi là vì sao chúng tôi lại đặt phần này sau phần giới hạn không, uhm,
vì khi thành thạo giới hạn rồi việc tính các giới hạn hệ quả như trên mới dễ dàng được. Chúc các
bạn may mắn, đi ngủ đây ( 30-31/3/2009), hôm nay khuya quá rồi, ngày mới lại đến!

 Thí dụ 24. Tìm a, b để hàm số :
2

thì
( )
f x
liên tục tại
0
0
x


0 0
lim ( ) lim ( ) (0)
x x
f x f x f
 
 
  
2
0 0
lim(ax 1) lim( )
bx
x x
bx x a e a
 

 
     
( chú ý x dần tới phía trái
‘
0


x bx x


 



  



Điều kiện cần và đủ để
( )
f x
có đạo hàm tại
0
0
x

( xem lại phần lí thuyết ) :
0 0
( ) (0) ( ) (0)
lim lim
0 0
x x
f x f f x f
x x
 
 
 

 

Vậy
1
1;
2
a b
 

@ Hãy nhớ lúc này các bạn đã có công lực kha khá về giới hạn rồi nhe, nên việc tính ở trên xin
dành cho các bạn. Như vậy để giải bài toán dạng này ta căn cứ vào 2 điều kiện: thứ nhất có đạo
hàm thì phải liên tục, điều kiện thứ hai là điều kiện tồn tại của đạo hàm ( xin nhắc lại rằng bạn
cần phải hiểu lí thuyết một cách thật cặn kẽ )  Thí dụ 25. Tìm a, b để hàm số
a)
2
2
2 ; 2 1
( )
ax ; 1
x x
f x
x b x

   




thật nhiều, tôi hi vọng các bạn chỉ qua một ít bài tập mà sẽ tiếp thu được dạng toán này! Sau đây
xin nêu lên đáp số cho các bạn kiểm tra giúp
a.
3; 3
a b
  

b.
1 1
;
2 2
a b
 

@ Sao chúng ta không tự tạo ra những bài toán có hệ số là năm sinh của mình hay là của người
yêu người thân của mình nhĩ? Chúc các bạn may mắn và thật hài lòng với những bài toán mình
tạo ra!

 Thí dụ 26. Chứng minh rằng hàm số
1
x
y
x


liên tục tại
0
0
x


0
limf( ) 0
x
x f

 nên đại ca này liên tục tại
0
0
x


 Bây giờ chúng ta chứng minh hàm số này không có đạo hàm tại
0
0
x


lim
x

CHUYấN GII HN LIấN TC O HM TRN CễNG DIấU THPT Tễ VN N
PHAN CễNG TUN DU LP 12A1 KHTN

Y1M: THNG 4. 2009
mựa thi 2009 Trang
13












0 0 0
0
1
lim lim lim 1
0 1 1
x x x
xf x f
x x x x







Vy rừ rng hm s ny khụng cú o hm ti
0
0
x


f x f x x
f
x x

2
0
2
32 2
3
sin
'(0) lim
1 sin 1 sin 1
x
x x
f
x x x x x




2
0
3 2
3








tớnh o hm ca hm s ti
0
x

( Hu
2003 2004 )
Li gii. Cng khụng khú khn gỡ
0 0 0 0
( ) (0) 1 1
'(0) lim lim 1 os lim lim . os 0
0
x x x x
f x f
f x c x x c
x x x







CHUYấN GII HN LIấN TC O HM TRN CễNG DIấU THPT Tễ VN N
PHAN CễNG TUN DU LP 12A1 KHTN

Y1M: THNG 4. 2009
mựa thi 2009 Trang
14
ý nghĩa hình học của định lý nh sau
: Xét cung AB của đồ thị hàm số y = f(x), với toạ độ
của điểm A(a; f(a)) , B(b; f(b)).
Hệ số góc của cát tuyến AB là:
k =
a
b
)a(f)b(f



Đẳng thức : f
/
(c) =
a
b
)a(f)b(f



nghĩa là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm C(c; f(c)) của cung AB bằng hệ số góc của đờng
thẳng AB. Vậy nếu các điều kiện của định lý Lagrăng đợc thoả mn thì tồn tại một điểm C
của cung AB, sao cho tiếp tuyến tại đó song song với cát tuyến AB.

x ],[ ba

x ],[ ba


Nếu m = M thì f(x) = C là hằng số nên

x
o

)
b
,
a
(

đều có f(x
o
) = 0
Nếu m < M thì ít nhất một trong hai giá trị max, min của hàm số f(x) đạt đợc tại điểm nào đó
x
o

(a; b).
Vậy x
o
phải là điểm tới hạn của f(x) trên khoảng (a; b)

f (x
o


lim
x

CHUYấN GII HN LIấN TC O HM TRN CễNG DIấU THPT Tễ VN N
PHAN CễNG TUN DU LP 12A1 KHTN

Y1M: THNG 4. 2009
mựa thi 2009 Trang
15
mà
0


.

Thớ d 29. Chng minh rng vi mi s thc
, ,
a b c
thỡ phng trỡnh
cos3 cos2 cos sinx 0
a x b x c x

(1) luụn cú nghim trong khong


0;2


Li gii. Ln u tiờn tụi gp bi toỏn ny vo nm lp 10, tht s li gii lm cho tụi thớch nht






2 0
1 ( 1)
' 0
2 0 2
f f
f d






cos3 cos2 cos sin 0
a d b d c d d

iu ny cú
ngha d l mt nghim ca phng trỡnh (1) suy ra pcm. ( chỳ ý bi toỏn ny cũn cú cỏch gii
khỏc )
Thớ d 30. Gii phng trỡnh




cos cos
1 cos 2 4 3.4

f


cú khụng qua k+1 nghim, ri t ú bng cỏch oỏn nghim ta suy ra cỏc nghim ca phng
trỡnh. Nhng phng trỡnh dựng ti nh lớ ny thng cú mt trong cỏc kỡ thi hsg!
Ta cú

2
6.4 ln4
'( ) 1
2 4
y
y
f y


( cỏc bn kim tra li phộp tớnh o hm ny nhộ )


2
'( ) 0 2 4 6.4 ln4 0
y y
f y

nu ta coi phng trỡnh ny l phng trỡnh vi bin l
4
y

thỡ rừ rng nú l mt pt bc hai nờn nú s cú khụng quỏ 2 nghim. T ú (1) s cú khụng quỏ 3
nghim, ta oỏn c

c
= 0 (1)
CMR phơng trình :
a
2
x
+ bx + c = 0
có ít nhất một nghiệm trong ( 0; 1) .
lim
x

CHUYấN GII HN LIấN TC O HM TRN CễNG DIấU THPT Tễ VN N
PHAN CễNG TUN DU LP 12A1 KHTN

Y1M: THNG 4. 2009
mựa thi 2009 Trang
16

Giải :
Xét hàm số: f(x) =
2
n
ax
2n


+
1
n
bx

(0; 1) sao cho f(x
o
) = 0 mà:
f(x) = a
2nn1n
cx
bx
x




f(x
0
) = 0 0cxbxax
1n
o
n
o
1n
o

o
2
o
1n
o

3




Giải :
Phơng trình đ cho tơng đơng với :

xxxx
3
4
5
6



(2).
Rõ ràng 0x
o

là một nghiệm của phơng trình (2) .
Ta phõn tớch nh sau, phng trỡnh tng ng vi

5 1 5 3 1 3
x x
x x

, vỡ phng trỡnh
cú bc l bin nờn chỳng ta s dựng mt th thut x lớ nh sau:
Ta gọi


[
11
c)1c(

] = o




= o ,

= 1 .
Thử lại thấy
1 2
0; 1
x x

đều thoả mn phơng trình (2).
Vậy phơng trình đ cho có đúng 2 nghiệm là :
1 2
0; 1
x x
@ hichic, 3 ting ri edit trong p hn nhiu ri! 3h30, 3.4.2009

Phn 4. S dng o hm tớnh gii hn ca hm s ( bom nguyờn
t )

f x x x
   
dễ thấy
(0) 0
f


Đặt
3
( ) 3 8 2 1
g x x x
   
dễ thấy
(0) 0
g

, chính những nhận đinh này gợi cho ta ý nghĩ về
đạo hàm, như vậy chúng ta thực hiện những biến đổi sau, trước hết chia tử và mẫu cho x và đưa
về dạng đạo hàm như sau
0 0
( ) (0)
( )
0
lim lim
( ) (0)
( )
0
x x
f x f
f x



'(0)
'(0)
f
g

1
4
15
3
45
4

 
Việc tính đạo hàm tại
0
x

của hai hàm f(x) và g(x) xin dành cho các bạn!
@ Uhm, qua ví dụ này các bạn đã thấy sức mạnh của phương pháp đạo hàm trong giới hạn chưa,
thật sự các ví dụ trong phần 1 điều có thể giải được bằng pp này!
 Thí dụ 34. Tính giới hạn sau
tan2 os16
8
lim
os12

tính các giá trị tại
8

? với nhận định này ta thực hiện biến đổi như sau
tan 2 os16 tan 2 os16 tan2 os16
8 8 8 8 8
1 ( 1) 1 1
8
lim lim (lim lim ).lim
os12 os12 os12
8 8
x c x x c x x c x
x x x x x
x
e e e e e e
T
c x c x c x
x x
    

 
    

     
   
 

tan2
8
1





;
8
1
8
lim
os12 12
x
x
c x




 (? ) các bạn tự tính nha, sau
những gì các bạn được học thì việc tính là dễ dàng!
Vậy
3
e
T


 Thí dụ 35. Tính giới hạn sau
2
2
3
2 2

T
x x
e x e x

 
  
   
  
   

lim
x

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN
PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN

 Y1M: ……………………… THÁNG 4. 2009
……………………………  mùa thi 2009  Trang
18
Lúc này ta đặt
2
2
3 2
( ) (0) 1
( ) 1 (0) 1
x
f x e f
g x x g

  

vì vậy ta có thể viết lại bài toán như sau (?)

 Thí dụ 37. Tính giới hạn sau
2
ax 2
2
0
.cos 1
lim
x
e ax
T
x


 với a là hằng số cho trước
Lời giải. Biến đổi bài toán như sau
2 2
ax 2 ax 2
2 2
0
0
.cos 1 .cos 1
lim lim
x
x
e ax e ax

T a

, rất mong các bạn kiểm tra lại kết quả để tự các bạn
là người hoàn thiện bài toán.

@ Rõ ràng sự kết hợp của đạo hàm và các giới hạn cơ bản đã tạo nên một công cụ cực mạnh,
theo tôi nghĩ là có thể giải được khá nhiều bài giới hạn trong chương trình, bạn có thử suy nghĩ
như tôi không, khi ra đề người ra đề xuất phát từ đâu, tôi xin nhắc nhỏ cho bạn chỉ từ các giới
hạn cơ bản, đạo hàm và những phép biến đổi khéo léo!

 Lời cuối cùng: Sau khoảng 9 tiếng chúng tôi đã hoàn thành xong bài viết này, vì thời gian
là có hạn và mùa thi đã đến gần nên chúng tôi không thể trình bày hết các vấn đề của Giới hạn,
liên tục và đạo hàm. Chúng tôi hi vọng với bài viết ngắn này, trong kì thi sắp tới các bạn sẽ làm
tốt hơn về phần này, và các bạn đang học 11 sẽ có thêm một kiến thức nhỏ để chuẩn bị cho việc
học đội tuyển. Chúng tôi rất tiếc là không thể thực hiện được ý định như ý muốn là viết thêm phần
5, một phần chúng tôi rất tâm đắc, đó là sử dụng tính liên tục để giải phương trình, bất phương
trình, chứng minh sự tồn tại nghiệm, giải phương trình hàm,và phần giới hạn trong dãy số
…Nhưng chúng tôi không còn nhiều thời gian nữa, lời cuối chúng tôi xin chúc các bạn thi tốt
trong kì thi sắp tới và những kì thi sau này. Dù đã rất cố gắng nhưng sai xót là không thể tránh
khỏi, hi vọng nhận được nhiều sự đóng góp từ các ban. Với bài viết này chúng tôi hi vọng kiến
3 2
0 0 0 0
(0) 0
2 1 1 ( ) (0) sinx ( ) (0) sinxHết
………….$
8h43’pm- 3.4.2009

Gởi lời đến Phương Trang: anh chúc em học thật giỏi, luôn xinh đẹp và dễ thương, chúc em mọi
điều hạnh phúc. Em hãy vững tin trên cuộc sống nha! ♥