Bài 2. Tính đơn điệu của hàm số
BÀI 2. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1.y=fxab⇔ƒ′x≥∀x∈abƒ′x=
∈ab
2.y=fxab⇔ƒ′x≤∀x∈abƒ′x=
∈ab
Chú ý:  !"#$%&'(1. 2.)*
+,-./0%1ƒ′x=∈ab
CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Bài 1. !m
( ) ( )
2
3 4 2 5 6
5
mx m x m
y
x
+ + − −
=
+
785+∞
Giải: 9*785+∞⇔
( )
2
2
2 :
 5
5
mx mx
y x

<.=
( )
( )
2 2
: 2 2
 5
 2 
x
u x x
x x
+
′
= > ∀ ≥
+

⇒ux785+∞⇒
( )
( )
5
:
; 5
6
x
m u x u
≥
−
≤ = =
Bài 2. !m
( ) ( )
6 2

6
2 5
x x
g x m x
x
+ −
= ≤ ∀ ∈
+

[ ]
( )
6
;<D
x
g x m
∈
⇔ ≤
<.=
( )
( )
[ ]
2
2
2 2 E
 6
2 5
x x
g x x
x
+ +

)
2+∞
⇔
( ) ( )
2
2 5 6 2  2y mx m x m x
′
= − − + − ≥ ∀ ≥
5
⇔
( )
2
5 2 2 3 2m x x x
 
− + ≥ − + ∀ ≥
 
⇔
( )
( )
2
2 3
2
5 2
x
g x m x
x
− +
= ≤ ∀ ≥
− +


A 
x
g x
→∞
=

GHH⇒
( )
( )
2
2
;<D 2
6
x
g x g m
≥
= = ≤

Bài 4.
( )
( ) ( )
6 2 2
2 : : 2 5 2 6y x mx m m x m m= − − − + + − −

[
)
2+∞
Giải: 9*?7
[
)

HIgx≥. 01JA*=
<.
( )
y x
′
≥
K
2x∀ ≥
⇔
[
)
2 G+∞ ⊂

( )
( )
2
5 2

4
5
4
2
2 6 2 6 2 6 4  5
2
3
2
2 6
m
x x y m m m
S m

Giải: 9*7
( )
5+∞
⇔
( )
2 2
2
2 > 2 5
 5
x mx m m
y x
x m
− + − −
′
= ≥ ∀ >
−
⇔
( )
( )
2 2
 5
2 > 2 5  5
5

g x x
g x x mx m m x
m
x m



2
5 2
5
5 
5 2 5 2 3 5  6 2 2
6 2 2
6 2 2
2 5
2
m
m
x x g m m m
m
S
m
′
≤
≤ ∆ ≥





⇔ ≤ ≤ ⇔ = − + ≥ ⇔ ⇔ ≤ −
≤ −






2
5
5 3 5 
6 2 2
; 
5 6 2 2
6 2 2
5
5
5
x
g m m
m
g x
m
m
m
m
m
≥



= − + ≥
≤ −

≥
  

⇔ ⇔ ⇔ ≤ −

S7,
( )
( )
5 3 E 
>
5
6
5 2 2 
g m
m
g m
 − = − ≤

⇔ ⇔ ≤ ≤

= − + ≤


Bài 7. !m*
5 5
  2  6
> T
y mx x x x= + + +
?BUV
x ∈¡
Giải: Q7R*)
5 5
  2 6 
2 6
y m x x x x

( )
( )
55
4
;<D 5
3
x
g u g m
∈ −
= − = ≤

Bài 8. N*
( ) ( ) ( )
6 2
5
5 2 5 6 2
6
y m x m x m x m= + + − − + +

!m%PY<*.'*Z>
Giải. [\ 
( ) ( ) ( )
2
5 2 2 5 6 2 y m x m x m
′
= + + − − + =
  @ 
2
: 6 m m
′

2 5 2 5 2 5
2
> 2 5 > 6 2
53 >
5
5
m m
x x x x x x
m
m
− +
= − = + − = +
+
+
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
> 5 2 5 6 2 5m m m m⇔ + = − + + +
2
: 35
6 : 5 
3
m m m
±
⇔ − − = ⇔ =
%^"BU
5 m + >
,<
: 35
3
m

⇒f
x
7
(
5

6

−∞



;`%)f −5=7" !f
x
=.1',a
x
=−5
Bài 2. JP" !=
2 2
54 6 2 Ex x x+ = − + +

Giải. Ha" !⇔
( )
2 2
6 2 E 54f x x x x= − + + − +
=5
Mb
2
6
x ≤

+∞
*f 5=75.K51
x
=5
Bài 3. JPa" !=
6 4
>
5 4 : : 4 56 : Ex x x x+ + − + − + − <
d
Giải. _0%1
4
:
x ≥
_`
( )
6 4
>
5 4 : : 4 56 :f x x x x x= + + − + − + −
<.=
( )
( ) ( )
2 6 >
4
6
>
4 : 56
5

2 5
4 56 :

x≤ <
Bài 4. JPI=
6 2
5 5 5
4 > 6 2 2 4 : 5:
2 6 3
x x x x
x x x
x x x+ + + = + + − + − +
d
Giải. d
( )
(
)
( ) ( )
( )
6 2
5 5 5
4 > 6 2 2 4 : 5:
2 6 3
x x x
x x x x
f x x x x g x
⇔ = + + + − − − = − + − + =
<.fxB*g′x=−3x
2
+5x−:c∀x⇒gx
b1Y<fx=gxA**<Y<
( ) ( )
B*y f x y g x= =

+ ≤ + + ∀ ∈
 

⇔
( )
2
5
5 2
5
t t
f t m t
t
+ +
 
= ≥ ∀ ∈
 
+
⇔
( )
5 2
;
t
f t m
 
∈
 
≥
@
( )
( )

⇒
6
2
m ≤
⇒
6
;<D
2
m =
Bài 6. JP" !
2 2
 
2E 2E  2
x x
x− =
2 2 2 2
  2 2  2  2
2E 2E   2E  2E 
x x x x
x x x x− = − ⇔ + = +
d
[\
( )
2E
u
f u u= +
<.
( )
2E A 5 
u


Giải. 
       x y x y x x y y− = − ⇔ − = −

[\*`
( )
( )
   f u u u u= − ∈ π
<.
( )
2
5
5 

f u
u
′
= + >

g,<
( )
f u
7
( )
π
].
( )
( )
>
6 4 2

6 2
f t t t t= + +
BU
t ∈¡
⇒
( ) ( )
2
2
2 5 f t t t
′
= + + >
⇒ft?
]$ah#+)P&
x
≤y≤z
⇒
( )
( )
( )
f x f y f z≤ ≤
⇒
2 5 2 5 2 5z x y z x y+ ≤ + ≤ + ⇔ ≤ ≤
⇒
x
=y=z=±5
Bài 9. JP1a" !
2
6
6 2 5 
6 5 

)
(
)
5 5 5
 5
6 2: 6
f x f x> = > ∀ ∈ −
4
Chương I. Hàm số – Trần Phương
II. DẠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1.
NiZ=
6 6 4

6j 6j 4j
x x x
x x x− < < − +
∀xO
Giải 
6

6j
x
x x− <
∀xO⇔
( )
6
 
6j
x

> =
∀xO
⇒
( )
f x
′
8M∞⇒
( ) ( )
f x f
′ ′
>
k∀xO
⇒
( )
f x
8M∞⇒fxOfk∀xO⇒"

6 4

6j 4j
x x
x x< − +
∀xO⇔gxk
4 6
 
4j 6j
x x
x x− + − >
∀xO
<.g′xk

x f x
x
> ⇔ = >
π π
∀x∈

2
π
 
 ÷
 
[\i*
2 2
 
 
 
g x
x x x
f x
x x
−
′
= =
lm,%h1gxkxx−x
<.g′xkx−xx−xk−xxc∀x∈

2
π
 
 ÷

π
 
 ÷
 

3
Bài 2. Tính đơn điệu của hàm số
⇒
( )
(
)
2
2
f x f
π
> =
π
⇔
2
  
2
x
x x
π
 
> ∀ ∈
 ÷
π
 
Bài 3.NiZ=

−
> ×
+
BU
x
t
y
=
O5
⇔
5
  A 2 
5
t
f t t
t
−
= − × >
+
∀tO5<.
( )
( )
( )
( )
2
2 2
5 > 5

5 5
t


5
Giải. [\<%P?<m,=
MbyOx!5⇔
( )
A A >
5 5
y
x
y x
y x
− > −
− −
⇔
A > A >
5 5
y x
y x
y x
− > −
− −
Mbycx!5⇔
( )
A A >
5 5
y
x
y x
y x
− < −

= − = >
− −
∀t∈5⇒ft5
⇒fyOfxyOxB*fycfxycx ⇒"
Bài 5.NiZ=
b a
a b<
∀aOb≥n
Giải. a
b
cb
a
⇔Aa
b
cAb
a
⇔bAacaAb⇔
A Aa b
a b
<

[\*`fxk
A x
x
∀x≥n
<.
2 2
5 A 5 A
  
x e

2 2
2 2 2 2
b a
b a
a b
a b
a b a b
   
+ +
+ ≤ + ⇔ ≤
 ÷  ÷
   
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
A 5 > A 5 >
5 > 5 > A 5 > A 5 >
a b
b a b a
a b a b
a b
+ +
⇔ + ≤ + ⇔ + ≤ + ⇔ ≤

[\*`<B
( )
( )
A 5 >
x
f x
x

a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
∀abO5
Giải. ]$ah#+)P&a≥b≥_`xka⇒x≥b≥O
<.5⇔f xk
x b c
b c c x x b
+ +
+ + +
BUx≥b≥O
⇒
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
5 5
  
b c b c
f x
b c b c
x c x b b c b c
′
= − − > − − =
+ +
+ + + +

⇒fx8bM∞⇒
2
   
b c

6
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
∀abO
Bình luận:HaSiNesbitt<?1905B*A*aSia
#%o27m,A*)iaSi
E
Bài 2. Tính đơn điệu của hàm số
*, 45 )iHV.Dn<%PR,Y)
)i)= “Những viên kim cương trong bất đẳng
thức Toán học”Y<)P'NXB Tri thức")*)3/2009
T