Slide 1
Chơng V
Khíđiệntửtựdo Fermi
ách khỏi nguyên tử
v tạo ra trong tinh thể một khí điện tử,
đờng tự do lớn
Khôngcóvachạm
không bị tác động của các ion,
ít va chạm
nguyên lý Pauli.
Khíđiệntửkhôngtơng tác, tuân theo nguy ên lý Pauli đợc gọi l
khíđiệntửtựdo Fermi.
ắ
Trong kim loại các điện tử hoá trị đợc coi nh t
còn tại các nút mạng chỉ có
các gốc ion.
ắ
Các khí điện tử nyđợc coi l tự do:
-Quãng ,~10
8
-10
9
khoảng cách giữacác
nguyên tử.
- giữacácđiệntử.
ắ
Mẫuđiệntửtựdo tồntại đợc l nhờ các lý do sau:
-Các điện tử dẫn có thể coi thế
Coulomb của các ion U(x)=0.
-Các điện tử dẫn rất với nhau do chúng phải tuân
theo

n
dx
)x(d
m
2
H =

=
h
Trong đó:
Toán tử Hamiltơn (bỏ qua thế nang)
trong đó l toán tử động lợng
m
P
H
2


2
=
P


n
-n

ng lợngđiệntửởtrạng tháin
c
mô t












hay







= x
L
n
sinA
n
Hm
n
phải đáp ứng phơng trình :
dingeroSchr
&&



dx
d
x
L
n
cos
L
n
A
dx
d
2
2
n
2
n
;
A l hằng số
Hay=
nnn
2








L

Nguyên lý Pauli
n; m
S
=1/2
n 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
m
S

Năng lợng Fermi
F
ựơng ứng với .
-Mứcnăng lợng : Nếu số hm sóng ứng với một giá trị cho
trớc của năng lợng .
- : không thể có 2 điện tử trong một trạng thái có
cùng các số lợng tử giống nhau, nghĩa l mỗi một hmsóngmôtả
một trạng thái có thể bị chiếm bởi không quá một điện tử.
-Trong vật rắn một chiều: số lợng tử của điện tử l ứng
với định hớngcủaspin. Trongmộtcặptrạng tháicósốlợng tử n
chung thì có 1 điện tử ứng với spin quay lên v 1 điện tử ứng với spin
quay xuống.
Nếu hệ có 8 điện tử thì trong trạng thái cơ bản của hệ, việc chiếm
các trạng thái riêng của điện tử sẽ tuân theo bảng dới đây:
Điện tử chiếm 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
ắ
l năng lợng của điện tử ở mức cao nhất bị
chiếm, nghĩa l khi n=n
F
.
2n
F


=







=
hh
Trong trờng hợp một chiều:
L
n
k

=Slide 7
V.2. Sự phụ thuộc vo nhiệt độ của hmphânbốFermi-Dirac
Trạng thái cơ bản không tuyệt đối
nhiệt độ tăng lên động năng của khí điện tử tăng
Fermi-Dirac
:
- của các hệ l trạng thái ở độ . Các
trạng thái dới mức Fermi bị chiếm, trên mức Fermi trống
-Khi , .
Điện tử có năng lợng cao hơn mức Fermi chiếm các trạng thái trên mức
Fermi Để lại trạng thái trống dới mức Fermi.

f(

)

exp[(

-

)/k
B
T]
V.3. Khíđiệntửtựdo trongtrờng hợp 3 chiều
.
-
Khi

-

>> k
B
T:
Hmnygầnvớihm phân bố Boltzmann.
Nếuđiệntửbịgiớihạn trongmộtthểtíchhữuhạn códạng
hộp cạnh L thì nghiệm của phơng trình nycódạng :
)()(
z y x2
2
2
2
2
























= z
L
n
siny
L
n
sinx



=
Các thnh phần của véctơ sóng đều có giá trị dạng trongđón
l số nguyên .
- Điềukiệnbiêntuầnhonthoảmãnkhi:
r k
r
r
r
i
k
e)r( =
k
r
-Hm sóng đáp ứng phơng trỡnh Schrodinger đối với hạt tự do v
điều kiện biên tuần hon l sóng phẳng chạy:
Các thnh phần véctơ sóng nhận các giá trị :
2n/L
âm hoặc dơngSlide 11
exp[ik
x
(x+L)]
= exp(ik
x
x)
= exp[i2n(x+L)/L] = exp(i2nx/L).exp(i2n) = exp(i2nx/L)

l giá trị năng lợng riêng của trạng thái với véctơ sóng .
=


hip

- Toán tử động lợng:
r
r
r
hh
r
==
Nh vậy sóng phẳng
k
l hmriêngcủatoántửđộnglợng .
-Các giá trị riêng của toán tử động lợng l
p

k
r
hSlide 12
rki
e)r(
r
r
r



F
l năng lợng của điện tử với
véctơ sóng có độ di k
F
(mũi nhọn ở
mặt Fermi).Slide 13
- ở trạng thái cơ bản ,
bề mặt của cầu Fermi
mặt Fermi
các trạng thái bị chiếm đợc biểu diễn bằng các
điểm bên trong hình cầu trong không gian k.
-Năng lợng ứng với l năng lợng , các véctơ
sóng có độ dibằngk
F
có đầu nhọn chạm mặt cầu, mặt cầu nyđợc
gọi l :
2
2
2
FF
k
m
h
=


N3
k









=
k
r
m/kv
r
h=

trong trạng thái với véctơ sóng :
-Số các trạng thái cho phép bằng:
Vận tốc hạtSlide 14
BánkínhcầuFermi k
F
N/Vchỉ phụ thuộc vomậtđộhạt m không
phụ thuộc vokhốilợng m
3/2
22

k
v









==
hh
D(
) số trạng thái có trong một khoảng đơn vị
năng lợng
.
V.3. 3. Mật độ trạng thái
Mật độ trạng thái l
2/3
22
3/2
22
2
3

3
2



22
2
2
)(
F
F
F
mV
d
dN
D










==
hSlide 15
Ta có thể thu đợc kết quả đơn giản hơn:
F
F
F

Nguyên lí Pauli khí điện tử Fermi không phải tất
cảcácđiệntửcónăng lợng l k
B
T.
trongkhoảngk
B
T gần mức Fermi mới bị kích thích
Nh vậy mật độ trạng thái hay số trạng thái trên một khoảng đơn vị
năng lợnggầnmứcFermi tỷlệvớitỷsốcủasốđiệntửdẫnvới
năng lợng Fermi.
-Theo thuyết cổ điển nếu có thì nhiệt dung điện tử l .
-Kết quả ny giá trị thực nghiệm ở nhiệt độ phòng.
v lý thuyết cho thấy
-
Khi nâng từ 0K lên nhiệt độ T, chỉ có các điện tử ở các trạng thái ứng
với năng lợngSlide 16 Slide 17
Nếu N l tổng số điện tử, khi nhiệt độ tăng từ 0 lên T độ , số điện tử
đợc kích thích nhiệt
NT/T
F
k
B
T
E kích thích nhiệt

~T
C
ele
ởnhiệtđộthấpk
B
T<<

F
đúng nh thực nghiệm v nhỏ hơn giá trị cổ điển
khỏang
100
lần nếu T
F
~5.10
4
K
ắTa t
ỡ
m biểu thức chính xác hơn đối với
Sự thay đổi tổng cộng n

ng lợng E của điện tử
)dD( )dD()(
F
00


=



=
0
T
f
)D(
T
E





dC
ele

==





dD
FF
T
f
)(
T
N
0




0
T
f
)()(



dDC
FFeleSlide 19
22
}1]/){exp[(
]/)exp[(
T
f
+


=
Tk
Tk
Tk
BF
BF
B
F

)1(
)(


V
ỡ
e
x
rất nhỏ khi v ở nhiệt độ thấp giới hạn dới của tích
phân thay bằng
x=-
F
/k
B
T
-
3
dx
)1e(
e
x
2
2x
x
2

=
+



F
B
2
2
B
FB
2
ele
T
T
Nk
2
1
Tk
Tk2
N3
3
1
C ==
VậySlide 20
ắ
Nhiệt dung của kim loại
C = T+T
3
-Nhiệt dung tổng cộng của kim loại ở nhiệt độ T <<T
F
v T<<

1
2
0
2
2
2
F
B
BFfree
zkN
kD



==
Trongđólấy ; N
0
l số Avogadro, z- hoá trị của nguyên tố.
N
F
F
D


2
3
)( =
-Thông thờng ngời ta thay m
th
khối lợngđiệntửnhiệt

- của điện tử dẫn đối với của
mạng tinh thể bất động. Khối lợng hiệu dụng trong
trờng thế nh vậy gọi l
- của các điện tử dẫn đối với các . Điện
tử hớng tới việc phân cực hoá hay
quanh nó. Trong các tinh thể ion hiện
tợng nyđợc gọi l hiệu ứng , khi lợng tử
hoá ta đợc .
- của các điện tử dẫn . Điện tử dẫn
chuyển động v tác động lên các điện tử của khí điện
tử quanh nó lm cho khối lợnghiệudụngcủanó
tăng lên. Slide 23
-Động lợng của điện tử tự do liên hệ với véctơ sóng :
hay
kvm
r
h
r
=
m/kv
r
h
r
=
)BvE(eF
r
r

E
r
k
r

r
r
h
t
Eek
=
độ dịch chuyển tĩch của cầu Fermi trong thời gian trung bình giữa
2 va đập .
r
r

= Eek
hSlide 24
k
Slide 25
Số gia của vận tốc :

giữa mật độ dòng v điện trờng
j
r
E
r
m
ne
2

=
Điện trở suất l đại lợng tỷ lệ nghịch của độ dẫn điện:

=

=
2
ne
m1
t
m
Ee
t
m
F
v
d
t
vd
mamF hay


lên hạt tải điện
tích tự do.
Khái niệm quãng đờng tự do trung bình l của điện tử
dẫn:
v
F
l vận tốc điện tử trên bề mặt cầu Fermi.
-Tất cả các va đập chỉ xảy ra đối với phần các điện tử trong
không gian k Slide 27
-Trong đa số kim loại có điện trở ở300K l do va đập của điện tử dẫn
với phonon mạng, (4K) do va đập với các
nguyên tử tạp chất v các sai hỏng của mạng
chứa tạp
=
L
+
I

L
l điện trở suất do dao động mạng
Matthiessen

I
không phụ thuộc
vo nhiệt độ.
Kết quả thực nghiệm



T
0Slide 28
-Hệsốdẫn nhiệt
trong đó v l vận tốc hạt, C l nhiệt dung riêng của
đơn vị thể tích khí, l l quãng đờng tự do trung
bình
lCv
3
1
K =
V.6. Độ dẫn nhiệt của kim loại
Ta xác định độ dẫn nhiệt cuả khí điện tử tự
do Fermi :
FFB
F
B
2
F
B
B
2
el
Tk
T
T
Nk

2
B
2
F
2
F
2
B
2
ele

=

==
trong đó l = v
F

n
hạt dẫn chủ yếu
điện tử
pha tạp 2 phần ny có thể
cùng cỡ với nhau.
, còn l thời gian trung bình giữa
các va đập, l nồng độ điện tử.
- Kim loại dẫn nhiệt tốt hơn điện môi 10-10
2
lần do
đó:
Phần trong kim loại tinh
khiết sẽ l chứ không phải phonon.

=


=

Hệ số tỷ lệ gọi l hằng số Lorentz
T
K
L

=
2
B
2
e
k
3
L







=
=
2,45.10
-8
W

C)=2,35.10
-8
W

/độ
2
L
Au
(100
0
C)=2,40.10
-8
W

/độ
2
.
L không phụ thuộc vo n, m, .
T<<
D
L giảm
đập đặc trng cho dẫn điện v nhiệt khác
nhau do đó thời gian hồi phục
th
v
el
khác nhau
V.7. Định luật Wiedemann-Franz
2
2
m
Ene
neXP
==
Hằng số điện môi:
l hằng số điện môi.
)PE(D

r
r
r
+=
0

2
0
2
00
m
ne
1
)(E
)(P
1
)(E
)(D
)(



=
Tần số plasma: Slide 33
ắTruyền sóng điện từ trong plasma
bị phản xạ honton.
lọc tần
trongsuốtđốivớisóngcótầnsố>
P

2
=
P
2
+c
2
k
2
tần số plasma
P
v bớc sóng
P
2c/
P
-
ở tần số nhỏ hơn

P

18
10
14
10
10

P
(độ/sec) 5,7.10
15
5,7.10
13
5,7.10
11
5,7.10
9

P
(cm) 3,3.10
-5
3,3.10
-3
0,33 33Slide 34 Slide 35
Bức xạ điện từ sẽ lan truyền
nhỏ

0
1550 2100 3150 3400 2620Slide 36
0
0
2
=




2
]n)r(n[
e
0
0


=
r
trong đó (r) l thế tĩnh điện, n(r)-n
0
: sự chênh lệch nồng độ điện tử
V.9. Hiệu ứng mn chắn
điện tử gần điện
tích q bị kích thích,
-Điện trờng gây bởi điện tích q giảm mạnh
q bị chắn

==
thế tĩnh điện bằng (r) :
)()](3[
2
)()(
3/22
rern
m
rer
F
rr
h
r

=
Đây l biểu thức
-Gần đúng cho rằng
Nó có thể áp dụng cho
thếtĩnhđiện, nếunóítbiếnđổitrongkhoảngcáchcỡbớc sóng điện
tử.
-Nếu khi thế tĩnh điện thay đổi thì ta
có:
2
gần đúng Thomas-Fermi.
Thomas-Fermi thế hoá định xứ có thể đợc xác
định nh hm của nồng độ điện tử tại điểm đó.
thế điện hoá giữ nguyên giá trị


===

2
F
0
0
F
)n3(
m
2
)r(e]n)r(n[
dn
d
=



h
rr
Lấy đạo hm hai vế
0
F
0
F
n3
2
dn
d


=


n4
2
e3
F
2
0
3/1
0
F0
2
=

=
0
2
n
a
0
-bánkínhBohr
r
qe
)r(
r
=
rSlide 39
>0 v

2
<0.
. Điện tử trạng thái kích
thích v , lấy mức Fermi
bằng 0 (

=0), vậy
Va đập
, vì phải tuân theo
định luật bảo ton năng lợng
cho nên
-Do nguyên lý Pauli nên sau va đập trạng thái
Fermi (vì trong cầu đều bị chiếm) do đó
.
chỉ có thể xảy ra khi
|

2
|<

1

1
+

2
=

Slide 42
-Đối với những điện tử nằm trong lớp vỏ đó cũng chỉ có một
phần nhỏ đáp ứng đợc định luật bảo ton năng lợng bảo
ton động lợng lý Pauli
giảm lợng va đập cho phép đi số
lần l

1
/

F
3,4 trên hai đầu
của đờng kính đáp ứng định
luật bảo ton
3,4 ở
ngoi cầu Fermi mới có thể
xảy ra
(

1
/

F
)
2
v
đồng thời đáp ứng nguyên .
Nh vậy yếu tố ny đã lm

2
F
B
elel
Tk












. Sự
tơng tác của 1 điện tử với bất cứ điện tử no khác
trong hệ đều có độ di mn chắn 1/.
-Khi ở . Nếu
1
cỡ năng lợng
nhiệt, nghĩa l cỡ k
B
T thì việc giảm tần số va đập
điện tử-điện tử so với lý thuyết cổ điển
v thiết diện va đập hiệu dụng l:

0

F
~10
-2
~10
-4

0
~ 10
-19
cm
2
(có tính đến mn chắn) cỡ
. Thiết diện va đập hiệu dụng có khi tính đến
nguyên lý m ở nhiệt độ phòng:
vì
0
~ 10
-15
cm
2
l
n
cm
el el


1
10
4


nhau.
Heli
lỏng T
2
phù hợp với
biểu thức tính thiết diện va đập hiệu dụng
l
el-el
lớn hơn
điện tử-phonon 10 lần
địên tử va đập chủ yếu với phonon
cỡ 10
-4
cmSlide 45
Tán xạ nhảy ngợc U
điện trở trong kim loại ở nhiệt độ
thấp
nhiều hơn trong quá trình
N điện tử-phonon
V.11. Tán xạ nhảy ngợc (va đập điện tử-phonon)
q
0
(qt ) điện tử - phonon đợc coi l
nguyên nhân chính của
.
Có Véctơ mạng đảo trong phơng trình véctơ sóng
-> Động lợng điện tử thay đổi

G
r
'kGqk
r
r
r
r
=++
'kqk
r
r
r
=+
A A
Mặt cắt cầu Fermi
vuông góc với [100] qua
2 vùng Brillouin trong
Kali
của cầu cho thấy va đập của
điện tử - phonon bình thờng: nh
của phonon, Không gây nhiệt trở
va đập phonon kết thúc tại điểm A bên ngoi vùng
Brillouin thứ nhất. Điểm ny chính xác tơng đơng với điểm A
bên trong vùng Brillouin đầu tiên, trong đó AAl véctơ mạng
nghịch .
Quá trình nhảy ngợc nh của phonon.
cực tiểu của phonon
Phần nửa dới
Quá trình
N

tạp chất,

I
đối với quá trình tán xạ nhảy
ngợc,
Tại nhiệt độ đủ thấp
trong đó
V
l nhiệt độ đặc trng có thể
tính đợc từ hình dạng mặt Fermi bên trong vùng Brillouin.
Trong trờng hợp mặt Fermi với 1 quỹ đạo điện tử bên trong vùng
Brillouin mạng LPTK , ngời ta tính đợc .
Kết quả thực nghiệm với so với
ở nhiệt độ rất thấp (dới đối với Kali) số hạng của
đợc, v điện trở mạng
, đó l tán xạ .
- tại nhiệt độ thấp.
-Các hiệu ứng áp đảo của tán xạ tán xạ điện tử-điện tử v
tán xạ nhảy ngợc: = +
LSlide 48
V.12. Chuyển động của điện tử trong từ trờng
Phơng trình chuyển động có dạng:
Fk
1
dt
d
r

ì+=
kvm
r
h
r
=
Vì
Biểu diễn gia tốc của hạt tự doSlide 49
(
)
BvEev
1
dt
d
m
r
r
r
r
ì+=








v
m
eB
v
dt
d
=
=
tsinvv
tcosvv
C0y
C0x
=

=
Nghiệm của chúng có dạng
m
eB
C


C
gọi l tần số CyclotronTần số
đối với điện tử tự do.Slide 50

C
K
C
K
300
3
4
2
3510
3510
=
=

,.
,.
-điều kiện điện tử chuyển động theo vòng xoắn.

C

> (2

) hay f
C

>1Slide 51
Trờng hợp từ trờng 1 chiều
B hớng dọc theo trục z, lúc


+
=







+
+=







+
Trong điều kiện tĩnh đạo
hmtheothờigianbằng0
zz
xCyy
yCxx
E
m
e
v
vE

m/e
v
Cy
2
C
y
Cx
2
C
x
x
y
E
E
+
+

=

+

=
V.12.2.Từ điện trở tĩnh:Slide 52
-Mật độ dòng đối với điện tử
v)e(nj
r
r

E
E
Trong đó

0
=ne
2

/m
mật độ dòng theo trục z l không đáng kể
.
Thnh phần nếu từ
trờng dọc theo trục z.
-Mật độ dòng có thể viết dới dạng ma trận:

















E
E
E
1
)(1
j
j
j
2
C
C
)(+1 0 0
0 1
0 -
m
eB
C
=
Trong đó Slide 53
-Các phần tử đờng chéo của tenxơ dẫn l

xx
v

yy
đặc
trng cho hiệu ứng từ điện trở

x
y
H
=
điện trờng E
x
từ trờng B tác dụng vuông góc
j
Y
=0
Trờng E
Y
đợc gọi l trờng Hall
-Xét mẫu dạng tấm, có tác dụng dọc theo mẫu
v
Thnh phần .
điện trờng ngang
Hệ số (hay hằng số) Hall:Slide 54 Slide 55
)E(
)(1
j
Cx
2
C

H
y
E
+

==

1
R
2
0
H
ne
B
m
ne
m
eB
B
C
===




với

C
=eB/m


t ồ n t ạ i l ỗ t r ố n g .
đối với tất cả các điện tử phụ
thì biểu thức tính R
H
có
trong trờng hợp có 2 loại hạt dẫn lỗ v hạt.
-Có thể xảy ra trờng hợp thu đợc các ởmột số
kim loại chuyển tiếp, chính giá trị dơng của R
H
l bằng
chứng của sự
-Vật dẫn R
H
(10
-24
đv CGS) Vật dẫn R
H
(10
-24
đv CGS)
Li -1,89 Ag -1,0
Cu -0,6 In +1,714
Au -0,8 As +50