Tiếp tuyến của hàm số

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Cho
(m 1)x m
(Cm) : y
xm
−+
=
−
.
Đònh m để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm trên (Cm) có hoành độ x
0
= 4 thì
song song với đường phân giác thứ 2 của góc hệ trục.

y
|
= =
|
m
f(x)
2
2
m
(x m)

≠Tìm m để tiếp tuyến với (C) tại giao điểm với trục hoành
song song y = x. Viết phương trình tiếp tuyến.

Hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành
2
0
mm 1
x,m0,
3m 1 3
−
⎧⎫
=∉
⎨⎬
+
⎩⎭
,1−

2
|
2
4m
y
(x m)
=
+

Tiếp tuyến tại điểm (C) có hoành độ // y = x
2
22
000

⎢
=−
−
⎢
−=
⎣
⎢
⎣+

•
tiếp tuyến tại (-1,0) có pt : y = x + 1 m=−1
•

1
m
5
=−
tiếp tuyến tại
3
,0
5
⎛
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
có pt :
3
yx
5

(x 1)
⎧
−+ = − + = + − − +
⎪
+
⎪
⇔
⎨
⎪
−=
+
⎪
⎩
0

00
m
x1 k(x1)(1x)ky
x1
1
x1 k(x1)
x1
⎧
−+ = + − + +
⎪
⎪
+
⇔
⎨
⎪

0
2
2
2
2
00
m1
y2
y2(x1)k
k
x1
x1
m1
(1 k)(m 1)
y2(x1)k (1k)(m1)
x1
+
⎧
+
⎧
=+− +
⎪
≠
+
⎪
⎪
+
⇔⇔
⎨⎨
+

Từ M
0
kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau
pt (*)
⇔
có 2 nghiệm thỏa k
1
k
2
= -1 và khác
0
0
y2
x1
+
+

0
0
22
00
y2
k
x1
m0
(x 1) (y 2) 4m
+
⎧
≠
⎪

. Gọi (x
0
,y
0
) là tiếp điểm của (d) và (C) , ta có
0
|
2
0
0
T
x5
4
Ky 1
x1
(x 3)
=
⎡
=⇔−=− ⇒
⎢
=
−
⎣

•

00 1
x1y 1(T):y x=⇒ =−⇒ =−
•


00
2 2
00 00
x2 x2
33
y(xx);A(0,a)(T):a
x 1 (x 1) x 1 (x 1)
⎛⎞ ⎛⎞
++
⇔− =− − ∈ − =− −
⎜⎟ ⎜⎟
−− −−
⎝⎠ ⎝⎠
(x)

0
0
2
2
00
00
0
(x )
x1
x10
g (a 1)x 2(a 2)x a 2 0
(a 1)x 2(a 2)x a 2 0
≠
⎧
−≠

⎨
⎪
=− − + ++≠
⎩
Khi đó gọi là 2 tiếp điểm nằm về 2 phía Ox
111 2 2 2
M (x ,y ),M (x ,y )
12 1212
12
12 1212
x2x2 xx2(xx)4
yy 0 0 0(1)
x1 x1 xx (xx)1
⎛⎞⎛⎞
++ +++
⇔<⇔ <⇔ <
⎜⎟⎜⎟
−− −++
⎝⎠⎝⎠

Trong đó x
1
,x
2
là nghiệm của có
0
g(x ) 0=
12
12
2(a 2)

3
3
Đk 2 a 1
⎫
⇔⇔>−
⎪
⇒− < ≠
⎬
⎪
−<≠
⎭Cho hàm số có đồ thò (C) . Tìm điểm M thuộc đồ thò (C) sao cho tiếp tuyến của
(C) tại M đi qua gốc toạ độ
32
y2x 3x 12x1=+−−Ta có
|2
00
y
6x 6x 12 , M(x ,
y
)=+− ⇒
tiếp tuyến tại M
(C)
∈



Gọi
3
000
1
Ax, x x
33
⎛
−+
⎜
⎝⎠
2
⎞
⎟
là điểm bất kỳ thộc (C) .
Tiếp tuyến (T) với (C) có hệ số góc
2
0
0
|
(x )
k
y
(x 1) (1)==−

Do (T) vuông góc với đường thẳng
12
yx
33
=− +

Gọi (T) là tiếp tuyến của (C)
QuaO
Hệ số góc k
⎧
⎨
⎩
(T) : y kx⇔=
2
2
2
x3x6
kx
x1
x2x3
k
(x 1)
⎧
−+
=
⎪
−
⎪
⇔
⎨
−−
⎪
=
⎪
−
⎩

⎡⎡
=+ −
=+ = −
⇒⇒
⎢
⎢⎢
=− − −
=− =− −
⎢
⎢⎢
⎣⎣
⎣
)Cho hàm số
32
y mx (m 1)x (m 2)x m 1 , (Cm)=−−−++−
1.Tìm m để (Cm) đạt cực đại tại x = -1
2.Khi m = 1 , tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

1.m =1
2.
3
(C): y x 3x ; A(a,2) (d) : y 2 (d) : y k(x a) 2=− ∈ =⇒ = −+
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ
3
2
x3xk(xa)2
3x 3 k

2
(3a 2) 8(3a 2) 0
aa
3
23a23a2 0
a1
⎧
+− +>
2
<
−∨>
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨
++++≠
⎩
⎪
≠−
⎩

Vậy điểm cần tìm là A(a,2)
;
2
aa2a
3
<− ∨ > ∧ ≠−
1
1


42
2
3x 2x 0 x 0 x
3
−=⇔=∨=±

Vậy toạ độ điểm cần tìm là A(0,-1)
Cho hàm số ; đồ thò (C)
32
yx 3x 2=− +
1.Qua A(1,0) có thể kẻ được mấy tiếp tuyến với (C) . Hãy viết phương trình tiếp tuyến ấy
2.CMR không có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp tuyến qua A của (C) nói trên

1.Gọi (d) là đường thẳng qua A(1,0) có hệ số góc k dạng
yk(x1)
=
−
là tiếp tuyến của (C) khi hệ
32
2
x3x2k(x1
3x 6x k
⎧
−+=−
⎨
−=
⎩

⎨
=
⎩
+

(T) (d)≡
vậy không có tiếp tuyến nào khác song song với tiếp tuyến tại A

Cho hàm số
4
2
x
y3x
22
=− +
5
a
, có đồ thò (C)
1.Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thò tại điểm M có hoành độ
M
x
=
.CMR hoành độ các giao điểm của
tiếp tuyến (d) với đồ thò là nghiệm của phương trình
22 2
(x a) (x 2ax 3a 6) 0
−
++−=

2.Tìm tất cả các giá trò của a để tiếp tuyến (d) cắt đồ thò tại 2 điểm P,Q khác nhau và khác M.Tìm

−+= −− ++
2
5
2
2

22 2
(x a) (x 2ax 3a 6) 0⇔− + + −=
2.Qũy tích trung điểm K
Theo trên để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt P và Q và khác M thì phương trình : = 0 có
2 nghiệm khác a
2
x2ax3a6++−
|2 2
222
a3
a(3a6)0
a1
a2a3a60
⎧
⎧
<
Δ= − − >
⎪
⇔
⎨⎨
≠
++−≠
⎪
⎩

và giới hạn bởi 1x 3≠≤

Cho hàm số có đò thò là (Cm).Đònh m để các tiếp tuyến của đồ thò (Cm) tại A và
B điểm cố đònh vuông góc nhau
42
yx2mx2m=− + − +1
x

Điểm cố đònh A(-1,0) B(1,0) và
|3
y4x4m=− +
||
AB
y
44m;
y
44m⇒=− =−+

Tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau
||
B
A
y
.
y
1
⇔
=−

35

k
(x 1)
+
⎧
=+
⎪
+−
−
⎪
⇒= +⇔−−+++=
⎨
−
−−
⎪
=
⎪
−
⎩
)

Từ A có thể kẻ được 1 tiếp tuyến đến (C)
(1)
⇔
có 1 nghệm
 Xét
(1)
1
a1 0 a1 4x2 0 x A(0,1)
2
−= ⇔ = ⎯⎯→− + = ⇒ = ⇒

0
,y
0
) tiếp tuyến tại M tiếp xúc (C) dạng
00
yx M(x,x)∈=⇔ ⇒
0
yk(xx)x
0
=
−+ (d)
Phương trình hoành độ của (d) và (C)
00
x1
kx kx x (1)
x1
−
−+=
+

Theo ycbt thì (1) có nghiệm kép
2
00 0 0
kx (k kx x 1)x x kx 1 0⇔+−+−+−+=
có nghiệm kép
22 2 2
000
k0
(1 x ) k 2(x 3)k (x 1) 0 (2)
≠

22
2
2
0
00
12 12
00
k
x1
x10
8(x 1) 0
2(x 3) x 1
51
(k k ) 5k .k 1 0
(1 x ) x 1
≠
⎧
+≠
⎧
⎪
⎪
⇔Δ= + > ⇔
⎡⎤⎡⎤
⎨⎨
+−
0
−
−=
⎢⎥⎢⎥
⎪⎪

2
(P) : y 2x x 3=+−
0

Gọi M(0,m) . Phương trình qua M có hệ số góc k là
ykOy∈ xm(d)
=
+

Phương trình hoàng độ giao điểm của (P) và (d) là :
22
2x x 3 kx m 2x (1 k)x m 3 0 (1)+−= + ⇔ +− − −=
(d) là tiếp tuyến của (P) khi (1) có nghiệm kép
0
⇔
Δ=

2
k2k8m250(2⇔−+ += )
5

Có
12 12
kk 2;k.k8m2+= = +
Hai tiếp tuyến hợp nhau 1 góc 45
0
khi
0
21
12

⎩

314 314
mm
44
+−
⇔=− ∨=

Vậy
12
314 314
M0, ,M0,
44
⎛⎞⎛
+−
−
⎜⎟⎜
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞
⎟
⎟
⎠Cho hàm số
2
x
y
x1

) tạo nhau 1 góc 45
0
khi
0
12
12
kk
tan 45
1k.k
−
=
+

22 22
12 1 2 12 1 2 12
(1 kk) (k k) (1 kk) (k k) 4kk 0 (1)⇔+ = − ⇔+ − + + =

Do (T) là tiếp tuyến của đồ thò (C)
2
x
k(x a) 4
x1
⇔=−+
−
có nghiệm kép
2
(1 k)x (4 ka k)x 4 ka 0⇔− −− − +− = có nghiệm kép khác
1
2
22

k0
4(a 2)
k
(a 1)
=
⎧
⎪
−
⎨
=
⎪
−
⎩
thỏa mãn (1) khi
2
2
2
2
2
4(a 2)
k1
a3
(a 1)
a1
4(a 2)
a2a70
k0.(10) 0 4.00
(a 1)
−
⎧

2
2

Vậy
12
A( 1 2 2,4), A( 1 2 2,4)−− −+Cho hàm số
2
xx2
y
x1
++
=
−
có đồ thò (C) . Tìm trên (C) các điểm A để tiếp tuyến của đồ thò tại A vuông
góc với đường thẳng đi qua A và có tâm đối xứng của đồ thò

Giả sử
00
0
4
Ax,x 2
x1
⎛
++
⎜
−
⎝⎠

−−
⎝⎠
r
2
4
⎟
là vectơ chỉ phương của (d) ; do đó
(d) (AI) a.AI 0⊥⇔=
r
uur

0
4
x18⇒=±

Vậy có 2 điểm
44
44
12
44
4388 4388
A1 8, ,A1 8,
88
⎛⎞⎛
−+ ++
−+
⎜⎟⎜
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞

x2
k
x
⎧
−+
=−+
⎪
⎪
⎨
−
⎪
=
⎪
⎩
( I ) có 2 nghiệm thỏa mãn
11
22
(x ,k )
(x ,k )
⎧
⎨
⎩
12
k.k 1
=
−
Từ ( I )
2
(m 2)x 4x 2 0 (*) , x 0⇒+ −+= ≠
Theo ycbt

⎪
⎪
⇔<
⎨
⎪
⎡⎤
−+− +=−
⎪
⎣⎦
⎩
22
2m0
244
24
m2 m2 m2 m2
−≠ <
⎧
⎪
⎡⎤
⇔
⎨
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞
−−+=−
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟
⎪
+++
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦

thò (C) , trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
3
yx 3x=+
2

Gọi M(m,0) là điểm bất kỳ trên trục hoành
Đường thẳng (d) đi qua M có hệ số góc là k dạng :
yk(xm)
=
−

(d) là tiếp tuyến (C) khi
32
2
x3x k(xm)
(I)
3x 6x k
⎧
+=−
⎨
+=
⎩
Qua M kẻ được 3 tiếp tuyến của (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau khi ( I ) có 3 giá trò k
sao cho 2 trong 3 giá trò đó tích bằng -1
Khi đó ( I )
32 2 2
x 3x (3x 6x)(x m) x 2x 3(1 m)x 6m 0
⎡⎤
⇔+ = + − ⇔ +− − =
⎣⎦

⎣

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Khi đó pt (*) có 2 nghiệm và
12
12
2
xx (m1
3
xx 3m
⎧
+= −
⎪
⎨
⎪
=−
⎩
)

Khi qua M kẻ được 3 tiếp tuyến của (C) thì
22
1112 223
k3x6x,k3x6x,k0
=
+=+=

Theo bài toán :
22
12 1 1 2 2

0
. Viết phương trình tiếp tuyến đó

Tiếp tuyến hợp với Ox góc 45
0
là tiếp tuyến có hệ số góc
k1
=
±

TH1:
|
2
2
ky1 2 1 x1 2
(x 1)
==⇔− =⇒=±
−

1
2
(T ): y x 2 2 2
x1 2 y332
(T ) : y x 2 2 2
x1 2 y332
⎡
⎡⎡
=+−
=− =−
⇒⇒ ⇒

⎢⎢
⎡
=− − −
⎢⎢
⇒⇒ ⇒
⎢
⎢⎢
=− + +
⎢
⎣
=+ =+
⎢⎢
⎣⎣Cho hàm số có đồ thò (C)
32
yx 3x 2=− +
1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) để tiếp tuyến đó qua
23
A,2
9
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

2.Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thò (C) 2 tiếp tuyến vuông góc

1.Tiếp tuyến (C) qua A :

x3,k9
15
x,k
33
⎡
⎢
==
⎢
⇔==
⎢
⎢
==−
⎢
⎣
tiếp tuyến ⇒
(d):y 2
(d):
y
9x 25
56
(d):y x
32
⎡
⎢
=−
⎢
=−
⎢
⎢
=− +

2
12 12
x2;k0 y 2
3a 1
g
(x) 2x (3a 1)x 2 0 có x x ;x .x 1
2
==⇒=−
⎡
⎢
⇔
−
⎢
=−−+= += =
⎣

Để từ A dựng 2 tiếp tuyến vuông góc khi g(x) = 0 có 2 nghiệm x
1
,x
2
sao cho k
1
(x
1
).k
2
(x
2
) = -1
2


55 55
aA,
27 27
⎛⎞
⇔= ⇒ −
⎜⎟
⎝⎠
2
2Cho hàm số . Tìm những điểm trên đường thẳng y = 2 từ đó dựng được 3 tiếp tuyến đến
đồ thò
32
yx3x=− + −

Gọi A(a,2)
y2∈=
Đường thẳng (T) qua A có hệ số góc k có phương trình :
yk(xa)2
=
−+
là tiếp tuyến của (C) khi hệ :
có nghiệm
32
2
x3x2k(xa)2
3x 6x k
⎧

⎧
+−>
<
−∨ >
⎧
⎪⎪
⇔⇔ ⇔
⎨⎨ ⎨
≠
≠
⎩
⎪
⎪
⎩
≠
⎩

Vậy
5
a1a a
3
<− ∨ > ∧ ≠
2Cho họ đường cong
(m 1)x m
(Cm) :
y
,m 0

≠

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

00 0 0
00 0 0
x
y
10 x 0 x 2
x(
y
1) 0
y
1
y
1
⎧
+−= = =
⎧⎧
⎪
⇔⇔∨
⎨⎨⎨
+= = =−
⎪
⎩⎩
⎩

Điều kiện ; nên A(0,1) thỏa bài toán
m0∀≠
0

yx 12x12=− +

Gọi A(a,-4)
y4∈=− (d) : y k(x a) 4⇒=−−
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ
3
2
x12x12k(xa)4
3x 12 k
⎧
−
+= −−
⎨
−=
⎩

2
x2
g(x) 2x (4 3a)x 8 6a 0
=
⎡
⇔
⎢
=+− +−=
⎣

Để qua A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt
g(x) 0
⇔
=

43
yx 4x 3=− +
1.Chứng minh rằng tồn tại một tiếp tuyến duy nhất tiếp xúc với đồ thò (C) tại 2 điểm phân biệt
2.Viết phương trình tiếp tuyến thứ 2 với đồ thò song song với tiếp tuyến vừa kể . Cho biết hoành
độ tiếp điểm
3.Dựa vào các kết quả trên , tuỳ theo tham số m , suy ra số nghiệm phương trình :

43
x4x8xm0−++=

1.Tiếp tuyến tại 2 điểm của (C) dạng
yaxb
=
+
(d)
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:
43
x4x3axb
−
+= +
43
x4xax3b0⇔− −+−=
(1)
Để (d) tiếp xúc (C) thì phải có đồng thời 2 nghiệm kép
43 2
x4xax3b(x )(x)⇔− −+−=−α −β
2

43 4 322 2
x 4x ax 3 b x 2( )x ( 4 )x 2 ( )x⇔ − − + − = − α+β + α +β + αβ − αβ α+β

⇒
⎨
α= − β= +
⎪
⎩

2.Tiếp tuyến song song
y8

x=− −1
Ta có
|32
y8 4x12x 8 x1 y0
x1 3
x1 3
=− ⇔ − =− ⇔ = ⇒ =
⎡
⎢
=−
⎢
⎢
=+
⎣
)
Vậy tiếp tuyến thứ 2 có phương trình
2
y8x8(d
=
−+
3.


+∞
m < -5 2 nghiệm
8 m = -5 3 nghiệm (có 1 nghiệm kép x = 1)
-5 < m < 4 4 nghiệm phân biệt
-1 m = 4 2 nghiệm kép x =
13 ±

−∞ m > 4 Vô nghiệm Cho hàm số
2
(3m 1)x m m
y
xm
+−+
=
+
,
m0
≠
có đồ thò là (Cm)
1.Với giá trò nào của m thì giao điểm của đồ thò với trục hoành , tiếp tuyến sẽ song song với
đường thẳng y = x – 20 . Viết phương trình tiếp tuyến ấy
2.CMR : (Cm) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố đònh
3.Trên đường thẳng x = 1 , chỉ ra tất cả các điểm mà không có đường nào của (Cm) đi qua

1.
2

1
⇔
=⇔ =
1
00
2
00
A( 1,0) , (T ):y x 1
m1,x 1,y0
33
13
B,0,(T):yx
m,x,y0
55
55
−=
⎡
=− =− =
⎡
⎢
⎢
⇔⇔
⎛⎞
⎢
⎢
+
=
−
=− = =
⎜⎟

0
≠
⎧
≠
⎧
∀⇔
⎨⎨
−+ + − −− − +−=
Δ=
⎩
⎩
2
1
2
a1
(T ) : y x 1
a9
(T ) :y 9x 1
b1
⎧
=
⎡
=+
⎧
⎪
⎢
⇔⇔
=
⎨⎨
⎣
Cho đường cong ; đồ thò (C)
3
y3x4x=−
1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) để tiếp tuyến đó đi qua M(1,3)
2.Tìm trên đường cong y = -9x + 8 những điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến (C) và chúng
vuông góc nhau

1.Gọi (d) là đường thẳng qua M(1,3) và có hệ số góc là k có pt : y = k (x – 1) và có x
0
là hoành độ tiếp
điểm , khi đó ta có :
3
00 0 0
2
0
0
3x 4x k(x 1) 3 x 0 ; k 3 ; y 3x
312x k 3
x;k24;
y
24x 27
2
⎧
−= −+⇔= = =
⎧
⎪
⎨
⎨

00
()x
(x 1) 2x (2 3a)x 2 3a 0
x1;k9
f2x(23a)x23a
⎡⎤
⇔− −− +−=
⎣⎦
==
⎡
⇔
⎢
=−− +−=
⎣
0

Theo bài toán ta có = 0 có 2 nghiệm phân biệt
0
()xf
2
2
(2 3a) 8(2 3a) 0 a a 2 (*)
3
⇔− − − >⇔>∨<−

0
()xf = 0 thỏa k
1
.k
2

2
2
x2xm
y' f '(x)
(x 1)
++
==
+
;
m
yx2m ;(m0)
x1
=− + ≠
+

(Cm) cắt Ox tại hai điểm phân biệt
⇔
phương trình :
2
x(12m)xm0
+
−−= (1) có hai nghiệm
phân biệt khác -1
⇔
2
2
(1 2m ) 4( m) 0
(1) (1 2m)(1) m 0
⎧
Δ= − − − >

+
=− và
12
xx m
=
−
Tiếp tuyến tại M, N vuông góc nhau
⇔
12
'( ) '( ) 1fxfx
=
−
() ()
()()
22
11 2 2
22
12
22
22
11 2 2 1 2
2222
12 12 1 2 1 2 1 2 12 12 1 2
222
2
x2xmx2xm
1
x1 x1
(x 2x m)(x 2x m) x 1 x 1
(x x ) 2x x (x x ) m(x x ) 2m(x x ) m 4x x (x x x x 1)


Nhận xét
:
1) Nếu ko đặt điều kiện để tồn tại (Cm) là hàm hữu tỉ hoặc không nói rõ (Cm) cắt Ox có hai
nghiệm khác mẫu số (nghóa là ) thì ắt hẳn ta nhận m=0 làm nghiệm thì kết quả sai.
0m ≠
0m ≠
2) Thông thường các em quen dùng Viet cho y' . Nhưng yêu cầu bài toán không đề cập y' để
trong Viet của phương trình bậc hai.
12
'( ) '( ) 1fxfx=−

1/ Cho hàm số có đồ thò (C) .Tìm phương trình tiếp tuyến tiếp xúc (C) tại hai điểm
phân biệt , tính toạ độ tiếp điểm.
432
23yx x x=− − +5
6
2/ Chứng minh rằng có 1 tiếp tuyến duy nhất tiếp xúc (C) :
432
427
y
xxxx
=
+−++
tại hai điểm phân
biệt . Tìm toạ độ tiếp điểm.
3/ Xác đònh a, b để (d) : y= ax+b tiếp xúc với đường cong (C) :
432
6263
y

235xxx axb⇔− − +−−=0

Phương trình (1) phải có 2 nghiệm kép
12
,
x
x phân biệt.
(1) viết lại
432 2 2
12
235 ( )( )x x x axb xx xx⇔− − +−−=− − =0
2432 4 3 2 2 2
12 12 12 1212 12
235 2()()2 2()
x
x x axbx xxx xx xxx xxxxxxx
⎡⎤
⇔− − +−−=− + + + + − + +
⎣⎦
= 0
Đồng nhất thức hai vế ta được:
12
2
12 12
12 1 2
22
12
2( ) 2
()2
2( )

⎪
=−
⎪
⇔
⎨
=−
⎪
⎪
=
⎩
⇒ tiếp tuyến của (C) tại hai điểm phân biệt (d): y= -4x+1. Hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình
:
⇔ x= -1 V x= 2
2
20xx−−=
Vậy 2 tiếp điểm là ; A (-1,5) ; B (2,-7)

2/ Tương tự y = 5x - 3 ; C (1,2) ; D (-3,-18)
3/ Tương tự y = 2x - 13; E (-1,-15) , F (4,-5)

Cho (C) :
2
(1) (52)21
3
mx m xm
y
x
−−++−
=
−

(1) (4)82mx mx m⇔+ +− +− =0 (1).
(d) cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt
⇔
(1) có 2 nghiệm phân biệt
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

2
m1 0
9m 32m 16 0
+≠
⎧
⎨
Δ= − − >
⎩

4
m V m >
9
m-1
⎧
<−
⎪
⇔
⎨
⎪
≠
⎩
4

2.

()Nd∈
1
4
9
4
m
m
m
≠
−
⎧
⎪
⎪
⎡
<
−
⎨
⎢
⎪
⎢
⎪
>
⎣
⎩

2
1
8
29
84

10
30
50
9
y
y
y
≠
⎧
⎪
<−⎪
⎡
⇔
⎨
⎢
⎪
⎢
>
⎪
⎣
⎩

Quỹ tích điểm N là phần đường x = -4 , ứng y< -30 V y >
50
9
với
10y
≠
−+=
⎪
⎩
với
32
000
32yxx=− + −
2
0000
0
2
000
0
2
00
0
0
0
()2(3)(3)
0
2(3) (3)0;(3)
(3) : 9( 1) 0, 1
3
V
2
xx x xxxx
xx
xxxxx
xx
xx

0
2
0
00
36
3
33
36
2
22
kxx
xx
x
x
x
x
k
⎡
=− +
=
⎡
⎢
⎢
⇔⇒
−
−−
⎢
⎛⎞⎛⎞
⎢
=

0
y
−
⇔
=⇔==
. Khi đó hệ số
góc của tiếp tuyến là k = 3.
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

2
Kết luận : Vậy có tiếp tuyến duy nhất của (C) là : y=3(x -1) với tiếp điểm
0
(1, 0)M

Cho đường cong
3
3
y
xx=− + +
tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến với
đường cong Gọi

⎪
⎩
)

Qua vẽ được 3 tiếp tuyến với đường cong khi : (1) có 3 nghiệm phân biệt
0
(,0)Mx
2
00
2
00
(1) 0
000
(3 2) 8(3 2) 0
;() 2 (3 2) 3 2
660
2
1; 1 ; 2
3
xx
fx x x x x
fx
xxx
−
⎧
Δ= + − + >
⎪
⇔=−
⎨
=+>

2
y
xx=+− . Khi hệ sau có nghiệm
2
22
111
1111 1
2
1
2
2
12 1
3
22 2
2
2
32
2
2
22 22
2;(1)
2(22)
22;(2)
34
23 2
2
24 ;(3)
(3 4)
32;(4)
24(3 2)


43
22 2
2
2
2
2
2
1
2
1
98240
0
32
2
34
4
2
xx x
x
ax
a
x
x
b
bx
⎧
−+ =
⎪
=

Phương trình đường thẳng qua A (-6,5) có hệ số góc là k :
(6)ykx 5
=
++
, (d)
(d) là tiếp tuyến của đồ thò (C)
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

22
44
1(6)51(2)8
22
44
(2) (2)
kx kx k
xx
kk
xx
⎧⎧
+=++ +=−++
⎪⎪
−−
⎪⎪
⇔
⎨⎨
⎪⎪
−= −=
−−
⎪⎪
⎩⎩

⎨⎨
⎪⎪
−=
−+=
⎩
−
⎪
⎩

1
1
4
k
k
=−
⎡
⎢
⇔
⎢
=−
⎣
với k = -1 :y= -x -1 với
1
4
k =−
:
17
42
yx
=

−+−
+

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thò tại
0
0x
=
là
2
(0)
2
16
'
m
y
k
m
−
=
=
tiếp tuyến vuông góc với TCĐ thì k = 0
2
2
16
04
m
m
m
−
⇔
1/
2
2
4
'
(4
mm
y
xm
−+
=
+−
3
)
. Hàm số nghòch biến trên từng khoảng xác đònh
2
'0 4 30ymm
⇔
<⇔ − +<
13
2
:
m
m
gt m
<<
⎫
⇔⇒

−

0
2
0
2
0
0
0
00
1
00 2
1
'
1
(2)
1
(2)
' tan135 1
3; 3
(1,1)
1; 1 ( 3, 3)
y
x
x
ky
xy
M
xy M
⎫


Cho hàm số
2
21
1
x
x
y
x
−+
=
−

1/ Chứng tỏ trên đường thẳng y = 7 có 3 điểm M kẻ được đến (C) chỉ 1 tiếp tuyến // Ox
2/ Chứng tỏ trên đường thẳng y = 7 có 4 điểm sao từ điểm đó có thể kẻ đến (C) 2 tiếp tuyến lập với
nhau 1 góc
0
45
ĐS: 1/
12 3
(1, 7), (2,7), (3, 7)MM M
2/
12
( 3 2 6); (5 2 2)MM−± ±Cho hàm số
2
2
x

mm
⎧
Δ
=− >
≠− ⇔
⎨
−
+≠
⎩

0
4
m
m
<
⎡
⇔
⎢
>
⎣
. Vậy với m< 0 V m > 4 thì đồ thò hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt A, B có hoành
độ
,
AB
x
x là nghiệm của phương trình :
2
x
mx m
+

⇔− + + + +=
−

Với
AB
AB
xx m
x
xm
=
⎧
⎨
+=−
⎩
thì (1)
22
(4 ) (4 ) 0mm m⇔− +− =
m= 4 (loai) vì m >4
1
m= -1 ( nhân) vì m< 0
m
⎡
⇔=−
⎢
⎣Cho hàm số có đồ thò là (Cm). Tìm m để đường thẳng (d) : y= -x+1 cắt (Cm) tại 3 điểm
phân biệt A (0,1) , B,C sao cho các tiếp tuyến tại B và C của (Cm) vuông góc
32

và
12
,
x
x là hoành độ của B và C thoả :
12
12
()
1
xxm
I
xx
+=
⎧
⎨
=
⎩

Ta có hệ số góc tiếp tuyến tại B là :
1
2
1() 1 1
'(32
x
ky x mx==+)
)
hệ số góc tiếp tuyến tai C là :
2
2
2() 2 2

k
d
()
k
d ()
k
d

()
k
d : y=k(x+ 1)+1 luôn qua A(-1,1) nên ( có điểm chung (Cm) là A. Phương trình hoành độ giao
điểm của
( và (Cm) :
)
k
d
)
k
d
32
x
mx m−+ −
= k(x+1)+1
2
2
(1) (1 ) 10
1
() (1 ) 1 0
xx mxmk
x

⎧
<−−
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
≠
⎪
⎪
⎩
≠− −
⎩
3)

Do qua A (-1,1)
∈ (Cm) nên ( cắt (Cm) thành 2 đoạn bằng nhau thì qua điểm uốn
I
()
k
d )
k
d ()
k
d
3
2
,
327
m
mm
⎛
Xét hàm số
2
3
1
x
xa
y
x
++
=
+
, a là tham số .
1/ Khảo sát và vẽ đồ thò khi : a= 3 ;
()
()
H
SC
=
, TCX x=1, x= 5 hoặc
()
()
H
SC
=
, TCX x= -3, x= -2 .
2/ Với những giá trò nào của tham số a thì đồ thò của hàm số trên có tiếp tuyến vuông góc với đường
phân giác thứ nhất của hệ trục toạ độ ? CMR khi đó đồ thò hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu .


xx a
x
⎧
++
=− +
⎪
+
⎪
⎨
++−
⎪
=−
⎪
+
⎩

(1) có nghiệm có nghiệm
2
13()(xxxaxmx≠⇔ + + =−+ +1)
1x
≠
−

2
2
(1)
2
(4 ) 4.2( ) 0
2( 1) ( 4 )( 1) 0
816

.
2
2( 1) 2xa⇔+=− có nghiệm
1x ≠−
2
(1)
20
2
2
2( 1 1) 2
2
a
a
a
ha
a
−
−≥
⎧
≥
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨
=−+ ≠−
≠
⎪
⎩
⎩
⇔>

23 0;'
1
xx a a
x
⎧
++−=Δ=−
⇔
⎨
≠−
⎩
2
0
3

y'= 0 có , do đó có 2 nghiệm phân biệt , nên đổi dấu 2 lần qua nghiệm . Hàm số có cực đại ,
cực tiểu.
'2aΔ= − >
Có thể kiểm nghiệm với chọn
2
38aC=⇒ ≥
2
9CC
=
⇒=±
. Khi đó có 2 tiếp tuyến :
y = -x – 3 ; y = -x + 3 . Lần lượt tiếp xúc với (C) tại
12
54 110
,; ,
33 33

0
) + y
0
; (d)
Phương trình hoành độ của (d) và (C) là:
k(x- x
0
) + y
0
= x + 1 +
4
1
x
−
<=> (k – 1)x
2
– ((x
0
+ 1)k – y
0
)x + kx
0
– y
0
– 3 = 0 (*)
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Để (d) tiếp xúc (C) khi (*) có nghiệm kép
<=> <=>
10

0
2
0
2
0
(2)16
1
(1)
(1) 0
(1)0
y
x
g
x
⎧
−−
=−
⎪
−
⎪
⎪
≠
⎨
⎪
−≠
⎪
⎪
⎩
<=>
22

+ 2x
2
+ 7 tại hai điểm phân biệt
A và B . Tìm quỹ tích trung điểm I của AB
2.

Xác đònh m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0,1); D và E . Tìm m để các
tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau
3.

Tìm a để mọi x : f(x) = (x -2)
2
+ 2
≥

x
a
−
3

1.
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (C) là :
x
3
+ 3x
2
+ mx +1 = x
3
+ 2x
2

= -m
Gọi I là tọa độ trung điểm của AB thì :
I
12
33
22 2
12 1 2
12
22
18
()7
22 2
I
I
xx m
x
yy xx
mm
yxx
+−
⎧
==
⎪
⎪
⎨
++
−−
⎪
==+++= ++
⎪

xx x
+
++

Vậy quỹ tích trung điểm I là đường cong : y = 4x
3
+ 4x
2
+18x +9
2.
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và y = 1 là :
x
3
+ 3x
2
+mx + 1 = 1 <=> x(x
2
+ 3x + m) = 0
<=>
⎡
⎢

2
0
() 3 0(2)
x
gx x x m
=
=++=
⎣

+
=−
⎧
⎨
=
⎩

Tiếp tuyến của (Cm) tại D, E vuông góc khi
() ()
'.'
DE
xx
yy 1
=
−

22
22 2 2
(3 6 )(3 6 ) 1
.[( )2]
DD EE
DE D E DE
xxmxxm
xx mx x xx m
⇔++ ++=−
⇔−+− +=
1
−

<=> 4m

≥
<=> min g(x)
≥
;
3 0
x
∀

* Nếu x – a <=> x
≥ ; khiđó g(x) = (x – 2)
0≥
m
2
+2(x – a) – 3 có:
g’(x) = 2x - 2 ; g’(x) = 0 <=> x = 1 x a 1
+
∞

g’(x) - 0 +
g(x
-2a x a =>a
≤ 1 => min g(x) = -2a >0 <=> a ≥
≤
0