Phần I
con lắc lò xo
Bài 1: Một lò xo được treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo được giữ chuyển động
đầu dưới theo vật nặng có khối lượng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 25 N/m. Kéo vật rời
khỏi VTCB theo phương thẳng đứng hướng xuống một đoạn 2cm, truyền cho nó vận tốc
310
.
π
(cm/s) theo phương thẳng đứng hướng lên. Chọn góc tg là lúc thả vật, gốc toạ
độ là VTCB, c dương hướng xuống.
a. Viết PTDĐ.
b. Xác định thời điểm vật đi qua vị trí mà lò xo giãn 2 cm lần thứ nhất.
Lời giải
a) Tại VTCBO
k∆l = mg
⇒ ∆l =
0,04
25
0,1.10
k
mg
==
(m
+ ω =
π===
5105
1,0
25
m
k
(Rad/s)

5
π
)
⇔ sin (5πt +
6
5
π
) =
2
1
−
∆l
l
0
0(VTCB))
x
- ∆l
•
•
•
5πt +
6
5
π
=
6
7
π
⇒ t =
15

2
2
1
−
=+ mvkx
(J)
Ta có phương trình:
322
25.10).0,4.(0,25
2
1
)
k
4
k(0,026
2
1
−
=+−
⇔ k(2,6.10
-2
-
025,0)
4
2
=
k

⇔ 0,026
2

Bài 3: Hai lò xo có độ cứng lần lượt
là k
1
= 30 (N/m) và K
2
= 30 (N/m)
được gắn nối tiếp với nhau và
gắn vào vật M có khối lượng m = 120g như hình vẽ. Kéo M dọc theo trục lò xo tới vị trí
cách VTCB 10 cm rồi thả không vận tốc đầu trên mặt phẳng ngang. Bỏ qua ma sát.
1. CM vật DĐĐH, viết PTDĐ
2. Tính lực phục hồi cực đại tác dụng vào vật
Lời giải
1. Chọn trục ox nằm ngang, chiều dương từ trái qua phải, gốc 0 tại VTCB của vật.
Khi vật ở VTCB, các lò xo không bị biến dạng.
Khi vật ở li độ x thì x = x
1
+ x
2
với x
1
; x
2
là độ biến dạng của 2 lò xo (cùng dãn hoặc nén).
+ Lực đàn hồi ở 2 lò xo bằng nhau lên
x
1
=
1
k
F

=+
áp dụng định luật 2 N: F = m.a = mx
''
→ mx
''
= - k.x hay x
''
= - ωx
2
với ω
2
=
)(
.
21
21
kkm
kk
m
k
+
=
Vật dao động điều hoà theo phương trình
x = Asin (ωt + ϕ)
Vậy vật dao động điều hoà
* Phương trình dao độngω =
10
)2030(12,0
20.30
)(

π
) (cm)
2. Ta coi con lắc được gắn vào 1 lò xo có độ cứng K
Vậy lực phục hồi là F = - kx
→ Lực phục hồi cực đại F
max
= +kA = 120,10 = 1,2N
Bài 4: Dùng hai lò xo cùng chiều dài độ cứng k = 25N/m treo 1 quả cầu khối lượng
m = 250 (g) theo phương thẳng đứng kéo quả cầu xuống dưới VTCB 3 cm rồi phóng với
vận tốc đầu 0,4
2
cm/s theo phương thẳng đứng lên trên. Bỏ qua ma sát (g = 10m/s
2
;
π
2
= 10).
1. Chứng minh vật dao động điều hoà, viết PTDĐ?
2. Tính F
max
mà hệ lò xo tác dụng lên vật?
Lời giải
1. Chọn trục 0x thẳng đứng hướng xuống gốc 0 tại
VTCB
+ Khi vật ở VTCB lò xo không bị biến dạng.
+ Khi vật ở li độ x thì x là độ biến dạng của mỗi lò xo.
+ Lực đàn hồi ở hai lò xo bằng nhau (VT 2 lò xo cùng độ cứng và
chiều dài và bằng
2
1

Theo định luật II Niutơn : F = ma = mx
''
⇒ x
''
=
x
m
k2
−
→ x = Asin (ωt + ϕ) Vậy vật DĐĐH
k
0
F
k
0
F
P
+
m
O
•
+ PTDĐ: Tại t = 0 x = +3cm > 0
v = - 0,4
2
m/s = - 40
2
(cm/s)
Ta có hệ 3 = A sinϕ ; sinϕ > 0
- 40
2

50
10.25,0
==
K
mg
m = 5 (cm)
Khi vật ở vị trí thấp nhất, lực đàn hồi đạt cực đại
F
đhmax
=

K (A + ∆l
0
) = 50(0,05 + 0,05) = 5 (N)
Bài 5: Một vật có khối lượng m = 100g chiều dài không đáng kể được nối vào 2 giá
chuyển động A, B qua 2 lò xo L
1
, L
2
có độ cứng k
1
= 60N/m, k
2
= 40 N/m. Người ta kéo vật
đến vị trí sao cho L
1
bị dãn một đoạn
∆
l = 20 (cm) thì thấy L
2

F
→
02
F
0
+
x
G
x
Khi đó vật để L
1
dãn ∆l = 2cm ; L
2
khi nén k dãn
thì ∆l chính là độ biến dạng tổng cộng của vật ở VTCB.
∆l = ∆l
1
+ ∆l
2
= 20 (cm) (1)
+ Tổng hợp lực bằng 0 :
00
02010201
=+→=+++
→→→→→→→
FFFFNP
Hay + K
1
∆l
1

⇒ x'' =
2
21
.
ω
−=
+
− x
m
kk
với ω2 =
m
kk
21
+
−
Vậy x = Asin (ωt + ϕ) (cm) → vật DĐĐH
b) ω =
π
10
1,0
4060
21
=
+
=
+
m
kk
(Rad/s)

v
0
= ωAcosϕ = 0
Vậy PTDĐ của vật x = 12 sin (10πt +
2
π
) (cm)
Chu kì dao động T =
2,0
10
22
==
π
π
ω
π
(s)
Năng lượng
E =
72,0)012.(,100.
2
1
2
1
22
==KA
(J)
c) Vẽ và tính cường độ các lực
→ ϕ =
2

Lò xo L
2
bị giãn một đoạn 2A = 24 (cm)
+ Lực tác dụng của lò xo L
1
và L
2
lên A, B lần lượt là
→→
21
,FF
F
1
= 60.0,04 = 2,4 (N)
F
2
= 40.0,24 = 0,6 (N) (
→→
21
,FF
cùng chiều dương)
Bài 6: Cho hai cơ hệ được bố trí như các hình vẽ
a,b lò xo có độ cứng k = 20N/m. Vật nặng có khối
lượng m, m = 100g; bỏ qua ma sát khối lượng của r
2

và lò xo dây treo k dãn. Khối lượng k đáng kể.
1. Tính độ dãn lò xo trong mỗi hình khi vật ở
VTCB.
2. Nâng vật lên cho lò xo không biến dạng

+ mg = 0
-k∆l + 2T
0
= 0
a
b
→
P
→
0
F
+
x
→
0
T
→
0
T
O
⇒ T
0
= mg = 1 (N)
∆l = 10 (cm)
2) Chứng minh vật DĐĐH
Hình a: + Khi vật ở VTCB lò xo dãn ∆l → k∆l - mg = 0
+ Khi vật ở li độ x lò xo dãn ∆l + x
F = mg - T
T - k(∆l + x) = 0
→ F = mg - k∆l

1
k∆l -
x
k
4
→ F =
x
k
4
−
Hay
x
k
4
−
= mx
''
→ x =
x
m
k
4
−
= - ω
2
x với ω =
m
k
4
x = Asin (ωt + ϕ) → vật dao động điều hoà

Vậy điều kiện để m
1
không rời khỏi m
a
max
< g ⇔ ω
2
A < g ⇒ A<
2
g
ω
+ ω =
m
k
→ ω
2
=
125
4,0
50
=
→ A <
125
10
= 0,08 (m) = 8cm
→ A
max
= 8cm
Bài 8: Cho 1 hệ dao động như hình vẽ, khối lượng
lò xo không đáng kể. k = 50N/m, M = 200g, có thể trượt

M
2
t =
ω
π
ω
3
=
a
với ω =
2,0
50
=
m
k
= 5
π
(Rad/s)
-> t =
15
1
5
1
.
3
=
π
π
(s)
V

M
2
α
•
•
+ Sau v/c hệ dđđh với biên độ A' = 4
2
cm và tần số góc
ω
'
=
05,02,0
50
0
+
=
+ mM
k
= 10
2
(Rad/s)
Lại có v =
2
0
2''
)( xA
−
ω

= 40

2. CM vật dđđh, tính T
3. Tính cơ năng E
Lời giải
1) Độ biến dạng của lò xo tại VTCB
+ Chọn trục ox như hình vẽ
ở VTCB phần vật bị nhúng chìm trong chất lỏng có
chiều cao h
0
, lò xo bị dãn 1 đoạn ∆l
0

Phương trình lực : mg- F
0A
- k∆l
0
= 0
→ ∆l
0
=
k
Fmg
A0
−
(1)
Với F
0A
= Sh
0
Dg
→ ∆l

F
= mg - S(h
0
+ x) Dg - k(∆l
0
+ x)
= mg - Sh
0
Dg- k∆l
0
- SDgx - kx
→F = - (SDg + k)x
Theo định luật 2 N: F = ma = mx
''
→ mx
''
= - (SDg + k)x ⇒ x
''
= ω
2
.x với ω
2
=
m
KSDg +
→ x = Asin (ωt + ϕ) vậy vật dao động điều hoà
+ Chu kì dao động T =
15010.10.10.50
4,0
22

10m/s
2
).
1. Tìm chiều dài quãng đường mà vật đi được cho tới lúc dùng.
2. CMR độ giảm biên độ dao động sau mỗi chu kì là không đổi.
3. Tính thời gain dao động của vật.
Lời giải
1 - Chiều dài quãng đường đo được khi có ma sát, vật dao động tắt dần cho đến lúc dừng lại ở đây
cơ năng E =
== SFKA
ms
.
2
1
2
µ.mg.S
→ S =
m
mgM
KA
(2
10.02.,1,0.2
1,0.80
.
.
2
1
22
==
)

- A
2
=
k
mg.2
µ
Sau 1/2 chu kì nữa vật đến vị trí biên có biên độ lớn A
3
thì A
2
- A
3
=
k
mg.2
µ
Vậy ∆A =
k
mg.4
µ
= const
3 - Thời gian dao động
Tính ∆A: ∆A =
01,0
80
10.2,0.1,0.4
=
(m) = 1 cm
Số chu kì thực hiện được : n =
10=

- l
2
có chu kì dao động 0,9 (s). Tính
T
1
, T
2
, l
1
, l
2
.
Lời giải
+ Con lắc chiều dài l
1
có chu kì T
1
=
g
l
.2
1
π
→ l
1
=
g.
4
T
2

3
= 2Π.
g
ll
21
+
→ l
1
+ l
2
=
81,0
4
10.)8,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'
=
π
=
π
(m) = 81 cm (3)
+ Con lắc có chiều dài l
1
- l
2
có chu kì T

= 0,3 (m) = 3cm
Thay vào (1) (2) T
1
= 2Π
42,1
10
51,0
=
(s)
T
2
= 2Π
1,1
10
3,0
=
(s)
Bài 12:
Một con lắc có chiều dài l, vật nặng khối lượng m, kéo con lắc ra khỏi VTCB một
góc α
0
rồi thả không vận tốc đầu.
1. Lập BT vận tốc tương ứng với li độ góc α suy ra BT vận tốc cực đại.
2. Lập bt lực căng dây ứng với li độ góc α. Suy tab t lực căng dây cực đại, cực tiểu.
* áp dụng: l = 1m, m = 100g, α
0
= 6
0
; g = 10(m/s
2

→ v
2
= 2gl (cosα - cosα
0
)
Vậy độ lớn vt : | v | =
)cos(cosgl2
0
α−α
Vì cosα = 1- 2sin
2

2
α
khi α<< →cosα =
2
1
2
α
−
Tương tự cos α
0
=
2
1
2
0
α
−
| v | =

Chiều lên phương dây treo
F
th
= -mg.cosα +T = m
aht
T = mgcosα + m.
l
v
2
= m (gcosα +
l
v
2
)
v
2
= 2gl (α
2
- α
2
) ta được
T = mg (3cosα - 2 cosα
0
) = mg (α
2
0
-
2
3
α







π
(N)
+ Lực căng dây cực tiểu khi α = α
0
, vật ở VT biên
T
min
= mg (1 -
2
1
α
2
0
)
Thay số
T
min
= 0,1.10
99,0
150
6
2
1
1

Bằng động năng của con lắc ở VTCB
2
0
2
mv
2
1
mghmv
2
1
=+
→ v
2
= v
2
0
- 2gh
v
2
= v
2
0
- 2gl(1 - cosα)
⇒ | v | =
)cos1(gl2v
2
0
α−−
Khi góc α << thì 1 - cosα = 2sin
2

amTPF =+=
⇒ = mgcosα + T = m
aht
→ T = mgcosα + m
l
v
2
= m(gcosα +
l
v
2
)
Thay v
2
ở trên
T = mg
2cos3
gl
v
2
0
−α+









l
+ Lực căng dây cực đại khi α = 0, con lắc ở VTCB
T
max
= mg +
l
mv
2
0
+ Lực căng dây cực tiểu khi α = α
0
(con lắc ở VTCB)
v
0
= α
0
gl
→ α
2
0
=
gl
v
2
0
→T
min
= mg
)
gl2

)
1.10.2
1
1(
2
−
= 0,95 (N)
Bài 14:
Một đồng hồ qủa lắc chạy đúng giờ ở Hà Nội. Đồng hồ sẽ chạy nhanh chậm thế nào
khi đưa nó vào TPHCM. Biết gia tốc rơi tự do ở Hà Nội và TPHCM lần lượt là 9,7926
m/s
2
9,7867 m/s
2
. Bỏ qua sự ảnh hưởng của nhiệt độ. Để đồng hồ chỉ đúng giờ tại
TPHCM thì phải đ/chỉnh độ cài con lắc như thế nào?
Lời giải
+ Chu kì của con lắc đồng hồ tại Hà Nội là
T
1
= 2
1
g
l
.π
= 2 (s)
+ Chu kì dao động của con lắc đồng hồ tại TPHCM là
T
2
= 2

1
21
=
−
(s)
+ Để đồng hồ tại TPHCM cũng chỉ đúng giờ thì chiều dài con lắc phải dài là:
→ T
'
2
= 2
2
'
g
l
.π
= 2 (s)
VT T
1
= T
'
2
⇒
2
'
g
l
=
2
1
'

Thay số
∆l = 0,0006.
0006,0
4
4x7926,9
2
=
π
(m) = 0,6 mm
Bài 15:
Một con lắc đơn gồm sợi dây có chiều dài l = 1(m) và quả cầu nhỏ khối lượng m =
100 (g), được treo tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8 (m/s
2
).
1.Tính chu kỳ dao động nhỏ của con lắc.
2. Cho quả cầu mang điện tích dương q = 2,5.10
-4
tạo ra đường trường đều có cường
độ E = 1000 (v/m).
Hãy xác định phương của dây treo con lắc khi CB và chu kì dao động nhỏ của con
lắc trong các trường hợp.
a) Véctơ
E
hướng thẳng xuống dưới
b) Véctơ
E
có phương nằm ngang.
Lời giải
1 - Chu kì dao động nhỏ của con lắc
Lúc đầu T

T
'
= 2
'
g
1
.π
a)
E
thẳng đứng xuống dưới
+ g> 0 nên
d
F
cùng hướng với
E
, tức là thẳng đứng
xuống.
Vậy khi CB, dây trheo vẫn có phương thẳng đứng.
Ta có: P
'
= P + F
đ
⇒ mg
'
= mg + qE
⇒ g
'
= g +
m
qE

có phương ⊥ với
P
Khi CB, dây treo lệch góc
δ
so với phương thẳng đứng, theo chiều của lực điện trường.
tg
δ
=
mg
qE
P
F
d
=
β
β
β
β
β
β
VTCB
→ tg
δ
=
255,0
8,9.1,0
10.10.5,2
34
≈
−

δ=
δ
π cosT
g
cosl
.
0
→ T
'
= T
0
97,114cos2cos
0
≈=δ

(s)
Bài 16:
Một con lắc đơn dao động với biên độ nhhỏ, chu kì là T
0
, tại nơi ga = 10m/s
2
. Treo
con lắc ở trần 1 chiếc xe rồi cho xe chuyển động nhanh dần đều trên đường ngang thì dây
treo hợp với phương thẳng đứng 1 góc α
0
= 9
0
a) Hãy giải thích hiện tượng và tính gia tốc a của xe.
b) Cho con lắc dao động với biên độ nhỏ, hãy tính chu kì T của con lắc theo T
0

+
δ
'
P
P
0
a
0
v
Vậy lực
q
F
làm cho dây treo lệnh 1 góc α về phía ngược với chiều chuyển động của xe.
tgα =
g
a
mg
ma
P
F
at
==
α<< → tgα
≈
α do đó
a
≈
gα = 10.
9.
180

α
=
α
Chu kì dao động của con lắc khi đó xác định theo công thức
T = 2
'
g
l
.π
Lại có T
0
= 2
g
l
.π
⇒
α=
α
== cos
g
cosg
g
g
T
T
'
0
Vậy T = T
0
αcos

2
2
2
0
α

→
E
0
=
2
0
mgl
2
1
α
+ Sau nửa chu kì đầu tiên vật đến VT biên có li giác cực đại là α
1
, cơ năng của con lắc là:
E
1
=
2
0
mgl
2
1
α
→ E
0

mgl
2
1
(α
2
1
- α
2
2
)
Sau mỗi chu kì 1 cơ năng giảm ∆E
∆E = (E
0
- E
1
) + (E
1
- E
2
) =
mgl
2
1
(α
2
0
- α
2
2
)

~4α
0
kF
c
→ mglα
0
. ∆α = 4α
0
lF
c
→ ∆α =
mg
F4
c
= const
Vậy sau mỗi chu kì, biên độ giảm 1 lượng không đổi (đpcm).
2. Công suất của động cơ duy trì dao động con lắc
+ CHu kì dao động của con lắc
T = 2
10
1
.2
g
l
. π=π
= 2 (s)
+ Độ giảm năng lượng trong N chu kì là
∆E =
mgl
2

=−
π
(J)
+ Công suất của động cơ là
2.100
10.08,2
T.N
EΔ
t
EΔ
12−
===
= 1,04.10
-5
W
Bài 18:
Tại một nơi nang bằng mực nước biển, ở nhiệt độ 10
0
C, một đồng hồ quả lắc trong một
ngày đêm chạy nhanh 6,48 (s) coi con lắc đồng hồ như 1 con lắc đơn thanh treo con lắc có hệ
số nở dài λ = 2.10
-5
K
-1
1. Tại VT nói trên ở thời gian nào thì đồng hồ chạy đúng giờ.
2. Đưa đồng hồ lên đỉnh núi, tại đó t
0
là 6
0
C, ta thấy đồng hồ chạy đúng giờ. Giải thích

1
t1
t1
T
T
11
λ
+≈
λ+
λ+
=
(t
1
- t
x
)
(VT λt
1
<< 1; λt
1
<< 1)
+ Theo biên độ: đồng hồ chạy nhanh → T
1
<T → t
1
< t
+ Độ l
0
t chu kì theo t
0

)
hR
R
(g
+
Kí hiệu: T
h
: Chu kì ở độ cao h
t
h
: t
0
ở độ cao h
Độ biến thiên chu kì ∆t
h
theo độ cao khi chiều dài con lắc không đổi (nếu coi t = t
h
)
R
h
g
g
T
T
h
n
+== 1
→ ∆t
h
= t

=+−λ
→ h =
2
R).tt(
h
−λ
Thay số ta được h = 0,736 km = 736 m
Bài 19:
Một quả cầu A có kích thước nhỏ, khối lượng m = 500g, treo bằng 1 sợi dây mảnh,
không dãn, chiều dài l = 1m. ở VTCB không quả cầu cách mặt đất nằm ngang một khoảng
0,8m. Đưa quả cầu ra khỏi VTCB sao cho sợi dây lập với phương thẳng đứng 1 góc α
0
= 60
0
rồi buông cho nó chuyển động không vận tốc ban đầu. Bỏ qua lực cản môi trường (g =
10m/s
2
).
1. Tính lực căng T khi A ở VTCB.
2. Nếu đi qua 0 thì dây đứt thì mô tả chuyển động của quả cầu và phương trình quỹ đạo
chuyển động của nó sau đó.
3. Xác định vận tốc của quả cầu khi chạm đất và có vị trí chạm đất.
Lời giải
1. Lực căng dây
Định luật bảo toàn cơ nang mgh +
2
1
mv
2
= mgh

)] = mg (3 - 2 cosα
0
)
Thay số: T = 0,5.10.(3 - 2cos60
0
) = 10N
2. Chuyển động của quả cầu sau khi dây đứt
+ Khi đến VTCB, vận tốc quả cầu là
0
v
có phương nắm ngang.
+ Nếu tại VT0 dây bị đứt thì chuyên động của m sau khi dây đứt là chuyên động ném ngang.
+ Chọn hệ trục oxy như hình vẽ ta được: quả cầu chuyên dộng theo
phương 0x : chuyển động thẳng đều: x = v
0
t =
t10
(1)
phương oy: chuyển động thẳng nhanh dần đều, vận tốc đầu = 0
→ y =
2
1
gt
2
= 5t
2
(2)
l
0
v