ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi : TOÁN, khối A
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I. (2,0 điểm)
Cho hàm số y = − x
3
− 3x
2
+ mx + 4, trong đó m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m = 0.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ∞).
Câu II. (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
3
(2cos
2
x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = 0
2. Giải phương trình:
2
2 4 1
2
log (x 2) log (x 5) log 8 0+ + − + =
Câu III. (1,0 điểm)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
x
e 1+
, trục hoành và hai đường thẳng x = ln3, x = ln8.
Câu VI. (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt
phẳng (ABCD). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Câu V. (1,0 điểm)

= −

Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
Câu VIIa. (1,0 điểm)
Tìm hệ số của x
2
trong khai triển thành đa thức của biểu thức P = (x
2
+ x – 1)
6
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb. (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x
2
+ y
2
– 6x + 5 = 0. Tìm điểm M
thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến với (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60
0
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d có phương trình:
x 1 y 1 z
2 1 1
− +
= =
−
.
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
Câu VIIb. (1,0 điểm)
Tìm hệ số của x


=


y’ < 0 ⇔
x 2
x 0
< −


>


y’ > 0 ⇔ – 2 < x < 0
Do đó: + Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (− ∞ ; − 2) và (0 ; + ∞)
+ Hàm số đồng biến trên khoảng (− 2 ; 0)
0,50
• Cực trị: + Hàm số y đạt cực tiểu tại x = – 2 và y
CT
= y(–2) = 0;
+ Hàm số y đạt cực đại tại x = 0 và y
CĐ
= y(0) = 4.
• Giới hạn:
x x
lim , lim
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞
0,25
• Bảng biến thiên:


=

− + = ⇔


+ =

0,50
n
x ( 1) n , n
3
x k , k
6
π

= − + π ∈

⇔

π

= − + π ∈


¢
¢
0,50
Câu Đáp án Điểm
2

Điều kiện: x > – 2 và x ≠ 5 (*)
Với điều kiện đó, ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình:
2 2
2 2
log (x 2) x 5 log 8 (x 2) x 5 8 (x 3x 18)(x 3x 2) 0 + − = ⇔ + − = ⇔ − − − − =
 
0,50
2
2
x 3x 18 0
3 17
x 3; x 6; x
2
x 3x 2 0

− − =
±
⇔ ⇔ = − = =

− − =


Đối chiếu với điều kiện (*), ta được tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là:
x 6=
và
3 17
x
2
±
=

2 2
2 2 2 2 2
2t dt dt dt dt 3
S 2 dt 2 2 ln t 1 ln t 1 2 ln
t 1 t 1 t 1 t 1 2
 
= = + = + − = + − − + = +
 ÷
− − − +
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
0,50
IV
(1,0
điểm)
Do SA = SB = AB (= a) nên SAB là tam giác đều.
Gọi G và I tương ứng là tâm của tam giác đều SAB và tâm của hình vuông ABCD.
Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.
Ta có OG ⊥ (SAB) và OI ⊥ (ABCD).
0,50
Suy ra: + OG = IH =
a
2
, trong đó H là trung điểm của AB.
+ Tam giác OGA vuông tại G.
0,25
Kí hiệu R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD,
ta có:
2 2
2 2

+ ≥ +
∀x, y > 0
0,50
Tương tự, ta có :
2 2
y z
y z
z y
+ ≥ +
∀y, z > 0
2 2
z x
z x
x z
+ ≥ +
∀x, z > 0
Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:
P ≥ 2(x + y + z) = 2 ∀x, y, z > 0 và x + y + z = 1
Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z =
1
3
. Vì vậy, minP = 2.
0,50
VI.a
(2,0
điểm)
1. (1,0 điểm)
Viết lại phương trình của (C) dưới dạng: (x – 3)
2
+ y

=
⇔


=


Vì MI là phân giác của
·
AMB
nên :
(1)
·
0 2
0
IA
AMI 30 MI MI 2R m 9 4 m 7
sin30
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ±
(2)
·
0 2
0
IA 2R 3 4 3
AMI 60 MI MI m 9
sin 60 3 3
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ + =
(*)
Dễ thấy, không có m thỏa mãn (*)
Vậy có tất cả hai điểm cần tìm là: (0 ; −

 ÷
 
.
0,50
Suy ra, phương trình tham số của đường thẳng MH là:
x 2 t
y 1 4t
z 2t
= +


= −


= −

0,25
VII.a
(1,0
điểm)
Theo công thức nhị thức Niu-tơn, ta có:
P =
0 6 1 2 5 k 2k 6 k 5 10 6 12
6 6 6 6 6
C (x 1) C x (x 1) C x (x 1) C x (x 1) C x
−
− + − + + − + + − +K K

0,25
Suy ra, khi khai triển P thành đa thức, x

C .C−
0,25
Vì vậy, hệ số của x
2
trong khai triển P thành đa thức là :
0 2
6 6
C .C
1 0
6 5
C .C−
= 9. 0,25
VI.b
(2,0
điểm)
1. (1,0 điểm) Xem phần 1 Câu VI.a.
2. (1,0 điểm)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc
với d.
0,25
d có phương trình tham số là:
x 1 2t
y 1 t
z t
= +


= − +



− −
= =
− −
0,25
Câu Đáp án Điểm
VII.b
(1,0
điểm)
Theo công thức nhị thức Niu-tơn, ta có:
P =
0 5 1 2 4 k 2k 5 k 4 8 5 10
5 5 5 5 5
C (x 1) C x (x 1) C x (x 1) C x (x 1) C x
−
− + − + + − + + − +K K
0,25
Suy ra, khi khai triển P thành đa thức, x
3
chỉ xuất hiện khi khai triển
0 5
5
C (x 1)−
và
1 2 4
5
C x (x 1)−
.
0,25
4
Hệ số của x

Đề này trích từ cuốn:
“Cấu trúc đề thi môn TOÁN, VẬT LÍ, HÓA HỌC, SINH HỌC
dùng để ôn thi tốt nghiệp và thi tuyển sinh đại học cao đẳng năm 2009”
của Nhà xuất bản giáo dục
Tôi gửi lên cho các thầy cô và học sinh tham khảo.
5