Giáo viên Trần Quyền Anh Trờng THCS Hiền Quanđề chọn học sinh năng khiếu
NM HC 2009-2010
Mụn thi : Toỏn 7
Thi gian: 120 phỳt (Khụng k thi gian giao )
Ngy thi: 16/3/2010

Cõu 1: Tỡm cỏc s x, y, z bit.
a/ (x 1)
3
= - 8 b/
9 7 5 3x x =

c/ x - 3
x
= 0 d/ 12x = 15y = 20z v x + y + z = 48
Cõu 2:
a/ Tỡm s d khi chia 2
2011
cho 31
b/ Vi a, b l cỏc s nguyờn dng sao cho a + 1 v b + 2007 chia ht cho 6.
Chng minh rng: 4
a
+ a + b chia ht cho 6
c/ Tỡm cỏc s nguyờn x, y tha món: 6x
2
+ 5y
2
= 74

0
. Chng minh rng BC
2
= AB
2
+ AC
2
AB.
AC.
Ht
(Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm)
CHNH THC
Gi¸o viªn TrÇn QuyÒn Anh Trêng THCS HiÒn Quan
HƯỚNG DẪN CHẤM chän häc sinh n¨ng khiÕu
MÔN: TOÁN 7
========================================
Câu Phần Nội dung cần trình bày Điểm
1
(2đ)
a 0,5đ (x – 1)
3
= - 8 => x – 1 = - 2 => x = - 1 Vậy x = - 1 0,5
b
0,5đ

9 7 5 3x x− = −
Điều kiện: x
≥

3

≥
0
=>
( )
3x x −
= 0 => x = 0 hoặc x = 9 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy x = 0 hoặc x = 9
0,5
d
0,5đ
12x = 15y = 20z =>
5 4 3
x y z
= =
=>
48
4
5 4 3 12 12
x y z x y z+ +
= = = = =
=> x = 20; y = 16; z = 12
0,5
2
(2,5đ)
a, 1đ
Ta có 2
5
= 32
≡
1 (mod31) => (2

a
+ 2
M
6
Khi đó ta có 4
a
+ a + b = 4
a
+ 2 + a +1 + b + 2007 – 2010
M
6
Vậy với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007
chia hết cho 6 thì 4
a
+ a + b chia hết cho 6
0,25
0,25
0,25
c
0,75đ
Từ 6x
2
+ 5y
2
= 74 => 6x
2

≤
74 => x
2

2
= 10 (loại vì y nguyên)
Nếu x
2
= 9 => y
2
= 4 => (x, y)
∈

{ }
(3,2);(3, 2);( 3, 2);( 3, 2)− − − −
0,25
0,25
0,25
3
1,75 đ
a
1đ
Ta có
a
c
=
.
a b
b c
=>
a
c
=
2 2

2 2
a b a
b c c
+
=
+
0,75
0,25
b
0,75đ
Gọi S là tổng tất cả các số được ghi trên bảng
Ta có S = 1 + 2 + 3 + … + 2008 =
2008.2009
2
= 1004.2009 là
một số chẵn. Khi lấy ra hai số a, b và thay vào bằng hiệu của hai
số thì tổng S bớt đi (a + b) – (a – b) = 2b là số chẵn.
Nên tổng mới phải là một số chẵn.
Vậy trên bảng không thể còn lại số 1
0,25
0,25
0,25
4
(2,5đ)
Vẽ hình và GT-KL đúng, đẹp 0,25
Gi¸o viªn TrÇn QuyÒn Anh Trêng THCS HiÒn Quan
a
1,5
Chứng minh
∆

¶
IAF IFA=
=>
·
EAF
= 90
0
=>
·
BAC
= 90
0

Vậy EF = 2AI khi tam giác ABC vuông tại A
0,25
0,25
0,25
5
(1,25đ)
a
0,75đ
Giả sử
0a b c d
≥ ≥ ≥ ≥
Ta có S =
a b b c c d a c a d b d− + − + − + − + − + −
=> S = a – b + b – c + c – d + a – c + a – d + b – d
=> S = 3a + b – (c + 3d)
Mà c + 3d
≥


= = =

Vậy S lớn nhất bằng 3 khi trong bốn số a, b, c, d có một số bằng
1 còn ba số bằng 0
0,25
0,25
0,25
b
0,5đ
Kẻ BH
⊥
AC
Vì
·
BAC
60
0
=>
·
ABH
= 30
0
=> AH =
2
AB
(1)
Áp dụng dịnh lí Pytago ta có
AB
2

– AH
2
+ AC
2
– 2AH.AC + AH
2

=> BC
2
= AB
2
+ AC
2
– 2AH.AC (2)
Từ (1) và (2) => ĐPCM
0,25
0,25
Ghi chú: Đáp án trên chỉ là một trong những cách làm đúng, nếu học sinh làm đúng
bằng cách khác cho điểm tối đa
K
I
H
N
F
E
C
B
A
H
C