I. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Trong quá trình giảng dạy và học tập môn Toán ở bậc THPT thì bài tập
chứng minh bất đẳng thức là một trong những loại bài tập khó. Cái khó của loại
bài tập này , theo tôi là ở chỗ, mỗi bài nó có một cách tiếp cận riêng, cách giải
riêng và độc đáo. Chứa đựng trong chúng là những kiến thức sâu rộng và những
kĩ năng phức tạp, nó đòi hỏi chúng ta cần phải có tư duy linh hoạt, kĩ năng thuần
thục tới độ “linh cảm”. Mặc dù chúng ta đã biết rất nhiều phương pháp chứng
minh bất đẳng thức như: phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp sử
dụng các bất đẳng thức đã biết, phương pháp qui nạp, phương pháp đánh giá đại
diện, phương pháp phản chứng ; cũng như đã có nhiều kỹ thuật để chứng minh
bất đẳng thức, đặc biệt các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô - Si để chứng
minh bất đẳng thức là rất phong phú như: kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng
sang trung bình nhân và từ trung bình nhân sang trung bình cộng , kĩ thuật tách
ghép nghịch đảo, kĩ thuật chọn điểm rơi (trọng số), kĩ thuật ghép đối xứng, kĩ
thuật hạ bậc, kĩ thuật đổi biến số, kĩ thuật Cô - Si ngược dấu, Nhưng khi gặp
một bài tập về bất đẳng thức thì nói chung học sinh lại lúng túng và không biết
bắt đầu như thế nào. Trong khi đó nội dung bất đẳng thức ở trường phổ thông lại
đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy, khả năng linh hoạt và óc
sáng tạo; đồng thời nó cũng giúp học sinh rèn luyện tính cần cù, tinh thần vượt
khó. Hơn thế nữa, mỗi bất đẳng thức và cách chứng minh bất đẳng thức đó có
một vẻ đẹp lộng lẫy và sức hấp dẫn kì lạ đối với mỗi người nghiên cứu chúng
nên việc nghiên cứu chúng còn có tác dụng kích thích sự say mê trong học tập
môn Toán cũng như các môn học khác.
Bên cạnh đó, sau khi giải xong một bài tập về bất đẳng thức, một câu hỏi
thường được đặt ra với chúng ta là: Bất đẳng thức này từ đâu mà có? Để trả lời
câu hỏi này thật không đơn giản chút nào.
Trong quá trình dạy học phần bất đẳng thức cho học sinh khá, giỏi môn
Toán lớp 12, ta gặp bài tập sau:
1
Cho ba số thực x, y, z không âm thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng:


/>2
II. NỘI DUNG.
Ta xét bất đẳng thức sau: Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:

( )( )( )a b c a b c a b c abc+ − − + − + + ≤
. (*)
A. Trước hết ta xét hai lời giải cho bài tập trên:
Không mất tính tổng quát, ta giả sử a = max{a, b, c}.
Khi đó a + b – c
0
≥
và a – b + c
≥
0.
Nếu – a + b + c < 0 thì bất đẳng thức đã cho đúng.
Do đó ta chỉ còn xét cả ba không âm.
Cách 1. Theo bất đẳng thức Cô – Si:

2
2
( )( )
2
a b c a b c
a b c a b c a
+ − + − +
 
+ − − + ≤ =
 ÷
 


(ĐPCM).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Cách 2. Ta có bất đẳng thức hiển nhiên a
2
– (b – c)
2

≤
a
2
hay
(a + b – c)(a – b + c)
≤
a
2
.
Tương tự ta có thêm hai bất đẳng thức nữa

2
( )( )a b c a b c b− + + + − ≤

2
( )( )a b c a b c c− + − + + ≤
.
Do cả hai vế của các bất đẳng thức trên đều không âm, nên nhân vế với vế ta
được:
[
2 2
( )( )( )] ( )a b c a b c a b c abc+ − − + − + + ≤
Hay:

+ 3abc
≥
ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a). Như vậy ta có
1.2. Cộng 3abc vào hai vế của bất đẳng thức ở bài toán 2, ta lại có:
a
3
+ b
3
+ c
3
+ 6abc
≥
(a + b + c)(ab + bc + ca).
1.2.1. Áp dụng đẳng thức
a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
– ab – bc – ca)
vào vế trái của bất đẳng thức ở bài toán 3, ta lại thu được:
(a + b + c)(a
2

+ +
.
1.3.
Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si:
3 3 3
3abc a b c≤ + +
vào vế trái của bất đẳng thức
ở các bài toán 1, 2, 3 ta có:
4
Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3abc
≥

2 2 2
( ) ( ) ( )a b c b c a c a b+ + + + +
.
Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3abc


( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 2( )( )( )a a b a c b b a b c c c a c b abc a b b c c a+ + + + + + + + + ≥ + + +
Với a, b, c dương thì ta thu được
4
2.
( )( )( )
a b c abc
b c c a a b a b b c c a
+ + + ≥
+ + + + + +
2. Cho thêm giả thiết a + b + c = 1,
2.1. Thay vào (*) ta có:
(1 – 2a)(1 – 2b)(1 – 2c)
≤
abc
2.2. Khai triển bất đẳng thức ở bài toán 10 với chú ý là a + b + c = 1, ta có:
4(ab + bc + ca)
≤
9abc + 1.
2.2.1. Theo bất đẳng thức: 3(ab + bc + ca)
≤
(a + b + c)
2
= 1. Kết hợp với bất
đẳng thức ở bài toán 11 ta thu được: 7(ab + bc + ca)
≤
9abc + 2.
2.3. Thay a + b + c = 1 vào bất đẳng thức ở bài toán 1:
5
Bài toán 6. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:

) + 3abc
≥
(a + b + c)(ab + bc + ca).

Bài toán 9. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

4
2.
( )( )( )
a b c abc
b c c a a b a b b c c a
+ + + ≥
+ + + + + +

Bài toán 10. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng: (1 – 2a)(1 – 2b)(1 – 2c)
≤
abc.

Bài toán 11. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng: 4(ab + bc + ca)
≤
9abc + 1.

Bài toán 12. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng: 7(ab + bc + ca)
≤
9abc + 2.

a

a b c
abc
+ +
 
≤ =
 ÷
 
; và kết hợp với
bất đẳng thức ở bài toán 11 ta có
2.4.1. Vì 4(ab + bc + ca)
≤
9abc + 1
⇔
4(ab + bc + ca) – 8abc
≤
abc + 1
Nên suy ra: 4(ab + bc + ca) – 8abc
≤

1
1
27
+
hay ab + bc + ca – 2abc
≤

7
27
2.4.2. Vì 4(ab + bc + ca)
≤

2
=
1
3
,
và kết hợp với bất đẳng thức ở bài toán 13 ta được :
6(a
3
+ b
3
+ c
3
) + 9abc
≥
1
2.6. Thay ab + bc + ca =
1
2
[(a + b + c)
2
– (a
2
+ b
2
+ c
2
)]
2 2 2
1
1 ( )

Chứng minh rằng: 2(a
3
+ b
3
+ c
3
) + 3abc
≥
a
2
+ b
2
+ c
2
.

Bài toán 14. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng: ab + bc + ca – 2abc
≤

7
27
.

Bài toán 15. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng: ab + bc + ca – abc
≤

8
27

2 2 2
11
2
27
a b c abc+ + + ≥
2.7. Vẫn từ 4(ab + bc + ca)
≤
9abc + 1.
Vì 3(ab + bc + ca)
≤
(a + b + c)
2
nên ab + bc + ca
≤

1
3
,
Do đó
8(ab + bc + ca)
≤
9abc + 1 + 4(ab + bc + ca)
≤
9abc + 1 +
4
3
= 9abc +
7
3
2.7.1. Thay ab + bc + ca =

5
3
2.7.2. Viết lại 2(a
3
+ b
3
+ c
3
) + 3abc
≥
a
2
+ b
2
+ c
2
, ta được:
2(a
3
+ b
3
+ c
3
) + 3(a
2
+ b
2
+ c
2
) + 12abc

2 2 2
13
4
27
a b c abc+ + + ≥
.

Bài toán 19. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng: 8(ab + bc + ca)
≤
9abc +
7
3
.

Bài toán 20. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng: 4(a
2
+ b
2
+ c
2
) + 9abc
≥

5
3
.

Bài toán 18. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1.

+ b
3
+ c
3
) + 3abc
≥

2 2 2
4
( )
3
a b c
m m m+ +
3.2. Áp dụng định lí sin, định lí côsin, công thức diện tích trong tam giác ta có:

2 2 2 2 2 2
cos
cot
sin 2 sin 4
A b c a b c a
A
A bc A S
+ − + −
= = =
Tương tự:
2 2 2 2 2 2
cot , cot
4 4
a c b a c c
B C


3
, do đó
2(a
3
+ b
3
+ c
3
) + 3abc
≥
4S
3
.
8
Bài toán 21. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1.
Chứng minh rằng: 2(a
3
+ b
3
+ c
3
) + 3(a
2
+ b
2
+ c
2
) + 12abc
≥

+ b
3
+ c
3
) + 3abc
≥
4S(cotA + cotB + cotC).
3.4. Áp dụng công thức diện tích trong tam giác:
2S = absinC = bcsinA = casinB =
2
abc
R
,
3.4.1. Thay vào bất đẳng thức ở bài toán 11 ta được
8S
1 1 1
sin sin sinA B C
 
+ +
 ÷
 
≤
9abc + 1

1 1 1 1
2 9.
sin sin sin 4 4
abc
A B C S S
 


1 1 1 7
4.
sin sin sin 4 54
abc
A B C S S
⇔ + + − ≤
3.4.3. Thay vào bất đẳng thức ở bài toán 15 ta được
2S
1 1 1
sin sin sinA B C
 
+ +
 ÷
 

≤

8
27
+ abc
9
Bài toán 24. Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c tương ứng. Biết chu vi
của tam giác bằng 1. Chứng minh rằng:
2(a
3
+ b
3
+ c
3

1 1 1 4
2.
sin sin sin 27 4
abc
A B C S S
⇔ + + ≤ +
III. KẾT LUẬN.
Trên đây là toàn bộ sáng kiến kinh nghiệm : “Từ một bất đẳng thức suy ra
các bất đẳng thức khác”. Từ một bất đẳng thức khá quen thuộc là bất đẳng thức
(*) ta đã suy ra được 27 bất đẳng thức khác bằng các cách sau:
- Biến đổi đồng nhất.
- Sử dụng thêm các bất đẳng thức quen thuộc khác vào hai vế của các bất
đẳng thức đã có
- Phối hợp giữa các hằng đẳng thức và các bất đẳng thức quen thuộc vào
hai vế của mỗi bất đẳng thức đã biết.
- Kết hợp với các hệ thức trong tam giác như: định lí sin, định lí côsin ,
công thức trung tuyến và công thức diện tích trong tam giác…
Thông qua việc xây dựng, đề xuất 27 bài toán đã nêu trên, góp phần hình
thành cho học sinh kỹ năng tư duy logic, kĩ năng tìm tòi, khám phá và kĩ năng
phối hợp nhiều kĩ thuật phức tạp hơn trong một bài tập dần hình thành tư duy
linh hoạt cho học sinh . Bên cạnh đó cũng từ các cách suy ra bất đẳng thức mới
từ một bất đẳng thức đã biết cũng đã giúp các em hình thành phương pháp hiệu
quả để chứng minh một bất đẳng thức. Phương pháp quy lạ về quen. Chẳng hạn
ta xét bài toán sau:
“Cho ba số thực không âm thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng:

2 2 2
4x y z xyz+ + + ≥
”
Rõ ràng bài toán trên không giống như các bài toán ta đã nêu trên ở giả thiết x +

2 2 2
4
3 2
9
2
3
1
2
27
a b c abc a b c abc abc
a b c
a b c abc
a b c abc
≤ + + + = + + + + ≤
+ +
 
≤ + + + +
 ÷
 
= + + + +
=
Hay
2 2 2
4 1 11
2
9 27 27
a b c abc+ + + ≥ − =
(đây là bất đẳng thức ở Bài toán 18)
Từ ví dụ nêu trên, chúng ta đã làm cho học sinh thấy rằng, đôi khi thoạt nhìn thì
các bài toán có thể nói là hoàn toàn khác nhau, nhưng qua việc phân tích trên cho