HƯỚNG DẪN HỌC SINH DÙNG QUAN HỆ GIỮA CHUYỂN
ĐỘNG TRÒN ĐỀU VÀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA ĐỂ GIẢI MỘT SỐ
DẠNG BÀI TẬP DAO ĐỘNG CƠ HỌC.

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
Thưa các bạn :Kinh nghiệm của các kì thi tuyển sinh vào các trường đại học, cao đẳng
và trung học chuyên nghiệp trong những năm vừa qua cho thấy rằng , đối với môn vật
lý nói chung và phần DAO ĐỘNG CƠ HỌC nói riêng , thí sinh nào nắm vững các
phương pháp cơ bản giải các bài toán vật lý sơ cấp thì sẽ có điều kiện đạt điểm cao
trong kì thi.
Hiện nay , trong xu thế đổi mới của ngành giáo dục về phương pháp giảng dạy cũng
như phương pháp kiểm tra đánh giá kết quả giảng dạy và thi tuyển. Cụ thể là phương
pháp kiểm tra đánh giá bằng phương pháp trắc nghiệm khách quan.Trắc nghiệm
khách quan đang trở thành phương pháp chủ đạo trong kiểm tra đánh giá chất lượng
dạy và học trong nhà trường THPT. Điểm đáng lưu ý là nội dung kiến thức kiểm tra
1
tương đối rộng, đòi hỏi học sinh phải học kĩ, nắm vững toàn bộ kiến thức của chương
trình, tránh học tủ, học lệch và để đạt được kết quả tốt trong việc kiểm tra, thi tuyển
học sinh không những phải nắm vững kiến thức mà còn đòi hỏi học sinh phải có phản
ứng nhanh đối với các dạng toán, đặc biệt các dạng toán mang tính chất khảo sát mà
các em thường gặp.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN:
DAO ĐỘNG CƠ HỌC với học sinh trung học phổ thông không mới mẻ, trìu tượng ,
trái lại rất gần gũi .Nhưng các dạng bài tập như tìm đường đi trong dao động điều hòa,
tìm thời gian để vật đi được quãng đường cho trước, tìm thời điểm vật có tọa độ, vận
tốc nào đó thật không dễ dàng đối với các em vì các em phải giải các phương trình
lượng giác, phải biết phân tích đề để tìm được nghiệm phù hợp.Mặt khác thời gian
dành cho mỗi câu trong đề thi rất hạn chế, học sinh cần phải chủ động tiết kiệm thời
gian .Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh thường chỉ biết làm những bài
tập đơn giản như thay vào công thức có sẵn, còn những bài tập yêu cầu phải có khả

-Trong giới hạn đề tài tôi chỉ đưa ra phương pháp giải ba dạng bài toán:
Dạng 1: Xác định quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
đến thời điểm t
2
Dạng 2: Xác định thời điểm- số lần vật đi qua một vị trí xác định
Dạng 3 : Xác định thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x
1
đến x
24
- Đối tượng áp dụng :Tất cả các học sinh lớp 12
PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và hình chiếu của chuyển động tròn đều:
Xét một điểm M chuyển động tròn đều trên đường tròn
tâm 0,có bán kính A và tốc độ góc ω. Tại thời điểm ban
đầu chất điểm ở vị trí điểm M
0
và tạo với trục nằm ngang
một góc φ. Tại thời điểm t chất điểm ở vị trí M và góc tạo
với trục ngang 0x một góc là (ωt + φ). Khi đó hình chiếu
của điểm M xuống ox là P có tọa độ x =
OP
= Acos(ωt + ϕ)
(hình 1)
->hình chiếu của một chất điểm chuyển động tròn đều
là một dao động điều hòa.

A
x = ±
thì
12
T
t∆ =
:
Quãng đường đi được là: S = A/2
+ khi vật đi từ: x=0
→

2
2
A
x = ±
thì
8
T
t∆ =
:
Quãng đường đi được là: S =
2
2
A
+ khi vật đi từ: x=0
→

3
2
= ±

2
= ±
A
x
thì
12
∆ =
T
t
:
6
Hình 3
M
0
III
I
II
O
IV
x
a
A/
2
30
III
I
II
o
IV
x

A

+ khi vật đi từ: x= ±A
→
2
2
A
x = ±
thì
8
T
t∆ =
:
Quãng đường đi được là : S = A-
2
2
A
+ khi vật đi từ: x = ±A
→
2
A
x = ±
thì
6
∆ =
T
t
:
Quãng đường đi được là : S = A/2
+ khi vật đi từ: x= ±A

2
T
2A
t S
2
=
∆ ⇒ =
)
7
Xác định:
1 1 2 2
1 1 2 2
Acos( ) Acos( )
à
sin( ) sin( )
x t x t
v
v A t v A t
ω ϕ ω ϕ
ω ω ϕ ω ω ϕ
= + = +
 
 
= − + = − +
 
(v
1
và v
2
chỉ cần xác

> ⇒ = − −


< ⇒ = + +

Lưu ý:+ Nếu t
2
– t
1
= nT/2 với n là một số tự nhiên thì quãng đường đi được là S =
n.2A.
+ Tính S
2
bằng cách xác định vị trí x
1
, x
2
và chiều chuyển động của vật trên
trục Ox
+ Dùng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều có thể
giải bài toán đơn giản hơn.
3. Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có
li độ x
1
đến x
2
:
2 1
−
∆

1 2
0 ,
ϕ ϕ π
≤ ≤
)
(Hình 4)
4. Quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất đi được trong
t
2
– t
1
=∆t (0 < ∆t < T/2).
-Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB.
-Vật có vận tốc nhỏ nhất khi qua vị trí biên.
→ Trong cùng một khoảng thời gian:
+Quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng
gần VTCB
+Quãng đường đi được càng nhỏ khi vật càng gần
vị trí biên.
-Mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển
8
A
-A
M
M
1
2
O
P
x

2
∆
=
M
S
ϕ
-Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M
1
đến M
2
đối xứng qua trục cos (hình 6)
=> Trong DĐĐH ta có:
2 (1 os )
2
∆
= −
Min
S A c
ϕ
Lưu ý: +Nếu ∆t > T/2 -> Tách
'
2
T
t n t∆ = + ∆
(
*
;0 '
2
T
n N t∈ < ∆ <

S
v
t
và
=
∆
Min
tbMin
S
v
t
với S
Max
; S
Min
tính như trên.

CHƯƠNG II : CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Xác định quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
đến thời điểm t
2
1. Phương pháp 1: Xác định quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
đến t
2

Bước 1: Xác định :
1 1 2 2
1 1 2 2

2
.
Quãng đường tổng cộng là S = S
1
+ S
2
:
Cách tính S
2
: (Xem hình 5)
9
x
O
2
1
M
M
-
A
A
P
2
ϕ
∆
Hình 6
* Nếu v
1
v
2
≥ 0 ⇒

Lưu ý: + Tính S
2
bằng cách định vị trí x
1
, x
2
và chiều chuyển động của vật trên trục
Ox
+ Có thể dùng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và Chuyển động tròn đều giải bài
toán sẽ đơn giản hơn.
+ Trong nhiều bài tập có thể người ta dùng kí hiệu: ∆t = t
2
– t
1
= nT + ∆t’
2. Phương pháp 2: Quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
đến t
2
.
Bước 1: - Xác định vị trí và chiều chuyển động của vật tại thời điểm t
1
và t
2
:

(v
1
và v
2

x
và dấu của vận tốc
'
1
v
tại thời điểm: t
1
+ nT + T/2
10
+ Xác định li độ x
2
và dấu của vận tốc v
2
tại thời điểm t
2
+ Nếu
0
2
'
1
≥vv
(
'
1
v
và v
2
cùng dấu – vật không đổi chiều chuyển động) thì :
S
2

1
x
- x
2

'
1
v
< 0, v
2
> 0 : S
2
= 2A +
'
1
x
+ x
2
3.Các Ví dụ:
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình
2cos(10 )( )
3
= −x t cm
π
π
. Tính
quãng đường vật đi được trong 1,1s đầu tiên.
Giải: Quãng đường vật đi được trong 1,1s đầu tiên tính từ lúc vật bắt đầu chuyển
động. Như vậy, thay t = 0 vào phương trình li độ và phương trình vận tốc để xem vật
bắt đầu đi từ vị trí nào và theo chiều nào.

. Tính quãng
đường vật đi được trong 2,25s đầu tiên.
Giải cách 1 : Ta có :
2 2
2( )= = =T s
π π
ω π
; ∆t = 2,25s =T + 0,25(s)
Quãng đường vật đi được trong 2s đầu tiên là S
1
= 4A = 16cm.
- Tại thời điểm t = 2s :
- Tại thời điểm t = 2,25s :
Từ đó ta thấy trong 0,25s cuối vật không đổi chiều chuyển động nên quãng đường vật
đi được trong 0,25s cuối là
2
2 2 0 2 2( )= − =S cm
.Vậy quãng đường vật đi được
trong 2,25s là: S = S
1
+S
2

(16 2 2)( )= + cm
Giải cách 2 : (Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều).
Tương tự như trên ta phân tích được Δt = 2,25s = T + 0,25(s).
Trong một chu kỳ T vật đi được quãng đường S
1
= 4A = 16cm
Xét quãng đường vật đi được trong 0,25s cuối. Trong 0,25s cuối thì góc mà vật quét

π
ω
=
2
50
π
=
25
π
s
tại t = 0 :
0
0
x 0
v 0
=


>

⇒ Vật bắt đầu dao động từ VTCB theo chiều dương
 tại thời điểm t = π/12(s) :
x 6cm
v 0
=


>

Vật đi qua vị trí có x = 6cm theo chiều dương.


Với : S
2T
= 4A.2 = 4.12.2 = 96m.
Vì
1 2
v v 0
T
t <
2
≥



∆


⇒ S
Δt
=
0
x x−
= 6  0 = 6cm
 Vậy : S
t
= S
nT
+ S
Δt
= 96 + 6 = 102cm. Chọn : C.

6
π
Hình 7
Số chu kì dao động : N =
0
t t
T
−
=
t
T
=
.25
12.
π
π
= 2 +
1
12

⇒ t = 2T +
T
12
= 2T +
300
π
s. Với : T =
2
π
ω

đến t
2
: N =
2 1
t t
T
−
= n +
m
T
với T =
2
π
ω
Trong một chu kỳ : + vật đi được quãng đường 4A
+ Vật đi qua ly độ bất kỳ 2 lần
* Nếu m = 0 thì: + Quãng đường đi được: S
T
= n.4A
+ Số lần vật đi qua x
0
là M
T
= 2n
* Nếu m ≠ 0 thì : + Khi t =t
1
ta tính x
1
= Acos(ωt
1

Khi đó: + Quãng đường vật đi được là: S =S
T
+S
lẻ

+ Số lần vật đi qua x
0
là: M=M
T
+ M
lẻ
2.CácVí dụ :
Ví dụ 4: Một vật dao động điều hoà với phương trình
x = 8cos(2πt) cm. Thời điểm thứ nhất vật đi qua vị trí cân bằng là:
A)
1
4
s
B)
1
2
s
C)
1
6
s
D)
1
3
s

M
2
A
-A
M
0
Hình 8
x = 4cos(4πt +
6
π
) cm. Thời điểm thứ 3 vật qua vị trí
x = 2cm theo chiều dương.
A) 9/8 s B) 11/8 s C) 5/8 s D) 1,5 s
Giải Cách 1: Ta có
4 os(4 ) 2
2
6
4 2
0
6 3
16 sin(4 ) 0
6
x c t
x
t k
v
v t
π
π
π π

qua x = 2 theo chiều dương là qua M
2
.Qua M
2
lần thứ 3 ứng với vật quay được 2 vòng
(qua 2 lần) và lần cuối cùng đi từ M
0
đến M
2
.(Hình 9)
Góc quét ∆ϕ = 2.2π +
3
2
π
⇒
11
8
t s
ϕ
ω
∆
= =
Ví dụ 6: Một vật dao động điều hoà với phương trình
x = 4cos(4πt +
6
π
)cm.
Thời điểm thứ 2011 vật qua vị trí x=2cm.
A)
12061

π π
π π
π π


+ = + = + ∈
 
= ⇒ ⇒




=− + ∈
+ =− +
 


Vật qua lần thứ 2011(lẻ) ứng với nghiệm trên
2011 1
1005
2
−
= =
k

16
O
x
M
1

∆ = + ⇒ = = + =t s
π ϕ
ϕ π
ω
Ví dụ 7: Một vật dao động điều hoà với
x=8cos(2πt-
6
π
) cm. Thời điểm thứ 2010 vật qua
vị trí v= -8π cm/s.
A) 1004,5s B)1004s C)2010 s D) 1005s
Bài gỉai: Cách 1: Ta có v = -16πsin(2πt-
6
π
) = -8π
1
2 2
6 6
6

5
1
2 2
6 6
2
t k
t k
k N
t k
t k

⇒ = + =
Cách 2: Ta có
2 2
( ) 4 3
v
x A cm
ω
= − = ±
.Vì v < 0 nên vật qua
M
1
và M
2;
Qua lần thứ 2010 thì phải quay 1004 vòng rồi
đi từ M
0
đến M
2
. Góc quét ∆ϕ = 1004.2π + π ⇒
t = 1004,5 s . (Hình 11)
17
O
x
M
1
M
2
A
-A
M

1 1
sin (2 ) s (2 )
2 3 2 3
m A t m A co t
π π
ω π ω π
− = −
2 2
cos(4 ) 0 4
3 3 2
t t k
π π π
π π π
⇒ − = ⇒ − = +
7
k [-1; )
24 4
k
t⇒ = + ∈ ∞
Thời điểm thứ nhất ứng với k = -1 ⇒ t = 1/24 s
Giải Cách 2 : W
đ
= W
t
⇒
1
W W x=
2
2
t

∆ = − = ⇒ = =
Ví dụ 9: Một vật dao động điều hoà với phương trình x=8cos(πt-
4
π
) cm.
Thời điểm thứ 2010 vật qua vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng.?
Giải Cách 1: W
đ
= 3W
t
⇒
2 2
1
sin ( ) 3 s ( ) os(2 )
4 4 2 2
t co t c t
π π π
π π π
− = − ⇒ − = −
18
Hình 12
*
2
7
2 2
k N
2 3
12
2 1
2 2 k N

đ
= 3W
t
⇒
1
W W
4 2
t
A
x= ⇒ = ±
⇒
có 4 vị trí trên đường tròn
M
1
, M
2
, M
3
, M
4
.
Qua lần thứ 2010 thì phải quay 502 vòng (mỗi vòng qua 4 lần)
rồi đi từ M
0
đến M
2
.
.(Hình 13)
Góc quét
11

M và N lên trục OX) (Hình 14)
Thời gian ngắn nhất vật dao động từ x
1
đến x
2
bằng thời gian vật
chuyển động tròn đều từ M đến N
19
Hình 13
∆ϕ
x
ϕ
1
ϕ
2
O
A
A
−
1
x
2
x
M'
M
N
N'
t
MN
=Δt =

và (
1 2
0 ,≤ ϕ ϕ ≤ π
)
-Xác định vị trí vật lúc đầu t =0 thì
0
0
x ?
v ?
=


=


- Xác định vị trí vật lúc t (x
t
đã biết)
- Xác định góc quét Δφ =
·
MOM'
= ?
- Xác định thời gian:
2 1
−
∆
∆ = =
t
ϕ ϕ
ϕ

A
x
đến
2
= −
A
x
là
4
( )
3
∆ =t s
.
Ví dụ 11 : Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ là A. Tìm thời gian
ngắn nhất mà vật đi từ vị trí:
a. x = 0 (vị trí cân bằng) đến vị trí x = A.
b. x = 0 (vị trí cân bằng) đến vị trí
2
= +
A
x
.
20
MN
XO Nx
1
x
2
-A
Hình 14

A. 15 cm B. 135 cm C. 120 cm D. 16 cm
Câu 5. Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình: x = 3cos(4πt -
π/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t = 0 đến thời điểm t = 2/3 (s) là
A. 15 cm B. 13,5 cm C. 21 cm D. 16,5 cm
Câu 6. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 5cos(πt
+2π/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
= 2 (s) đến thời điểm t
2
= 19/3 (s)
là:
22
A. 42.5 cm B. 35 cm C. 22,5 cm D. 45 cm
Câu 7. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 5cos(πt +
2π/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
= 2 (s) đến thời điểm t
2
= 17/3 (s)
là:
A. 25 cm B. 35 cm C. 30 cm D. 45cm
Câu 8. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 5cos(πt +
2π/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
= 2 (s) đến thời điểm t
2
= 29/6 (s)
là:
A. 23 cm B. 35 cm C. 27,5 cm D. 45 cm
Câu 9. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 7cos(5πt +

(cm). Vật đi qua vị trí cân bằng lần đầu tiên vào thời điểm
A.
1/ 3
s. B.
1/ 6
s. C.
2 / 3
s. D.
1/ 12
s.
23
Câu 12: Một vật dao động điều hoà với ly độ
4cos(0,5 5 / 6)( )x t cm
π π
= −
trong đó t tính
bằng (s) .Vào thời điểm nào sau đây vật đi qua vị trí x = 2
3
cm theo chiều dương của
trục toạ độ
A. t = 1s. B. t = 2s. C. t =
16 / 3
s. D. t =
1/ 3
s.
Câu 13: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 10cos(2
π
t +
/ 4
π

trí biên dương lần thứ 5 vào thời điểm
A. 4,5s. B. 2,5s. C. 2s. D. 0,5s.
Câu 19: Một vật dao động điều hòa có phương trình : x = 6cos(πt  π/2) (cm, s).
Thời gian vật đi từ VTCB đến lúc qua điểm có x = 3cm lần thứ 5 là
A. 61/6s.  B. 9/5s. C. 25/6s. D. 37/6s.
Câu 20: Một vật dao động điều hòa có phương trình x = 8cos10πt(cm). Thời điểm vật
đi qua vị trí x = 4(cm) lần thứ 2008 theo chiều âm kể từ thời điểm bắt đầu dao động là:
A.
12043
30
(s). B.
10243
30
(s) C.
12403
30
(s) D.
12430
30
(s)
Câu 21. Vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 4cos(8πt – π/6)cm. Thời gian
ngắn nhất vật đi từ x
1
= –2
3
cm theo chiều dương đến vị trí có li độ x
1
= 2
3
cm theo

25