HƯỚNG DẪN HỌC SINH DÙNG QUAN HỆ GIỮA CHUYỂN
ĐỘNG TRÒN ĐỀU VÀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA ĐỂ GIẢI MỘT SỐ
DẠNG BÀI TẬP DAO ĐỘNG CƠ HỌC.

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
Thưa các bạn: Kinh nghiệm của các kì thi tuyển sinh vào các trường đại học, cao đẳng
và trung học chuyên nghiệp trong những năm vừa qua cho thấy rằng , đối với môn vật
lý nói chung và phần DAO ĐỘNG CƠ HỌC nói riêng , thí sinh nào nắm vững các
phương pháp cơ bản giải các bài toán vật lý sơ cấp thì sẽ có điều kiện đạt điểm cao
trong kì thi.
Hiện nay , trong xu thế đổi mới của ngành giáo dục về phương pháp giảng dạy cũng
như phương pháp kiểm tra đánh giá kết quả giảng dạy và thi tuyển. Cụ thể là phương
pháp kiểm tra đánh giá bằng phương pháp trắc nghiệm khách quan.Trắc nghiệm
khách quan đang trở thành phương pháp chủ đạo trong kiểm tra đánh giá chất lượng
dạy và học trong nhà trường THPT. Điểm đáng lưu ý là nội dung kiến thức kiểm tra
tương đối rộng, đòi hỏi học sinh phải học kĩ, nắm vững toàn bộ kiến thức của chương
trình, tránh học tủ, học lệch và để đạt được kết quả tốt trong việc kiểm tra, thi tuyển
học sinh không những phải nắm vững kiến thức mà còn đòi hỏi học sinh phải có phản
ứng nhanh đối với các dạng toán, đặc biệt các dạng toán mang tính chất khảo sát mà
các em thường gặp.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN:
DAO ĐỘNG CƠ HỌC với học sinh trung học phổ thông không mới mẻ, trìu tượng ,
trái lại rất gần gũi .Nhưng các dạng bài tập như tìm đường đi trong dao động điều hòa,
tìm thời gian để vật đi được quãng đường cho trước, tìm thời điểm vật có tọa độ, vận
tốc nào đó thật không dễ dàng đối với các em vì các em phải giải các phương trình
lượng giác, phải biết phân tích đề để tìm được nghiệm phù hợp.Mặt khác thời gian
dành cho mỗi câu trong đề thi rất hạn chế, học sinh cần phải chủ động tiết kiệm thời
gian .Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh thường chỉ biết làm những bài
tập đơn giản như thay vào công thức có sẵn, còn những bài tập yêu cầu phải có khả
năng phân tích đề hoặc tư duy thì kết quả rất kém.Để giúp cho học sinh phần nào khắc

Dạng 1: Xác định quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
đến thời điểm t
2
Dạng 2: Xác định thời điểm- số lần vật đi qua một vị trí xác định
Dạng 3 : Xác định thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x
1
đến x
2- Đối tượng áp dụng :Tất cả các học sinh lớp 12
PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và hình chiếu của chuyển động tròn đều:
Xét một điểm M chuyển động tròn đều trên đường tròn
tâm 0,có bán kính A và tốc độ góc ω. Tại thời điểm ban
đầu chất điểm ở vị trí điểm M
0
và tạo với trục nằm ngang
một góc φ. Tại thời điểm t chất điểm ở vị trí M và góc tạo
với trục ngang 0x một góc là (ωt + φ). Khi đó hình chiếu
của điểm M xuống ox là P có tọa độ x =
OP
= Acos(ωt + ϕ)
(hình 1)
->hình chiếu của một chất điểm chuyển động tròn đều
là một dao động điều hòa.
- Chiều dài quỹ đạo của dao động điều hòa: l= 2A
2.Quãng đường đi được trong khoảng thời gian (t

t∆ =
:
Quãng đường đi được là: S = A/2
+ khi vật đi từ: x=0
→

2
2
A
x = ±
thì
8
T
t∆ =
:
Quãng đường đi được là: S =
2
2
A
3
x
Hình1
II
Hình 2
III
I
O
IV
x
a

3
2
A
+ khi vật đi từ: x=0
→

= ±x A
thì
4
∆ =
T
t
:
Quãng đường đi được là: S = A
Vật xuất phát từ vị trí biên:(
= ±
x A
)( hình 3)
+ khi vật đi từ: x= ±A
→
3
2
= ±
A
x
thì
12
∆ =
T
t

t
:
Quãng đường đi được là : S = A/2
+ khi vật đi từ: x= ±A
→
x= 0 thì
4
∆ =
T
t
: Quãng đường đi được là : S = A
b. Khi vật xuất phát từ vị trí bất kỳ! Quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
đến t
2
.
PPG: Phân tích: t
2
– t
1
= nT + ∆t (n ∈N; 0 ≤ ∆t < T)
+ Quãng đường đi được trong thời gian nT là S
1
= 4nA, trong thời gian ∆t là
S
2
.
+ Quãng đường tổng cộng là: S = S
1
+ S

IV
x
A
30
M
1
Xác định:
1 1 2 2
1 1 2 2
Acos( ) Acos( )
à
sin( ) sin( )
x t x t
v
v A t v A t
ω ϕ ω ϕ
ω ω ϕ ω ω ϕ
= + = +
 
 
= − + = − +
 
(v
1
và v
2
chỉ cần xác
định dấu)
* Nếu v
1

< ⇒ = + +

Lưu ý:+ Nếu t
2
– t
1
= nT/2 với n là một số tự nhiên thì quãng đường đi được là S =
n.2A.
+ Tính S
2
bằng cách xác định vị trí x
1
, x
2
và chiều chuyển động của vật trên
trục Ox
+ Dùng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều có thể
giải bài toán đơn giản hơn.
3. Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có
li độ x
1
đến x
2
:
2 1
−
∆
∆ = =
t
ϕ ϕ

≤ ≤
)
(Hình 4)
4. Quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất đi được trong
t
2
– t
1
=∆t (0 < ∆t < T/2).
-Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB.
-Vật có vận tốc nhỏ nhất khi qua vị trí biên.
→ Trong cùng một khoảng thời gian:
+Quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng
gần VTCB
+Quãng đường đi được càng nhỏ khi vật càng gần
vị trí biên.
-Mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển
động tròn đều:
Góc quét: ∆ϕ = ω∆t.
-Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M
1
đến M
2

đối xứng qua trục sin (hình 5):
=> Trong DĐĐH ta có:
ax
2Asin
2
∆

M2
M1
M'1
M'2
O
∆ϕ
∆ϕ
Hình 4
=> Trong DĐĐH ta có:
2 (1 os )
2
∆
= −
Min
S A c
ϕ
Lưu ý: +Nếu ∆t > T/2 -> Tách
'
2
T
t n t∆ = + ∆
(
*
;0 '
2
T
n N t∈ < ∆ <
)
+Trong thời gian
2

và
=
∆
Min
tbMin
S
v
t
với S
Max
; S
Min
tính như trên.

CHƯƠNG II : CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Xác định quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
đến thời điểm t
2
1.Phương pháp 1:Xác định quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
đến t
2

Bước 1: Xác định :
1 1 2 2
1 1 2 2
x Acos( t ) x Acos( t )
và
v Asin( t ) v Asin( t )

1
+ S
2
:
Cách tính S
2
: (Xem hình 5)
* Nếu v
1
v
2
≥ 0 ⇒
2 2 1
2 2 1
T
t S x x
2
T
t S 4A x x
2

∆ < ⇒ = −



∆ > ⇒ = − −


* Nếu v
1

2
.
6
x
O
2
1
M
M
-
A
A
P
2
ϕ
∆
Hình 6
Bước 1: - Xác định vị trí và chiều chuyển động của vật tại thời điểm t
1
và t
2
:

(v
1
và v
2
chỉ cần xác định dấu)
Bước 2: - Phân tích: Δt = t
2

1
v
tại thời điểm: t
1
+ nT + T/2
+ Xác định li độ x
2
và dấu của vận tốc v
2
tại thời điểm t
2
+ Nếu
0
2
'
1
≥vv
(
'
1
v
và v
2
cùng dấu – vật không đổi chiều chuyển động) thì :
S
2
= |x
2
-
'


'
1
v
< 0, v
2
> 0 : S
2
= 2A +
'
1
x
+ x
2
3.Các Ví dụ:
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình
2cos(10 )( )
3
= −x t cm
π
π
. Tính
quãng đường vật đi được trong 1,1s đầu tiên.
Giải: Quãng đường vật đi được trong 1,1s đầu tiên tính từ lúc vật bắt đầu chuyển
động. Như vậy, thay t = 0 vào phương trình li độ và phương trình vận tốc để xem vật
bắt đầu đi từ vị trí nào và theo chiều nào.
Ta có :
2cos(10 )( )
3
= −x t cm

π π
ω π
; ∆t = 2,25s =T + 0,25(s)
Quãng đường vật đi được trong 2s đầu tiên là S
1
= 4A = 16cm.
7
- Tại thời điểm t = 2s :
- Tại thời điểm t = 2,25s :
Từ đó ta thấy trong 0,25s cuối vật không đổi chiều chuyển động nên quãng đường vật
đi được trong 0,25s cuối là
2
2 2 0 2 2( )= − =S cm
.Vậy quãng đường vật đi được
trong 2,25s là: S = S
1
+S
2

(16 2 2)( )= + cm
Giải cách 2 : (Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều).
Tương tự như trên ta phân tích được Δt = 2,25s = T + 0,25(s).
Trong một chu kỳ T vật đi được quãng đường S
1
= 4A = 16cm
Xét quãng đường vật đi được trong 0,25s cuối. Trong 0,25s cuối thì góc mà vật quét
được trên đường tròn (bán kính A = 4cm) là:
. .0,25
4
= = =

π
=
25
π
s
tại t = 0 :
0
0
x 0
v 0
=


>

⇒ Vật bắt đầu dao động từ VTCB theo chiều dương
 tại thời điểm t = π/12(s) :
x 6cm
v 0
=


>

Vật đi qua vị trí có x = 6cm theo chiều dương.
 Số chu kì dao động : N =
0
t t
T
−

1 2
v v 0
T
t <
2
≥



∆


⇒ S
Δt
=
0
x x−
= 6  0 = 6cm
 Vậy : S
t
= S
nT
+ S
Δt
= 96 + 6 = 102cm. Chọn : C.
Giải Cách 2 : Ứng dụng mối liên hệ giữa CĐTĐ và DĐĐH
tại t = 0 :
0
0
x 0

t t
T
−
=
t
T
=
.25
12.
π
π
= 2 +
1
12

⇒ t = 2T +
T
12
= 2T +
300
π
s. Với : T =
2
π
ω
=
2
50
π
=

T
−
= n +
m
T
với T =
2
π
ω
Trong một chu kỳ : + vật đi được quãng đường 4A
+ Vật đi qua ly độ bất kỳ 2 lần
* Nếu m = 0 thì: + Quãng đường đi được: S
T
= n.4A
+ Số lần vật đi qua x
0
là M
T
= 2n
* Nếu m ≠ 0 thì : + Khi t =t
1
ta tính x
1
= Acos(ωt
1
+ φ)cm và v
1
dương hay âm
(không tính v
1

0
là: M=M
T
+ M
lẻ
2.CácVí dụ :
Ví dụ 4: Một vật dao động điều hoà với phương trình
x = 8cos(2πt) cm. Thời điểm thứ nhất vật đi qua vị trí cân bằng là:
A)
1
4
s
B)
1
2
s
C)
1
6
s
D)
1
3
s
Giải Cách 1: Vật qua VTCB: x = 0 ⇒ 2πt = π/2 + kπ ⇒
Thời điểm thứ nhất ứng với k = 0 ⇒ t = 1/4 (s)
Giải Cách 2: Dùng mối liên hệ giữa dao động điều hoà
và chuyển động tròn đều.
Vật đi qua VTCB, ứng với vật chuyển động tròn đều qua M
1

Ví dụ 5: Một vật dao động điều hoà với phương trình
x = 4cos(4πt +
6
π
) cm. Thời điểm thứ 3 vật qua vị trí
x = 2cm theo chiều dương.
A) 9/8 s B) 11/8 s C) 5/8 s D) 1,5 s
Giải Cách 1: Ta có
4 os(4 ) 2
2
6
4 2
0
6 3
16 sin(4 ) 0
6
x c t
x
t k
v
v t
π
π
π π
π π
π
π π

= + =


0
đến M
2
.(Hình 9)
Góc quét ∆ϕ = 2.2π +
3
2
π
⇒
11
8
t s
ϕ
ω
∆
= =
Ví dụ 6: Một vật dao động điều hoà với phương trình
x = 4cos(4πt +
6
π
)cm.
Thời điểm thứ 2011 vật qua vị trí x=2cm.
A)
12061
24
s
B)
12049
24
s

 
= ⇒ ⇒




=− + ∈
+ =− +
 


Vật qua lần thứ 2011(lẻ) ứng với nghiệm trên
2011 1
1005
2
−
= =
k

⇒
1 12061
502,5 = s
24 24
= +t
-> Đáp án A
Giải Cách 2: Vật qua x =2 là qua M
1
và M
2
. Vật quay 1 vòng (1 chu kỳ) qua x = 2 là

A
M
0
Hình 9
A) 1004,5s B)1004s C)2010 s D) 1005s
Bài gỉai: Cách 1: Ta có v = -16πsin(2πt-
6
π
) = -8π
1
2 2
6 6
6

5
1
2 2
6 6
2
t k
t k
k N
t k
t k
π π
π π
π π
π π
 
− = +

ω
= − = ±
.Vì v < 0 nên vật qua
M
1
và M
2;
Qua lần thứ 2010 thì phải quay 1004 vòng rồi
đi từ M
0
đến M
2
. Góc quét ∆ϕ = 1004.2π + π ⇒
t = 1004,5 s . (Hình 11)
Ví dụ 8: Một vật dao động điều hoà với phương trình
x=8cos(2πt-
3
π
) cm. Thời điểm thứ nhất vật qua vị trí có động năng bằng thế năng.
A)
1
8
s
B)
1
24
s
C)
5
8

= W
t
⇒
1
W W x=
2
2
t
A
= ⇒ ±
⇒
có 4 vị trí M
1
, M
2
, M
3
, M
4
trên đường tròn.
Thời điểm đầu tiên vật qua vị trí W
đ
= W
t
ứng với vật
đi từ M
0
đến M
4
.(Hình 12)

M
1
M
2
A
-A
M
0
Hình 10
Hình 12
4 3
−
4 3
Hình 11
*
2
7
2 2
k N
2 3
12
2 1
2 2 k N
2 3 12
t k
t k
t k t k
π π
π π
π π

t
A
x= ⇒ = ±
⇒
có 4 vị trí trên đường tròn
M
1
, M
2
, M
3
, M
4
.
Qua lần thứ 2010 thì phải quay 502 vòng (mỗi vòng qua 4 lần)
rồi đi từ M
0
đến M
2
.
.(Hình 13)
Góc quét
11
502.2 ( ) 1004
3 4 12
π π π
ϕ π π π
∆ = + − − = +
. =>
11 12059

t
MN
=Δt =
2 1
ϕ −ϕ
ω
=
∆ϕ
ω
=
·
MON
360
T với
1
1
2
2
x
cos
A
x
cos
A

ϕ =





t
ϕ ϕ
ϕ
ω ω
=
2
∆ϕ
π
T
2.Các ví dụ:
Ví dụ 10: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 8s,
tính thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí
2
= +
A
x
đến vị trí có li độ
2
= −
A
x
Hướng dẫn giải : Ta có tần số góc:
2 2
( / )
8 4
= = =
rad s
T
π π π
ω

A
x
đến
2
= −
A
x
là
4
( )
3
∆ =t s
.
Ví dụ 11 : Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ là A. Tìm thời gian
ngắn nhất mà vật đi từ vị trí:
a. x = 0 (vị trí cân bằng) đến vị trí x = A.
b. x = 0 (vị trí cân bằng) đến vị trí
2
= +
A
x
.
c.
2
= +
A
x
đến vị trí x = A.
Hướng dẫn giải : Thực hiện các thao tác như ví dụ 1 chúng ta có:
a.

2
= 19/3 (s)
là:
A. 42.5 cm B. 35 cm C. 22,5 cm D. 45 cm
Câu 7. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 5cos(πt +
2π/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
= 2 (s) đến thời điểm t
2
= 17/3 (s)
là:
A. 25 cm B. 35 cm C. 30 cm D. 45cm
Câu 8. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 5cos(πt +
2π/3) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
= 2 (s) đến thời điểm t
2
= 29/6 (s)
là:
A. 23 cm B. 35 cm C. 27,5 cm D. 45 cm
Câu 9. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình: x = 7cos(5πt +
π/9) cm. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
= 2,16 (s) đến thời điểm t
2
= 3,56
(s) là:
A. 56 cm B. 98 cm C. 49 cm D. 112 cm
Câu 10: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 10cos(2
π

s.
Câu 12: Một vật dao động điều hoà với ly độ
4cos(0,5 5 / 6)( )x t cm
π π
= −
trong đó t tính
bằng (s) .Vào thời điểm nào sau đây vật đi qua vị trí x = 2
3
cm theo chiều dương của
trục toạ độ
14
A. t = 1s. B. t = 2s. C. t =
16 / 3
s. D. t =
1/ 3
s.
Câu 13: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x = 10cos(2
π
t +
/ 4
π
)cm thời
điểm vật đi qua vị trí cân bằng lần thứ 3 là
A.
13 / 8
s. B.
8 / 9
s. C.1s. D .
9 / 8
s.

(s). B.
10243
30
(s) C.
12403
30
(s) D.
12430
30
(s)
Câu 21. Vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 4cos(8πt – π/6)cm. Thời gian
ngắn nhất vật đi từ x
1
= –2
3
cm theo chiều dương đến vị trí có li độ x
1
= 2
3
cm theo
chiều dương là :
A. 1/16(s). B. 1/12(s). C. 1/10(s) D. 1/20(s)
Câu 22. Một vật dao động điều hòa với chu kì T = 2s. Thời gian ngắn nhất để vật đi
từ điểm M có li độ x = +A/2 đến điểm biên dương (+A) là
A. 0,25(s). B. 1/12(s) C. 1/3(s). D. 1/6(s).
Câu 23: Vật dđđh: gọi t
1
là thời gian ngắn nhất vật đi từ VTCB đến li độ x = A/2 và t
2
là thời gian vật đi từ vị trí li độ x = A/2 đến biên dương. Ta có

1
= - A đến vị trí có li độ x
2
= A/2 là 1s. Chu kì dao động của
con lắc là
A. 1/3 s. B. 3 s. C. 2 s. D. 6s.
Câu 26: Một vật dao động điều hòa với tần số bằng 5Hz. Thời gian ngắn nhất để vật
đi từ vị trí có li độ
x
1
= - 0,5A (A là biên độ dao động) đến vị trí có li độ x
2
= + 0,5A là
A. 1/10 s. B. 1 s. C. 1/20 s. D. 1/30 s.
Câu 27: Một vật dao động điều hoà với tần số 2Hz, biên độ A. Thời gian ngắn nhất
khi vật đi từ vị trí biên đến vị trí động năng bằng 3 lần thế năng là
A.
1
6
s
B.
1
12
s
C.
1
24
s
D.
1

15
π
s. B.
30
π
s. C.
24
π
s. D.
12
π
s.
Câu 30: Một con lắc lò xo thẳng đứng , khi treo vật lò xo dãn 4 cm. Kích thích cho
vật dao động theo phương thẳng đứng với biên độ 8 cm thì trong một chu kì dao động
T thời gian lò xo bị nén là
A. T/4. B. T/2. C. T/6. D. T/3
PHẦN BA: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Lần đầu tiên chuyên đề được áp dụng đối với lớp 12 A2, sau đó kiểm tra khảo sát hai
lớp 12A1 và 12A2 của trường , trong đó 12 A2 được học chuyên đề theo hướng vận
dụng quan hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa để giải .Lớp 12 A1
học chuyên đề theo hướng truyền thống . Kết quả thu được như sau:
Kết quả khảo sát
TB trở lên Giỏi Khá TB Yếu
Lớp thực nghiệm
12A2 (46 hs) 73,9% 17,4% 21,74% 34,76% 26,1%
16
Lp i chng 12A1
(46 hs) 52,1% 10,86% 15,2% 26% 47,9%
Sau kho sỏt chuyờn ó c ỏp dng i tr cho hc sinh lp 12 v ó c t
chuyờn mụn ỏnh giỏ cao.

I/ Cơ sở lí luận. (trang1)
II/ Cơ sở thực tiễ (trang1)
III/ Mục đích nghiên cứu. (trang2)
IV/ Nhiệm vụ nghiên cứu. (trang2)
V/ Phương pháp nghiên cứu (trang2)
VI/ Giới hạn đề tài (trang2)
Phần II: Nội dung
ChươngI. Lý thuyết cơ bản của chương ( trang 3)
Chương III : Các dạng bài tập và phương pháp giải (Trang 6)
Chương III : Kiểm tra khảo sát chun đề ( trang 13)
Phần III: Kết quả nghiên cứu
(Trang 16)
Phần IV: Kết luận, kiến nghị
(Trang 17)
Phần V: Danh mục sách tham khảo
(Trang 17)
18
19

20