SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT DƯƠNG ĐÌNH NGHỆ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH XÂY DỰNG QUY TRÌNH
GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP
11.

Người thực hiện: Tống Văn Anh
Chức vụ: Giáo viên
SKKN môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2016

1


A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Trong thời đại toàn cầu hóa, công nghệ thông tin phát triển bùng nổ, đứng trước
yêu cầu về một nguồn nhân lực năng động, sáng tạo, có kiến thức và kỹ năng
chuyên nghiệp... nền giáo dục nước ta đã chú trọng: đổi mới mạnh mẽ phương pháp
dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận
dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều,
ghi nhớ máy móc; Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ
sở để người học tự cập nhật tri thức, hình thành kỹ năng, phát triển năng lực.
Chuyển từ học chủ yếu trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các
hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học. Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ
thông tin và truyền thông trong dạy và học.
Có thể nói đổi mới phương pháp dạy học là yêu cầu cấp thiết, trong đó đổi mới

Tổng kết kinh nghiệm định hướng cho học sinh xây dựng quy trình giải một số
dạng bài tập hình học không gian trong chương trình lớp 11.
4.Phương pháp nghiên cứu:
Kết hợp phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin với phương
pháp nghiên cứu bài học .

3


B. NỘI DUNG
I. Cơ sở lí luận
Trong dạy học môn toán, việc rèn luyện và phát triển năng lực giải toán cho học
sinh là rất quan trọng. Trong đó năng lực giải toán là tổ hợp các thuộc tính độc đáo,
phẩm chất riêng biệt của khả năng con người để tìm ra lời giải cho bài toán, dạng
toán. Việc rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, khả năng đặc biệt hóa khái quát hóa trong dạy
học môn toán là không thể thiếu được.
Đối với phần hình học không gian thì việc rèn luyện và phát triển năng lực giải
toán cho học sinh để các em giải được bài tập cụ thể, đồng thời xây dựng được quy
trình, phương pháp giải cho dạng bài tập đó là rất cần thiết. Bởi có như thế, học
sinh mới nắm được các kiến thức cơ bản, biết vận dụng, biết liên kết các kiến thức
với nhau; các kỹ năng, các khả năng được rèn luyện phát triển, làm cho năng lực tư
duy của học sinh được nâng cao, từ đó học sinh có thể độc lập giải quyết được các
vấn đề mới nảy sinh. Khi năng lực tư duy phát triển thì học sinh chủ động xử lí
được các tình huống thường gặp trong thực tiễn cuộc sống.
II. Thực trạng tại trường THPT Dương Đình Nghệ
Với chất lượng đầu vào thấp, đa số học sinh được khảo sát không giải được và
không nắm được quy trình giải các bài tập cơ bản về hình học không gian tổng hợp.
Một số ít học sinh giải được các dạng bài tập về hình học không gian tổng hợp
nhưng quy trình giải thì tiếp thu một cách thụ động không hiểu được bản chất của
vấn đề.

+ Giáo viên:
Điểm C là giao điểm của đường thẳng AC với đường thẳng nào thuộc mp(BCD).
+ Học sinh:
Điểm C là giao điểm của đường thẳng AC với đường thẳng BC thuộc mp(BCD)
hoặc C là giao điểm của đường thẳng AC với đường thẳng DC thuộc mp(BCD).
+ Giáo viên: Điểm C là giao điểm của đường thẳng AC với đường thẳng BC thuộc
mp(BCD) thì BC là giao tuyến của mp(BCD) và mặt phẳng nào chứa AC.
+ Học sinh: BC là giao tuyến của mp(BCD) và mp(ABC) chứa AC.
+ Giáo viên: Điểm C là giao điểm của đường thẳng AC với đường thẳng DC thuộc
mp(BCD) thì DC là giao tuyến của mp(BCD) và mặt phẳng nào chứa AC.
+ Học sinh: DC là giao tuyến của mp(BCD) và mp(ACD) chứa AC.
•
Giáo viên giúp học sinh dự đoán các bước giải bài tập dạng này.
+ Giáo viên: Như vậy trong cả hai trường hợp trên ta thấy giao điểm C cần tìm là
giao điểm của đường thẳng AC với giao tuyến của mp(BCD) và mp ( α ) , trong đó
mp ( α ) chứa đường thẳng AC. Từ đây giáo viên cho học sinh dự đoán các bước
giải dạng bài tập tìm giao điểm I của đường thẳng ∆ và mp(P).
+ Học sinh:
Bước 1: Chọn một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng ∆ .
Bước 2: Tìm giao tuyến d của hai (P) và (Q).
Bước 3: Giao điểm I cần là giao điểm của d với ∆ .
1.3 Vận dụng quy trình vào giải bài tập
Học sinh vận dụng quy trình vào giải câu b và các bài tập sau:
b) Chọn mp(ABC) chứa đường thẳng MN. Giao tuyến của mp(ABC) và mp(BCD) là
BC. Gọi I là giao điểm của MN và BC (vì theo giả thiết MN và BC cắt nhau).
Vậy I là giao điểm của MN và mp(BCD).
5


Bài tập 1. (Bài tập 5a trang 53 SGK hình học 11- chương trình chuẩn)

2. Xây dựng quy trình chứng minh ba đường thẳng đồng quy
2.1 Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài tập :
6


Bài tập (Bài tập 5b trang 53 SGK hình học 11- chương trình chuẩn):
Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng ( α ) có hai cạnh AB và CD không song
song. Gọi S là điểm ngoài mp ( α ) ; M là trung điểm của SC; N là giao điểm của SD
với mp(MAB); O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng
SO, AM, BN đồng quy.
(Tìm giao điểm N của SD và mp(MAB) đã làm ở bài tập 2 phần 1).
+ Giáo viên:
Ba đường thẳng đồng quy nếu như chúng cùng đi qua
một điểm. Giả sử hai đường AM và BN cắt nhau tại I
lúc đó ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy khi
nào?
+ Học sinh:
Ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy khi SO đi qua
I hay ba điểm S, I, O thẳng hàng.
+ Giáo viên:
Trong không gian để chứng minh ba điểm thẳng hàng
ta thường chứng minh ba điểm đó là các điểm chung
của hai mặt phẳng phân biệt.
Đường SO là giao tuyến của hai mặt phẳng nào?
+ Học sinh:
Đường SO là giao tuyến của mp(SBD) và mp(SAC).
+ Giáo viên:
Điểm I có phải là điểm chung của mp(SBD) và mp(SAC) không? vì sao?
+ Học sinh:
Vì I ∈ AM ⊂ ( SAC ) , I ∈ BN ⊂ ( SBD ) nên I là điểm chung của (SBD) và (SAC).

Vậy ba đường thẳng CD, IG, HF đồng quy tại điểm
K.
Nhận xét:
•
Qua việc xây dựng quy trình giải bài tập chứng minh ba đường thẳng đồng
quy ta thấy để chứng minh ba điểm thẳng hàng thì chứng minh cho ba điểm đó
cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt.
•
Ngoài phương pháp chứng minh cho ba đường thẳng đồng quy đã nêu trên,
ta còn có một phương pháp khác nữa để chứng minh ba đường thẳng đồng quy
là sử dụng định lí “ Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân
biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau”.
2.4 Bài tập tự luyện
1) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD có AB không song song với CD. Trên SC lấy
điểm E không trùng với S và C, gọi F là giao điểm của SD với mp(ABE).
Chứng minh ba đường thẳng AB, CD và EF đồng quy.
2) Cho tứ diện ABCD. Qua C dựng mp ( α ) cắt AB, SB tại B1, B ' và qua B dựng mp
( β ) cắt AC, SC tại C1, C '. Hai đường thẳng BB ', CC ' cắt nhau tại O '; BB1, CC1
cắt nhau tại O1; kéo dài O ' O1 cắt SA tại I.
a) Chứng minh AO1, SO ' và BC đồng quy.

8


b) Chứng minh I , B1, B ' thẳng hàng.
3. Xây dựng quy trình xác định hình chiếu vuông góc của một điểm trên một
mặt phẳng
Nhận xét: Đối với dạng bài tập này khi dạy giáo viên thường chỉ hướng dẫn học
sinh tìm ta kết quả và không nêu lên phương pháp giải cho dạng bài tập, dẫn đến
học sinh không nắm được bản chất của việc đi tìm hình chiếu của một điểm trên



Hơn nữa AA ' ⊥ (ABCD) ⇒ AA ' ⊥ BD (2)
Từ (1) và (2) ⇒ BD ⊥ ( ACC ' A ' ) . Mà BD ⊂ ( BDD ' B ') ⇒( ACC ' A ') ⊥ ( BDD ' B ')
Giao tuyến của ( ACC ' A ') và ( BDD ' B ' ) là OO ' (với O, O ' lần lượt là tâm của 2
đáy ABCD, A ' B ' C ' D ' ) . Mặt khác ta có AO ⊥ OO ' ⇒ AO ⊥ ( BDD ' B ' ) . Do đó O
là hình chiếu của A trên mp ( BDD ' B ' ) .
Bài tập 1: Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC đều. Xác định hình
chiếu vuông góc của điểm A trên mp(SBC).
Lời giải:
Ta có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC
(1)
Gọi M là trung điểm của BC, do ∆ ABC đều
⇒ AM ⊥ BC
(2)
Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (SAM)
BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAM).
Giao tuyến của mp(SBC) và mp(SAM) là SM . Kẻ
AH vuông góc với SM tại H, suy ra AH ⊥ (SBC).
Vậy H là hình chiếu của A trên mp(SBC).
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình vuông tâm O cạnh a, các cạnh bên đều bằng
2a. Xác định hình chiếu vuông góc của O trên
mp(SBC)
Lời giải:
Theo giả thiết SA = SC ⇒ ∆ SAC cân ở S, suy ra
SO ⊥ AC. Tương tự SO ⊥ BD
Do đó SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC
(1).
Gọi M là trung điểm của BC ta có OM ⊥ BC (2).

Lời giải:
a) Từ định nghĩa trên, học sinh có thể xác định được
góc giữa AD ' và mp ( A ' B ' C ' D ' ) như sau:
Ta có hình chiếu của đường AD ' lên ( A ' B ' C ' D ' ) là
đường A ' D ' suy ra góc ·AD ' A ' là góc giữa đường
thẳng AD ' và mp ( A ' B ' C ' D ' ) .

4.2 Giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng quy
trình
Giáo viên có thể giúp học sinh dự đoán các bước của quy trình xác định góc giữa
đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) cắt nhau:
Bước 1: Tìm giao điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) .
Bước 2: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M thuộc d ( M ≠ I ) trên ( α ) .
·
Khi đó góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) là góc MIH
.
Từ dự đoán đó,học sinh có thể giải câu b như sau:
11


b) Ta có:
BD ' giao với mp ( ADD ' A ') tại D '; A là hình chiếu của B trên mp ( ADD ' A ') , suy
ra AD ' là hình chiếu của BD ' trên mp ( ADD ' A ') . Do đó góc giữa BD ' với mp
· ' A.
( ADD ' A ') là góc BD

4.3 Vận dụng quy trình vào giải bài tập
Bài tập 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = 3a, SA = 2a. Tính góc giữa
cạnh bên và mặt đáy.
Lời giải:

a) SC và (ABCD);
b) SC và (SAD);
c) SB và (SAC).
Lời giải:
a) Ta có: SA ⊥ mp(ABCD) nên hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là A; giao
điểm của SC với mặt phẳng (ABCD) là C.
·
Vậy SCA
là góc giữa SC và mp(ABCD).
b) Ta có SC giao với mp(SAD) tại S
CD ⊥ SA
Mặt khác 
⇒ CD ⊥ mp(SAD), suy ra D
CD ⊥ AD
là hình chiếu vuông góc của C trên mp(SAD).
·
Vậy CSD
là góc giữa SC và mp(SAD).
12


OB ⊥ AC
c) Ta có SB giao với mp(SAC) tại S. Mặt khác 
⇒ OB ⊥ (SAC), suy ra O
OB ⊥ SA
·
là hình chiếu vuông góc của B trên mp(SAC). Vậy OSB
là góc giữa SB và
mp(SAC).
4.4 Bài tập tự luyện


Do đó góc giữa mp(SAB) và mp(ABC) là góc giữa hai đường thẳng SM và CM.
Vì SM và CM là hai đường cao của tam giác đều cạnh a nên SM = CM =

a 3
, từ
2

SM 2 + CM 2 − SC 2 1
= .
2SM .CM
3
1
Vậy cô-sin góc giữa mp(SAB) và mp(ABC) bằng .
3
5.2 Giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình
Từ kết quả của bài tập trên giáo viên có thể gợi ý cho học sinh suy nghĩ một số vấn
đề về bài toán như sau:
• Mặt phẳng ( α ) chứa hai đường thẳng SM và CM như thế nào với AB?
• Hai đường thẳng SM và CM lần lượt là giao tuyến của mp ( α ) với hai mặt
phẳng nào?
• Để tìm được đường thẳng SM và CM ta cần tìm mp ( α ) thõa mãn điều kiện gì?
Sau khi suy nghĩ trả lời được các câu hỏi trên, từ đó học sinh phát biểu quy trình
giải bài tập “ Xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)” như sau:
Bước 1: Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bước 2: Tìm mặt phẳng (R) vuông góc với d.
Bước 3: Tìm giao tuyến a = ( P ) ∩ ( R ), b = (Q) ∩ ( R). khi đó góc giữa hai mặt
phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b.
Nhận xét. Khi dạy dạng bài tập này giáo viên thường nêu quy trình trước rồi hướng
dẫn học sinh vận dụng quy trình vào giải bài tập hoặc chỉ hướng dẫn học sinh giải

tại I suy ra góc giữa hai đường thẳng A ' I và A ' J là góc IA
· ' J là góc giữa hai mặt phẳng ( DA ' C ') và ( ABB ' A ') .
Vậy góc IA
Bài tập 2. (Bài tập 24 trang 111 SGK hình học 11- chương trình nâng cao)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD), SA = x. Xác
định x hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau góc 60o.
Lời giải:
Ta có: ( SBC ) ∩ ( SCD ) = SC ;
BD ⊥ AC 
 ⇒ BD ⊥ mp(SAC) ⇒ BD ⊥ SC.
BD ⊥ SA 
Kẻ BH vuông góc với SC tại H, suy ra SC ⊥ (BHD).
Vì ( BHD ) ∩ ( SBC ) = BH , ( BHD ) ∩ ( SCD ) = HD
nên góc giữa mp ( SBC ) và mp ( SCD ) là góc giữa hai đường thẳng BH và HD .
Áp dụng hệ thức lượng trong hai tam giác vuông SBC và SCD ta suy ra
BH = DH = BC .

BS 2
BC 2 + BS 2

= BC .

AB 2 + SA2
BC 2 + AB 2 + SA2

=a

a 2 + x2
2a 2 + x 2


và
bằng 60 , khi đó
2
2
2
2
a +x
Vậy x = a thì hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau góc 60o.
Nhận xét. Qua bài tập ta thấy để tìm được mặt phẳng (R) vuông góc với d ở bước
hai của quy trình giải bài tập “ Xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)” ta làm
như sau:
• Tìm hai điểm M, N lần lượt thuộc hai mặt phẳng (P) và (Q) sao cho MN
vuông góc với một trong hai (P), (Q) sau đó từ M hạ MH vuông góc với d tại
H. Khi đó mp(R) cần tìm là mp(MHN).
• Tìm hai điểm M, N lần lượt thuộc hai mặt phẳng (P) và (Q) sao cho MN
vuông góc d sau đó từ M hạ MH vuông góc với d tại H. Khi đó mp(R) cần
tìm là mp(MHN).
5.4 Bài tập tự luyện
·
·
1) Cho hình chóp S.ABC có ·ASB = 120o, BSC
= 60o, CSA
= 90o, SA = SB = SC = a.
Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( ABC ) .
2) Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), SA = a 2. Đáy ABCD là hình thang
vuông tại A và D, với AB = AD = DC = a. Tính góc giữa hai mặt phẳng sau:
a) mp ( SBC ) và mp ( ABC ) .
b) mp ( SAB ) và mp ( SBC ) .
c) mp ( SAC ) và mp ( SCD ) .
3) Cho ∆ đều ABC cạnh a, các nửa đường thẳng Bx, Cy cùng vuông góc với

42

0

0

8

19,4

14

33

20

47,6

Năm học 2015-2016 dạy lớp 11C6 đã vận dụng kinh nghiệm nêu trên.
Sĩ số
Kết quả
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu, kém
SL
%
SL
%
SL

học sinh xây dựng nhiều quy trình hơn nữa để giúp các em giải bài toán hình học
không gian một cách dễ dàng và hiệu quả hơn. Đây cũng chính là nền tảng vững
chắc để tôi nghiên cứu, vận dụng một số phương pháp rèn luyện, phát triển năng
lực tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập hình học không gian.
Rất mong nhận được những góp ý chân thành của bạn đọc, tôi xin cảm ơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày10 tháng 5 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Tống Văn Anh

18


MỤC LỤC
Mục

Trang
1
1

A.
1.

MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài



Thực trạng tại trường THPT Dương Đình Nghệ

3

III.

III. Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình
giải một số dạng bài tập hình học không gian lớp 11:

3

1.

Xây dựng quy trình tìm giao điểm của đường thẳng và mặt
phẳng

3

2.

Xây dựng quy trình chứng minh ba đường thẳng đồng quy

5

3.

Xây dựng quy trình xác định hình chiếu vuông góc của một
điểm trên một mặt phẳng