S GIO DC O TO BèNH NH
TRNG THPT TNG BT H
***
SNG KIN KINH NGHIM
MễN TON ẹe taứi: NHèN BI TON HèNH HC PHNGTHUN TY BNG CON MT TA


1. Thuyết minh tính mới. 6
2. Nội dung cụ thể: 6
Các nguyên tắc cần lưu tâm khi giải bài toán hình học thuần túy bằng
công cụ tọa ñộ.
6
- Hình thành hệ trục tọa ñộ trong mặt phẳng. 7
- Những kiến thức thiết yếu trong sử dụng công cụ tọa ñộ. 12

* Bài tập minh họa:
15
- Dạng bài: Tính toán 15
- Dạng bài: Chứng minh hai ñường thẳng vuông góc. 21
- Dạng bài: Chứng minh ñẳng thức liên quan ñến ñộ dài ñoạn thẳng. 24
- Dạng bài: Chứng minh ñường thẳng ñi qua ñiểm cố ñịnh. 27
- Bài toán minh họa: 2 cách chọn hệ trục tọa ñộ Đề-các khác nhau. 32
- Dạng bài: Tính tỷ số giữa hai ñoạn thẳng. 37
- Dạng bài: Tương giao giữa các ñường thẳng. 41
- Dạng bài: Xác ñịnh vị trí của ñiểm. 46
- Dạng bài: Chứng minh hai ñường thẳng song song. 49

M
ỤC LỤC

Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013
Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy
2- Dạng bài: Chứng minh 1 ñiểm di ñộng trên 1 ñường cố ñịnh.
53
Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013
Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy
3PHẦN A: MỞ ĐẦU I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Thực trạng của vấn ñề:
* Bài toán hình học phẳng “thuần túy” là một trong những bài toán cổ xưa nhất
của toán học, ẩn chứa vẻ ñẹp diệu kỳ, là một trong những bài toán rất phổ thông và có
vai trò quan trọng trong toán học và ñời sống. Trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp
tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế, thí sinh thường xuyên phải va chạm với bài toán khá “hóc
búa” gây nhiều khó khăn, trăn trở này. Vì thế việc tìm hiểu và tường minh một giải
pháp khả dĩ là kỳ vọng của tác giả.
- Sử dụng công cụ tọa ñộ là giải pháp ñược ñề cập và luận bàn trong bài viết
này.
* Những câu hỏi rất “tự nhiên” ñược ñặt ra là:
- Dựa vào dấu hiệu nào, ñặc ñiểm gì mà ta vận dụng công cụ tọa ñộ ?
- Với mỗi bài toán, việc xây dựng hệ trục tọa ñộ ñược hình thành qua những
công ñoạn nào?
- Liệu rằng có thể xác lập ñược một nguyên tắc chung với các bước thực hiện


II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH

1. Cơ sở lý luận và thực tiễn:
Qua quá trình giảng dạy, người viết luôn nâng cao ý thức tự học, tinh thần cầu
tiến, lắng nghe, học hỏi ở nhiều thế hệ thầy cô. Tìm tòi, tham khảo những tài liệu có
liên quan, khai thác, khám phá, phát hiện, kiến tạo, xử lý và tích lũy thông tin.
2. Các biện pháp tiến hành, thời gian:
* Từ những dạng bài trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi, người viết suy nghĩ ,
“mỗ xẻ”, tìm ra biện pháp, ý tưởng theo cách của riêng mình, tạo ra một cách nhìn
nhiều khía cạnh, “nhìn” từ phía bên trong của mỗi bài toán.
* Người viết xin cam ñoan rằng: Đề tài này tự bản thân mình xây dựng với tất
cả lòng ñam mê của người ñã “trót yêu” toán. Tuyệt ñối không sao chép, dựa dẫm từ
bất kì ñề tài nào.
II. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH:

Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013
Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy

cách giải truyền thống và cách giải sử dụng cơng cụ tọa độ, từ suy nghĩ cho cách giải
này giúp nảy sinh ý tưởng cho cách giải khác và ngược lại. Từ đó tạo ra nhiều sự lựa
chọn và “cơ hội” giải bài tốn cao hơn, có đường lối hơn.

Chỉ ra được trên cùng một bài tốn, ta có thể xác lập được các hệ trục tọa độ Đề
các với những vị trí khác nhau, mà bài tốn vẫn cho cùng kết quả. Điều này thể hiện
tính độc đáo, sự “tự do” khơng bị gò bó, cứng nhắc của giải pháp. Đây lại là một ưu
điểm rõ ràng của giải pháp.

B. NỘI DUNG

I. MỤC TIÊU.

II. MƠ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI.

Một là:

Hai là:

Ba là:Sỏng kin kinh nghim. Nm hc 2012 - 2013
Ngi thc hin: Hunh Duy Thy
6
- Gc ta ủ, trc ta ủ thng gn lin vi ủim v ủng ủc bit ca bi
toỏn nh: tõm ủng trũn, ủnh gúc vuụng, trung ủim ủon thng, chõn ủng cao .
+ Chuyn ủi ngụn ng t yu t hỡnh hc thun tỳy sang ngụn ng ta
ủ.
- Chun húa ủ di cỏc ủon thng v ủn v trc.
- T ủú xỏc ủnh ta ủ cỏc ủim v phng trỡnh cỏc ủng, theo hng hn
ch ủn mc thp nht vic s dng cỏc tham s, ủiu chnh giỏ tr ca
cỏc tham s
ủ nhn ủc nhng ta ủ ủp giỳp cỏc phộp toỏn tr nờn ủn gin.+ Khai thỏc cỏc tớnh cht v phộp toỏn liờn quan ủn vộct v ta ủ nh:
- iu kin theo ta ủ ủ 2 vộc t vuụng gúc.

Boỏn laứ:Naờm laứ:

Saựu laứ
:Baỷy laứ:Sáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013
Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy
7


Thông thường ta xây dựng hệ trục tọa ñộ ñề các vuông góc như sau:
- Hạ ñường cao từ ñỉnh của tam giác cân ñến cạnh ñối diện

AO BC
⊥

- Chọn hệ trục tọa ñộ ñề các vuông góc Oxy trong ñó: x
y
A
B
HÌNH THÀNH HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG MẶT
PHẲNG NHƯ THẾ NÀO?

ĐOẠN AB CỐ ĐỊNHTAM GIÁC CÂNSáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013
Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy
8
+ O (0; 0) là gốc tọa ñộ.



y
x
B
C
O
G
A
* Hạ AO
⊥
BC
Chọn hệ trục tọa ñộ Đề các vuông
góc Oxy.
C thuộc tia Ox
A thuộc tia Oy
HÌNH VUÔNG ABCD

Chọn hệ trục tọa ñộ Đề các vuông góc Axy
B thuộc tia Ax

A

0

x

B

C

x
y
D C
A
B
P
I
TAM GIÁC HÌNH VUÔNGSáng kiến kinh nghiệm. Năm học 2012 - 2013
Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy
10HÌNH CHỮ NHẬT

* Hai ñường chéo của hình thoi vuông
góc với nhau, nên ta có thể chọn giao
ñiểm 2 ñường chéo là gốc tọa ñộ.
- Mỗi ñường chéo nằm trên mỗi trục
tọa ñộ.
* Trường hợp biết số ño của 1 góc ở
ñỉnh hình thoi, ta có thể chọn ñỉnh này
làm gốc tọa ñộ và một cạnh của hình
thoi ñi qua ñỉnh ñó là 1 trục tọa ñộ.
* Chuẩn hóa ñộ dài:
Để có những tọa ñộ “ñẹp” không mất
tính tổng quát, ta chuẩn hóa ñộ dài cạnh
hình thoi bằng 1.
x
B
A

C D
I
0 x
y
0

c 2012 - 2013
Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy
11ĐƯỜNG TRÒN - Chọn tâm ñường tròn làm gốc tọa ñộ.
- Chọn một ñường kính làm trục tọa ñộ.
- Chuẩn hóa ñộ dài bán kính R = 1.
- Ta có phương trình ñường tròn.
x
2
+ y
2
= 1
Với ñiểm A nằm trên ñường
tròn, ta có thể xác ñịnh tọa ñộ
ñiểm A: A (cosa, sina).
(Vì dựa theo cos
2
a + sin
2
a = 1)
HÌNH LỤC GIÁC ĐỀU


A
y
ĐƯỜNG TRÒNHÌNH LỤC GIÁC ĐỀUSáng ki
ế
n kinh nghi
ệ
m. N
ă
m h
ọ
c 2012 - 2013
Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy
12

Không mất tính tổng quát, ta chuẩn hóa ñộ dài bán kính ñường tròn ngoại tiếp
lục giác ñều bằng 2h.
Ta có những tọa ñộ “thật ñẹp”: A (0, 0)
B (-h,
3
h
)

(0;2 3 )
(3 ; 3 )


( )
( )
x h m
y g m
=


=

với m là tham số thực
- Khử tham số m, ta nhận ñược phương trình dạng
( )
y f x
=
.
CÁC LOẠI HÌNH KHÁCNHỮNG KIẾN THỨC THIẾT YẾU TRONG
SỬ DỤNG CÔNG CỤ TỌA ĐỘBài toán: TÌM QUỸ TÍCH ĐIỂM M.

Sáng ki
ế
n kinh nghi
ệ
m. N

=


=


Giải hệ phương trình trên ta ñược tọa ñộ ñiểm cố ñịnh.

- Viết phương trình ñường thẳng
( )
∆
(Phụ thuộc tham số thực m).
- Xác ñịnh một ñường tròn (C ) cố ñịnh có tâm I, bán kính R.
- Chứng minh
( , )
d I R
∆ =
. Để chứng minh ñiểm M di ñộng trên một ñường cố ñịnh, thông thường ta ñịnh
hướng giải như sau:
- Viết phương trình hai ñường thẳng di ñộng ñi qua ñiểm M.
- Giải hệ phương trình ta nhận ñược tọa ñộ giao ñiểm M (x, y)

Bài toán: Chứng minh ñường thẳng (d) ñi qua một ñiểm cố ñịnh.


r r
a b
d d a b
a b

với
( )
( )
x g m
y h m
=


=


- Khử giá trị tham số m ta nhận ñược phương trình ñường cố ñịnh là:

( )
y f x
=
-Ta vận dụng biểu thức tọa ñộ của tích vô hướng.

. 0
a b a b
⊥ ⇔ =
r r r r

- Ta vận dụng công thức tính khoảng cách từ 1 ñiểm ñến 1 ñường thẳng.
2 2
( , )
M M
ax by C
d M
a b
+ +
∆ =
+ - Công thức tính ñộ dài ñoạn thẳng.
2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y
= − + −

- Ta vận dụng công thức.Bài toán: Chứng minh hai ñường thẳng vuông góc.


là góc nhọn, trong ñó E là trung ñiểm của cạnh
AB. Trên tia EC lấy ñiểm M sao cho


BME ECA
=
.
Ký hiệu
α
là số ño của góc

BEC
.
Hãy tính tỷ số
CM
AB
theo
α
.
(Đề thi chọn HSG quốc gia năm học 2008 – 2009) Trên tia CE lấy ñiểm I sao cho E là trung ñiểm CI. Khi ñó ta có ACBI là hình
bình hành.




<
nên góc

ECB
xảy ra các trường hợp sau:
Trường hợp 1:

0
90
ECB
<

Mà

0
90
CEB
<

Nên ñiểm J nằm giữa C và E.
Ta lại có E nằm giữa C và I (do E là trung ñiểm CI).
Do ñó: E nằm giữa I và J.

JI JE EI
⇒ = +
(*)

BÀI TẬP MINH HỌA

DẠNG BÀI TÍNH TOÁN

MJ ME EJ
⇒ = −
(1)
Ta chứng minh C nằm giữa M và E.
Thật vậy, giả sử M nằm giữa E và C.
Khi ñó, ta có




EMB ECB CBM ECB
= + >

CIB ECB
⇒ >

CB BI
⇒ >

CB CA
⇒ >



CAB CBA
⇒ >


180
CEA CEB
+ =

Nên

0
90
CEB
>
(ñiều trái với giả thiết ta ñang xét là góc

0
90
ECB
<
)
Như vậy M không thể nằm giữa E và C.
Mà M thuộc tia EC.
Nên C nằm giữa M và E.
Do ñó ME = MC + CE (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MJ = MC + CE – EJ (**)
Từ (*) và (**) và MJ = JI
Suy ra: MC + CE – EJ = JE + EI
⇒
MC – EJ = JE

⇒
CM = 2EJ = 2EB cos
α

ă
m h
ọ
c 2012 - 2013
Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy
17

Mà

0
90
CEB
<
nên ñiểm C nằm giữa J và E (3)
Ta lại có E nằm giữa C và I. Do ñó E nằm giữa I và J.
Suy ra: IJ = IE + EJ = IE + EC+ CJ = 2CE + CJ(***)
Ta chứng minh ñiểm M không thể nằm giữa E và C.
Thật vậy, giả sử M nằm giữa E và C.
Ta có:




0
90
EMB ECB MBC ECB
= + > >

Mà






0
EMB 90
CMB ECA CEB CAE
= = = − <

Mà J là chân ñường cao kẻ từ B xuống ñường thẳng CM. Nên J nằm giữa C và
M. Suy ra: JM = CM – CJ (****)
Từ (***) và (****) kết hợp với J là trung ñiểm IM.
Suy ra: 2CE +CJ = CM – CJ
2 2
CM CE CJ
⇒ = +
2
EJ
=
2 . os = AB cos
EB c
α α
=

cos
CM
AB


Kết luận: Từ 3 trường hợp ñã xét ta ñược
cos
CM
AB
α
= A
α
B
I
M
J
E
C
Sáng ki
ế
n kinh nghi
ệ
m. N
ă
m h
ọ
c 2012 - 2013
Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy

2 2 2 2 2
2 . cos( ) 2 . .cos
AC AE EC AE EC AE EC EC AE
π α α
= + − − = + +

Vì BE = AE
2 2
BE AE
⇒
=2 2
4 . cos
AC BC EC AE
α
⇒
− =

Vì
α
là góc nhọn nên cos
α
> 0
2 2
0
AC BC
⇒
− >

(2) – (1) ta ñược.


sin sin
sin
AE BE AC BC
BCE
β α
−
− =

Vì AC > BC
0
AC BC
⇒ − >sin 0
α
⇒ >0
sin
AC BC
α
−
⇒ >
A
α
β
β
C
B
M E
Cách giải 2: Sử dụng hệ thức lượng

Sáng ki
ế
n kinh nghi
ệ
m. N
ă
m h
ọ
c 2012 - 2013
Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy
19[ ]
sin sin ( ) sin( + )
BE EM EM
β π α β α β
⇒ = =
− +
= ⇔ = =
(2)
Từ (1) và (2)

.sin( ) sin
2sin 2sin
AB AB EAC
CM
α β
β β
+
⇒ = −


sin( ) .sin
2sin
AB AB EAC
α β
β
+ −
=

(
)
(
)
. sin sin
2sin
AB
α β α β

AB
α
=
y
x
B
M
C
A
D
H
α

là góc nhọn nên 3 ñiểm H,
C, M nằm cùng nửa mặt phẳng bờ AB.
Ta có: E (0; 0)
C (c ; 0)
D (- c; 0)
.cos 0
EH a
α
= >
(vì
α
là góc nhọn). Ta có tứ giác ACBD là hình bình hành.
Nên


BDE ECA
=

Mặt khác theo giả thiết:


BME ECA
=

Suy ra:


BDE BME
=


=

Do ñó:
2 .cos
cos
2
CM a
AB a
α
α
= =Kết luận:
cos
CM
AB
α
= - Phân tích cách giải 1:
+ Việc vẽ thêm ñường phụ
BJ CE
⊥
là ñiều dễ nhận ra.
+ Vị trí ñiểm J phụ thuộc vào ñộ lớn của góc

n kinh nghi
ệ
m. N
ă
m h
ọ
c 2012 - 2013
Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy
21

- Phân tích cách giải 2:
+ Dựa theo ñịnh lý cosin, ñịnh lý sin trong tam giác ta ñánh giá ñược

sin sin
BCE
β
<
. Từ ñó, chỉ ra vị trí ñiểm C nằm giữa 2 ñiểm M và E.
+ Lúc này sử dụng hệ thức lượng trong các tam giác:
BEM
∆
và
ECA
∆
ñể tính
tỉ số
CM
CA
.
- Phân tích cách giải 3: - Gọi H và F lần lượt là trung ñiểm các cạnh BC và AC.
- ∆ABC cân tại A nên AH
⊥
BC
DF là ñường trung bình trong ∆ABC nên DF // BC
Do ñó AH
⊥
DF (1)
- Gọi N là giao ñiểm của AH và CD.
D
ẠNG B
ÀI: CH
ỨNG MINH HAI Đ
Ư
ỜNG THẲNG SONG SONG

Cách giải 1: Thuần túy hình học.

Sáng ki
ế
n kinh nghi
ệ
m. N
ă
m h
ọ

= =

Suy ra NE // AD
- I là tâm ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC. D là trung ñiểm dây cung AB nên
DI
⊥
AB
Suy ra DI
⊥
NE (3)
- Từ (1) và (3) suy ra : I là trực tâm ∆DEN
Do ñó EI
⊥
CD ( ñiều phải chứng minh)
Xét tích vô hướng
.
EI CD
uur uuur

Ta có:
. ( )( )
EI CD AI AE CB BD
= − +
uur uuur uur uuur uuur uuur. . . .

. ( )
1
(
2
DB DE AE CB
DC CB DE AD DE CB
DC DE CB DE AD CB DE CB
DC DE AD CB
CD DE AD AB AC
CA
= −
= + − +
= + − −
= −
= − − −
= −
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur
2
2
1
)( ) ( )
2
1 1 1 1
( ) ( ) .
2 3 2 2
1 1 2 1 1


I
B
D
Cách giải 2: Vận dụng công cụ véc tơ.

Sáng ki
ế
n kinh nghi
ệ
m. N
ă
m h
ọ
c 2012 - 2013
Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy
23

2
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1
( 2 ) .
2 3 3 2 2
1 1 1 1 1 1
. . .
6 6 3 3 2 2
1 1 1
0
6 3 2

OC c
=

>

=


Chọn hệ trục tọa ñộ Đề các vuông góc Oxy sao cho C thuộc tia Ox, A thuộc tia
Oy.
Ta có : O (0, 0)
A (0, a)
C (c, 0)

B (-c , 0)
D là trung ñiểm cạnh AB nên D
,
2 2
c a
−
 
 
 

E là trọng tâm ∆ACD nên E
,
6 2
c a
 
 

 
 
−
 
=
 
 
uuur
uuur
uur
uuur

Vì D là trung ñiểm dây AB nên DI
⊥
BA
Suy ra
( )
2 2
. 0
. 0
2 2
0 *
2 2
DI BA
c a
c y a
c a
ay
=
 


Sáng ki
ế
n kinh nghi
ệ
m. N
ă
m h
ọ
c 2012 - 2013
Người thực hiện: Huỳnh Duy Thủy
24
Ta có
3
. .
6 2 2 2
c c a a
EI CD y
− −
   
= + −
   
   
uur uuur2 2
2 2
4 2 4
1

Từ ñó chứng tỏ ñược
DI NE
⊥
.
Lúc này “lộ ra” I là trực tâm
DEN
∆
. Đến ñây ñiểm “gút” của bài toán ñược
“tháo gỡ”.
- Phân tích cách giải 2:
Dựa theo quan hệ giữa các cặp ñoạn thẳng AI và CB; DI và BD.
Ta nhận ñược
. 0
AI CB
=
uur uuur
,
. 0
DI BD
=
uur uuur
.
Từ ñó ta chứng minh ñược
. 0
EI CD
=
uur uuur

- Phân tích cách giải 3:
+ Từ giả thiết AB = AC, việc chọn gốc tọa ñộ trùng với trung ñiểm cạnh BC là