Trang
I. Lý do chọn đề tài
II. Mục đích nghiên cứu
III. Phạm vi nghiên cứu
IV. Cơ sở nghiên cứu
V. Phương pháp nghiên cứu
VI. Thời gian nghiên cứu
VII. Giới hạn của đề tài
2
3
3
3
3
3
3
I. Khảo sát tình hình thực tế
II. Nội dung đề tài
III. Kết quả
IV. Bài học kinh nghiệm
V. Kiến nghị
4
5
19
19
20
21
22
cho học sinh !và lòng đam mê chinh phục đỉnh cao
trong các kỳ thi sắp tới"
Các bài toán tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất có một vị trí quan trọng trong
các kỳ thi và nó có sức hấp dẫn đối với học sinh khá giỏi và cả những người say mê
toán.Đối với đối tượng học sinh lớp 10 các em chưa học đạo hàm nên chỉ dừng lại ở
một số phương pháp cơ bản để giải các bài toán đó.Tuy nhiên thời gian dạy chủ đề
này không nhiều nên tôi chỉ dừng lại ở việc giới thiệu các bài toán tìm giá trị lớn
nhât, giá trị nhỏ nhất bằng bất đẳng thức giúp cho các giờ học tự chọn đạt hiệu quả và
học sinh thích học giờ tự chọn hơn. Chính vì lý do đó tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến
#$%!&'()*+," Xin trao đổi
cùng các đồng nghiệp.
2
I-%./-0!&
Giúp học sinh lớp 10 nâng cao khả năng tư duy toán học, có những suy nghĩ
tích cực trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.Học sinh thích học các
giờ tự chọn hơn, đồng thời qua đó giúp học sinh say mê nghiên cứu toán học, ham
học hỏi. Tạo cho học sinh có niềm tin, mơ ước chinh phục được đỉnh cao của trí tuệ.
12-/-0!&
1. Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh lớp 10A1 của Trường THPT Nguyễn Trung Ngạn trong giờ học tự chọn
môn toán.
2. Phạm vi nghiên cứu:
#$%!&'()*+, bằng các bài
toán Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhât.
-2345$/-0!&
Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức đã học ở Trường
ĐHSP, các tài liệu về phương pháp giảng dạy, các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên,
sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo của bộ môn Toán bậc trung học phổ
thông …
264/7/-0!&
H?IGJKECCL#
- Bất đẳng thức Côsi
n
n
n
aaaa
n
aaaa321
321
≥
++++
Với
0
>
i
a
Dấu bằng xảy ra khi
1 2
n
a a a
= = =
- Các bất đẳng thức khác :
1.
xyyx 2
22
với a ,b > 0
7.
+ ≤ +
r r r r
u v u v
, Với mọi
r r
u,v
4
M/LC@CG@
-$./)0()123.*45.6+
-$./)7.123.6*455"
8"*9(.0()1
$.*: Cho x,y,z là các số dương và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
1 1 1
x y z
x y z
+ +
+ + +
Lời giải: Ta có P =
1 1 1 1 1 1
1 1 1 3
1 1 1 1 1 1x y z x y z
− + − + − = − + +
÷
+ + + + + +
. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =
1
3
.
Vậy Max P =
3
4
khi và chỉ khi x = y = z =
1
3
.
$.6: Cho x, y , z là các số dương thay đổi và thỏa điều kiện : xy
2
z
2
+ x
2
z +y = 3 z
2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
4
4 4 4
1 ( )
z
z x y+ +
Lời giải: Ta xét
( )
4 4
4
1 1
1 1
4 4
y y
y
z z z z
+ + ≥ =
(2)
1+ x
4
+ y
4
+y
4
4 8
4
4 x y≥
= 4xy
2
(3) . Cộng vế với vế các BĐT (1),(2),(3) ta
được 3 +3(
4 4
4
1
x y
z
+ +
)
2
biểu thức P =
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 3 2 3 2 3a b b c c a
+ +
+ + + + + +
5
Lời giải : Do a
2
+b
2
≥
2ab, b
2
+ 1
≥
2b khi đó :
2 2 2 2 2
1 1 1
2 3 1 2 2( 1)a b a b b ab b
= ≤
+ + + + + + + +
Tương tự
2 2
1 1
2 3 2( 1)b c bc c
≤
+ + + +
và
và ac =
1
b
)
Dấu bằng trong BĐT trên xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy Max P =
1
2
khi và chỉ khi a = b = c = 1
$.; ( Đề thi HSG Tỉnh Hưng Yên)
Cho a, b, c là các số dương tùy ý và thỏa điề kiện a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức P =
2 2 2
ab bc ac
c ab a bc b ac
+ +
+ + +
Lời giải: Ta có 2c + ab = c( a+b+c) + ab = c
2
+ c( a+b) + ab = ( c+a)( c+b)
1
ét
( )( )
2 ( )( )
1 1 1 1
( )
2 2
ab ab
X ab
2
bc bc bc
a b a c
a bc
≤ +
÷
+ +
+
(2)
1
2
2
ac ac ac
a b b c
b ac
≤ +
÷
+ +
+
(3) . Cộng vế với vế các BĐT (1),(2),(3) ta được
P
≤
1
2
ab bc ab ac bc ac
c a c a b c b c a b a b
6
Lời giải: Áp dụng BĐT (x+y+z)
1 1 1
x y z
+ + ≥
÷
9 ta có
( )
3 3 3
3 3 3
1 1 1
3 3 3
3 3 3
a b b c c a
a b b c c a
+ + + + + + +
÷
+ + +
≥
9
Khi đó P
3 3 3
9
3 3 3a b b c c a
≥
3
3c a+
≤
3 2
3
c a+ +
Suy ra
3
3a b+
+
3
3b c+
+
3
3c a+
≤
4( ) 6
3
a b c+ + +
= 3
Vậy P
≥
3 . Dầu bằng xảy ra khi a = b =c =
1
4
.
Kết luận : Min P = 3 khi a = b = c =
1
4
.
2
y
= z = 1.
Với a và b là các số dương ta có :
2 2 2
1 1 8
( )a b a b
+ ≥
+
( 1)
Áp dụng BĐT (1) ta được :
2 2
2 2 2
2
2 2
1 1 8 8 8
( 1) ( 3) ( 3)
1 1 1
2 2
64 64.4 64.4
1
(2 2 10) (6 10)
2 3
2
x z z
y y
x
x y z
y
) +(2x
2
+ 2y
2
)
Áp dụng BĐT Cô si ta có 4x
2
+ z
2
≥
4xz , 4y
2
+ z
2
≥
4yz, 2x
2
+ 2y
2
≥
4xy
Khi đó 2P
≥
4( xy + yz + zx) = 20 hay P
≥
10 .
P =10 khi x = y = 1 , z =2
( )
2 2
2 x + y - xy
2 + xy
(vì x+y =1)
=
( )
2
2 x + y -5xy
2 + xy
=
2 -5xy
2 + xy
Đặt
t = xy
. Khi đó
( )
2
1
0
4 4
x y
xy
+
≤ ≤ =
hay
1
0
4
t≤ ≤
1
0
4
t≤ ≤
Vậy MaxP = 1 khi x= 1, y =0 hoặc x= 0 ,y= 1
MinP =
1
3
khi x = y=
1
2
$.@ Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện:
2 2
2 2 1x y xy+ − =
. Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
4 4 2 2
7( ) 4x y x y+ +
Lời giải: Ta có:
2 2 2
1
1 2 2 2( ) 5 5
5
x y xy x y xy xy xy= + − = + − ≥ − ⇒ ≥ −
2 2 2
1 1 1
1 2 2 2( ) 3 3
trên đoạn
1 1
[- ; ]
5 3
Sử dụng bảng biến thiên của hàm số bâc hai học sinh tìm được:
70 7 18 1
ax ,
33 33 25 5
M P xy MinP xy
= ⇔ = = ⇔ = −
$.*+ Cho x, y, z
0≥
và
2 2 2
3x y z+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =
3 3 3
2 2 2
1 1 1
x y z
y z x
+ +
+ + +
8
Lời giải: Ta có: P + 3 =
3 3 3
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
3 3 2
2 2
1
( )
4 2
2 1 2 1
z z x
x x
+
+ + +
+ +
6 6 6
3 3 3
6
3 3 3
4 2 16 2 16 2 16 2
x y z
P + ≥ + +
hay
2 2 2
6
3
3 3 9
( )
2 2 2 8
2 2 2
P x y z+ ≥ + + =
Suy ra
6 3
x y x y
y x y x y xy
− − − −
≥ − + − = + ≥
Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được
1
( 1)( 1)( 1)
8
x y z
− − − ≤
. Suy ra A
1
8
≤
Vậy MaxA =
1 3
8 2
x y z
⇔ = = =
$.*6 Với mọi số thực dương
; ;x y z
thỏa điều kiện
1x y z
+ + ≤
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
1 1 1
2P x y z
x y z
19P ≥
.
1
19
3
P x y z= ⇔ = = =
. Vậy MinP =
19
⇔
x = y = z =
1
3
9
$.*: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn
1 1 1
4
x y z
+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
1 1 1
2 2 2
= + +
+ + + + + +
P
x y z x y z x y z
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức:
1 1 1 1
2 8 16
≤ + +
÷
+ +
x y z y x z
(2)
1 1 1 1 1
2 8 16
≤ + +
÷
+ +
x y z z x y
(3)
Cộng vế với vế của (1),(2),(3) và áp dụng giả thiết ta được P
≤
1
Mà P =1 Khi x = y = z =
3
4
. Vậy Max P = 1
⇔
x = y = z =
3
4
.
a b b c c a
+ = + + + + + + +
+ + +
≥ + + + = ⇒ ≥
+ + +
Và
2 2 2
2 2
1
1 ( ) ( )( ) 1 .2
2
a b c
a b c a b b c c a B B
a b b c c a
= + + ≤ + + + + + + + ⇔ ≤ ⇔ ≥
+ + +
Từ đó P
3 1
2
2 2
≥ + =
. Để P = 2 thì a = b = c =
1
3
.
Vậy Min P = 2
⇔
2 . 2 .
4 2 2 4 2 4 2 2
y x x y y
P x x
y x y x y x
−
= + + + − = + + + − ≥ + − =
P
=
3
2
khi
1; 4x y= =
Vậy Min P =
3
2
$.*= Cho x, y, z > 0 thỏa điều kiện xyz = 1.
Tìm GTNN của
3 3 3 3
3 3
1 1
1
x y y z
z x
S
xy yz zx
+ + + +
+ +
= + +
.
1 1
1
x y y z
z x
S
xy yz zx
+ + + +
+ +
= + +
3 3 3
xy yz zx
≥ + +
3 3 3
3 . . 3 3
xy yz zx
≥ =
. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1.
Vậy MinS =
3 3
khi x = y = z = 1.
$.*> Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 3. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
1 1 1
1 1 1
Vậy Min P =
3
2
⇔
x = y = z= 1
$.*? Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
x (y z) y (z x) z (x y)
P
yz zx xz
+ + +
= + +
Lời giải: Ta có :
2 2 2 2 2 2
x x y y z z
P
y z z x x y
= + + + + +
(*)
Nhận thấy : x
2
+ y
2
– xy ≥ xy ∀x, y ∈
¡
11
Do đó : x
3
222
. Hãy
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
xyz
z
zxy
y
yzx
x
P
+
+
+
+
+
=
222
.
Lời giải: Vì
0;; >zyx
, Áp dụng BĐT Côsi ta có:
xyz
z
zxy
y
yzx
x
P
222
222
++
=
+++++≤
xyz
zyx
xyz
xyzxyz
yxxzzy
222
2
1
2
1111111
4
1
2
+ − +
=
− −
Lời giải: Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y)
2
ta có
2
4
t
xy
≤
3 2
(3 2)
1
t t xy t
P
xy t
− − −
=
− +
. Do 3t - 2 > 0 và
2
4
t
xy
− ≥ −
nên ta có
2
3 2
2
(2; )
min ( )f t
+∞
= f(4) = 8 đạt được khi
4 2
4 2
x y x
xy y
+ = =
⇔
= =
8"6A.BC.
$.6* Cho
0, 0, 1x y x y
> > + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1
x y
T
x y
= +
− −
12
Lời giải: P =
1 1 1 1 1 1
( 1 1 )
. Dấu “ = “
⇔
1 – x = 1 – y
⇔
x = y =
1
2
Vậy Min P =
2
khi x = y =
1
2
$.66 Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x
2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) + 25xy.
Lời giải: S = (4x
2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) + 25xy = 16x
2
y
2
+ 12(x
3
+ y
3
, đạt giá trị nhỏ nhất tại t =
1
16
Max S =
25
2
khi x = y =
1
2
Min S =
191
16
khi
2 3
x
4
2 3
y
4
+
=
−
=
÷
Lời giải: Với x, y > 0 ta chứng minh :
4(x
3
+ y
3
) ≥ (x + y)
3
(∗) Dấu = xảy ra ⇔ x = y
Thật vậy (∗) ⇔ 4(x + y)(x
2
– xy + y
2
) ≥ (x + y)
3
⇔ 4(x
2
– xy + y
2
) ≥ (x + y)
2
do x, y > 0
⇔ 3(x
2
+ y
2
– 2xy) ≥ 0 ⇔ (x – y)
2
≥ 0 (đúng)
y
y
x
2 ≥
++
Dấu = xảy ra ⇔ x = y = z
Suy ra
12
xyz
1
xyz6P
3
3
≥
4x 4 x
y y
+ +
+ = + + +
⇒ A
2
x 1 1 y y x y
2
4 x 8 8 2
y
+
= + + + + +
÷
3 9
1 2 .
2 2
≥ + + =
Với x = y = 2 thì A =
9
2
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
9
2
$.6< Cho
2 2
0
( )
(1)
2
2
1 1 1 1 3
0
2 4
y
x y x y
⇔ + = − + >
÷
. Ta đặt a = 1/x, b = 1/y
2 2
0a b
a b a b ab
+ >
⇒
+ = + −
Mà
( )
( )
( )
2
3 3 2 2
3 3
A A
A
≥ ⇔ ≤
÷
÷
“ = “ xảy ra
⇔
a = b = 2.
Vậy Max A = 16 khi 1/x = 1/y = 2.
A61
Ta có: A= a
3
+ b
3
= (a+b)(a
2
–ab + b
2
) = (a + b)
2
.
Từ (1) suy ra : a + b = (a + b)
2
-3ab
Mà:
( )
( ) ( )
2
S P
S S SP
P hayP
S
SP S P
≠
−
⇒ = =
+
= −
. Ta có
3 3 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2
1 1 ( )( ) ( ) ( )x y x y x y xy x y xy x y S
A
x y x y x y x y x y P
+ + + − + +
= + = = = = =
Khi đó
2 2
2 2
2
1
1
4 0 4 0 1 4 0 4 16
3 3 4
P
2 3 2 2 2 3
y x y z
x z
M
x y z x y z
x y z
x y z
− − − −
− −
= + + = + +
+ − + − + −
≤ + + = + +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2 , y = 4 , z = 6.
Vậy Max M =
1 1 1
(1 )
2
2 3
+ +
.
$.6> Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
( )
1 1 1
x y z
x y z
+ + + +
÷
với x , y , z là các
1 1 1 1 1 1
3 6 12
2
Q
x y z x y z
x y z x y z
+ + + + ≤ ≤ ⇒ + + + + ≤
÷ ÷
$.6? Cho
3.x y xy
+ − =
Tìm GTLN của S =
1 1x y
+ + +
.
Lời giải: Ta có:
3.x y xy
+ − =
3x y xy
⇔ + = +
.
, 0x y
⇒ ≥
2
x y
xy
+
$.6@ Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz=1.
Tìm GTNN của biểu thức :P =
( )
2
x y z
y y 2z z
+
+
+
( )
2
y z x
z z 2x x
+
+
+
( )
2
z x y
x yx 2y y
+
+
.
Lời giải: Ta có
( )
2
x y z 2x x+ ≥
;
( )
2
=
;
4a b 2c
y y
9
+ −
=
;
4b c 2a
z z
9
+ −
=
Vậy P
2
9
≥
4 2 4 2 4 2c a b a b c b c a
b c a
+ − + − + −
+ +
÷
=
( )
2 c b a a b c 2
4 6 4.3 3 6 2
9 b a c b c a 9
1 2
9y 3
, z +
≥
1 2
9z 3
Từ đó: A=
+ + + + + + + +
÷ ÷
÷ ÷
1 1 1 8 1 1 1
x y z
9x 9y 9z 9 x y z
≥ 2 +
3
8 3
9
xyz
≥ 10
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z =
1
3
.Vậy MinA = 10 đạt được khi x = y = z =
1
3
$.:* Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z ≤ 1.
a b c a b c a b c
Vậy P =
+ + + + +
2 2 2
2 2 2
1 1 1
x y z
x y z
≥
+ + + + +
÷
2
2
1 1 1
(x y z)
x y z
Khi đó: (x + y + z)
2
+
+ +
÷
2
1 1 1
x y z
= 81(x + y + z)
2
1
3
.
$.:6 Cho x,y,z là các số thực dương và thỏa mãn: z(z – x – y) = x + y + 1. Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức
4 4
3
( )( )( )
x y
T
x yz y xz z xy
=
+ + +
.
Lời giải: Từ giả thiết z(z – x – y) = x + y + 1 suy ra ( z+1)( x+y) = z
2
– 1 và do z > 0
nên ta có x + y + 1 = z . Khi đó biểu thức đã cho có thể viết dạng
[ ] [ ]
4 4 4 4
3 4
2
( )(1 )( )(1 ) ( 1)( 1) ( ) ( 1)( 1)
x y x y
T
x y y x y x x y x y x y
= =
+ + + + + + + + +
Áp dụng BĐT Cô si cho các số dương x , y ta có :
y y y y y
y
+ = + + + ≥ =
÷
÷
÷
, và x + y
≥
4xy
Do đó
[ ]
8 3 3 9
4
2 4 4
6 6
(4 )4 ( ) 4
( ) ( 1)( 1) ( )
3 3
xy x y
x y x y x y+ + + ≥ =
, suy ra T
6
9
3
4
≤
( )
2
2 2 2 2
a b c d ac bd
+ + ≥ +
Ta có :
( )
2
2
7 7
9 7 1 3
x x
+ + ≥ +
÷ ÷
⇒
11 1 7
A x 3
2x 2 x
≥ + + +
÷
9 3 3 15
x 6
x 2 2 2
= + + ≥ + =
÷
= ab + bc +ca +c
2
= (c+a)(c+b)
Khi đó P =
2
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b c
a b a c b a b c c a c b
+ +
+ + + + + +
=
2 2 4
4( )( ) 4( )( ) 4( )( )
a b c
a b a c b a b c c a c b
+ +
+ + + + + +
P
1 1 1 1 1 1
4( ) 4( )
a b c
a b a c a b b c a c b c
≤ + + + + +
÷
÷ ÷
+ + + + + +
⇔
=
=
+ + =
Vậy giá trị lớn nhất của P là
9
4
.
18
N:
OD5%()*+E*#( sĩ số 46 học sinh )
28/ 46 HS đạt điểm trên 5
18/ 46 HS đạt điểm dưới 5
OFGH)I#01 em đạt giải ba trong kỳ thi giải toán trên mạngIternet
2-3MPC
Qua việc thực hiện chuyên đề #$%!
&'()*+, và thực tế giảng dạy.Bản thân tôi đã rút ra được một số bài
học kinh nghiệm như sau:
*"JC'I4K
Đây là một công tác quan trọng trong việc nâng cao chất lượng giảng dạy bộ
môn và bồi dưỡng năng lực, tư duy cho học sinh đặc biệt là học sinh khá giỏi. Trong
năm học vừa qua, chúng tôi luôn nhận được sự chỉ đạo sát sao, sự quan tâm thường
xuyên từ phía Ban giám hiệu Nhà trường và của các cấp lãnh đạo. Kết quả thi Đại
học và thi học sinh giỏi cấp tỉnh ngày một nâng lên, nhà trường đã và đang gặt hái
giải toán thường xuyên, cặp nhật thường xuyên những thuật toán, những thủ thuật
giải toán hiệu quả. Kiến thức của thầy phải vững vàng, thầy thực sự phải là người
đam mê toán học.
Hai là, cần phải lên được kế hoạch giảng dạy một cách chi tiết, chu‰n mực. Cặp
nhật thường xuyên những kiến thức mới mà các em vừa học để bồi dưỡng ngay, đặc
biệt là phải kích thích được các em say sưa học tập, tự giác học tập, phát huy được
những tố chất tốt nhất của các em để công việc học tập của các em đạt được hiệu quả
cao
23Q: Bộ giáo dục và Sở giáo dục cần có hướng dẫn cụ thể, và có những tài
liệu tham khảo chung định hướng để giáo viên thực hiện các giờ dạy tự chọn đạt
hiệu quả cao hơn.
20
!M9#KŠT LUŒN
Trên đây là nội dung đề tài” $%!
&'()*+,, ban đầu học sinh có cảm giác ngại tiếp cận và gặp khó khăn khi
giải các dạng bài toán trên. Tuy nhiên khi giáo viên hướng dẫn thì học sinh say sưa
làm bài tập. Nhiều em đã có động lực và quyết tâm chinh phục đỉnh cao, cố gắng
phấn đấu dành điểm tuyệt đối trong ký thi Đại học. Bài viết trên đây nhằm mục đích
kích thích tính tò mò của học sinh và tạo động lực để các em phấn đấu dành điểm cao
trong các kỳ thi Đại học và thi học sinh giỏi cấp tỉnh, do thời gian nghiên cứu chưa
nhiều nên đề tài của tôi không thể không còn những sơ xuất. Chính vì vậy, tôi rất
mong có sự đóng góp, bổ sung của các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn.
Ngưi thc hin
VM2NFOP
21
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
- Sách giáo khoa đại số lơp 10
- Sách tham khảo của thư viện
- Mạng Internet
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
23
24
25
Copyright: Tài liệu đại học ©