HWRU/CE Project - TU Delft

28

CHƯƠNG 4 - CỞ SỞ TOÁN HỌC CỦA PHƯƠNG PHÁP NGẪU NHIÊN

4.1 Tính toán cấp ñộ III
4.1.1 Giải pháp cơ bản
Trong nhiều trường hợp, phân tích ngẫu nhiên của một cơ chế phá hỏng chỉ giới hạn bằng
việc so sánh 2 ñại lượng: sức bền hay ñộ bền R và tải trọng hay là tác ñộng S. Như ñã giới
thiệu trong chương 3, hàm tin cậy có dạng Z=R-S (xem minh hoạ 4.1) Hình 4.1 ðịnh nghĩa biên sự cố.
Nền tảng của phương pháp tính toán xác suất xảy ra sự cố cấp ñộ III là mô phỏng toán học các
khoảng tập hợp con xác suất liên quan ñến sự cố.
Nếu hàm mật ñộ xác suất kết hợp f
R,S
(R, S) của ñộ bền R với tải trọng S ñã biết thì xác suất
xảy ra sự cố có thể ñược tính theo phương pháp tích phân:

P{z<0}=
f R,S
Z < 0
P = f ( , )d d

R S R S
∫ ∫
(4.1)
Với Z<0 khi R<S, biểu thức sau ñược áp dụng:

P P S R 1 F f d
R R R
-
= = -
∞
∞
>
∫

(4.4)
Tích phân này gọi là tích phân chập
Z < 0 sự cố
Z > 0 an toàn

Z = 0
biên s
ự
c
ốHWRU/CE Project - TU Delft

29Hình 4.2 Miền tính toán tích phân của hàm f
R,S
(R.S).


… …
…

(4.6)
Nếu các biến X
1
, X
2
, , X
n
ñộc lập thì biểu thức có dạng:

1 2 n
f X 1 X 2 X n 1 2 n
Z<0
P = f ( )f ( ) f ( ) d d d
X X X X X X
∫ ∫ ∫
… …
…

(4.7)
Phép toán tích phân này về nguyên tắc có thể ñược xác ñịnh bằng phương pháp giải tích,
nhưng rất hạn chế. Vì vậy giải pháp thông thường là tính toán sử dụng các phương pháp số.
Có hai phương pháp thường ñược sử dụng là tích phân số và phương pháp Monte Carlo.
4.1.2 Xác ñịnh ñiểm thiết kế theo phương pháp cấp ñộ III
ðiểm thiết kế ñược xác ñịnh là ñiểm nằm trong không gian sự cố với mật ñộ xác suất kết hợp
lớn nhất. ðiểm này có thể ñược tìm ra bằng phương pháp tích phân số học và mô phỏng thông
Formatted: Font: Times New Roman,
12 pt, Italic

Z a X a X a X b
a a a b
a a Cov X X
= =
= + + + +
= + + + +
µ µ µ µ
σ =
∑∑
…
…

,

(4.8)
Nếu các biến ngẫu nhiên cơ bản X
1
, X
2
, , X
n
tuân theo luật phân bố chuẩn (Normal
Distribution) thì Z cũng là hàm phân bố chuẩn. Xác suất Z < 0 ñược xác ñịnh thông qua hàm
phân bố chuẩn tiêu chuẩn
1
(Standard Normal Distribution):

Z Z
Z Z
0

1.7 0.45 × 10 -1 3.7 0.11 5.7 0.60 × 10 -8
1.8 0.36 × 10 -1 3.8 0.72 × 10 -4 5.8 0.33
1.9
0.29 × 10 -1
3.9 0.48 5.9 0.18
Như vậy, nếu hàm tin cậy tuyến tính với các biến ngẫu nhiên cơ bản phân bố chuẩn thì việc
tính toán xác suất xảy ra sự cố là ñơn giản.

1

Phân bố chuẩn tiêu chuẩn (standard normal distribution) là phân bố chuẩn (normal distribution) với
0
=
X
µ

và
1
=
X
σ
.HWRU/CE Project - TU Delft

31

Thương số giữa giá trị trung bình
µ

−
=
ñể minh họa cho phép biến ñổi này. Các biến R và S ñược
chuyển ñổi thành các biến chuẩn tiêu chuẩn U
1
và U
2
. Hàm tin cậy lúc này trở thành:

R 1
S
R S
2
R 1
S
R S
2
Z U
U
U
U
= + σ − + =
σ
µ µ
= σ − + −
σ
µ µ
( ) ( )

(4.12)

Z
2 2
Z
R S
OA
µ µ
µ
= =
σ
σ + σ
-

(4.15)
Khoảng cách này chính là giá trị của chỉ số ñộ tin cậy. Theo Hasofer và Lind, khi hàm tin cậy
tuyến tính thì chỉ số ñộ tin cậy là khoảng cách từ gốc tọa ñộ tới miền sự cố. Biến cơ bản ban ñầu Biến cơ bản chuẩn hóa
Hình 4.4 Miền sự cố là một hàm của các biến cơ bản.

ðiểm A (hình 4.4) là ñiểm nằm trên biên sự cố với mật ñộ xác suất kết hợp lớn nhất của U
1
và
U
2
. Do ñó ñiểm A thỏa mãn ñịnh nghĩa về ñiểm thiết kế (xem 3.2). Toạ ñộ của ñiểm A là:
A
Formatted: Centered

HWRU/CE Project - TU Delft

=
σ
S
/
σ
Z
.
Trong mặt phẳng RS, ñiểm thiết kế ñược xác ñịnh:
*
1 R
R
*
2 S
S
=
R
S
+ α βσ
µ
= + α βσ
µ
(4.17)
Nếu hàm tin cậy ñược biểu diễn theo công thức (4.8) thì biểu thức sau dùng xác ñịnh hệ số
ảnh hưởng của biến ngẫu nhiên X
i
tới hàm tin cậy Z:


c
= 20
σ
c
= 10
Khi ñó giá trị trung bình của Z là:

Z
4 20 2 10 20 3 83
= ⋅ + ⋅ − + =
µ

ðộ lệch chuẩn là:
σ ⋅ + ⋅ +
2 2
2
Z
= (4 5 (2 1 = 22.45
) )
10

Chỉ số ñộ tin cậy là:

µ
β
σ
Z
Z
= = 3.697


.
.HWRU/CE Project - TU Delft

33

Giá trị các biến cơ sở tại ñiểm thiết kế là:

*
*
*
a = 20 0.891 3.697 5 3.53
b 10 0.089 3.697 1 9.67
c 20 0.445 3.697 10 36.45
− ⋅ ⋅ =
= − ⋅ ⋅ =
= + ⋅ ⋅ =

Trong trường hợp trên, với hàm tin cậy tuyến tính và các biến ngẫu nhiên ñộc lập tuân theo
phân bố chuẩn, bằng cách sử dụng các giá trị kỳ vọng và ñộ lệch chuẩn của các biến cơ bản ta
dễ dàng xác ñịnh xác suất xảy ra sự cố. Tuy nhiên trong thực tế các ñiều kiện này rất ít xảy ra.
Trong nhiều trường hợp, phải ñơn giản hóa bằng cách tuyến tính hóa hàm tin cậy và chuyển
ñổi các biến.
4.2.2 Các hàm tin cậy phi tuyến
Nếu hàm tin cậy là hàm phi tuyến của một số biến cơ bản ñộc lập có phân bố chuẩn thì hàm
này sẽ không phân bố chuẩn. Hàm tin cậy có thể ñược xác ñịnh gần ñúng thông qua khai triển
Taylor, sử dụng hai số hạng ñầu tiên của ña thức này. Biểu thức gần ñúng khi ñó có dạng:


X
i=1
i
g
g(X )+ (X )( - X )
X
∂
≈
µ µ
∂
∑
 

(4.20)

i
2
n
0
Z X
i=1
i
g
(X )
X
 
∂
σ ≈ σ
 
∂

X
∂
µ
∂µ
β ≈
σ
 
∂
σ
 
∂
 
∑
∑
 


(4.22)
Nếu hàm tin cậy ñược tuyến tính hóa tại ñiểm
(
)
0
1 2 n
x , x x
X , ,= µ µ µ

…
, công thức (4.22) có thể
ñược rút gọn:


của hàm tin cậy. ðiều này liên quan ñến bước phân tích ñộ nhạy có trọng số. Thông qua phép
toán vi phân riêng, ta xác ñịnh ñược ñộ nhạy của nghiệm Z=0 do một sự thay ñổi nhỏ giá trị
của một biến cơ bản. Tiếp ñó, trọng số là tích số giữa ñộ nhạy với ñộ lệch chuẩn của biến.
Formatted: Font color: Red
Formatted: Font color: Red
Formatted: Font color: Red

HWRU/CE Project - TU Delft

34

Qua biểu thức (4.22) ta thấy rằng việc tính toán giá trị xấp xỉ của
β
thông qua tuyến tính hóa
hàm tin cậy phụ thuộc vào việc lựa chọn ñiểm tuyến tính hóa của hàm.
Giả sử hàm tin cậy có 2 biến cơ bản X
1
và X
2
. Hàm tin cậy phi tuyến có dạng
2
2
1
2 XXZ
−=
.
Các biến X
1
và X
2

Hình 4.6 Tuyến tính hóa hàm tin cậy.
Theo phương pháp H
ASOFER
and L
IND
[4.5], (xem mục 4.2.1) chỉ số ñộ tin cậy không phụ
thuộc hàm tin cậy có phải là hàm tuyến tính hay không. Khoảng cách từ biên sự cố (Z=0) ñến
gốc của hệ toạ ñộ chuyển ñổi là:

(
)
2 2
1 2
Z 0
= min
U U
=
β +

(4.25)
ðiểm thiết kế chính là ñiểm A nằm trên biên sự cố với khoảng cách ñến gốc tọa ñộ là ngắn
nhất. Hình 4.7 cho thấy, khi tuyến tính hóa hàm tin cậy
Z
tại ñúng ñiểm thiết kế thì giá trị gần
ñúng của
β
chính là khoảng cách từ trục tọa ñộ tới biến sự cố. Thực tế có nhiều phương pháp
ñể tìm ñiểm thiết kế thông qua quá trình lặp. Thực chất ñây là một vấn ñề tối ưu hoá ñể tìm ra
khoảng cách OA ngắn nhất. ðể xác ñịnh ñiểm thiết kế, người ta thường dùng các phương
pháp giải tích và phương pháp số. 2 phương pháp ñược giới thiệu sau ñây về cơ bản là như


35Hình 4.7 Tuyến tính hóa hàm tin cậy tại ñiểm thiết kế.
ðiểm thiết kế và giá trị
β
tìm ñược dựa vào quá trình lặp ñể giải các biểu thức:

i
i
2
n
j 1
j
1 1 1
f
U
i 1 2 n
f
U
f 0
=
∂
αβ
∂
α − =
 
∂
αβ

phân phối xác suất thông thường là lớn nhất. Xem hình minh hoạ 4.7.

Hình 4.7 ðịnh nghĩa ðiểm thiết kế (DP) - là ñiểm nằm trên biên sự cố mà tại ñó mật ñộ xác
suất là cực ñại.
Có thể tìm hiểu rõ hơn về phương pháp tính này qua ví dụ sau:
Ví dụ 4.2
Cho hàm tin cậy: Z = g(a, b, c) = ab – c
AHWRU/CE Project - TU Delft

36

Các biến cơ bản a, b và c là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn ñộc lập. Các giá trị
ñược cho:

µ
a
= 8
σ
a
= 2

µ
b
= 3
σ
b
= 1

2 2
2
1 1 2 2 3
2 1
1
2 3
2 2 2 2
2 2
2 1 2 1
6 + 2
20
= =
6 + 2 + 8 2
(6 + 2 + (8 + 2 +
) )
2

8 + 2 2
= =
(6 + 2 + (8 + 2 + (6 + 2 + (8 + 2 +
) ) ) )
2 2
α β
−
β α −
α α α β α − α
α β α β
α β
α − α
α β α β α β α β

σ
∂ ∂ ∂
     
⋅ + ⋅ + ⋅
µ µ µ µ µ µ µ µ µ
σ σ σ
     
∂ ∂ ∂
     
⋅ −
= =
⋅ + ⋅ + ⋅

( , , )
( , , ) ( , , ) ( , , )
.
( ( (
) ) )

Các giá trị ban ñầu của α
1
,
α
2
và
α
3
ñược chọn là hoàn toàn giống nhau nhưng có thể khác dấu.
Các giá trị mới của
β

3 c
c
8 0 20 2 39 2 7 04
a
3 0 94 2 39 1 0 75
b
4 0 27 2 39 2 5 29
c
= + α βσ = − ⋅ ⋅ =
µ
= + α β σ = − ⋅ ⋅ =
µ
= + α β σ = + ⋅ ⋅ =
µ
*
*
*
. . .
. . .
. . .

Và xác suất xảy ra sự cố:

f
P 2 39 0 0084
= Φ −β = Φ − =
( ) ( . ) .

Bảng 4.2


hàm tin cậy ñược tuyến tính hóa
tại một ñiểm. Sau ñó giá trị này dùng ñể xác ñịnh ñiểm mới mà tại ñó hàm tin cậy là tuyến
tính.
Trong trường hợp này, giá trị
α
i
ñược tính theo công thức:

i i
j
X X
i i
i
2
n
Z
X
j 1
j
g g
X X
g
X
=
∂ ∂
σ σ
∂ ∂
α = − = −
σ
 


(4.29)
Phương pháp này ñược minh họa bằng ví dụ 4.3 sau ñây:
Ví dụ 4.3
ðể tiện việc minh họa sự khác nhau giữa hai phương pháp, vấn ñề tương tự như như ví dụ 4.2
ñược xem xét.
Hàm tin cậy là: Z = g(a, b, c) = a b - c.
Các biến a, b, c là các biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn, ñộc lập:

µ
a
= 8
σ
a
= 2

µ
b
= 3
σ
b
= 1

µ
c
= 4
σ
c
= 2
Xác ñịnh ñiểm thiết kế và chỉ số tin cậy tương ứng.

222
cbaZ
ab
σσσσ
++=

(
)
(
)
(
)
(
)
********
438
cbaabcba
Z
−−−+−+−=
µHWRU/CE Project - TU Delft

38

Z
c
Z
b

ñổi như ñối với phương pháp thứ nhất. Do ñó phương pháp thứ hai ñược áp dụng dễ dàng hơn
trong các chương trình máy tính.
Bảng 4.3
Các bước lặp

Giá trị ban ñầu
1 2 3 4 5 6
σ
z
10.20 6.70 6.46 7.12 7.35 7.43
µ
z
20.00 16.45 15.54 17.02 17.56 17.75
β 1.96 2.45 2.41 2.39 2.39 2.39
α
1
-0.59 -0.44 -0.28 -0.23 -0.21 -0.20
α
2
-0.78 -0.85 -0.91 -0.93 -0.94 -0.94
α
3
0.20 0.30 0.31 0.28 0.27 0.27
a
*
8 5.69 5.86 6.63 6.90 7.00 7.03
b
*
3 1.46 0.92 0.82 0.77 0.76 0.75
c

( )
1
X
1
X

U
F X
F
UX
*
- *
**−
=
Φ
= Φ

(4.31)
trong ñó

1
−
Φ

là hàm ngược của phân bố chuẩn tiêu chuẩn;

1

f X
'
*
*
'
'
*
*
' ' 
−
µ
= Φ
 
σ
 
 
−
µ
= ϕ
 
σ σ
 

(4.32)
trong ñó

ϕ

* *

−
−
ϕ
Φ
σ =
= − σ
µ
Φ

(4.33)
Từ hệ phương trình (4.33) cho thấy, ñộ lệch chuẩn và trung bình giá trị xấp xỉ của hàm phân
bố chuẩn phụ thuộc vào giá trị của X tại ñiểm thiết kế. Do ñó, trong quá trình tính toán lặp
ñiểm thiết kế và chỉ số ñộ tin cậy cần phải tính luôn giá trị mới của
'
x
σ
và
'
x
µ
tại mỗi bước.
Ví dụ 4.4
Trở lại vấn ñề tương tự như trong ví dụ 4.2. Tuy nhiên trong ví dụ này, biến cơ sở c là biến
phân bố ñều trong khoảng (-20, 28). Giá trị trung bình và ñộ lệch chuẩn cũng như trong ví dụ
4.2. Khi ñó hàm mật ñộ xác suất và hàm phân bố xác suất của c là:

( )
( )

i
*β

tại ñiểm thiết kế ta có:

2
1 1 2 2 c 3
c
6 2 8 24 0
'
'

α β + α α + α β + − − σ α β =
β µ

Tiếp ñến, các phương trình trong vòng lặp ñược mô tả như trong ví dụ 4.2
Hệ phương trình cần giải của bài toán này là:

HWRU/CE Project - TU Delft

40'
c
'
1 1 2 2 c 3
1
2
2

=
(6 + 2 + (8 + 2 +
) )
6 + 2
=
(6 + 2 + (8 + 2 +
) )
=
(6 + 2 + (8 + 2 +
) )

c = F ( ( )) = 48 ( ) 20

( )
= =
f (c )
−
− µ
β
α α α β α − σ α
α β
α −
α β α β
σ
α β
α −
α β α β
σ
σ
α


-0.58 -0.47 -0.47 -0.46
α
3

0.58 0.83 0.82 0.83
c
*
21.87 19.00 18.50 18.60
σ

10.04 12.92 13.36 13.27
µ

10.46 7.54 7.16 7.23 HWRU/CE Project - TU Delft

41Hình 4.8 Xấp xỉ phân bố xác suất thực với phân bố chuẩn.
4.2.4 Các biến ngẫu nhiên cơ sở phụ thuộc
Nếu các biến ngẫu nhiên cơ sở là phụ thuộc thì chúng phải ñược biến ñổi sang dạng biến ñộc
lập. Nếu tồn tại một hàm liên hệ thể hiện sự phụ thuộc giữa các biến thì có thể rút gọn các
biến trong hàm tin cậy. Trong nhiều trường hợp không xác ñịnh ñược chính xác mối liên hệ
giữa các biến, khi ñó cần thiết phải biểu diễn bằng các mối tương quan thống kê. Trong những
trường hợp như vậy, các biến cơ sở có thể biến ñổi ñược. Phương pháp biến ñổi tổng quát
ñược sử dụng rộng rãi là Rosenblatt-Tranformation.


42

γ
R
và
γ
S
là các hệ số an toàn thành phần. Các giá trị ñặc trưng của thông số ñộ bền và tải trọng
ñược tính toán theo:

rep R R
R
rep S S
S
k
k
R
S
= + σ
µ
= + σ
µ

(4.42)
Trong ñó k
R
có thể mang giá trị âm và k
S
có thể có giá trị dương hoặc âm.


R S
* *
>

(4.44)
Thế hai phương trình (4.43) và (4.41) ta ñược hệ phương trình của các hệ số an toàn thành
phần:

rep
R R
R
R R
S S
S
rep S S
R
1 k V
1 V
R
1 V
S
S 1 k V
*
*
+
γ = =
+ α β
+ α β
= =

σ σ
α = − = −
σ
σ + σ

(4.46)
Áp dụng tương tự cho hệ số an toàn thành phần của tải trọng. Chi tiết ñựợc minh họa bằng các
ví dụ sau:
Ví dụ 4.5
Giả sử cả ñộ bền và tải trọng ñều tuân theo luật phân phối chuẩn với:

10: =
S
S
µ
và 5.0=
S
V do ñó 5=
S
αHWRU/CE Project - TU Delft

432.0: =
R
VR

2 2
R R
0.04
25
= - 3.6 and = 10 + 3.6
S
R
0.04 + 25 0.04 + 25
µ
µ
µ µ

Từ biểu thức R
*
- S
*
= 0 ta có

06.3*2504.010
2
=+−−
RR
µµ

Giải phương trình này ta ñược:
µ
R
= 51.
Tại ñiểm thiết kế giá trị của ñộ bền là R
*

Ví dụ 4.6
Giả sử trong ví dụ 4.2, chỉ số tin cậy mong muốn là
β
= 2.39; và giả sử rằng giá trị ñặc trưng
của các biến bằng chính giá trị kỳ vọng. Khi ñó hệ số an toàn thành phần ñược xác ñịnh:

a
a
*
b
b
*
*
c
c
8
= = = 1.14
7.04
a

3
= = = 4.00
0.75
b

5.29
c
= = = 1.32
4
µ

α
là phương pháp cấp ñộ II. Tuy nhiên vẫn có thể dùng phương pháp cấp ñộ
III ñể giải quyết vấn ñề này (xem phụ lục G).
Theo phương pháp thiết kế cấp ñộ I trong tiêu chuẩn châu Âu, giá trị
α

ñược chuẩn hóa và
ñược coi là ñộc lập cho từng trường hợp cụ thể bất kỳ. Trong một số trường hợp, bằng cách
tính toán xác suất xảy ra sự cố có thể xác ñịnh ñược giá trị
α
chuẩn hóa. Sau ñó, xác ñịnh giá
trị trung bình trọng số của
α

vừa tính, cần ñảm bảo rằng sai số của kết quả xác ñịnh xác suất
xảy ra sự cố là nhỏ nhất. Giá trị
α
sử dụng trong công trình xây dựng ñược trình bày trong
bảng 4.5.
Bảng 4.5 Giá trị
α
chuẩn hóa ñối với công trình xây dựng.
Thông số biến
α

Thông số ñộ bền chính
Thông số ñộ bền còn lại
Thông số tải trọng chính
Thông số tải trọng còn lại
0.80

HWRU/CE Project - TU Delft

45Hình 4.9 Các ñiểm kiểm nghiệm trong trường hợp tổ hợp hai thông số.
4.3.4 Tổ hợp tải trọng trong tính toán ñộ bền theo cấp ñộ I
Như ñã ñề cập trong mục 4.3.3, theo Tiêu chuẩn châu Âu, việc sử dụng các giá trị α

chuẩn
hóa có thể dẫn ñến một số phương án tải trọng giả ñịnh. Cấn phải xem xét từng phương án tải
trọng tương ứng với mỗi thông số tải trọng chủ yếu, trong ñó các tải trọng còn lại ñược coi là
tải trọng thứ yếu.
Ngoài ra, cần phải xem xét thêm các tổ hợp tải trọng khác khi các tải trọng tính toán phụ
thuộc thời gian.
Có nhiều mô hình tổ hợp tải trọng khác nhau. Tuy nhiên, ñối với phương pháp tính toán cấp
ñộ I, không cần thiết phải quan tâm ñến các dạng phân phối khác nhau của một thông số.
Thông thường, một phân phối các giá trị cực hạn sẽ ñược giả thiết cho một thời ñoạn thiết kế
cụ thể.
Có thể chia giai ñoạn thiết kế thành m thời ñoạn
∆
T = max
τ
i
. Giả sử các tải trọng ñộc lập
trong các thời ñoạn
∆
T thì trong mỗi khoảng
∆
T xác suất xảy ra sự cố ñược xác ñịnh qua công

S
1
S
m
'
−
 Φ α β 
α = −
β
Φ
 
 

(4.48)
ðiểm thiết kế áp cần thỏa mãn ñiều kiện sau:
Tải trọng chủ yếu:
(
)
( )
(
)
m
SSP
S
S
β
α
βα
−
Φ

−
m
SSP
S
Sii
βα
βα
1*
4.0'4.0
(4.49b)
Giả thiết một giai ñoạn thiết kế, các ñiều kiện sau cần tuân theo:
Tải trọng chủ yếu:
(
)
(
)
(
)
βαβα
SS
mSSP −Φ=−Φ=> '
*
11
(
4.50a)

Tải trọng khác:
(
)
(

(
)
iSii
mS
σβαµ
log6.04.0
*
−+=

(4.52)
trong ñó:
µ
i
là giá trị kỳ vọng của S
i
cực hạn trong thời ñoạn thiết kế;

σ
i
là ñộ lệch chuẩn của S
i
cực hạn trong thời ñoạn thiết kế.

Hệ số tải trọng thành phần ñược xác ñịnh:
Tải trọng chủ yếu:
S 1
1
1
1 rep
S

i
, S
i,rep
=
µ
i
+ k
σ
i
.
Hội ñồng cơ sở kỹ thuật xây dựng Hà Lan (TGB) không sử dụng giá trị
α
chuẩn hóa. Các hệ
số an toàn thành phần ñược xác ñịnh dựa vào một khối lượng lớn các tính toán theo cấp ñộ II
cho một loạt các phương án tải trọng khác nhau. Các dạng tổ hợp tải trọng của TGB dựa trên
nguyên tắc của Turkstra . Theo TGB, công thức tổng quát dành cho tổ hợp tải trọng của các
lực biến ñổi theo thời gian là:

n
1 rep i rep
1 i
i 2

S S S
, ,

=
= +
γ γ
∑

, 1980.
O
UYPORNPRASERT
, W., Adaptive numerical integration for reliability analysis. Universität
Innsbruck, Institut für Mechanik, Innsbruck, 1987.
B
UCHER
, C.G., Adaptive sampling - An iterative fast Monte-Carlo procedure. Universität
Innsbruck, Institut für Mechanik, Innsbruck, 1987.
H
ASOFER
, A.M. en N. L
IND
, An exact and invariant first order reliability format. Proceedings
of the ASCE, Journal of Engineering Mechanics Division, 1974.
R
ACKWITZ
, R. en B. F
IESSLER
, An algorithm for calculation of structural reliability under
combined loading. Berichter zur Sicherheitstheorie der Bauwerke, Lab. für Konstr. Ingb.,
München, 1977.
K
UIJPER
, H.K.T., Maintenance in hydraulic engineering, economically sound planning of
maintenance (in Dutch: “Onderhoud in de waterbouw, economisch verantwoord plannen van
onderhoud”). Delft University of Technology, Delft, 1992.
T
URKSTRA
, C.J. en H.O. M

, C.J., Application of Bayesian decision theory. Study nr. 3: Structural reliability
and codified design. Solid Mechanics Division, University of Waterloo, Waterloo, 1970.
V
ROUWENVELDER
, A.C.W.M. en J.K. V
RIJLING
, Probabilistic Design (in
Dutch:”Probabilistisch ontwerpen”). Delft University of Technology, Faculty of Civil
Engineering, Delft, September 1987.