Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

27
Chơng 4.
đặc trng hình học
của mặt cắt ngang - Các thuyết bền

A. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang
I. Khái niệm
Thí nghiệm kéo (nén): khả năng chịu tải của thanh phụ
thuộc vo diện tích mặt cắt ngang
(MCN).
Thí nghiệm uốn, xoắn, : khả
năng chịu lực của thanh không
những phụ thuộc vo diện tích MCN,
m còn hình dạng v sự bố trí MCN.
Ví dụ thanh tròn rỗng (hình 4.1a)
chịu đợc M
z
gấp 2 lần thanh tròn
đặc cùng diện tích MCN. Thanh hình
chữ nhật đặt đứng (hình 4.1b) ứng
suất nhỏ hơn 4 lần khi đặt ngang
(hình 4.1c) với cùng diện tích MCN.
Do đó, ngoi diện tích MCN, ta
cần xét đến những đại lợng khác
đặc trng cho hình dạng MCN về
mặt hình học, đó l
mômen tĩnh v
mômen quán tính
.

c)
b)
4a
4a
a
0,7D
D
d
a

P
P
Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

28
Khi m = 1, n = 0 tích phân (4.1) có dạng:

=

y
F
SxdF
(m
3
) (4.3)
S
x
v S
y
đợc gọi l

S
y
F
=
(4.4)
Nếu diện tích F bao gồm nhiều
diện tích đơn giản F
i
:

=
=

n
ii
i1
C
xF
x
F
;
=
=

n
ii
i1
C
yF
y

JydF=

v
2
y
F
JxdF=

(4.7)
đợc gọi l
mômen quán tính
(hay
mômen diện tích cấp hai
) của
hình phẳng F đối với trục x hoặc trục y.
J
xy
có thể dơng hoặc âm, còn các J
x
, J
y
luôn luôn dơng.
Tổng:
(
)
+= + = =

22 2
xy p
FF

= J
x
+ Fb
2
J
Y
= J
y
+ Fa
2
(4.9)
J
XY
= J
xy
+ Fab
Chứng minh các công thức (4.9)
nh sau: ta có, X = x + a ; Y = y + b (a)
Theo định nghĩa:
== =

22
XYXY
FF F
J Y dF, J X dF, J XYdF
(b)
Thay (a) vo (b) suy ra:
J
X
= J

, J
y
, J
xy
của hình
phẳng F đối với hệ trục Oxy. Hãy
tính J
u
, J
v
, J
uv
của hình phẳng F đối
với hệ trục Ouv (hình 4.5). Ta có:
u = xcos + ysin
v = ycos xsin
=

2
u
F
JvdF
;
=

2
v
F
JudF
;

(4.10)
Nếu hệ trục Ouv l hệ trục quán tính chính (J
uv
= 0) thì phơng
các trục quán tính chính rút ra từ công thức thứ ba của (4.10):
Hình 4.
4

Hình 4.5
Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

30

=

xy
xy
2J
tg
JJ
(4.11)
VI. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang
1. Hình chữ nhật (hình 4.6)
Hệ trục đối xứng Oxy l hệ trục quán tính
chính trung tâm.
Ta có: J
x
=
h
h

=
(4.14)
2. Hình tam giác (hình 4.7)
Chọn dải phân tố diện tích dF
song song với
trục đáy
x
1
v cách
trục x
1
một khoảng y. Chiều di
b(y) của dải phân tố diện tích ny
suy ra từ điều kiện đồng dạng:

b(y) h y
bh

=

b(h y)
b(y)
h

=

Nh vậy, đối với trục đáy x
1
:
()

Nếu x l trục trung tâm thì theo công thức (4.9):
J
x
=
2
332
bh h bh bh h
F.
12 3 12 2 9

=


hay
=
3
x
bh
J
36
(4.16)
3. Hình tròn (hình 4.8)
Đối với hệ trục trung tâm Oxy: J
x
= J
y
=
p
J
2

31
4. Hình vnh khăn
Đối với hình vnh khăn có đờng kính ngoi D v đờng kính
trong d:

() ()

== =
4
444
xy p
1D
JJ J 1 0,05D1
264
; = d/D (4.18)
VII. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 4.1.
Xác định vị trí trọng
tâm C
o
v các mômen diện tích cấp
hai J
x
, J
y
của mặt cắt cho trên
hình 4.9 (đơn vị l cm).
Giải
Coi mặt cắt đã cho l hiệu của
hai hình chữ nhật ABCD (kí hiệu

==ì +=



Do đó: S
x
= 180.000 48.000 = 132.000cm
3
;
12
yyy
SSS=

trong đó:
()
1
13
y1C
100
S F x 100 60 300.000cm
2

==ì =

()
2
23

C
S
132.000
y27,5cm
F 4800
== =12
xxx
JJJ=

trong đó:
3
3
154
11
x
bh 100 60
J7210cm
33
ì
== =ì()
2
3
3
22 2

3
3
164
11
y
hb
60 100
J2010cm
33
ì
== =ì()
2
3
3
22 2
22
y2C
hb
40 30
JFx 3040.65
12 12
ì
=+ = +ì
= 5,16 ì 10
6
cm
4

). Tuy nhiên, thực tế ngời ta hay tính theo ứng suất cho
phép [] (hay []).
Kiểm tra bền ở trạng thái ứng suất đơn, trợt thuần tuý:

[
]
[
]
[
]
= =
max 1 min 3 max
kn
; ;
(4.19)
Khi kiểm tra bền ở trạng thái ứng suất phức tạp (phẳng, khối),
cần lm các thí nghiệm phá hỏng ở trạng thái ứng suất. Việc xác
định trạng thái ứng suất giới hạn bằng thực nghiệm
rất khó khăn

thực tế có khi
không thực hiện đợc,
vì:
Số lợng thí nghiệm phát rất nhiều, đáp ứng tỷ lệ
1
,
2
v
3


Dới đây chúng ta sẽ nghiên cứu những thuyết bền cơ bản
nhất v phổ biến nhất.
II. Các thuyết bền
1. Thuyết bền thứ nhất (thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất)
Thuyết bền thứ nhất do Galilê đa ra năm 1638. Thuyết ny
cho rằng, vật liệu bị phá hỏng l do ứng suất pháp lớn nhất gây ra.
Thuyết bền ny phát biểu nh sau:
Hai trạng thái ứng suất
phức tạp v đơn có độ bền tơng đơng nếu ứng suất pháp lớn nhất
của chúng nh nhau
.
Điều kiện bền theo thuyết ny:
[
]
[]

= =


= =


tđ max 1
k
tđ min 3
n
(4.21)
Đối với vật liệu dẻo []
k
= []


=+


tđ 1 2 3
k
tđ 3 1 2
n
(4.21)
u im ca thuyt bn th hai l cú k n nh hng ca ba ng sut
chớnh
1
,
2
v
3
. Song cng nh thuyt bn th nht, thuyt ny cng
khụng thớch hp i vi vt liu do. Cũn i vi vt liu giũn thỡ nú ch cho
kt qu phự hp khi
1
> 0 v
3
< 0.
Thuyt ny hin nay hu nh khụng cũn c dựng na.
3. Thuyết bền thứ ba (thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất)
Thuyt bn th ba do Culông (Coulomb) a ra nm 1773. Thuyt ny
cho rng: vt liu b phỏ hoi l do ng sut tip cc i ca phõn t trng
thỏi ng sut phc tp t n ng sut tip nguy him ca phõn t trng
thỏi ng sut n.
Hai tr

1

3
[]
k
(4.22)
Trong trờng hợp ứng suất phẳng đặc biệt (hình 4.10), ta có:
22
1max
11
4
22
= = + +
;
22
3min
11
4
22

= = +
(4.23)
Điều kiện bền theo giả thuyết ứng suất tiếp lớn nhất:

[]
=+
22
tđ
4
(4.24)

Hai tr
ng thỏi ng sut phc tp v n s cú bn tng ng nu
th nng riờng bin i hỡnh dng ca chỳng bng nhau.
Trng thỏi ng sut khi:
()
+
=
++
222
hd 123122331
1
u
3E

Trng thỏi ng sut n:
+
=

2
hd tđ
1
u
3E

Điều kiện bền có dạng:
[]
= ++
222
tđ 123122331
k

vi
k
0
n
0

=

(4.27)
Thuyt bn Mo vit cho trng thỏi ng sut phng c bit:

() ()


== + + +


22
22
tđ 1 3
11
44
22 22

éiu kin bn:
[]


= + +
22

hoc th nm (Mo).
Gn õy xut hin nhiu thuyt mi liờn quan ch yu n cỏc loi vt
liu mi nh cht do, si thu tinh, cht do nhiu lp,
Cỏc nghiờn cu thc nghim v lý thuyt cho thy rng cu trỳc ca
tinh th vt rn bin dng cú nh hng l
n n bin dng v phỏ hng ca
vt liu ú. Nu b qua nh hng ú thỡ kt qu tớnh toỏn theo cỏc thuyt
bn s b sai lch. Do ú hin nay, ngi ta ang tip tc nghiờn cu v cỏc
vn ny.
Ví dụ. Kiểm tra bền của phân tố vật thể chịu các ứng suất:

x
= -4kN/cm
2
,
y
= -6 kN/cm
2
,
z
= 3 kN/cm
2
,
xy
=
yx
=2 kN/cm
2
,


22
max xy
min
46 46
2
22 22max
= -2,764 kN/cm
2
;
min
= -7,236 kN/cm
2

Hỡnh 4.13
Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

37
Nh vậy:

1
= 3 kN/cm
2
;
2
= -2,764 kN/cm
2
;