Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình
đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
I ./ ĐẶT VẤN ĐỀ
Như chúng ta đã biết Hình học là môn học rất khó đối với
nhiều học sinh, mà đặc biệt là hình học không gian, đa số các
em không biết nối kết hình học tổng hợp với hình học giải
tích. Mặc dù ở các lớp thuộc ban khoa học tự nhiên học theo
chương trình nâng cao nhưng các em vẫn còn rất yếu về hình
học. Cụ thể để giải một số bài toán khó trong chương trình
Hình học nâng cao 12 , ở chương III “Phương pháp toạ độ
trong không gian”, đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức hình
học không gian ở lớp 11.
Qua nhiều năm giảng dạy, tôi nhân thấy các em thường
áp dụng một cách máy móc cách giải của một số bài toán mà
các sách bài tập đã trình bày, chưa biết kết nối giữa hình học
tổng hợp với hình học giải tích. Vì vậy, khi gặp phải bài toán
“Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau”, các em thường lúng túng khi giải quyết bài
toán này có những học sinh thì làm được nhưng còn mơ hồ về
đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau,
không nối kết được kiến thức đường vuông góc chung đã học
ở môn Hình học 11 vào bài toán này.
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 1
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
Chính vì vậy, tôi xin trình bày một số cách để giải bài
toán “Viết phương trình đường vuông góc chung của hai
đường thẳng chéo nhau”, nhằm mục đích giúp học sinh định
hướng giải quyết bài toán trên một cách hợp lý tùy theo từng
điều kiện cụ thể.
II./ QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP:

là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy
nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với
đường thẳng kia.
2. Bài toán
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 2
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau d
1
và
d
2
. Lập phương trình đường thẳng
∆
là đường vuông góc
chung của hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
.
Bài giải:
Trong bài này ta giả sử đường thẳng d
1
qua A(x
A
;y
A
;z
A
) có
vectơ chỉ phương (VTCP)

tại M
+ Dựng MN :
1
MN d⊥
tại N
+ Đường thẳng MN là đường vuông góc chung của d
1
và
d
2
Chứng minh : “Đường thẳng MN là đường vuông chung của hai
đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
”
Ta có:
1
d MN⊥
tại N và
2
d MN⊥
tại M nên MN là đường vuông
chung của hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 3
P
d

Cách 1:
B1. Tìm vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d
1
là
a
r
,
VTCP của d
2
là
b
r
B2. Tìm
u a,b
 
=
 
r r r
khi đó
u a⊥
r r
và
u b⊥
r r
B3. Lập phương trình của :
• Mặt phẳng (P) sao cho :(P)
⊃
d
1
và (P) có cặp VTCP (

2
u
r
P
Q
a
r
b
r
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
hai mặt phẳng (P) và (Q).
Ta chứng minh
∆
là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
Ta có :
u;a
r r
;
b
r
lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng
∆
,
d
1
và d
2

1
∆
=
(P) (Q)∩
và (Q)
⊃
d
2
nên d
2
và
∆
đồng phẳng mà
u;b
r r
không cùng
phương nên
∆
cắt d
2
Vậy
∆
là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
Cách 2:
B1. Lấy điểm
( )
M M M 1


⇔

=


uuuur r
uuuur r
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 5
d
1
d
2
M
N
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
Giải hệ này sẽ tìm toạ độ của hai điểm N và M
B3: Đường thẳng
∆
là đường thẳng MN
Ta chứng minh
∆
là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
Ta có
MN a
MN b


 
r r r
khi đó
u a⊥
r r
và
u b⊥
r r
B2: Lập phương trình mặt phẳng (P):(P)
⊃
d
1
và (P) có cặp
VTCP (
a,u
r r
)
B3: Tìm M:
2
M d (P)= ∩
B4: Khi đó
∆
là đường thẳng qua M và có VTCP
u a,b
 
=
 
r r r
Ta chứng minh
∆


∆
là đường thẳng qua M và có VTCP
u
r
và
(P)M ∈
, (P) có
VTCP
u
r
nên
∆
⊂
(P)
1
d ,∆
đồng phẳng và
u;a
r r
không cùng phương nên d
1
cắt
∆
.
Vậy
∆
là đường vuông góc chung của d
1
và d

1
và d
2
chéo nhau nên có duy nhất mp(P) chứa d
1
và
song song với d
2
+ d’ là hình chiếu vuông góc của (d
2
) lên (P) nên d’ // d
2

+ d’ và d
1
đồng phẳng và có VTCP lần lượt là
u;a
r r
các vectơ
này không cùng phương nên d
1
cắt d’ tại M
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 7
P d
1
d
2
M
d’
u

nên
1
d ⊥ ∆
và
2
d ⊥ ∆
Vậy
∆
là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
Cách 5:
B1: Lấy A bất kì:
1
A d∈
B2: Lập phương trình mặt phẳng (P):
1
(P) A,(P) d∋ ⊥
B3: Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông
góc d
2
lên (P)
B4: Tìm H là hình chiếu của A lên d’
B5: Viết phương trình đường thẳng c qua H và song song với
d
1
Khi đó:
2
c d M∩ =

d
2
A
H
M
d’
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
Suy ra :
1
d ⊥ ∆
và
2
d ⊥ ∆
+
∆
cắt d
2
tại M
+ AH và
∆
, d
1
đồng phẳng ,
AH / /
∆
, AH cắt d
1
nên
∆
cắt d

x 3 y 1 z 1
7 2 3
− − −
= =
−
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai
đường thẳng đó
Bài giải
Cách 1
Đường thẳng d
1
qua A(8; 5; 8) có vectơ chỉ phương là
a (1;2; 1)= −
r
; d
2
qua B(3;1;1)có vectơ chỉ phương là
b ( 7;2;3)= −
r
Ta có :
a,b (8;4;16)
 
=
 
r r
Gọi
∆
là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d
1
và

và (Q) có cặp VTCP (
u,b
r r
). Suy ra (Q)
qua B có vectơ pháp tuyến
2
n u,b ( 5; 34;11)
 
= = − −
 
uur r r
, phương trình của
mp (Q):
5x 34y 11z 38 0+ − − =
Khi đó :
∆
=
(P) (Q)∩
, phương trình tham số của
∆
:
x 1 2t
y t
z 3 4t
= +


=





⇔
 
− − − − + − + − + − + + =
=



uuuur r
uuuur r

6t ' 6t 6 t ' 0
62t ' 6t 6 t 1
− − = =
 
⇔ ⇔
 
+ = − = −
 
Vậy M(7;3;9) , N(3;1;1). Suy ra đường vuông góc chung của
d
1
và d
2
có phương trình tham số là:
x 3 2t
y 1 t
z 1 4t
= +

1
và
d
2
thì
∆
có vectơ chỉ phương
u (2;1;4)=
r
Mặt phẳng (P): (P)
⊃
d
1
và (P) có cặp VTCP (
u,a
r r
). Suy ra (P) đi
qua A có vectơ pháp tuyến
1
n u,a ( 9;6;3)
 
= = −
 
uur r r
, khi đó phương
trình mặt phẳng (P):
3x 2y z 6 0− − − =
Gọi
2
M d (P)= ∩

= +


= +


= +

Cách 4:
Đường thẳng d
1
qua A(8;5;8) có vectơ chỉ phương là
a (1;2; 1)= −
r
, đường thẳng d
2
qua B(3;1;1)có vectơ chỉ phương là
b ( 7;2;3)= −
r
.
Lập phương trình mp(P):
1
2
(P) d
(P) / /d
⊃



Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 11

 
= = −
 
uur r r
, mp (Q) có
phương trình là:
5x 34y 11z 38 0+ − − =
Gọi M =
1
d ' d∩
, toạ độ điểm M là nghiệm của hệ :
x 8 t
y 5 2t
z 8 t
2x y 4z 53 0
5x 34y 11z 38 0
= +


= +


= −


+ + − =

+ − − =



uur
Vậy phương trình tham số của đường thẳng
x 7 2t
: y 3 t
z 9 4t
= +


∆ = +


= +

Cách 5:
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 12
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
Đường thẳng đi qua điểm A(8;5;8) có vectơ chỉ phương là
a (1;2; 1)= −
r
; d
2
qua B(3;1;1)có vectơ chỉ phương là
b ( 7;2;3)= −
r
+ Gọi (P) là mặt phẳng qua A(8;5;8) và vuông góc với d
1
, (P)
có vectơ pháp tuyến
a (1;2; 1)= −
r


+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d’
(R) là mặt phẳng qua A và vuông góc (d’) nên (R) có vectơ
pháp tuyến
R
n
uur
=(3;-2;-1)
(R):
3x 2y z 6 0− − − =
Khi đó :
H d' (R)= ∩
. Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ :
x 4 3t
y 3 2t
z t
3x 2y z 6 0
= +


= −


= −


− − − =


x 4

M d c= ∩
M(3;1;1)⇒
+ Khi đó
∆
là đường thẳng qua M và có VTCP
HA
uuur
=(4;2;8) hay
u ' (2;1;4)=
uur
, vậy phương trình tham số của đường thẳng
∆
:
x 3 2t
y 1 t
z 1 4t
= +


= +


= +

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng d
1
và d
2
lần lượt có phương trình:
d



′
= −

a. Chứng minh rằng hai đường thẳng d
1
và d
2
chéo nhau
nhưng vuông góc với nhau.
b. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua d
1
và vuông
góc với d
2
.
c. Lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của d
1
và d
2
.
Hướng dẫn:
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 14
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
a. Đường thẳng d
1
đi qua điểm A(0; 3; 6) có VTCP
(1;0;1)a =
r

vuông
góc với nhau
b. Măt phẳng (P) đi qua điểm A(0; 3; 6) và có VTPT là
(1; 1; 1)b = − −
r
, khi đó (P) có phương trình là :
9 0x y z− − + =
.
c. (Khi làm câu c ta nên chọn trường hợp đặc biệt để giải)
Gọi
∆
là đường thẳng vuông góc chung của d
1
và d
2
.
Đường thẳng d
2
cắt mp(P) tại điểm
2 11 14
; ;
3 3 3
M
−
 
 ÷
 
Ta có
, (1;2; 1)a b
 

y t
z t
−

= +



= +



= −


4. Một số bài tập rèn luyện
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 15
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
Bài 1. Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp
đường thẳng chéo nhau sau:
a) d
1
:
x 1 2t
y 1 3t
z 2 t
= − +


= +

y 6 3t '
z 1 t '
=


= − +


= − +

c) d
1
:
x 3 4t
y 2 t
z 1 t
= −


= − +


= − +

d
2
:
x 6t '
y 1 t '
z 2 2t '

x 3 y 3 z 4
2 2 3
− − −
= =
a) Lập phương trình mặt phẳng(P) chứa d
1
và song song
với d
2
.
b) Lập phương trình hình chiếu của d
2
lên mp(P).
c) Lập phương trình đường vuông góc chung của d
1
và
d
2
.
III./ ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM:
Trước đây trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy, khi
gặp các bài toán “viết phương trình đường vuông góc chung
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 16
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
của hai đường thẳng chéo nhau” các em thường lúng túng để
xác định các cách giải quyết bài toán này. Trong năm học
2009 – 2010 bản thân tôi đã áp dụng các phương pháp trên
vào trong bài giảng của mình, giúp các em học sinh định
hướng và chọn một phương pháp cụ thể khi giải quyết bài

d
− − −
= =
a)Chứng minh hai đường thẳng d
1
và d
2
chéo nhau.(2 điểm)
b)Viết phương trình đường vuông góc chung của d
1
và d
2
.
(8 điểm)
Đáp số câu b :
3 2
: 1
1 4
x t
y t
z t
= +


∆ = +


= +

Cho hai lớp kiểm tra ta thu được kết quả như sau:

= − +


= −


2
1 6
:
1 2 3
x y z
d
− −
= =
a)Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d
1
và d
2
. Tính
góc giữa chúng.(3 điểm).
b)Lập phương trình mp(P) chứa d
1
và vuông góc với d
1
.(2
điểm)
c)Lập phương trình đường vuông góc chung của d
1
và d
2

Điểm 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Số
lượng
3 2 6 3 7 8 5 3 2 1
IV./ KẾT LUẬN:
Trên đây chỉ là tích luỹ kinh nghiệm về tìm hiểu về một số
cách viết phương trình đường vuông góc chung của hai
đường thẳng chéo nhau của bản thân. Trong quá trình giảng
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 19
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
dạy tôi đã áp dụng vào trong các lớp 12A2 và lớp 12B1 tôi
nhận thấy các em phần nào hiểu được các cách giải, các em
đã biết vận dụng và chọn lựa cách giải phù hợp trong từng bài
toán. Với kinh nghiệm còn ít, chắc chắn không tránh khỏi
thiếu sót, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của quí thầy
cô. Xin chân thành cảm ơn.
Ninh sơn, ngày tháng 05 năm
2010
NGƯỜI VIẾT
LÊ THỊ TUYẾT TRÂM
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 20
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
XẾP LOẠI VÀ XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN