Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của
hai đường thẳng chéo nhau”
I ./ ĐẶT VẤN ĐỀ
Như chúng ta đã biết Hình học là môn học rất khó đối với nhiều học sinh, mà đặc biệt là
hình học không gian, đa số các em không biết nối kết hình học tổng hợp với hình học giải tích.
Mặc dù ở các lớp thuộc ban khoa học tự nhiên học theo chương trình nâng cao nhưng các em
vẫn còn rất yếu về hình học. Cụ thể để giải một số bài toán khó trong chương trình Hình học
nâng cao 12 , ở chương III “Phương pháp toạ độ trong không gian”, đòi hỏi phải nắm vững các
kiến thức hình học không gian ở lớp 11.
Qua nhiều năm giảng dạy, tôi nhân thấy các em thường áp dụng một cách máy móc cách
giải của một số bài toán mà các sách bài tập đã trình bày, chưa biết kết nối giữa hình học tổng
hợp với hình học giải tích. Vì vậy, khi gặp phải bài toán “Viết phương trình đường vuông góc
chung của hai đường thẳng chéo nhau”, các em thường lúng túng khi giải quyết bài toán này
có những học sinh thì làm được nhưng còn mơ hồ về đường vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau, không nối kết được kiến thức đường vuông góc chung đã học ở môn Hình
học 11 vào bài toán này.
Chính vì vậy, tôi xin trình bày một số cách để giải bài toán “Viết phương trình đường
vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”, nhằm mục đích giúp học sinh định hướng
giải quyết bài toán trên một cách hợp lý tùy theo từng điều kiện cụ thể.
II./ QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP:
1. Lý thuyết
a. Định nghĩa : Cho hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
. Đường thẳng
∆
cắt cả d
1
và

là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
.
Bài giải:
Trong bài này ta giả sử đường thẳng d
1
qua A(x
A
;y
A
;z
A
) có vectơ chỉ phương (VTCP)
a
r
,
đường thẳng d
2
qua B(x
B
;y
B
;z
B
) có VTCP
b
r


1
d MN⊥
tại N và
2
d MN⊥
tại M nên MN là đường vuông chung của hai đường thẳng
chéo nhau d
1
và d
2
Nên ta có cách lập phương trình đường vuông góc chung trong trường hợp
1 2
d d⊥
này là:
B1: Lập phương trình mp(P) :
1
(P) d⊃
và
2
(P) d⊥
B2: Tìm M:
2
M (P) d= ∩
B3: Khi đó
∆
là đường thẳng qua M và có VTCP
u a,b
 
=
 

2
là
b
r
B2. Tìm
u a,b
 
=
 
r r r
khi đó
u a⊥
r r
và
u b⊥
r r
B3. Lập phương trình của :
• Mặt phẳng (P) sao cho :(P)
⊃
d
1
và (P) có cặp VTCP (
a,u
r r
)
• Mặt phẳng (Q) sao cho :(Q)
⊃
d
2
và (Q) có cặp VTCP (

u a⊥
r r
và
u b⊥
r r
nên
1
d ⊥ ∆
và
2
d ⊥ ∆
∆
=
(P) (Q)∩
và (P)
⊃
d
1
nên d
1
và
∆
đồng phẳng mà
u;a
r r
không cùng phương nên
∆
cắt d
1
∆

N N N 2
N x ; y ;z d∈
Khi đó
N M N M N M
MN (x x ; y y ;z z )= − − −
uuuur
B2: Đường thẳng MN là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
MN a
MN b

⊥

⇔

⊥


uuuur r
uuuur r
MN.a 0
MN.b 0

=

⇔

=

2
Ta có
MN a
MN b

⊥


⊥


uuuur r
uuuur r
nên
1
d ⊥ ∆
và
2
d ⊥ ∆
1
d M∆ ∩ =
và
2
d N∆ ∩ =
Vậy
∆
là đường vuông góc chung của d
1
và d
2

 
r r r
Ta chứng minh
∆
là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
Vì
u a⊥
r r
và
u b⊥
r r
nên
1
d ⊥ ∆
và
2
d ⊥ ∆
2
d M∆ ∩ =

∆
là đường thẳng qua M và có VTCP
u
r
và
(P)M ∈
, (P) có VTCP



B2: Lập phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của
d
2
lên (P)
B3: Tìm M =
1
d ' d∩
B4: Khi đó
∆
là đường thẳng qua M và có VTCP
u a,b
 
=
 
r r r
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 4
d
1
d
2
u
r
M
∆
P
P d
1
d

cắt d’ tại M
+
∆
là đường thẳng qua M và có VTCP
u a,b
 
=
 
r r r
+
∆
, d
2
và d’ đồng phẳng
∆
∩
d’ = M nên
∆
cắt d
2
tại M
+ Vì
u a⊥
r r
và
u b⊥
r r
nên
1
d ⊥ ∆

Ta chứng minh
∆
là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
+
1 1
(P) d AH d⊥ ⇒ ⊥
+ H là hình chiếu của A lên d’
AH d'⇒ ⊥
2
AH d⇒ ⊥
+
∆
là đường thẳng qua M và có VTCP
AH
uuur
AH / /
⇒ ∆
Suy ra :
1
d ⊥ ∆
và
2
d ⊥ ∆
+
∆
cắt d
2

3. Ví dụ minh họa
Ví dụ1: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
có phương trình lần lượt là:
d
1
:
x 8 t
y 5 2t
z 8 t
= +


= +


= −

và d
2
:
x 3 y 1 z 1
7 2 3
− − −
= =
−
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó
Bài giải

⊃
d
1
và (P) có cặp VTCP (
u,a
r r
). Suy ra (P) qua A có vectơ pháp tuyến là:
1
n u,a ( 9;6;3)
 
= = −
 
uur r r
Phương trình của mp(P):
3x 2y z 6 0− − − =
Mặt phẳng (Q) :(Q)
⊃
d
2
và (Q) có cặp VTCP (
u,b
r r
). Suy ra (Q) qua B có vectơ pháp tuyến
2
n u,b ( 5; 34;11)
 
= = − −
 
uur r r
, phương trình của mp (Q):

1
và d
2
thì
MN
uuuur
đồng thời vuông góc
với hai vectơ chỉ phương
a
r
và
b
r
nên ta có:
MN.a 0 5 7t ' t 2( 4 2t ' 2t) ( 7 3t ' t) 0
7( 5 7t ' t) 2( 4 2t' 2t) 3( 7 3t' t) 0
MN.b 0

= − − − + − + − − − + + =


⇔
 
− − − − + − + − + − + + =
=



uuuur r
uuuur r

a (1;2; 1)= −
r
, đường thẳng d
2
có vectơ chỉ phương là
b ( 7;2;3)= −
r
. Ta có
a,b (8;4;16)
 
=
 
r r
Gọi
∆
là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d
1
và d
2
thì
∆
có vectơ chỉ phương
u (2;1;4)=
r
Mặt phẳng (P): (P)
⊃
d
1
và (P) có cặp VTCP (
u,a

Vậy M(3;1;1)
Khi đó
∆
qua M có vectơ chỉ phương
u (2;1;4)=
r
, nên ta có phương trình tham số của đường
thẳng
∆
là:
x 3 2t
y 1 t
z 1 4t
= +


= +


= +

Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 7
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
Cách 4:
Đường thẳng d
1
qua A(8;5;8) có vectơ chỉ phương là
a (1;2; 1)= −
r
, đường thẳng d

lên mặt phẳng (P). Nên đường thẳng d’ là
giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (Q) là mp chứa d
2
và vuông góc với mp (P)
Mặt phẳng (Q) qua B(3;1;1) và có cặp vectơ chỉ phương (
b,n
r r
) nên mp(Q) có vectơ pháp tuyến
n ' b,n (5;34; 11)
 
= = −
 
uur r r
, mp (Q) có phương trình là:
5x 34y 11z 38 0+ − − =
Gọi M =
1
d ' d∩
, toạ độ điểm M là nghiệm của hệ :
x 8 t
y 5 2t
z 8 t
2x y 4z 53 0
5x 34y 11z 38 0
= +


= +



u a,b
 
=
 
r r r
= (8;4;16) hay
u ' (2;1;4)=
uur
Vậy phương trình tham số của đường thẳng
x 7 2t
: y 3 t
z 9 4t
= +


∆ = +


= +

Cách 5:
Đường thẳng đi qua điểm A(8;5;8) có vectơ chỉ phương là
a (1;2; 1)= −
r
; d
2
qua B(3;1;1)có
vectơ chỉ phương là
b ( 7;2;3)= −
r

= −


= −

+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d’
(R) là mặt phẳng qua A và vuông góc (d’) nên (R) có vectơ pháp tuyến
R
n
uur
=(3;-2;-1)
(R):
3x 2y z 6 0− − − =
Khi đó :
H d' (R)= ∩
. Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ :
x 4 3t
y 3 2t
z t
3x 2y z 6 0
= +


= −


= −


− − − =

M d c= ∩
M(3;1;1)⇒
+ Khi đó
∆
là đường thẳng qua M và có VTCP
HA
uuur
=(4;2;8) hay
u ' (2;1;4)=
uur
, vậy phương trình
tham số của đường thẳng
∆
:
x 3 2t
y 1 t
z 1 4t
= +


= +


= +

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng d
1
và d
2
lần lượt có phương trình:

= −


′
= −

a. Chứng minh rằng hai đường thẳng d
1
và d
2
chéo nhau nhưng vuông góc với nhau.
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 9
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
b. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua d
1
và vuông góc với d
2
.
c. Lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của d
1
và d
2
.
Hướng dẫn:
a. Đường thẳng d
1
đi qua điểm A(0; 3; 6) có VTCP
(1;0;1)a =
r
, d

b. Măt phẳng (P) đi qua điểm A(0; 3; 6) và có VTPT là
(1; 1; 1)b = − −
r
, khi đó (P) có
phương trình là :
9 0x y z− − + =
.
c. (Khi làm câu c ta nên chọn trường hợp đặc biệt để giải)
Gọi
∆
là đường thẳng vuông góc chung của d
1
và d
2
.
Đường thẳng d
2
cắt mp(P) tại điểm
2 11 14
; ;
3 3 3
M
−
 
 ÷
 
Ta có
, (1;2; 1)a b
 
= −

y t
z t
−

= +



= +



= −


4. Một số bài tập rèn luyện
Bài 1. Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng chéo nhau sau:
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 10
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
a) d
1
:
x 1 2t
y 1 3t
z 2 t
= − +


= +


z 1 t '
=


= − +


= − +

c) d
1
:
x 3 4t
y 2 t
z 1 t
= −


= − +


= − +

d
2
:
x 6t'
y 1 t '
z 2 2t'
= −

2 2 3
− − −
= =
a) Lập phương trình mặt phẳng(P) chứa d
1
và song song với d
2
.
b) Lập phương trình hình chiếu của d
2
lên mp(P).
c) Lập phương trình đường vuông góc chung của d
1
và d
2
.
III./ ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
Trước đây trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy, khi gặp các bài toán “viết phương
trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau” các em thường lúng túng để xác
định các cách giải quyết bài toán này. Trong năm học 2009 – 2010 bản thân tôi đã áp dụng các
phương pháp trên vào trong bài giảng của mình, giúp các em học sinh định hướng và chọn một
phương pháp cụ thể khi giải quyết bài toán viết phương trình đường vuông góc chung của hai
đường thẳng chéo nhau, và cho kiểm tra trên các lớp 12A2. 12B1 có kết quả như sau:
Kiểm tra 15 phút
Đề 1. Cho hai đường thẳng d
1
và d
2
lần lượt có phương trình là
1

1
và d
2
. (8 điểm)
Đáp số câu b :
3 2
: 1
1 4
x t
y t
z t
= +


∆ = +


= +

Cho hai lớp kiểm tra ta thu được kết quả như sau:
1. Lớp 12A2 sĩ số: 43
Điểm 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Số lượng 10 8 8 5 3 5 4 0 0 0

2.Lớp 12B1 sĩ số: 40
Điểm 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Số lượng 1 5 7 2 5 8 5 5 2 0
Kiểm tra 20 phút
Đề 1. Cho hai đường thẳng d
1

2
. Tính góc giữa chúng.(3 điểm).
b) Lập phương trình mp(P) chứa d
1
và vuông góc với d
1
.(2 điểm)
c) Lập phương trình đường vuông góc chung của d
1
và d
2
.(5 điểm)
Đáp số:
a) Hai đường thẳng chéo nhau . Góc giữa chúng là 90
o
.
b) (P): x+y-z+5=0.
c) Phương trình đường vuông góc chung của d
1
và d
2
là

1 1 3
5 4 1
x y z+ + −
= =
−
Sau khi cho hai lớp kiểm tra ta thu được kết quả như sau:
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 12


ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NGÀNH
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 14