Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc
chung của hai đường thẳng chéo nhau”
I ./ ĐẶT VẤN ĐỀ
Như chúng ta đã biết Hình học là môn học rất khó đối với nhiều học
sinh, mà đặc biệt là hình học không gian, đa số các em không biết nối kết
hình học tổng hợp với hình học giải tích. Mặc dù ở các lớp thuộc ban khoa
học tự nhiên học theo chương trình nâng cao nhưng các em vẫn còn rất yếu
về hình học. Cụ thể để giải một số bài toán khó trong chương trình Hình học
nâng cao 12 , ở chương III “Phương pháp toạ độ trong không gian”, đòi hỏi
phải nắm vững các kiến thức hình học không gian ở lớp 11.
Qua nhiều năm giảng dạy, tôi nhân thấy các em thường áp dụng một
cách máy móc cách giải của một số bài toán mà các sách bài tập đã trình bày,
chưa biết kết nối giữa hình học tổng hợp với hình học giải tích. Vì vậy, khi
gặp phải bài toán “Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau”, các em thường lúng túng khi giải quyết bài toán này có
những học sinh thì làm được nhưng còn mơ hồ về đường vuông góc chung
của hai đường thẳng chéo nhau, không nối kết được kiến thức đường vuông
góc chung đã học ở môn Hình học 11 vào bài toán này.
Chính vì vậy, tôi xin trình bày một số cách để giải bài toán “Viết
phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”, nhằm
mục đích giúp học sinh định hướng giải quyết bài toán trên một cách hợp lý
tùy theo từng điều kiện cụ thể.
II./ QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP:
1. Lý thuyết
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 1
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
a. Định nghĩa : Cho hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2

2
. Lập
phương trình đường thẳng
∆
là đường vuông góc chung của hai đường thẳng
chéo nhau d
1
và d
2
.
Bài giải:
Trong bài này ta giả sử đường thẳng d
1
qua A(x
A
;y
A
;z
A
) có vectơ chỉ
phương (VTCP)
a
r
, đường thẳng d
2
qua B(x
B
;y
B
;z

P
d
1
d
2
M
N
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
Chứng minh : “Đường thẳng MN là đường vuông chung của hai đường thẳng
chéo nhau d
1
và d
2
”
Ta có:
1
d MN⊥
tại N và
2
d MN⊥
tại M nên MN là đường vuông chung của hai
đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
Nên ta có cách lập phương trình đường vuông góc chung trong trường hợp
1 2
d d⊥
này là:
B1: Lập phương trình mp(P) :

u a, b
 
=
 
r r r
khi đó
u a⊥
r r
và
u b⊥
r r
B3. Lập phương trình của :
• Mặt phẳng (P) sao cho :(P)
⊃
d
1
và (P) có cặp VTCP (
a, u
r r
)
• Mặt phẳng (Q) sao cho :(Q)
⊃
d
2
và (Q) có cặp VTCP (
b,u
r r
)
B4. Ta có :
∆

là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
Ta có :
u;a
r r
;
b
r
lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng
∆
, d
1
và d
2
Mà
u a⊥
r r
và
u b⊥
r r
nên
1
d ⊥ ∆
và
2
d ⊥ ∆
∆
=

r r
không cùng phương nên
∆
cắt d
2
Vậy
∆
là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
Cách 2:
B1. Lấy điểm
( )
M M M 1
M x ;y ;z d∈
, lấy điểm
( )
N N N 2
N x ; y ;z d∈
Khi đó
N M N M N M
MN (x x ;y y ;z z )= − − −
uuuur
B2: Đường thẳng MN là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
MN a
MN b

và d
2
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 4
d
1
d
2
M
N
∆
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
Ta có
MN a
MN b

⊥


⊥


uuuur r
uuuur r
nên
1
d ⊥ ∆
và
2
d ⊥ ∆
1

)
B3: Tìm M:
2
M d (P)= ∩
B4: Khi đó
∆
là đường thẳng qua M và có VTCP
u a, b
 
=
 
r r r
Ta chứng minh
∆
là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
Vì
u a⊥
r r
và
u b⊥
r r
nên
1
d ⊥ ∆
và
2
d ⊥ ∆

và d
2
Cách 4:
B1: Lập phương trình mp(P):
1
2
d (P)
d / /(P)
⊂



B2: Lập phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của
d
2
lên (P)
B3: Tìm M =
1
d ' d∩
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 5
d
1
d
2
u
r
M
∆
P
P d

) lên (P) nên d’ // d
2

+ d’ và d
1
đồng phẳng và có VTCP lần lượt là
u;a
r r
các vectơ này không cùng
phương nên d
1
cắt d’ tại M
+
∆
là đường thẳng qua M và có VTCP
u a, b
 
=
 
r r r
+
∆
, d
2
và d’ đồng phẳng
∆
∩
d’ = M nên
∆
cắt d

B4: Tìm H là hình chiếu của A lên d’
B5: Viết phương trình đường thẳng c qua H và song song với d
1
Khi đó:
2
c d M∩ =
B6: Khi đó
∆
là đường thẳng qua M và có VTCP
AH
uuur
Ta chứng minh
∆
là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 6
P
d
1
d
2
A
H
M
d’
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
+
1 1

1
nên
∆
cắt d
1
Vậy
∆
là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ1: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
có
phương trình lần lượt là:
d
1
:
x 8 t
y 5 2t
z 8 t
= +


= +



Gọi
∆
là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d
1
và d
2
thì
∆
có vectơ
chỉ phương
u (2;1;4)=
r
Mặt phẳng (P) : (P)
⊃
d
1
và (P) có cặp VTCP (
u,a
r r
). Suy ra (P) qua A có vectơ
pháp tuyến là:
1
n u,a ( 9;6;3)
 
= = −
 
uur r r
Phương trình của mp(P):
3x 2y z 6 0− − − =
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 7


=


= − +

Cách 2:
Gọi :
1 2
M d ; N d∈ ∈
khi đó ta có:
M(8 t;5 2t;8 t); N(3 7t ';1 2t ';1 3t')+ + − − + +
MN ( 5 7t ' t; 4 2t ' 2t; 7 3t' t)= − − − − + − − + +
uuuur
Giả sử đường thẳng MN là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
thì
MN
uuuur
đồng
thời vuông góc với hai vectơ chỉ phương
a
r
và
b
r
nên ta có:
MN.a 0 5 7t ' t 2( 4 2t ' 2t) ( 7 3t' t) 0

x 3 2t
y 1 t
z 1 4t
= +


= +


= +

Cách 3:
Đường thẳng d
1
có vectơ chỉ phương là
a (1;2; 1)= −
r
, đường thẳng d
2
có vectơ
chỉ phương là
b ( 7;2;3)= −
r
. Ta có
a,b (8;4;16)
 
=
 
r r
Gọi

Gọi
2
M d (P)= ∩
Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ:
x 3 7t ' t ' 0
y 1 2t ' x 3
z 1 3t ' y 1
3x 2y z 6 0 z 1
= − =
 
 
= + =
 
⇔
 
= + =
 
 
− + + + = =
 
Vậy M(3;1;1)
Khi đó
∆
qua M có vectơ chỉ phương
u (2;1;4)=
r
, nên ta có phương trình tham
số của đường thẳng
∆
là:




Mặt phẳng (P) qua A(8;5;8) có cặp vectơ chỉ phương (
a, b
r r
) nên mp (P) có
vectơ pháp tuyến
n =
r
a,b (8;4;16)
 
=
 
r r
. Khi đó mp(P) có phương trình là:
2x y 4z 53 0+ + − =
Gọi đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d
2
lên mặt phẳng (P). Nên
đường thẳng d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (Q) là
mp chứa d
2
và vuông góc với mp (P)
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 9
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
Mặt phẳng (Q) qua B(3;1;1) và có cặp vectơ chỉ phương (
b,n
r r
) nên mp(Q) có


t 1
x 7
y 3
z 9
= −


=

⇔

=


=

Vậy M(7;3;9)
Khi đó
∆
là đường thẳng qua
∆
và có VTCP
u a, b
 
=
 
r r r
= (8;4;16) hay
u ' (2;1;4)=

x 2y z 10 0+ − − =
+ Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d
2
lên (P)
d ' (P) (Q)⇒ = ∩
. Với (Q) là mặt
phẳng chứa d
2
và vuông góc với (P)
⇒
(Q) qua B(3;1;1) có cặp VTCP (
a, b
r r
)
(Q):
2x y 4z 11 0+ + − =
Vậy d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nên có phương trình tham
số là:
x 4 3t
y 3 2t
z t
= +


= −


= −

Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 10

=


⇔ =


=

Vậy H(4; 3; 0)
+ Gọi c là đường thẳng qua H và c // d
1
nên đường thẳng c có phương trình
tham số là :
x 4 t
y 3 2t
z t
= +


= +


= −

+ Gọi
2
M d c= ∩
M(3;1;1)⇒
+ Khi đó
∆

3
6
x t
y
z t
=


=


= +

d
2
:
2
1
2
x t
y t
z t
′
= +


′
= −



điểm B(2; 1; 2 ) và có VTCP
(1; 1; 1)b = − −
r
.
Ta thấy hai vectơ
(1;0;1)a =
r
và
(1; 1; 1)b = − −
r
không cùng phương và hệ
gồm hai phương của hai đường thẳng d
1
và d
2
vô nghiệm do đó d
1
và d
2

chéo nhau.
Ta có
. 1.1 0.( 1) 1.( 1) 0a b = + − + − =
r r
nên hai đường d
1
và d
2
vuông góc với
nhau

 
r r
.
Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 12
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
Đường thẳng
∆
đi qua điểm
2 11 14
; ;
3 3 3
M
−
 
 ÷
 
và có VTCP là
, (1;2; 1)a b
 
= −
 
r r

có phương trình tham số là:
2
3
11
2
3
14



= +

d
2
:
x 2 y 2 z
1 5 2
− +
= =
−
b) d
1
:
x t
y 4 t
z 6 2t
=


= +


= +

d
2
:
x t '

= −


= +


= +

Bài 2. Cho hai đường thẳng d
1
và d
2

d
1
:
x 1 t
y 6 2t
z 1
= −


= +


= −

d
2
:

1
và d
2
lần lượt có phương trình là
1
8
: 5 2
8
x t
d y t
z t
= +


= +


= −

2
3 1 1
:
7 2 3
x y z
d
− − −
= =
a) Chứng minh hai đường thẳng d
1
và d

Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
2.Lớp 12B1 sĩ số: 40
Điểm 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Số
lượng
1 5 7 2 5 8 5 5 2 0
Kiểm tra 20 phút
Đề 1. Cho hai đường thẳng d
1
và d
2
lần lượt có phương trình là
1
1
: 2
3
x t
d y t
z t
= +


= − +


= −


2
1 6

2
là

1 1 3
5 4 1
x y z+ + −
= =
−
Sau khi cho hai lớp kiểm tra ta thu được kết quả như sau:
1. Lớp 12A2 sĩ số: 43
Điểm 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Số
lượng
10 7 5 8 5 2 1 2 3 0

Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 15
Đề tài: “Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau”
2. Lớp 12B1 sĩ số 40
Điểm 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Số
lượng
3 2 6 3 7 8 5 3 2 1
IV./ KẾT LUẬN:
Trên đây chỉ là tích luỹ kinh nghiệm về tìm hiểu về một số cách viết
phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau của
bản thân. Trong quá trình giảng dạy tôi đã áp dụng vào trong các lớp 12A2 và
lớp 12B1 tôi nhận thấy các em phần nào hiểu được các cách giải, các em đã
biết vận dụng và chọn lựa cách giải phù hợp trong từng bài toán. Với kinh
nghiệm còn ít, chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, tôi rất mong được sự
đóng góp ý kiến của quí thầy cô. Xin chân thành cảm ơn.Giáo viên: LÊ THỊ TUYẾT TRÂM – Trường THPT Trường Chinh – Ninh Thuận Trang 18