TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 2(25).2008
CHUYỂN ĐỘNG CỦA MẶT VỚI VẬN TỐC
PHỤ THUỘC VÀO ĐỘ CONG TRUNG BÌNH:
PHƯƠNG PHÁP TẬP MỨC; TÍNH DUY NHẤT
CỦA NGHIỆM YẾU
MOTION OF SURFACES WITH SPEED DEPENDING ON MEAN
CURVATURE: LEVEL SET METHODS; UNIQUENESS OF WEAK
SOLUTIONS

NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
NGUYỄN CỬU HUY
Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Tp. Đà Nẵng

TÓM TẮT
Bài báo này đưa ra một phương pháp được gọi là phương pháp tập mức để mô
phỏng quá trình chuyển động của mặt với vận tốc phụ thuộc vào độ cong trung
bình. Đưa ra khái niệm nghiệm yếu và chứng minh một nguyên lý so sánh cho
nghiệm yếu của phương trình. Từ nguyên lý so sánh, ta nhận được tính duy nhất
của nghiệm. Phương pháp dựa trên các tính chất của tích chập inf-sup.

ABSTRACT
This paper aims to provide a method so called level set method to simulate the
surface evolution process with speed depending on mean curvature. This is to
provide the notion of weak solutions and prove a comparison principle for weak
solutions. From the comparison principle, we obtain the uniqueness of the
solution. The method is based on inf-sup convolution properties.

1. Đặt vấn đề

Bài toán chuyển động mặt xuất hiện nhiều trong các vấn đề ứng dụng của khoa

giả thiết là liên tục, được gọi là một ngoại lực.
a. Phương pháp tập mức:
Cho trước một mặt
)0(
0
=
Γ
=
Γ
t , các mặt chuyển động theo hướng
pháp tuyến ngoài
)0( ≥Γ t
t
υ
với vận tốc . Ý tưởng chính là biểu diễn mặt chuyển động dưới
dạng một tập mức không của một hàm nhiều biến
u . Cụ thể, ta xác định một phương trình
cho u mà nghiệm chứa mặt chuyển động
V
t
Γ
dưới dạng tập mức
{
. Cho
0u = } ((),)
x
tt
0
là
đường chuyển động của một điểm, tức là, là một điểm trên mặt đầu tiên

)

với một điều kiện đầu: (1)
0
(,0)ux u=

Như ta đã đề cập từ trước, mặt được xem như là tập mức không của of
, tức là,
0( ≥Γ t
t
u
{
}
|( 0 .
d
t
xutΓ= ∈ =\ ,)x

Ta gán giá trị đầu cho
u bằng cách chọn một hàm trơn sao cho
0
u :
d
→\\
{
}
00
|( 0,
d
xuxΓ= ∈ =\ )

⎝⎠

Mặt khác, vận tốc của
t
Γ
là
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 2(25).2008
.
u
u
t
∇
−

Vì vậy, ta có
),(xf
u
u
div
u
u
t
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

\ [0, ).
d
×∞
Định nghĩa 1. Một hàm được gọi là một nghiệm yếu dưới của
phương trình (2) nếu:
([0,
d
uC∈×∞\
ϕ
−u đạt cực đại địa phương tại điểm với mỗi , thì
00
(,) (0,)
d
xt ∈×∞\
+1
()
d
C
ϕ
∞
∈ \
00
2
00
(,)
khi (x , ) 0,
ij
ij
xx
tij xx

d
tai x t
t
ϕδηηϕ
ηη ϕ
⎧
≤−
⎪
⎨
∈≤∇
⎪
⎩
\ =
)

Định nghĩa 2. Một hàm được gọi là một nghiệm yếu trên của phương
trình (2) nếu:
([0,)
d
uC∈×∞\
ϕ
−u đạt cực tiểu địa phương tại điểm với mỗi ,
thì
00
(,) (0,)
d
xt ∈×∞\
+1
()
d

⎝⎠
⎪
∇≠
⎪
⎩

và

()
00
00
(,)
, 1, khi (x , ) 0.
ij
tijijxx
d
tai x t
t
ϕδηηϕ
ηη ϕ
⎧
≥−
⎪
⎨
∈≤∇
⎪
⎩
\ =
)


2.1. Tích chập INF-SUP
Định nghĩa 4.
Cho là một hàm liên tục. Với mỗi , ta viết w: B [0,T]×→\ 0>
ε
()
()
2
2
,[0,]
2
2
,[0,]
1
w(,): sup w(y,s)- +(t-s) ,
1
w(,): inf w(y,s)+ +(t-s) ,
yBs T
yBs T
xt x y
xt x y
ε
ε
ε
ε
∈∈
∈∈
⎧
⎫
=−
⎨

www
ε
ε
≤≤ [0, ]
B
T× .
(ii)
([0,])
w,w .
LB T
A
ε
ε
∞
×
≤
(iii) Nếu , và
yB∈ [0, ]sT∈
()
2
2
1
w(,) w(y,s)- +(t-s) ,xt x y
ε
ε
=− thì
1/2
||,|| :(xytsC
εσε
−−≤ =)

−6
là lõm.
(vi) Giả sử w là một nghiệm yếu dưới của (2) trong
[0, ]
B
T× . Khi đó, là một nghiệm
yếu dưới của (2) trong
w
ε
((),]
B
T
σε
× . Tương tự, nếu w là một nghiệm yếu trên của (2) thì
là một nghiệm yếu trên của (2) trong
w
ε
((),]
B
T
σε
×
.
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 2(25).2008
(vii) Ngoài ra, hàm số là khả vi đến cấp hai hầu khắp nơi và thỏa mãn
w
ε
t
2
ww

ε
∇≠
w
ε
t
2
ww
ww
w
ij
ij
xx
ij x x
f
εε
εε
ε
δ
⎛⎞
⎜⎟
≥− −∇
⎜⎟
∇
⎝⎠
w
ε

tại những điểm trong
((),]
B

(5)
(x,t) B [0,T]
ax ( ) : 0;muva
∈×
−=>
và với đủ nhỏ,
0
α
>
(x,t) B [0,T]
ax ( ) 0.
2
a
muvt
α
∈×
−− ≥ >
Ngoài ra, ta lưu ý rằng khi đều trên
,uuv
ε
ε
→→v 0
ε
→ [0, ]
B
T× . Hệ quả là nếu ta
cố định đủ nhỏ, ta có
0
ε
>

(7)
Từ (6), ta thấy

(x,t),(x+y,t+s) B [0,T]
ax ( , , , ) .
4
a
mxyts
∈×
Φ≥ (8)
Bây giờ, ta chọn
11 1 11 1
(,),(+y,+s) [0,]
x
tx t B T∈× sao cho
96
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 2(25).2008

97

1111
(x,t),(x+y,t+s) B [0,T]
(, ,,) ax (,,,).
x
yts m xyts
∈×
Φ= Φ (9)
Vì , nên (7) kéo theo
1111
(, ,,) 0xytsΦ>

(,0) (,0)+(1) khi, 0
(1) khi , 0.
a
xyts u x t vxt
ux t vx t o
ux vx o
ux vx o
o
ε
ε
ε
ε
εδ
εδ
≤Φ ≤ −
=−
=− →
=−
≤→
→
→
1
t

Đây là điều mâu thuẫn, vì vậy cho ta
().
σε
>
Sau đây, trong chứng minh, ta cố định .
,, 0

αα
δδ
−−−≥ −−−
4
(13)
với mọi Cho (,),(+y,t+s) B [0,T].xt x ∈×
1
x
x= và , rút gọn ta nhận được bất đẳng
thức
1
tt=
()
44
11 111 1
11
(+y,+s) (,+s)+ ||+ sux t uxt y s
εε
δδ
≤−
4

với Đặt và viết lại ta được
11
(+y,t+s)B[0,T].x ∈×
1
:rss=−
()
32234
111 111 1 1

3243
11 1 1 1 1 1 1 11
46
(,) (,)+ + |x-x|+|t-t| (,) (,).vxt vxt s tt stt o khixt xt
εε
α
δδ
⎛⎞
≥−−−− →
⎜⎟
⎝⎠
Vì v là một nghiệm yếu trên của (2) gần
ε
11
(,)
x
t , nên ta sử dụng định nghĩa của
nghiệm yếu trên để đi đến

3
1
4
0.s
α
δ
−≥ (15)
Đây chính là điều mâu thuẫn vì . Điều này chứng tỏ (12)
0>
α
\

điểm nên ta có thể ứng dụng Bổ đề Jensen [3] : tồn tại một dãy các điểm
1111
(,y,,s)xt
1
s)
(, )
CC
εδ
= Φ
111
(,y,,xt
{
}
1
)
k
∞
=
(, ,,
kkkk
xyts sao cho

1111
(, ,,) (,,,),
kkkk
x
yts xyts→ (16)
, u
ε
Φ và khả vi đến cấp hai tại điểm (17) v

δδ
∇Φ =∇ − = − (20)
Vì , nên ta áp dụng (18) để thu được
1
k
y→ y

2
11
4
,||
kk
:
p
pyy
δ
→=p trong . (21)
d
\
Khẳng định (12) cho ta và do đó
0p ≠ ,0
kk
pp≠ với k đủ lớn.
Một lần nữa, ta sử dụng (7) và (18) để nhận được

( , , , ) ( +y ,t +s ) - v ( , ) :
kkkk k kkk kk k k
tt t
xyts ux xt q q
ε

ε
ε
∇Φ =∇ ∇ = − (25)
Bây giờ (18) cho ta
,
kk
kd
GG I
ε
−≤
trong đó, . Ngoài ra, Bổ đề 1 (v) chứng tỏ và
0
k
ε
→
k
d
GCI≥−
k
d
GCI≤ với
. Vì vậy
()CC
ε
=
k
+.
kk
dd
CI G G I CI

t , nên
k
2
(+y)
kk
ij
kkkk
p
ij ij
k
pp
qgfx
p
δ
⎛⎞
⎜⎟
≤− −
⎜⎟
⎝⎠
và
2
()
kk
ij
kk
ij ij
k
pp
qgf
p

⎜⎟
⎝⎠
và
1
2
()
ij
ij ij
pp
qgf
p
δ
⎛⎞
⎜⎟
≥− −
⎜⎟
⎝⎠
xp
,
trừ hai bất đẳng thức trên, ta thu được
()
()
ij ij 1 1 1
2
+() (+y)
ij
ij
pp
qq g g fx fx p
p

()
111
() (+y) .qq fx fx p
α
−=≤ −
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 2(25).2008
100
k
Lưu ý rằng, bị chặn với mọi và độc lập với
; khi . Vì vậy, cho , ta nhận được
(+y,+s)
kkkk
pux t
ε
=∇
11
() 0yy
δ
=→
+
0
δ
→
0
δ
> 0
α
>
0
δ

R. Jensen, The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second
order partial differential equations, Arch. Rat. Mech. Anal. [101], 1988
[4]
Nguyễn Chánh Định, On the uniqueness of viscosity solutions to second order
parabolic partial differential equations, J. Science and Technology, University of
Danang,
2(14)(2006), 53-57.
[5]
Nguyễn Chánh Định, Existence of a weak solution of level set minimal surface
equations, J. Science and Technology, University of Danang,
5(17)(2006), 36-39.
[6]
Nguyễn Chánh Định, Some properties of weak solutions of level set minimal surface
equations, J. Science and Technology, University of Danang,
6(18)(2007), 65-68.
[7]
Ch. -D. Nguyen, and R. H. W. Hoppe, Amorphous surface growth via a level set
approach, J. Non. Anal. Theor. Meth. Appl. (
66)2007, 704-722.