5
Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006Một số tính chất của phân thớ con Lagrăng của phân
thớ vectơ symplectic Nguyễn Duy Bình
(a)Tóm tắt. Trong bài này chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của phân thớ con
Lagrăng của một phân thớ vectơ symplectic trong mối quan hệ với cấu trúc hầu phức
trên phân thớ vectơ symplectic và đồng cấu phân thớ symplectic.

1. Phân thớ vectơ symplectic và phân thớ con Lagrăng
Cho E(B, p) là phân thớ vectơ khả vi 2n chiều trên đa tạp B, một cấu trúc
symplectic trên E là một nhát cắt của phân thớ Ê
2
a
(E, R) các dạng song tuyến
tính phản xứng trên E thỏa mãn điều kiện: đối với mỗi điểm x của đáy B,
x
là
một dạng symplectic trên thớ E
x
. Phân thớ vectơ cùng với một cấu trúc symplectic
trên nó đợc gọi là phân thớ vectơ symplectic. Phân thớ con F của phân thớ vectơ
symplectic đợc gọi là phân thớ con Lagrăng nếu F

x
với mọi x B). Về biểu diễn địa phơng
của nhát cắt qua các phân thớ con Lagrăng bù nhau chúng ta có kết quả sau:
Mệnh đề 1.1. Cho L, L' là hai phân thớ con Lagrăng bù nhau của phân thớ
vectơ symplectic E(B, p) có chiều 2n. Khi đó với mọi x B có lân cận U, trên đó
xác định một họ các nhát cắt địa phơng s
1
, s
2
,

, s
n
của L* và s
n+1
,

, s
2n
của
(L')* sao cho trên U ta có
= s
1

s
n+1
+ + s
n

s

và (
'
y
L
)
*
tơng ứng. Ta có
Nhận bài ngày 03/10/2005. Sửa chữa xong 09/12/2005

6

Nguyễn Duy Bình Một số tính chất của phân thớ , tr. 5-9 =

< nji 21
a
ij



i



j
.

Vì L, L' là không gian con Lagrăng nên

=


i
,
ta có s
n+1
, , s
2n
là các nhát cắt của (L')
*
và
= s
1

s
n+1
+ + s
n

s
2n
.


2. Cấu trúc hầu phức và mối quan hệ với các phân thớ con
Lagrăng bù nhau
Khái niệm cấu trúc hầu phức trên phân thớ vectơ symplectic đã đợc đề cập
trong [1], ở đây chúng ta chỉ ra mối quan hệ của nó với các không gian con
Lagrăng bù nhau.

x

gọi là dạng Riman trên phân thớ E(B, p).
Về mối quan hệ giữa và cấu trúc hầu phức tơng thích ta có kết quả sau:
Mệnh đề 2.1. (Định lý 14.3 [1]). Sự tồn tại một cấu trúc symplectic trên phân
thớ vectơ thực hạng 2n tơng đơng với sự tồn tại trên phân thớ này một cấu trúc
hầu phức. Hơn nữa mọi cấu trúc symplectic trên phân thớ vectơ có cấu trúc hầu
phức tơng thích.
Sử dụng kết quả trên, ta chỉ ra rằng nếu trên phân thớ vectơ symplectic có
phân thớ con Lagrăng thì có phân thớ con Lagrăng bù với nó.
Mệnh đề 2.2. Cho L là phân thớ con Lagrăng của phân thớ vectơ symplectic
và J là cấu trúc hầu phức tơng thích. Khi đó phân thớ con JL (với thớ
(JL)
x
= J
x
(L
x
)) là phân thớ con Lagrăng bù của L. 7
Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006Chứng minh. Gọi g là dạng Riman xác định bởi g
x
(u, v) =
x
(u, J

hay với mọi J
x
u, J
x
v J
x
L
x
, do đó phân thớ JL là Lagrăng.
Cũng suy từ trên ta có g
x
(J
x
u, v) = 0, với mọi J
x
u

J
x
L
x
và mọi v L
x
, tức
J
x
L
x
và L
x

lên đa tạp con các toán tử đối xứng xác định dơng của GL(V) và lôgarit là ánh xạ
ngợc của nó. Sự phân tích của A ở 1) trong mệnh đề trên gọi là sự phân tích cực.
Mệnh đề 2.4. Cho L, L' là hai phân thớ con Lagrăng bù nhau của phân thớ
vectơ symplectic E(B, p). Khi đó tồn tại cấu trúc hầu phức tơng thích J của phân
thớ sao cho JL = L'.
Chứng minh. Với mỗi x B có lân cận U
x
và dạng Riman g trên phân thớ
vectơ p
-1
(U)(U, p) sao cho L
x
và L'
x
trực giao với mỗi x U
x
. Gọi g là dạng Riman
trên phân thớ E(B, p) xác định nhờ các dạng địa phơng g
x
và phép phân hoạch
đơn vị
g =

x

x
g
x.
.
Khi đó L

(w, .) (E
x
)
*

xác định đẳng cấu tuyến tính A
x
: E
x
E
x
bởi hệ thức

x
(u, v) = g
x
(A
x
u, v)
phụ thuộc khả vi vào x.
Theo Mệnh đề 4, toán tử A
x
có sự phân tích A
x
= K
x
J
x
, trong đó toán tử J
x

vào E'
x
đợc gọi
là một đồng cấu phân thớ symplectic. Dễ thấy rằng đồng cấu phân thớ symplectic
biến phân thớ con Lagrăng thành phân thớ con Lagrăng, biến hai phân thớ con
Lagrăng bù nhau thành hai phân thớ con Lagrăng bù nhau.
Sau đây chúng ta xem xét điều kiện để một ánh xạ khả vi f : E E' là một
đồng cấu phân thớ symplectic. Trên phân thớ vectơ tích EìE'(B, pìp') của hai
phân thớ vectơ E(B, p) và E'(B, p') đa vào các cấu trúc symplectic sau đây: gọi
p* và p'*' là nhát cắt của phân thớ tích xác định bởi p*
x
((u, u'), (v, v')) =
x
(u, v)
và p'*'
x
((u,u'),(v,v')) = '
x
(u', v') .
Bổ đề 3.1. EìE'(B, pìp') là phân thớ vectơ symplectic với cấu trúc symplectic
p* - p'*'.
Chứng minh. Tính song tuyến tính phản xứng của (p* - p'*')
x
là dễ dàng.
Sử dụng tính tầm thờng địa phơng, tính khả vi của nhát cắt p* - p'*' của
phân thớ EìE'(B, pìp') suy từ tính khả vi của nhát cắt của phân thớ tầm thờng
xác định trên mỗi lân cận cảm sinh từ nhát cắt ban đầu. Phân thớ tầm thờng có
thớ là tích của hai không gian vectơ, tơng ứng đẳng cấu với thớ của E(B, p) và
của E'(B, p'). Tính khả vi của nhát cắt cảm sinh của phân thớ tầm thờng suy từ
tính khả vi của các hàm hệ số của dạng song tuyến tính phản xứng trên tích của

n2
(p*)
x
n

(p'*')
x
n
0,
do đó p* - p'*' là dạng symplectic.
Liên quan tới phân thớ vectơ symplectic ở bổ đề trên và đồng cấu từ E(B, p)
vào E'(B, p'), ta có kết quả sau:
Mệnh đề 3.2. ánh xạ khả vi f : E E' là đồng cấu phân thớ symplectic từ
E(B, p) vào E'(B, p') khi và chỉ khi đồ thị của f trong EìE' xác định phân thớ con
Lagrăng của phân thớ vectơ symplectic EìE'(B, pìp') với cấu trúc symplectic
p*- p'*'.
Chứng minh: Đồ thị của f trong E
ì
E' xác định phân thớ con Lagrăng của
EìE'(B, pìp') khi và chỉ khi với bất kỳ (u, f(u)), (v, f(v))

EìE' ta có
(p* - p'*')
x
(((u, f(u), (v, f(v))) = 0
hay
p*
x
((u, f(u)), (v, f(v))) = p'*'
x
(a) Khoa toán, Trờng Đại học Vinh