ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Khoa Vật lý
Sinh viên: Hoàng Mạnh Tiến

CHUI NGẦM BALLISTIC VÀ SHOT NOISE
TRONG CÁC CẤU TRÚC NANO
GRAPHENE
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP HỆ ðẠI HỌC CHÍNH QUY
Ngành: Vật lý lý thuyết
Hà nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Khoa Vật lý
Sinh viên: Hoàng Mạnh Tiến

CHUI NGẦM BALLISTIC VÀ SHOT NOISE
TRONG CÁC CẤU TRÚC NANO
GRAPHENE

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP HỆ ðẠI HỌC CHÍNH QUY
Ngành: Vật lý lý thuyết
Hà nội ngày 25 tháng 5 năm 2008
Thầy giáo hướng dẫn: GS.TSKH. Nguyễn Văn Liễn

Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008
Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên
Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008
1
MỞ ðẦU.................................................................................................................................... 2
Chương 1. Tổng quan về Graphene ........................................................................................ 4
1.1 Giới thiệu ......................................................................................................................... 4
1.2 Cấu tạo mạng Graphene ................................................................................................ 5
1.3. Cấu trúc vùng năng lượng ............................................................................................ 6
Chương 2. Phương trình mô tả electron trong Graphene................................................... 12
và phương pháp T_matrix ..................................................................................................... 12
2.1. Từ phương trình Srodinger tới phương trình ðirac................................................ 12
2.2 Lời giải của phương trình tựa ðirac 2 chiều.............................................................. 13
2.3 Phương pháp T_matrix................................................................................................ 17
Chương 3. Hiện tượng truyền và shot noise trong các hệ Graphene ................................. 22
3.1 Các công thức................................................................................................................ 22
3.2 Hệ Graphene một bờ thế (H8) ..................................................................................... 26
3.4 Quantum dot Graphene ............................................................................................... 33
Kết luận.................................................................................................................................... 40
Tài liệu tham khảo.................................................................................................................. 41

15 2
e
n 4.10 cm
−
≈
) , ñặc biệt là truyền spin, các nhà khoa học ñang kì vọng rằng sẽ chế tạo
ñược các linh kiện ñiện tử, transitor, quantum dot bằng Graphene thay thế cho các linh
kiện bán dẫn hiện nay và mở kỷ nguyên công nghệ mới: Kỷ nguyên Cacbon thay cho
kỷ nguyên Silic của thế kỷ 20.

ðể mô tả chuyển ñộng của electron trong Graphene (thường gọi là các electron
ðirac), chúng ta không thể dùng phương trình Srodinger mà phải dùng phương trình
tựu ðirắc. Bằng cách giải phương trình tựu ðirắc cho hệ 1 chiều, A. Calageracos và
N.Dombey [5] ñã giải thích ñược nghịch lý Klein (Klei paradox). ðó là: khi tới với
phương vuông góc với bờ thế, electron ðirac có xác suất chui ngầm bằng 1 bất chấp ñộ
cao hay bề dày của bờ thế là bao nhiêu. Cũng trong năm 2006, M.I. Katsnelson [6] ñã
tính hệ số truyền qua cho hệ 1 bờ thế bằng cách giải phương trình ðirắc cho hệ
Graphene. Trong năm 2007, J.Miton Pereira. Js [9] ñã tính ñộ dẫn (conductance) cho
Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên
Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008
3
hệ 1,2 bờ thế và ông còn khảo sát sự giam cầm của electron trong giếng thế tạo bởi
Graphene (Graphehe quantum well) [8]. D.Dragoman [7] ñã vẽ ñược ñường ñặc trưng
Vol-Ampe cho hệ một bờ thế, từ ñó ông suy ra rằng trong Graphen, hệ 1 bờ thế ñã xuất
4
Chương 1. Tổng quan về Graphene
1.1 Giới thiệu
Cacbon là vật liệu khởi nguồn cho sự sống trên Trái ñất và là thành phần cơ bản
của tất cả các hợp chất hữu cơ. Do tính linh ñộng của các nguyên tử cácbon trong khả
năng tạo thành liên kết, các hợp chất cácbon ña dạng cả về loại và tính chất. Các
nguyên tử cácbon có thể liên kết với các nguyên tử khác như Hidro, Oxi hay cũng có
thể liên kết trực tiếp với nhau tạo thành các mạng nguyên tử Cacbon. Trong các dạng
thù hình ñó phải kể ñến Graphene, một lớp ñơn nguyên tử cácbon 2 chiều có dạng hình
tổ ong (H1), ñóng một vai trò vô cùng quan trọng trong việc tạo thành các dạng thù
hình khác của Cácbon. Tập hợp nhiều lớp Graphene xếp chồng lên nhau sẽ tạo ra vật
liệu Graphite (than chì) 3 chiều. Một tấm Graphene mà cuộn lại sẽ tạo thành một ống
nano cácbon 1 chiều hay tạo thành quả cầu cácbon không chiều (Fullerene) [3]. Hình 1. Một số dạng thù hình của Cacbon:
Graphene, Graphite, nanotube, Fulerence
(Quả cầu C60)
Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên

vững và một liên kết

π
. Trong ñó liên kết
π
kém bền hơn và vuông góc với ba liên kết
kia. Do ñó toàn bộ các electron
π
ñều
tham gia vào dẫn và có ảnh hưởng
quyết ñịnh ñến các tính chất ñặc trưng
của Graphene.

Một vài thông số của mạng
Graphene [4]:
Hình 2. Cấu trúc mạng Graphen
và vùng Bruiluin thứ nhất
Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên
Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008
6
Hằng số mạng :
3 2,46
o
cc

π
= −
Như ñã nói tới ở trên, Graphene là một lớp ñơn nguyên tử các bon có cấu trúc mạng
hình tổ ong. Ta thấy, mạng bravai này thực chất là hai mang tam giác lồng vào nhau. Do ñó
vector cơ của mạng là
1 2
à aa v
, mỗi ô nguyên tố có 2 nguyên tử là A và B. Từ ñó ta vẽ ñược
vùng Bruiluin thứ nhất như trên hình 2. Ở ñây ta chú ý tới 4 ñiểm ñối xứng là
Γ
, M, K và
'
K

trong ñó hai ñiểm K và
'
K
là không hoàn toàn ñối xứng.(Tuy nhiên trong các bài toán của ta
thi ta có thể coi hai ñiểm này là ñối xứng, chỉ khi xét bài toán có từ trường ngoài, tương tác
spin… thì mới cần phân biệt hai ñiểm này)

1.3. Cấu trúc vùng năng lượng
Khi xem xét một vật liệu mới thì việc ñầu tiên cần làm là ñi tìm cấu trúc vùng
năng lượng của vật liệu ñó. Từ cấu trúc vùng năng lượng chúng ta có thế biết ñược chất
ñó là kim loại, bán dẫn, hay ñiện môi, ngoài ra chúng ta có thể tinh ñoán một số tính
chất của nó và tính ñược một số ñại lượng như khối lượng hiệu dụng chẳng hạn.
ðể tìm cấu trúc vùng năng lượng của một mạng tinh thể người ta thường dùng
hai phương pháp là:
1. Phương pháp chính xác: ab-initio (hay còn gọi là first principle). Nội dung
chủ yếu của phương pháp này là tính chính xác cấu trúc vùng năng lượng cho


ik R
A
A z
R
0
ik R
B
B z
R
0
1
( k,r ) e p ( r R R )
N
1
( k,r ) e p ( r R R )
N
ϕ
ϕ
= − −
= − −
∑
∑
 

 

    
    
(1.2)

H H
 
=
 
 
(1.3)

Trong ñó:

ik( R' R ) A,R A,R'
AA 0 z z
R,R'
ik( R' R ) A,R B,R'
AB 0 z z
R,R'
H 1/ N e p p
H 1/ N e p p
Η
Η
−
−
=
=
∑
∑
    
 
    
 
(1.4)

=
=
∑
∑
   

   

(1.5)
Khai triển hệ thức, giữ lại ñến các lân cận gần nhất ta có:

p p
1 1 2 2
6
A,0 A,0 ikR A,0 A,R
AA z z z z
p 1
A,0 B,0 ik.a A,0 B, a ik.a A,0 B, a
AB z z z z z z
H p | H | p e p | H | p
H p H p e p H p e p H p
=
− − − −
= +
= + +
∑
  
     
(1.6)
Trong ñó biểu thức của

A,0 A,0
z z
p | H | p
α
=
,
i
A,0 A,R
z z
p | H | p
β
=


1 2
A,0 B,0 A,0 B, a A,0 A, a
z z z z z z
p | H | p p |H | p p | H | p
γ
− −
= = =
 

Ta có:

i
2
1
6
ik R

Trong ñó :

1 2 2 1
f (k ) 2cos( k.a ) 2cos( k.a ) 2cos[ k.( a a )]= + + −
       
(1.9) Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên
Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008
10
Hoặc khai triển theo các tọa ñộ trực giao:

y y
2
x
k a k a
3k a
f (k ) 12(cos cos cos )
2 2 2
= +

(1.10)


(gọi là các ñiểm ðirac) các electron trong Graphene hành xử như những hạt tương ñối
tính có khối lượng bằng không mặc dù vận tốc của electron trong Graphene chỉ bằng
cỡ 1/300 vận tốc ánh sáng. ðiều ñó giúp các nhà thực nghiệm có thể quan sát ñược một
số hiệu ứng tương ñối tính mà không cần tới các máy gia tốc cực lớn. Cụ thể là nó giúp
chúng ta có thể kiểm tra trực tiếp phương trình ðirắc bằng thực nghiệm, một phương
trình vốn có nhiều ñiểm lạ kì.
Trong phương pháp gần ñúng liên kết mạnh, chúng ta ñã bỏ qua số hạng xen
phủ của hàm sóng và chỉ tính tới số hạng bậc nhất nên vùng dẫn và vùng hóa trị là
hoàn toàn ñối xứng với nhau qua mặt Fermi. Tuy nhiên ñiều ñó là không hoàn toàn
Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên
Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008
11
trùng khớp với phương pháp ab-initio (H3). Mặc dù vậy trong các tính toán thông
thường ta vẫn coi như ñối xứng và phương trình cho electron sẽ có dạng ñơn giản nhất
có thể. Ngoài ra do có các ảnh hưởng nào ñó mà có thể hai vùng năng lượng này không
hoàn toàn tiếp xúc với nhau mà còn có một khe năng lượng nhỏ cỡ vài chục meV mà ta
có thể coi là năng lượng nghỉ của electron trong các phương trình tính toán. Hình 3. Cấu trúc vùng năng lượng
tính bằng phương pháp ab-initio và

k

hai ông ñã thu ñược phương trình tựa ðirac cho electron
trong Graphen như sau:

( )
2
D 0 z 0
H ( x,y ) v . mv U( x,y ) ( x,y ) E ( x,y )
ψ σ σ ψ ψ
 
= − ∇ + + =
 
 
ℏ
(2.1)

Tại vì Graphene là hệ hai chiều nên phương trình của ta ở ñây chỉ viết cho
trường hợp hai chiều. Do ñó,
( , )
x y
σ σ σ
=

và
, ,
x y z
σ σ σ
ở ñây là ba ma trận Pauli,
U(x,y) là thế bên ngoài ñặt vào còn


2.2 Lời giải của phương trình tựa ðirac 2 chiều
Trong bài toán của ta chỉ xét trường hợp là electron chỉ chịu tác dụng của thế
tĩnh ñiện và thế này là không ñổi trên từng ñoạn. Khi ñó phương trình ðirac sẽ có lời
giải giải tích chính xác, ñầy ñủ. Ta hãy khảo sát trường hợp này bằng cách áp dụng
phương trình ðirac ở trên (2.1):
( )
2
D 0 z 0
H ( x,y ) v . mv U( x,y ) ( x,y ) E ( x,y )
ψ σ σ ψ ψ
 
= − ∇ + + =
 

ℏ

Trong ñó :
( , )
x y
σ σ σ
=

và
0 1
1 0
x
σ
 
=

ψ
 
=
 
 
và thay vào
phương trình trên ta thu ñược:
Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên
Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008
14

2
2 2
0 0 1 1
2
1 1
0 0 2 2
v ( i ) [mv U( x,y )] E
x y
v ( i ) [-mv U( x,y )] E
x y
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ

ψ ψ
∂ ∂

− − = − −

∂ ∂


∂ ∂

− + = − +

∂ ∂

ℏ
ℏ
(2.3)
ðặt các ñại lượng không thứ nguyên:
2
0 0 0
mv / v
ε
=
ℏ
,
0
u( x,y ) U( x,y ) / v=
ℏ
,
o

∂ ∂

= − +

− + ∂ ∂

(2.4)
Trong trường hợp riêng của ta: thế
u( x,y )
không ñổi dọc theo trục
Oy
mà chỉ
phụ thuộc vào phương Ox, khi ñó nghiệm có thể tìm dưới dạng hàm riêng của xung
lượng theo trục
Oy
:
y
ik y
( x,y ) e ( x )
ψ χ
= , ta có phương trình cho
1
2
( )
( )
( )
x
x
x
χ


= − +

− + ∂

(2.5)