VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
———————–
THÁI DOÃN CHƯƠNG
HÀM GIÁ TRỊ TỐI ƯU VÀ ÁNH XẠ NGHIỆM
HỮU HIỆU TRONG CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU
VÉCTƠ CÓ THAM SỐ
Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu
Mã số: 62 46 20 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2011
Công trình này được hoàn thành tại Viện Toán học, Viện Khoa học và
Công nghệ Việt Nam.
Người hướng dẫn khoa học:
1. GS.TSKH. Nguyễn Đông Yên
2. TS. Nguyễn Quang Huy
Phản biện 1: GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn
Phản biện 2: GS.TSKH. Nguyễn Hữu Công
Phản biện 3: PGS.TS. Nguyễn Thị Bạch Kim
Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp viện họp tại Viện
Toán học - Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam
vào hồi 9 giờ 00 ngày 28 tháng 07 năm 2011
Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện của Viện Toán học
. - Thư viện quốc gia
f : X → Y
X Y
Y
K ⊂ Y y
1

K

Y
||(x, y)|| := ||x|| + ||y|| ∀(x, y) ∈ X × Y.
Ω (X, d)
T
P := C[Ω, R
s
] × C[Ω × T, R
m
] × C[T, R
m
].
p := (f, g, b) ∈ P
(SVO)
p
: min
R
s
+
f(x) x ∈ C(p),
C(p) := {x ∈ Ω | g(x, t) − b(t) ∈ −R
m
+
∀t ∈ T }
R
k
+
:= {x = (x
1
, , x
k

p
¯x ∈ C(p) x ∈ C(p)
f(x) − f(¯x) ∈ −intR
s
+
.
F : Y ⇒ Z
domF := {y ∈ Y | F (y) = ∅} F.
F : Y ⇒ Z
y
0
∈ Y V ⊂ Z F (y
0
) ⊂ V
U ∈ N (y
0
) F (y) ⊂ V y ∈ U.
y
0
∈ F V ⊂ Z
V ∩ F (y
0
) = ∅ U ∈ N (y
0
) V ∩ F (y) = ∅ y ∈ U.
Θ
f : Θ → R
s
K ⊂ R
s

2
) ∈ y − K f(tx
1
+ (1 − t)x
2
) ∈ y − intK.
C : P ⇒ Ω
p
0
:= (f
0
, g
0
, b
0
) ∈ dom C.
C p
0
.
Ω
p
0
:= (f
0
, g
0
, b
0
) ∈ P
t ∈ T g(·, t) R

∈ S(p
0
) V (x
0
) ∈ N (x
0
) Ω
¯x ∈ V (x
0
) ∩ S(p
0
)
f
−1
0
(f
0
(¯x)) ∩ C(p
0
) ⊂ V (x
0
).
C p
0
p
0
∈ P C(p) = Ω p ∈ P S
p
0
x

C p
0
.
S p
0
.
Ω f
0
R
s
+
Ω.
f
0
f
0
(x
1
) = f
0
(x
2
) x
1
= x
2
.
Ω
p
0

.
S p
0
.
S
p
0
:= (f
0
, g
0
, b
0
) ∈ P. S p
0
S(p
0
) = S
w
(p
0
). C
p
0
p
0
∈ P. C(p) = Ω
p ∈ P, S p
0
S(p

:= (f
0
, g
0
, b
0
) ∈ P. g(·, t) R
m
+
Ω
t ∈ T C(p
0
). S(p
0
) = S
w
(p
0
) S
p
0
.
K ⊂ R
m
intK = ∅
T
K R
n
R
m

t
(x) T × R
n
.
C : P ⇒ R
n
S : P ⇒ R
n
(X, d) x ∈ X Ω ⊂ X
d(x, Ω) := inf {d(x, y) | y ∈ Ω}, d(x, ∅) := +∞
X = R
k
k = 1, 2, , R
k
|| · ||
k
. cone(Ω)
Ω ⊂ R
k
Ω {0
k
}.
cone(∅) = {0
k
}. h : R
k
→ R ∪ {+∞} x ∈ R
k
h(x) = +∞. h x ∂h(x)
∂h(x) := {v ∈ R

2
) ∀x
1
, x
2
∈ U, ∀y
2
∈ V ∩ F (x
2
).
p := (f, b) ∈ P.
C(p) ˆx ∈ R
n
g
t
(ˆx) < b(t) ∀t ∈ T.
x ∈ C(p). T
p
(x) := {t ∈ T | g
t
(x) = b(t)}
x
p := (f, b) ∈ P x ∈ S(p).  ∈ K
∗
||||
m
= 1 x ∈ argmin{ ◦ f(z) | z ∈ C(p)}, x
.  ◦ f(z) := , f(z)
z ∈ R
n

0
) ∩ cone


t∈T
0
(−∂g
t
(x
0
))

= ∅

0
∈ K
∗
x
0

0
. x
0

¯
 z ∈ R
n
||z||
n
= 1

∞
k=1
⊂ gphS (p
k
, x
k
) →
(p
0
, x
0
) := (f
0
, b
0
, x
0
) ∈ gphS, k 
k
∈ K
∗
||
k
||
m
=
1 u
k
∈ ∂(
k

=
n

i=1
λ
k
i
u
k
t
k
i
,
{u
k
t
k
1
, , u
k
t
k
n
} R
n
.

0
∈ K
∗

K 
K
Y
y 
K
y

⇔ y

− y ∈ K ∀y, y

∈ Y.
min
K

f(p, x) | x ∈ C(p)

p ∈ P.
y ∈ A A ⊂ Y
K (y − K) ∩ A = {y}. A K
E(A|K). E(∅|K) := ∅.
F : P ⇒ Y
F (p) := {f(p, x) | x ∈ C(p)}.
F(p) := E(F (p)|K), p ∈ P
F : P ⇒ Y
p ∈ P, S(p)
S(p) = {x ∈ C(p) | f(p, x) ∈ F(p)}.
G : P ⇒ Y
G
αG(p) + (1 − α)G(p

→ 0,
∃{v
n
} ⊂ Y, v
n
→ v ¯y
n
+ t
n
v
n
∈ Ω ∀n ∈ N}.

Ω ⊂ P × Y, u ∈ P
Π
u

Ω := {y ∈ Y | (u, y) ∈

Ω}.
G : P ⇒ Y
(¯p, ¯y) ∈ gphG. D
C
G(¯p, ¯y) : P ⇒ Y
G (¯p, ¯y)
D
C
G(¯p, ¯y)(u) = E

Π

n
}
G : P ⇒ Y
¯p ∈ P U ∈ N (¯p)
G(p) ⊂ E(G(p)|K) + K ∀p ∈ U.
F
F.
(B) (¯p, ¯y) ∈ gphF.
D
C
F (¯p, ¯y)(u) ⊂ E

Π
u
T
C
(gphF ; (¯p, ¯y))|K

∀u ∈ P,
epiD
C
F (¯p, ¯y) = T
C
(epiF ; (¯p, ¯y)).
(¯p, ¯y) ∈ gphF. D
C
F (¯p, ¯y)(0) = ∅,
(B) (¯p, ¯y) ∈ gphF.
F ¯p.
D

C(p, y) = {x ∈ C(p) | y − f(p, x) ∈ K}.
¯p ∈ P ¯x ∈ C(¯p). f
(¯p, ¯x) ∇f(¯p, ¯x) (B)
{∇f(¯p, ¯x)(p, x) | (p, x) ∈ T
C
(gphC; (¯p, ¯x))} + K ⊂ Π
p
T
C
(epiF ; (¯p, ¯y))
p ∈ P, ¯y := f(¯p, ¯x). (B)
(A)

C ((¯p, ¯y), ¯x),
{∇f(¯p, ¯x)(p, x) | (p, x) ∈ T
C
(gphC; (¯p, ¯x))} + K = Π
p
T
C
(epiF ; (¯p, ¯y))
p ∈ P.
¯p ∈ P ¯x ∈ C(¯p) ¯y := f(¯p, ¯x) ∈ F(¯p).
F ¯p f
(¯p, ¯x) ∇f(¯p, ¯x)
D
C
F(¯p, ¯y)(p) = E

{∇f(¯p, ¯x)(p, x) | (p, x) ∈ T

ϕ
∗
(v) := sup {v, x − ϕ(x) | x ∈ X} ∀v ∈ X.
cone


t∈T
epig
∗
t

P × X × R.
F
¯p ∈ P ¯x ∈ C(¯p) ¯y := f(¯p, ¯x) ∈ F(¯p).
F ¯p, f
(¯p, ¯x),

∇f(¯p, ¯x)(p, x)


(p, x) ∈P × X,

t∈T
λ
t
∂g
t
(¯p, ¯x)(p, x) ≤ 0, ∀λ ∈ A(¯p, ¯x)

+ K = Π

A
∗
A x ∈ X ρ X B
ρ
(x)
K
K
∗
:= {y
∗
∈ Y
∗
| y
∗
, k ≥ 0 ∀k ∈ K}.
f : P → Y ¯p ∈ P
∇f(¯p): P → Y
lim
p,u→¯p
f(p) − f(u) − ∇f(¯p), p − u
p − u
= 0.
l : Ω ⊂ X → Y
¯x ∈ Ω η > 0  ≥ 0
l(x) − l(u) ≤ x − u ∀ x, u ∈ B
η
(¯x) ∩ Ω
( l(x) − l(¯x) ≤ x − ¯x ∀ x ∈ B
η
(¯x) ∩ Ω).

) ∀n ∈ N

X
∗
w
∗
X
∗
x
Ω
−→ ¯x Ω ⊂ X x → ¯x x ∈ Ω. ε ↓ ε
0
ε → ε
0
ε ≥ ε
0
.
Ω ⊂ X
ε ≥ 0

N
ε
(¯x; Ω) :=

x
∗
∈ X
∗



ε↓0

N
ε
(x; Ω).
N(¯x; Ω) := ∅ ¯x /∈ Ω.

N(¯x; Ω) ⊂ N(¯x; Ω)
ϕ :
X → R ¯x ∈ X.
ϕ ¯x |ϕ(¯x)| < ∞
∂ϕ(¯x) := {x
∗
∈ X
∗
| (x
∗
, −1) ∈ N((¯x, ϕ(¯x)); ϕ)},

∂ϕ(¯x) := {x
∗
∈ X
∗
| (x
∗
, −1) ∈

N((¯x, ϕ(¯x)); ϕ)}.
|ϕ(¯x)| = ∞, ∂ϕ(¯x) =


∗
) := {p
∗
∈ P
∗
| (p
∗
, −y
∗
) ∈

N((¯p, ¯y); gph G))} ∀y
∗
∈ Y
∗
.
F
H : P × Y ⇒ Y

C : P × Y ⇒ X
H(p, y) := F(p) ∩ (y − K),

C(p, y) := {x ∈ C(p) | y = f(p, x)}.
¯p ∈ P, ¯x ∈ C(¯p) ¯y := f(¯p, ¯x) ∈ F(¯p).
y
∗
∈ K
∗

∂

∗
C(¯p, ¯x)(x
∗
)

.
f (¯p, ¯x) ∇f(¯p, ¯x) :=
(∇
p
f(¯p, ¯x), ∇
x
f(¯p, ¯x))

C (¯p, ¯y, ¯x),

D
∗
F(¯p, ¯y)(y
∗
) = ∇
p
f(¯p, ¯x)
∗
y
∗
+

D
∗
C(¯p, ¯x)


D
∗
F(¯p, ¯y)(y
∗
) ⊂

(p
∗
,x
∗
)∈

∂
+
y
∗
,f(¯p,¯x)

p
∗
+ u
∗


(u
∗
, −x
∗
) ∈ ∇h(¯p, ¯x)



(u
∗
, −∇
x
f(¯p, ¯x)
∗
y
∗
) ∈ ∇h(¯p, ¯x)
∗

N( ¯w; Θ)

.
C(p) :=

x ∈ X | g
i
(p, x) ≤ 0, i = 1, , m,
g
i
(p, x) = 0, i = m + 1, , m + r

,
g
i
, i = 1, , m + r P × X.
h : P × X → R


∂
+
y
∗
, f(¯p, ¯x) = ∅ f
(¯p, ¯x). F
¯p H
(¯p, ¯y, ¯y) g
i
, i = 1, , m + r,
(¯p, ¯x)
∇g
1
(¯p, ¯x), , ∇g
m+r
(¯p, ¯x)

D
∗
F(¯p, ¯y)(y
∗
) ⊂

(p
∗
,x
∗
)∈


1
, ,λ
m+r
) ∈ R
m+r


x
∗
+
m+r

i=1
λ
i
∇
x
g
i
(¯p, ¯x) = 0,
λ
i
≥ 0, λ
i
g
i
(¯p, ¯x) = 0 i = 1, , m


D


,

C (¯p, ¯y, ¯x) f
(¯p, ¯x) ∇f(¯p, ¯x) := (∇
p
f(¯p, ¯x), ∇
x
f(¯p, ¯x)).
F
C
t ∈ T, g
t
: P × X → R
P, X Y
(¯p, ¯x) ∈ gph C

N

(¯p, ¯x); C

=

λ∈A(¯p,¯x)


t∈T
λ
t


∗
,x
∗
)∈

∂
+
y
∗
,f(¯p,¯x)

p
∗
+ u
∗


(u
∗
, −x
∗
) ∈

λ∈A(¯p,¯x)


t∈T
λ
t


∗
) ∈

λ∈A(¯p,¯x)


t∈T
λ
t

∂g
t
(¯p, ¯x)


,

C (¯p, ¯y, ¯x) f
(¯p, ¯x) ∇f(¯p, ¯x) := (∇
p
f(¯p, ¯x), ∇
x
f(¯p, ¯x)).
¨o
class="bi xa y19 w2 h7"
•
•
•
•
•