bộ giáo dục và đào tạo

đề chính thức
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông
năm học 2002 2003

môn thi: toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Bài 1 (3 điểm).
1. Khảo sát hàm số
2
54
2

+
=
x
xx
y

2. Xác định m để đồ thị hàm số
2
54)4(
22
+
+
=
mx
mmxmx
y


và đờng thẳng y = 0.
Bài 3 (1,5 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho một elíp (E) có khoảng cách giữa các
đờng chuẩn là 36 và các bán kính qua tiêu của điểm M nằm trên elíp (E) là 9 và 15.
1. Viết phơng trình chính tắc của elíp (E).
2. Viết phơng trình tiếp tuyến của elíp (E) tại điểm M.
Bài 4 (2,5 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có toạ độ
xác định bởi các hệ thức:
A = (2; 4; - 1) ,



+

=

kjiOB 4
, C = (2; 4; 3) ,



+

=

kjiOD 22
.
1. Chứng minh rằng AB AC, AC AD, AD AB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
2. Viết phơng trình tham số của đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng AB và
CD. Tính góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng (ABD).


hớng dẫn chấm Đề chính thức
môn toán
* Bản hớng dẫn chấm thi này có 4 trang *I. Các chú ý khi chấm thi

1) Hớng dẫn chấm thi (HDCT) này nêu biểu điểm chấm thi tơng ứng với đáp án nêu dới đây.
2) Nếu thí sinh có cách giải đúng, cách giải khác với đáp án, thì ngời chấm cho điểm theo số
điểm qui định dành cho câu ( hay phần

) đó.
3) Việc vận dụng HDCT chi tiết tới 0,25 điểm phải thống nhất trong tất cả các tổ chấm thi môn
Toán của Hội đồng.
4) Sau khi cộng điểm toàn bài mới làm tròn điểm môn thi theo qui định chung.

II. Đáp án và cách cho điểm
Bài 1 (3 điểm).

1. (2, 5 điểm)

- Tập xác định R \ { 2}.
(0, 25 điểm)
- Sự biến thiên:

a) Chiều biến thiên:

2
1

;31;x
: hàm số nghịch biến trên các khoảng
( )( )
+ ;3,1;
.

y > 0 với
()
2;1
x

(2; 3)
: hàm số đồng biến trên các khoảng
(1; 2), (2; 3).

(0, 75 điểm)
b) Cực trị:

Hàm số có hai cực trị: cực tiểu y
CT

= y(1) = 2 , cực đại y
CĐ




=


x
xx
x
y
x
x
xx
x
y
x
Đồ thị có
tiệm cận đứng x = - 2.

0)
2
1
(lim)]2([lim =



=+

x
x
xy

y - 0 + + 0 -
y
+ + - 2
CĐ
CT
2 - - - 3

2
16
2
2
lim
mx
mm
x
. Qua giới hạn có
2 + m 2
= 0 hay m = 0.

Với m = 0 ta có
2
1
2
2
54
2

+=

+
=
x
x
x
xx
y
; nên đồ thị hàm số có tiệm cận

+
++
=
x
x
x
xxx
xf
;
1
2
2
2
2
)1(
13
2
3
3
C
x
x
x
dx
x
xxx
+
+
++=


(0, 75 điểm)
(0, 25 điểm)
2. ( 1 điểm)

Diện tích hình phẳng S cần tìm


+

+
++

(0, 25 điểm)
Vẽ đúng dạng đồ thị :

+ Giao với Oy: tại điểm
(0; 2,5)

+ Đồ thị có tâm đối xứng tại
điểm ( 2 ; 0).

+ Đồ thị có hai tiệm cận
:
x = 2 và y = - x + 2.


Bài 3 (1, 5 điểm)

1. (1 điểm).


Giả sử điểm M ở góc phần t thứ nhất và M = (x; y). Khi đó theo đầu bài ta có
các hệ thức: các bán kính qua tiêu
1
MF
= a + ex = 15,
2
MF
= a - ex = 9, khoảng
cách giữa các đờng chuẩn: 2 .
e
a
= 36. Vậy a = 12, e =
3
2
, x =
2
9
.


Vì c = a.e = 8 và có b
2
= a
2
- c

.

Trên elíp (E) còn 3 điểm có toạ độ là (-
2
9
;
2
115
), (
2
9
; -
2
115
), (-
2
9
; -
2
115
)
cũng có các bán kính qua tiêu là 9 và 15. Do đó ta còn có 3 phơng trình tiếp tuyến
với elíp (E) tại các điểm (tơng ứng) đó là : -
3211 =+ yx
,
3211 = yx
,
3211 =+ yx
ABCD

=

ADACAB
].,[
6
1
=
3
4
(
do
)0;4;0(],[
=

ACAB
)

(0, 75 điểm)


+=
=
=
tz
ty
x
1
24
2 (0, 50 điểm)
Mặt phẳng (ABD) có vectơ pháp tuyến [=

n

AB
,

AD
] = (

==
+
++
=
(0, 25 điểm)
3. (0, 75 điểm)

Phơng trình mặt cầu (S) có dạng:
0222
222
=++++++ dczbyaxzyx

Bốn điểm A, B, C, D nằm trên mặt cầu nên có toạ độ thoả mãn phơng trình trên.
Do đó các hệ số a, b, c, d là nghiệm của hệ phơng trình sau:







=+++
=++++
=+++
=+++
)(02449
)(068429

(0, 50 điểm)

Mặt cầu (S) có tâm K = (
2
3
; 3; 1) và bán kính R =
2
21
; phơng trình của mặt
phẳng (ABD) là: z + 1 = 0. Phơng trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABD)
có dạng z + d = 0. Mặt phẳng đó là tiếp diện của mặt cầu (S) khi và chỉ khi khoảng
cách từ tâm K đến mặt phẳng đó bằng R:
2
221
2
,
2
221
1
2
21
2
1
2
0
2
0
1.1
+
=


(0, 25 điểm)
Bài 5 (1 điểm).

Hệ thức
2:5:6
1
:
1
:
1
=

+
+
C
y
x
C
y
x
C
y
x

C
6
y
1x
C
5
1y
x
C
6
y
1x
C


Giải hệ:















)!1()!1(2
!
)!1(!6
)!1(
)!1()!1(5
!
)!1(!6
)!1(
1
y
x
y
x
yyxyx
x
yxy
x
yxy
x
yxy
x
yxy
x


có đồ thị là (C).
1. Khảo sát hàm số.
2. Viết phơng trình các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
.
)A(3; 0
3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các
đờng y = 0, x = 0, x = 3 quay quanh trục Ox.

Bài 2 (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
xxy
3
sin
3
4
sin2 =

trên đoạn
[
.
]0

;

Bài 3 (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp
(E):
1
1625
22
=+
yx

3. Viết phơng trình tiếp diện () của mặt cầu (S) tại điểm A.

Bài 5 (1 điểm) Giải bất phơng trình (với hai ẩn là n, k N)
2
3
5
60
!)(
+
+
+


k
n
n
A
kn
P hết

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2:
7

bộ giáo dục và đào tạo
- Tập xác định R .
0, 25
- Sự biến thiên:

a) Chiều biến thiên:

23
3
1
xxy
=
, y ' = , ;
xx 2
2




=
=
=
2
0
0'
x
x
y
y< 0 với
: hàm số nghịch biến trên khoảng
(


0, 25

c) Giới hạn:

+=
+
=

y
x
y
x
lim,lim
, đồ thị không có tiệm cận. 0, 25

d) Bảng biến thiên:


- 1 +
y - 0 +
Đồ thị lồi đ. uốn lõm
0, 25
- Đồ thị:



0, 25
0, 50
0, 25
3. (0,50 điểm)


+
==
3
0
456
3
0
223
)
3
2
9
1
()
3
1
( dxxxxdxxx

3


cosx.x4sincosx2y'
2
=

Tìm đợc các điểm tới hạn trên đoạn [0; ] : y = 0 x {
4
3
,
4
,
2



}. 0, 25

0, 25

)
2
;1(U
3
3
4

(,)
2



yy3
22
,0 == yy
][0;][0;
maxmin

.

0, 50
Bài 3
(1,5 điểm)
1. (0,75 điểm).
Tìm tọa độ điểm M(3; m) thuộc (E), m>0: M = (3;
5
16
).
Viết đợc phơng trình tiếp tuyến của (E) tại M:
1
16.5

F
2
F
Tính đợc A
+ B = 20 (A + B ) = 12.
2
F
1
F
1
F
2
F0, 50

0, 25
Bài 4
(2,5 điểm)
1. (1 điểm)
Nêu đợc ba vectơ
đồng phẳng = 0,

ADACAB
,,

ADACAB ].,[
Tính đợc:


2. (1,0 điểm)
Nêu đợc A = (1; -1; 0), phơng trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng:
0222
222
=++++++ dczbyaxzyx (*)
Nêu đợc bốn điểm A, B , C , D nằm trên mặt cầu (S) nên có toạ độ thoả mãn
phơng trình (*) và các hệ số a, b, c, d là nghiệm của hệ phơng trình :








=+++
=++++
=++++
=++
(S)D0d4c2b8a21
(S)C0d4c6b8a29
(S)B0d4c6b2a14
(S)A'0d2b2a2

Giải hệ tìm đợc: a =
2
5

, b = -1, c = - 1, d = 1; phơng trình mặt cầu
(S) :

3
(IA' =

của tiếp diện ().
Viết đợc phơng trình tiếp diện () của mặt cầu (S) tại điểm Alà:
3x + 4y + 2z +1= 0.

0, 25 0, 25
Bài 5
(1 điểm)

Viết đợc:



+++



+
+
+
60)1)(4)(5(
60

0, 25 HếT

11

B GIO DC V O TO

CHNH THC
K THI TT NGHIP TRUNG HC PH THễNG
NM HC 2004 - 2005 MễN THI: TON
Thi gian lm bi
:
150 phỳt, khụng k thi gian giao . Bi 1 (3,5 điểm).
Cho hàm số
1x
1x2
y
+
+

3. Giả sử đờng thẳng (d) đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt
A, B có hoành độ tơng ứng là x
1
, x
2
. Chứng minh: AB = x
1
+ x
2
+ 4.

Bi 4 (2 điểm).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x + 2y + 4z - 3 = 0
và hai đờng thẳng



=
=+

0z2x
02y2x
:)(
1

2

).

Bi 5 (1điểm).
Giải bất phơng trình, ẩn n thuộc tập số tự nhiên:
2
n
n
2n
1n
2n
A
2
5
CC >+
+

+
.

HTThớ sinh khụng c s dng ti liu.
Giỏm th khụng gii thớch gỡ thờm. H v tờn thớ sinh:


2. Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn chấm phải
đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất thực hiện trong
Hội đồng chấm thi.
3. Sau khi cng im ton bi mi lm trũn im thi, theo nguyờn tc:
im ton bi c lm trũn n 0,5 im (l 0,25 lm trũn thnh 0,5; l 0,75 lm
trũn thnh 1,0 im). II. ỏp ỏn v thang im.
Bi 1 (3,5
im).
1
(2 im).

2x 1 1
y2
x1 x1
+
==
++


TX:
{
}
\1R
.

lim y , lim y
+

=+ =
ng thng x = -1 l tim cn ng. 0,25 0,25 0,25

0,25

0,25 13

1
2
1
S2 dx
x1
−
⎛⎞
=−
⎜⎟
+
⎝⎠
∫

•
()
()
0
2x ln x 1
1
2
=− +
−

•
1ln2= −
(đvdt).



0,25
0,25

0,25 y
1
-1
1
2
−
0
2
x

+ +
2
y
y'

⎧
=++
⎪
+
⎪
⎨
⎪
=
⎪
+
⎩

• Thay k từ (2) vào (1) và rút gọn ta được x = - 3. Suy ra
1
k
4
= .
Tiếp tuyến của (C) đi qua A là (d):
113
yx
44
= +
.

Bài 2 (1,5 điểm).
1 (0,75 điểm).

• Đặt
2
du (1 2sinx.cosx)dx


• =
22
2
00
1 sin xdx 2 sin xd(sin x)
2
ππ
π
⎛⎞
+− −
⎜⎟
⎝⎠
∫∫

=
3
22
00
22
(1)cosx sinx .
2323
ππ
ππ
++ − =−2

(0,75 điểm).

0,25

0,25 0,25 0,25

0,25

0,25

0,25

.
• Suy ra AB = AF + FB = x
1
+ x
2
+ 4.

Bài 4 (2 điểm).
1 (1 điểm).
• Phương trình tham số của (∆
1
):
x2t
y1t
zt
=
⎧
⎪
= −
⎨
⎪
=
⎩
.
• (∆
1
) đi qua điểm A(0; 1; 0) và có vectơ chỉ phương
(
)
u2;1;1=−

) chéo nhau.
2 (1 điểm).
• Gọi (P) là tiếp diện cần tìm. Vì (P) song song với (∆
1
) và (∆
2
) nên có
vectơ pháp tuyến
(
)
nu,v 0;1;1
⎡⎤
==
⎣⎦
G GG
.
Phương trình của (P) có dạng: y + z + m = 0.
• Mặt cầu (S) có tâm I(1; - 1; - 2) và bán kính R = 3.
• Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu nên d(I, (P)) = R hay
m3
3m332
2
−
=⇔ =±
.
• Với
m332=+
⇒
(
)


•
32
n9n26n60⇔− + +>(
)
2
nn 9n 26 6 0⇔−++>
, luôn đúng với mọi n ≥ 2.
Kết luận: n ∈
N
, n ≥ 2.

0,25

0,5 0,5

0,25

0,25
0,5
HẾT
16

Bộ giáo dục và đào tạo

Đề thi chính thức

kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2006

Môn thi:

toán - Trung học phổ thông không phân ban

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (3,5 điểm)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x
3


6x
2
+ 9x .
2. Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C).
3. Với giá trị nào của tham số m, đờng thẳng
2
yxm m=+ đi qua trung điểm của
đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C).

Câu 4 (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 0;

1), B(1; 2; 1), C(0; 2; 0).
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

1. Viết phơng trình đờng thẳng OG.
2. Viết phơng trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C.
3. Viết phơng trình các mặt phẳng vuông góc với đờng thẳng OG và tiếp xúc với
mặt cầu (S).

Câu 5 (1,0 điểm)
Tìm hệ số của x
5
trong khai triển nhị thức Niutơn của
()
n
1x+ ,
*
nN
, biết tổng
tất cả các hệ số trong khai triển trên bằng 1024.

Hết

Họ và tên thí sinh:

Số báo danh:

Chữ ký của giám thị 1:


Đáp án Điểm
Câu 1
(3,5 điểm)
1. (2,5 điểm)
a) Tập xác định: R
b) Sự biến thiên:


Chiều biến thiên:
2
y' 3x 12x 9 ; y' 0=+ = x = 1 hoặc x = 3.
y' > 0 trên các khoảng
(;1)
và
()
3;+ , y' < 0 trên khoảng (1; 3).
Khoảng đồng biến ( ;1) và
()
3;+
, khoảng nghịch biến (1; 3).


Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 1, y
CĐ
= y(1) = 4;
hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, y
CT
= y(3) = 0.


0 +
y 4 +


0

0,25

0,25 0,25

0,25
0,25 0,25
0,50
3(x

2)

y =

3x + 8.
3. (0,5 điểm)
Điểm cực đại (1; 4), điểm cực tiểu (3; 0).
Trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm CĐ, CT là điểm uốn U(2; 2).
Đờng thẳng y = x + m
2


m đi qua U(2; 2)


2 = 2 + m
2


m

m = 0 hoặc m = 1. 0,50

Câu 3
(2,0 điểm) 1. (0,75 điểm)
Giải phơng trình: e
x
= 2

x = ln2.
Diện tích hình phẳng cần tìm: S =
11
xx
ln2 ln2
e 2 dx (e 2)dx
=
()
1
x
ln2
e2x= = (e


.
1. (1,0 điểm)
Phơng trình (H) có dạng:
22
22
xy
1
ab
=

a
2
= 4, b
2
= 5

c
2
= 9.
Tọa độ các tiêu điểm: (

3; 0), (3; 0), các đỉnh: (

2; 0), (2; 0).
Phơng trình các tiệm cận:
55
yx;y x.
22
==

19
Câu 4
(2,0 điểm)

2


0.
Điều kiện tiếp xúc: 4m
2

5n
2
= (2m + n)
2
, với 2m + n

0

n0
3n 2m 0.
=


+=



n = 0, chọn m = 1.
Phơng trình tiếp tuyến: x

2 = 0.

3n + 2m = 0, chọn m = 3, n =

120
==

2. (0,75 điểm)
Phơng trình mặt cầu (S) có dạng:
222
x y z 2ax 2by 2cz d 0+++ + + +=.
O, A, B, C (S), ta có hệ phơng trình:
d0
2a 2c d 2 0
2a 4b 2c d 6 0
4b d 4 0
=


++=


++++=


++=


d0 a 1
b1 b1
ac 1 c0
ac 1 d0.
==


=


JJJG
Véc tơ pháp tuyến của (P): (1;2;0).
Phơng trình (P) có dạng: x + 2y + D = 0.
Mặt cầu (S) có tâm I = (1; 1; 0), bán kính R =
2
.
Điều kiện tiếp xúc:
D310
3D
2
5
D310.

= +
+
=

=



Vậy, có hai mặt phẳng (P) lần lợt có phơng trình:

x2y3 100;x2y3 100.++ = + =
Chú ý: Mặt cầu qua O, A, B, C có đờng kính AB .
0,25

0,25
0,25

20

C©u 5
(1,0 ®iÓm)
Khai triÓn
n01 nn
nn n
(1 x) C C x C x+=+ ++
.
Tæng tÊt c¶ c¸c hÖ sè cña khai triÓn: T =

HÕt21


Bộ giáo dục và đào tạo

Đề thi chính thức
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2007

Môn thi:

toán - Trung học phổ thông không phân ban

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (3,5 điểm)
Cho hàm số
12
2
1

+=
x
xy
, gọi đồ thị của hàm số là (H).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Câu 4 (1,5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp (E) có phơng trình
.1
1625
22
=+
yx
Xác định
toạ độ các tiêu điểm, tính độ dài các trục và tâm sai của elíp (E).

Câu 5 (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng (d) có phơng trình
3
1
2
1
1
2
=
+
=
zyx
và mặt phẳng (P) có phơng trình
.023 =++ zy
x

1. Tìm toạ độ giao điểm M của đờng thẳng (d) với mặt phẳng (P).
2. Viết phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng (d) và vuông góc với mặt phẳng (P).

Câu 6 (1,0 điểm)

bộ giáo dục và đào tạo

đề thi chính thức

kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2007
Môn thi: toán Trung học phổ thông không phân ban Hớng dẫn chấm thi
Bản hớng dẫn chấm gồm 03 trang

I. Hớng dẫn chung

1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho
đủ điểm từng phần nh hớng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn
chấm phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất
thực hiện trong Hội đồng chấm thi.
3) Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành
0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm).

II. Đáp án và thang điểm câu Đáp án Điểm
1. (2,5 điểm)
a) Tập xác định: D = R\
.
2
1

.;
2
1






+


Cực trị: Hàm số không có cực trị.
0,75
Câu 1
(3,5 điểm)
x
2
1
lim

tiệm cận đứng:
.
2
1
=x[]
0)1(lim =+

xy
x


tiệm cận xiên:
.1+= xy0,50
23



Bảng biến thiên:


của hai đờng tiệm cận làm tâm
đối xứng. 0,50
2.(1,0 điểm)
- Hệ số góc của tiếp tuyến tại A(0; 3) là: y(0) = 1 +
2
)10.2(
4

= 5.
- Vậy phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (H) tại điểm A(0; 3) là:

3)0).(0(' += xyy

1,00
- Đặt ln
x
=
t



.dt
x
dx
=

- Với
x
= 1 thì
t
= 0, với
x
=
e
thì
t
= 1.
0,50
Câu 3
(1,0 điểm) Vậy

y
+ +

+

+y



3
y
x
2
3


-1
O
2
1

1
2
3

- Toạ độ các tiêu điểm:
)0;3(
1

F
,
).0;3(
2
F

0,75
Câu 4
(1,5 điểm)

- Độ dài trục lớn: 2
a
= 10.
- Độ dài trục bé: 2
b
= 8.
- Tâm sai:
e
=
5
3
=
a
c
.
0,75






=++
+=
+=
+=
.023
31
21
2
zyx
tz
ty
tx

0,50
- Giải hệ ta đợc:







=
=
=

- Mặt phẳng (
P
) có một vectơ pháp tuyến là
).3;1;1(
=
n

- Vectơ pháp tuyến của (
Q
) là: [
nu,
]
).3;0;9( =

Vậy phơng trình của mặt phẳng (
Q
) là:
3(
x
2) + 0(
y
+1) 1(
z
-1) = 0

3
x

z
5 = 0.

1 +
=+

n
n


10
1
)4(5
1 +
=

+ n
n
n


n
= 6.
0,50 .Hết.

25


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO


2
fx x
x
=− + −
+
trên đoạn
[1;2]−
.

Câu 3 (1,0 điểm)
Tính tích phân
1
2
3
0
3
1
x
I dx
x
=
+
∫
.

Câu 4
(1,5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, cho hypebol

== và
1
('): 12
13.
x
t
dy t
zt
=− +
⎧
⎪
=−
⎨
⎪
=− +
⎩ 1. Chứng minh rằng hai đường thẳng
()d
và
(')d
vuông góc với nhau.
2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm
(1; 2;1)K −
và vuông góc với đường thẳng
(')d
.

Câu 6
Họ và tên thí sinh:
Chữ ký của giám thị 1:
Số báo danh:
Chữ ký của giám thị 2:

26