Chu yên đề Phương trình lượng giác 10 Toán
1
Chu yên đề Phương trình lượng giác 10 Toán

ác bạn học sinh thân mến! Trong mỗi chúng ta ai cũng ấp ủ trong
mình những ước mơ, hoài bảo. Đối với riêng học sinh ở cấp THPT
chúng ta thì ước mơ lớn nhất không gì khác hơn, đó là thi đậu vào
trường Đại học, Cao đẳng mà chúng ta mong ước, cái ước mơ ấy lại càng có
cơ sở để trở thành hiện thực nếu như chúng ta cố gắng học tập. Ước mơ của
nhóm biên soạn chúng tôi cũng chẳng khác gì các bạn. Để góp phần thực
hiện cái ước mơ ấy nhóm chúng tôi đã quyết định soạn ra một quyển chuyên
đề lấy tên là “Phương trình lượng giác”. Không phải ngẫu nhiên mà nhóm
chúng tôi lại quyết định chọn chuyên đề này. Như các bạn đã biết, phương
trình lượng giác là một mảng không thể thiếu trong các kì thi Đại học và Cao
đẳng.
C
2
Chu yên đề Phương trình lượng giác 10 Toán
Chương I:
Các
công thức
lượng giác
cần nhớ
3
Chu yên đề Phương trình lượng giác 10 Toán
Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản :
Cung hơn kém k2π và kπ :
Cung đối :
Cung bù :
4
•

∀ ≠
,k ∈ Z )
•
2
2
1
tan 1
cos
α
α
+ =
( với
2
k
π
α π
∀ ≠ +
,k ∈ Z )
•
2
2
1
cot 1
sin
α
α
+ =
( với
x k
π

cot cotx k x
π
+ =
•
( )
sin sinx x
− = −
•
( )
cos cosx x
− =
•
( )
tan tanx x
− = −
•
( )
cot cotx x
− = −
•
( )
sin sinx x
π
− =
•
( )
cos cosx x
π
− = −
•

− =
 ÷
 
cos sin
2
x x
π
 
− =
 ÷
 

cot tan
2
x x
π
 
− =
 ÷
 
•
sin cos
2
x x
π
 
+ =
 ÷
 
•

+ = −
•
( )
cos cosx x
π
+ = −
•
( )
tan tanx x
π
+ =
•
( )
cot cotx x
π
+ =
•
( ) ( )
sin sin cos sin cos ,x y x y y x x y
± = ± ∀ ∈
¡
•
( ) ( )
cos cos cos sin sin ,x y x y x y x y
± = ∀ ∈
m ¡
•
( )
tan tan
tan , ,

•
2
2tan 2
tan 2 ,2
1 tan cot tan 2
x
x x x k
x x x
π
π
 
= = ∀ ≠ +
 ÷
− −
 
•
( )
2
cot 1 cot tan
cot 2 ,2
2cot 2
x x x
x x x k
x
π
− −
= = ∀ ≠
Chu yên đề Phương trình lượng giác 10 Toán
Công thức chia đôi :
Công thức nhân ba :

tan
2 1 cos sin
x x x
x x
− −
= ± =
+
•
3
sin3 3sin 4sinx x x
= −
•
3
cos3 4cos 3cosx x x
= −
•
3
2
3tan tan
tan3 ,3
1 3tan 2
x x
x x x k
x
π
π
−
 
= ∀ ≠ +
 ÷

x x
= +
•
2
1 cos2
tan
1 cos2 2
x
x x k
x
π
π
−
 
= ∀ ≠ +
 ÷
+
 
•
( )
2
1 cos2
cot
1 sin 2
x
x x k
x
π
+
= ∀ ≠

=
+
•
2
2
tan ,
1 2 2
t x
x x k
t
π
π
 
= ∀ ≠ +
 ÷
−
 
•
3
3cos cos3
cos
4
x x
x
+
=
Chu yên đề Phương trình lượng giác 10 Toán
Công thức biến đổi tích thành tổng :
Công thức biến đổi tổng thành tích :
Công thức biến đổi tổng thành tích :

( ) ( )
1
sin sin cos cos
2
x y x y x y
= − + − −
 
 
•
sin sin 2sin cos
2 2
x y x y
x y
+ −
+ =
•
cos cos 2cos cos
2 2
x y x y
x y
+ −
+ =
•
sin sin 2cos sin
2 2
x y x y
x y
+ −
− =
•

π
±
± = ∀ ≠
Chu yên đề Phương trình lượng giác 10 Toán
Các hằng đẳng thức trong tam giác :
8
•
sin cos 2sin 2 cos
4 4
x x x x
π π
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
•
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
π π
   
− = − = − +
 ÷  ÷
   
•
tan cot 2cot 2
2
x x x x k
π
 

1 sin 2cos
4 2
x
x
π
 
+ = −
 ÷
 
•
2
1 sin 2sin
4 2
x
x
π
 
− = −
 ÷
 
•
2 cos
4
1 tan
cos
x
x
x
π
 

•
tan tan tan tan tan tanA B C A B C
+ + =
•
cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A
+ + =
•
2 2 2
cos cos cos 1 2cos cos cosA B C A B C
+ + = −
•
2 2 2
sin sin sin 2 2cos cos cosA B C A B C
+ + = +
•
sin 2 sin 2 sin 2 4sin sin sinA B C A B C+ + =

Chu yên đề Phương trình lượng giác 10 Toán
9
•
cos2 cos2 cos2 1 4cos cos cosA B C A B C
+ + = − −
•
cot cot cot cot cot cot
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
+ + =
•
tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2

= −


( )
k ∈Z
2.
cosαx
=
với
α 1≤
, có nghiệm là:
arccosα+k2x
π
= ±

( )
k ∈Z
3.
αtgx
=
có nghiệm là:
arcαx tg k
π
= +
( )
k ∈Z
(hay là
cotαgx =
có nghiệm là:
arccotαx g k


=


sin
sin
2
x k
k
x
=


⇔

=

Do
sin 1
k
x
∈



≤


Z
1

1
sin
2
sin 1
x
x
x
=



⇔ = ±


= ±

sin 2 0
1
sin
2
1
sin
2
x
x
x


=





= ± +

⇔


= +


= +


2
6
l
x
x k
π
π
π

=

⇔


= ± +


⇔ − + = −
⇔ − + =
⇔ = ∨ + =
⇔ = ± + ∨ = −
⇔ = ± + ∨ = − + ∈Ζ
12
Ví dụ 2: Giải phương trình

( ) ( )
2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x
− + = −
(Khối D, 2004)
(1)
( )
2
7
2
3
x k
x k k
x k
π
π π
π
π
=
= + ∈ Ζ
= ± +
⇔
7

2 2
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x
x
x x
x
⇔ + + + + + =
⇔ + + =
 
⇔ + + =
 ÷
 
 
⇔ + =
 ÷
 
⇔ + =
13
Ví dụ 3: Giải phương trình

sin sin 2 sin3 sin 4 sin5 sin 6 0x x x x x x
+ + + + + =

(Đại học sư phạm Vinh,1997)
(1)
3 3
t x x t
π π

π
= +
= ∈Ζ
= − +
Chu yên đề Phương trình lượng giác 10 Toán
Giải
Đặt
( ) ( )
( )
( )
3
3
3
3 3
2
1 8.cos cos 3
8.cos cos3
8.cos cos3 0
8.cos 4cos 3.cos 0
3.cos (4cos 1) 0
cos 2 1 cos2 1 0
cos 2cos 2 1 0
t t x
t t
t t
t t t
t t
t t
t t
⇔ = −

Bµi tËp tù gi¶i:
Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :
1.
cos sin 2 0
3
x x
π
 
+ + =
 ÷
 
2.
cos cos 1
3 3
x x
π π
   
+ + − =
 ÷  ÷
   
3.
tan 2 .tan 1x x = −
4.
2 2 2
sin sin .tan 3x x x+ =
5.
2 2
5cos sin 4x x+ =
6.
1

sin 5 cos 3 1x x+ =
14.
2
cos cos2 cos4
16
x x x
−
=
15.
( )
sin sin 1x
π
=
16.
2 2
cos sin
1 sin 1 cos
x x
x x
=
− −
17.
1 1 2
cos sin 2 sin4x x x
+ =
18.
3 2
4sin 2 6sin 3x x+ =
Bài 2 : Cho phương trình
( ) ( )

16
1)
1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x
+ + + + =
Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, Khối B, 2005
2)
( ) ( )
2cos 1 sin cos 1x x x
− + =
Trích ĐTTS Học viện Ngân hàng TPHCM, 2000
3)
3 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x
− = −
Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, Khối B, 2002

2 3
4)cos10 2cos 4 6cos3 .cos cos 8cos .cos 3x x x x x x x
+ + = +
Trích ĐTTS Đại học Tài chính Kế toán Hà Nội,1998

3 3 3
5)sin .cos3 cos .sin 3 sin 4x x x x x
+ =
Trích ĐTTS Đại học Ngoại thương TPHCM,1999

3 3
3 3 2
2
6)cos .cos3 sin .sin 3

 
 ÷
 
Trích ĐTTS Đại học Mở Hà Nội, 2000
Trích ĐTTS Đại học Ngoại thương, 1996
Trích ĐTTS Đại học Y Hà Nội, 1997
Trích ĐTTS Đại học Y Thái Bình, 1997
Trích ĐTTS Học viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông, 1999
Ví dụ 1 : Giải phương trình

4 4
3
cos sin cos .sin 3 0
4 4 2
x x x x
π π
   
+ + − − − =
 ÷  ÷
   
(Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối D, 2005)
Chu yên đề Phương trình lượng giác 10 Toán
Giải
( )
( )
2 2
2
2 2
2
1 3

⇔ + − =
⇔ = ∨ = −
⇔ =
⇔ = + ∈
17
(1)
Phương trình bậc hai (bậc cao) đối với một hàm số lượng giác gồm các
dạng sau đây.
2
2
2
2
sin sin 0
cos cos 0
; 0
tan tan 0
cot tan 0
a u b u c
a u b u c
a
a u b u c
a u b u c
+ + =
+ + =
≠
+ + =
+ + =
Cách giải
Đặt
sin

⇔ − + + =
Ví dụ 2 : Giải phương trình
cos3 cos 2 cos 1 0(1)x x x
+ − − =
(Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối D, 2005)
⇔
⇔
⇔
2
2
2
2
3
x k
x k
x k
π
π π
π
π
=
= +
= ± +
Ví dụ 3 : Giải phương trình
2 2
cos 3 .cos 2 cos 0(1)x x x− =
(Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối A, 2005)
Chu yên đề Phương trình lượng giác 10 Toán
4
x k

Z)
Giải
18
⇔
( )
( )
( )
( )( )
xxx
xxxx
xxxx
x
x
xx
2
22
22
2
2
sin3sin12sin5
sin).sin1(3sin12sin5
sin).sin1(3cos.2sin5
cos
sin
).sin1(32sin5)1(
=+−⇔
−=−−⇔
−=−⇔
−=−⇔
( )

+ +
 
⇔ − =
 ÷
 
⇔ − =
⇔ − − =
⇔ − − =

2
2
cos 2 1
1
cos 2
4
x
x
=
= −sin 2 0
2
2
x
x k
k
x
π
π

Z
, k
∈
Z
(Loại)
Ví dụ 6 : Tìm các nghiệm thuộc khoảng
( )
π
2;0
của phương trình:
x
x
xx
x 2cos3
2sin21
3sin3cos
sin5 +=






+
+
+
(1)
(Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối A, 2002)
Ví dụ 5 : Giải phương trình
( )

Điều kiện :
π
π
π
π
2
4
3
2
42
2
sin kxkxx +≠∧+≠⇔≠
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương :
( )
( )
π
π
lx
x
xx
xx
xx
xxxx
xxxx
+=⇔
=⇔
−=∨=⇔
=−+⇔
=−


π
2
4
5
mx
+=
Giải
20
Ví dụ 7 : Xác định m để phương trình sau có đúng 7 nghiệm thuộc khoảng






−
π
π
2;
2
01cos2cos3cos
=−+−
xmxx
(1)
(Trích ĐTTS Đại học Y dược TPHCM, 1999)
( )
( )
3
5
3

xx
xxxx
Chu yên đề Phương trình lượng giác 10 Toán
Điều kiện:
2
1
2sin
−≠
x
Ta có:
xxxxxx
33
sin4sin3cos3cos43sin3cos
−+−=+

( )
( )
( ) ( )
[ ]
( )( )
xxx
xxxx
xxxx
2sin21sincos
3cos.sin14sincos
sincos3sincos4
33
+−=
−+−=
−−−=

ππ
π
π
π
π
=∨=⇒






−∈
Ζ∈+=⇔=•



=−+−
=
⇔
=−+−⇔
=−+−−−⇔
xxxD o
kkxx
mxx
x
mxxx
xmxxx
21
Chu yên đề Phương trình lượng giác 10 Toán

,
2
x
Do đó, ta cần định m để phương trình (2) có năm nghiệm x phân biệt thuộc khoảng












−
2
3
;
2
\2;
2
ππ
π
π
.
Khi đó (3) có hai nghiệm t
1
, t



>−
>+
<−
⇔





>
>−
<
⇔
<<<<−
m
m
m
m
m
m
m
f
f
f
tt
.
Vậy giá trị m là:
31