Trn S Tựng Hm s lu tha m logarit
Trang 55

1. nh ngha
ã Vi a > 0, a
ạ
1, b > 0 ta cú:
log
a
bab
==
a
a

Chỳ ý:
log
a
b
cú ngha khi
0,1
0
aa
b
ỡ
>ạ
ớ
>
ợ

a
a
=
; log
b
a
ab
=
;
log
(0)
a
b
abb
=>

ã Cho a > 0, a
ạ
1, b, c > 0. Khi ú:
+ Nu a > 1 thỡ loglog
aa
bcbc
>>

+ Nu 0 < a < 1 thỡ loglog
aa
bcbc
><

3. Cỏc qui tc tớnh logarit

log
log
log
a
b
a
c
c
b
=
hay
log.loglog
aba
bcc
=
ã
1
log
log
a
b
b
a
= ã
1
loglog(0)
a
a
cc
=ạ

9 8
log2
log27
274+
g)
34
1/3
7
1
log.log
log
aa
a
aa
a
h)
386
log6.log9.log2
i)
381
2log2 4log5
9
+

k)
99
3
log364log7
log5
81273

000
lg(tan1)lg(tan2) lg(tan89)
+++
r)
842234
loglog(log16).loglog(log64)
ộựộự
ởỷởỷ

Baứi 2. Cho a > 0, a
ạ
1. Chng minh:
1
log(1)log(2)
aa
aa
+
+>+

I
I
.
LOGARIT Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng
Trang 56

HD: Xét A =
111

34
1
log4 vaø log
3
b)
3
0,10,2
log2 vaø log0,34
c)
35
42
23
log vaø log
54

d)
11
32
11
loglog
80
152
vaø
+
e)
1317
log150log290
vaø f)
6
6

g) Xét A =
777
711
7
log10.log11log13
log10log13
log11
-
-=

=
777
7
110.11.71011
loglog.log
log117.7.1377
æö
+
ç÷
èø
> 0
h, i) Sử dụng bài 2.
Baøi 4. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
a) Cho
2
log14
a
=
. Tính
49

2
log28
theo a.
Baøi 5. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
a) Cho
25
log7
a
=
;
2
log5
b
=
. Tính
3
5
49
log
8
theo a, b.
b) Cho
30
log3
a
=
;
30
log5
b

7
log2
c
=
. Tính
140
log63
theo a, b, c.
Baøi 6. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa):
a)
loglog
aa
cb
bc=
b)
loglog
log()
1log
aa
ax
a
bx
bx
x
+
=
+
c)
log
1log

22
412
xyxy
+= .
f) loglog2log.log
bccbcbcb
aaaa
+-+-
+= , với
222
abc
+=
.
Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 57

g)
234
11111(1)

logloglogloglog2log
k
aa
aaaa
kk
xxxxxx
+
+++++= .
h)
log.log.log

loglogloglog
NNNN
+++= .
l)
logloglog
logloglog
aba
bcc
NNN
NNN
-
=
-
, với các số a, b, c lập thành một cấp số nhân.


yx
=
a
(a là hằng số)

Số mũ a
Hàm số
yx
=
a

Tập xác định D
a = n (n nguyên dương)
n
yx
=

D = R
a = n (n nguyên âm hoặc n = 0)
n
yx
=

D = R \ {0}
a là số thực không nguyên
yx
=
a

D = (0; +¥)

· Tập giá trị: T = R.
· Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
· Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
· Đồ thị: 0<a<1y=log
a
x

1
x
y
O

a>1y=log
a
x

1
y
x
O


xx
xe
x
đđƠ
ổử
+=+=
ỗữ
ốứ
ã
0
ln(1)
lim1
x
x
x
đ
+
=
ã
0
1
lim1
x
x
e
x
đ
-
=


vụựixneỏunleỷ
nx
1
1
0
0
-
Â
ổử
>
=
ỗữ
ạ
ốứ
.
( )
1
n
n
n
u
u
nu
-
Â
Â
=

ã
( )

1
log
ln
a
x
xa
Â
=
;
( )
log
ln
a
u
u
ua
Â
Â
=( )
1
ln x
x
Â
=
(x > 0);
( )
ln

ổử
+
ỗữ
ốứ
c)
21
1
lim
2
x
x
x
x
-
đ+Ơ
ổử
+
ỗữ
-
ốứ

d)
1
3
34
lim
32
x
x
x

đ+Ơ
ổử
+
ỗữ
-
ốứ

g)
ln1
lim
xe
x
xe
đ
-
-
h)
2
0
1
lim
3
x
x
e
x
đ
-
i)
1

-
m)
(
)
1
lim1
x
x
xe
đ+Ơ
-

Baứi 2. Tớnh o hm ca cỏc hm s sau:
a)
3
2
1
yxx
=++
b)
4
1
1
x
y
x
+
=
-
c)

-
=
+

g)
3
3
sin
4
x
y
+
= h)
11
5
9
96
yx
=+ i)
2
4
2
1
1
xx
y
xx
++
=
-+

xx
yxe
-
= f)
2
2
xx
xx
ee
y
ee
+
=
-

g)
cos
2.
xx
ye= h)
2
3
1
x
y
xx
=
-+
i)
x

log(cos)
=- f)
yx
3
log(cos)
=
g)
x
y
x
ln(21)
21
+
=
+
h)
x
y
x
ln(21)
1
+
=
+
i)
(
)
2
ln1
yxx

ÂÂ
=++Â+=

g)
.sin;220
x
yexyyy
-
ÂÂÂ
=++=
h)
(
)
4
.cos;40
x
yexyy
-
=+=

i)
sin
;cossin
x
yeyxyxy
=Â ÂÂ=0
k)
2
.sin5;4290
x

=++Â=++
+

Baứi 6. Chng minh hm s ó cho tho món h thc c ch ra:
a)
1
ln;1
1
y
yxye
x
ổử
=Â+=
ỗữ
+
ốứ
b)
1
;ln1
1ln
yxyyyx
xx
ộự
=Â=-
ởỷ
++

c) yxxyxyxy
2
sin(ln)cos(ln);0


b)
3
1
'()()0;()ln
fxfxfxxx
x
+==

c)
2112
'()0;()2.75
xx
fxfxeex

==++-

d)
'()'();()ln(5);()ln(1)
fxgxfxxxgxx
>=+-=-

e)
21
1
'()'();().5;()54ln5
2
xx
fxgxfxgxx
+

(1)()0
MN
aaaMN
=Û =

b) Logarit hố:
(
)
()()
()log.()
=Û=
fxgx
a
abfxbgx

c) Đặt ẩn phụ:
· Dạng 1:
()
()0
fx
Pa
=
Û
()
,0
()0
fx
tat
Pt
ì

+=
, với
1
ab
=
. Đặt
()()
1
fxfx
tab
t
=Þ=

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
· Đốn nhận x
0
là một nghiệm của (1).
· Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x
0
là nghiệm duy
nhất:

() đồng biến và () nghòch biến (hoặ
c đồng biến nhưng nghiêm ngặt).
() đơn điệu và () hằng số
fxgx
fxgxc
é
ê

í
=
ỵ

f) Phương pháp đối lập
Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Nếu ta chứng minh được:
()
()
fxM
gxM
ì
³
í
£
ỵ
thì (1)
()
()
fxM
gxM
ì
=
Û
í
=
ỵBài 1. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hố):

-+-
+=+
f)
2
4
525
xx-+
=

g)

2
2
43
1
2
2
x
x
-
-
ỉư
=
ç÷
èø
h)
712
11
.2
22

5252
x
x
x
-
-
+
+=-
IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng
Trang 62

Baøi 2. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):
a)
4132
21
57
xx
++
æöæö
=
ç÷ç÷
èøèø
b)
21
1
5.250
x
x
x

=
g)
2
5.31
xx
=
h)
32
23
xx
=
i)
xx
2
3.21
=

Baøi 3. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):
a)
1
4280
xx+
+-=
b)
11
46.280
xx++
-+=
c)
4825

cos2cos
443
xx
+=
i)
251
336.390
xx++
-+=

k)
22
221
328.390
xxxx+++
-+=
l)
22
22
49.280
xx++
-+=
m)
211
3.52.50,2
xx
-=
Baøi 4. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):
a)
252(3).5270

22
3.25(310).530
xx
xx

+-+-=

g)
xx
xx
4+(–8)2+12–20
=
h)
xx
xx
(4).9(5).310
+-++=

i)
22
22
4(7).21240
xx
xx
+-+-=
k)
9(2).32(4)0
xx
xx


111
=+-
xxx
h)
111
469
xxx

+=
i)
111
2.469
xxx
+=

k)
( ) ( )( ) ( )
xxx
75225322312120.
++-++++-=

Baøi 6. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 3):
a)
( ) ( )
xx
232314
-++=
b)
( ) ( )
xx


g)
(
)
(
)
63563512
-++=
xx
h)
( ) ( )
22
(1)21
4
2323
23

++-=
-
xxx

i)
( ) ( )
3
3516352
+
++-=
xx
x
k)

c)
( ) ( )
3223226
++-=
xx
x
d)
( ) ( )
3
3516.352
xx
x
+
++-=
e)
37
2
55
æö
+=
ç÷
èø
x
x
f)
(
)
(
)
23232

23
x
x
=-
m)
1
241
xx
x
+
-=-

n)
2
231
x
x
=+
o) 2974 +=+ x
xx
p) 0155
312
=+
+
x
xx

q)
xxxx
7483 +=+ r)

73.25623
222
+
=
+
+++++- xxxxxx
f)
( )
1
2
2
4
2
22
11
+
=
+
+-+ xxxx

g)
xx
xxxxx
232
.33(127)81912
+-=-+-+
h)
211
.3(32)2(23)
xxxxx

-+
=-+-
c)
sin
3cos
x
x
=
d)
3
2
2.cos33
2
xx
xx
-
æö
-
=+
ç÷
èø
e) x
x
cos
sin
=
p
f)
x
x

9310
xx
m
+-=
c)
1
42
xx
m
+
-=

d)
2
32.3(3).20
xxx
m
+-+=
e)
2(1).20
xx
mm
-
+++=
f)
252.520
xx
m
=


xxxx
m
++-++-
-+=

m)
22
11
98.34
xxxx
m
+-+-
-+=
n)
22
1111
9(2).3210
tt
mm
+-+-
-+++=

Baøi 11. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất:
a)
.2250
xx
m
-
+-=
b)

f)
9310
xx
m
++=

Baøi 12. Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu:
a)
1
(1).4(32).2310
+
++ +=
xx
mmm b)
2
49(1).720
+-+-=
xx
mmm
c)
93(1).3520
+ +=
xx
mm d)
(3).16(21).410
++-++=
xx
mmm
e)
(


có 3 nghiệm phân biệt.
d)
22
94.38
xx
m
-+=

có 3 nghiệm phân biệt.
Hm s lu tha m logarit Trn S Tựng
Trang 64
1. Phng trỡnh logarit c bn
Vi a > 0, a ạ 1: log
b
a
xbxa
==

2. Mt s phng phỏp gii phng trỡnh logarit
a) a v cựng c s
Vi a > 0, a ạ 1:
()()
log()log()

Khi gii phng trỡnh logarit cn chỳ ý iu kin biu thc cú ngha.

ã
Vi a, b, c > 0 v a, b, c
ạ
1:
loglog
bb
ca
ac=
Baứi 1. Gii cỏc phng trỡnh sau (a v cựng c s hoc m hoỏ):
a)
2
log(1)1
xx
ộự
-=
ởỷ
b)
22
loglog(1)1
xx
+-=

c)
21/8
log(2)6.log352

xx
-=-+
k)
225
log(3)log(1)1/log2
xx++-=
l)
44
loglog(10)2
xx
+-=
m)
51/5
log(1)log(2)0
xx
+=

n)
222
log(1)log(3)log101
xx
-++=-
o)
93
log(8)log(26)20
xx
+-++=

Baứi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau (a v cựng c s hoc m hoỏ):
a)

xxx
-++=+-

g)
2233
loglogloglog
xx
= h)
2332
loglogloglog
xx
=
i)
233233
loglogloglogloglog
xxx
+= k)
234432
loglogloglogloglog
xx
=
Baứi 3. Gii cỏc phng trỡnh sau (a v cựng c s hoc m hoỏ):
a)
2
log(92)3
x
x
-=-
b)
3

2
log(3.21)210
x
x
=

g)
2
log(122)5
x
x
-=-
h)
5
log(263)2
x
-=

V. PHNG TRèNH LOGARIT
Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
Trang 65

i)
1
2
log(525)2
xx+
-=
k)
1

-+=
b)
2
1
log(45)1
x
xx
-
-+=

c)
2
log(583)2
x
xx
-+=
d)
32
1
log(2231)3
x
xxx
+
+-+=

e)
3
log(1)2
x
x

k)
2
log(234)2
x
xx
=

l)
2
2
log(56)2
x
xx
-+=
m)
2
log(2)1
x
x
-=

n)
2
3 5
log(982)2
x
xx
+
++=
o)

+=
s)
2
log(254)2
x
xx
-+=

Baøi 5. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
a)
22
33
loglog150
xx
++-=
b)
2
21/2
2
log3loglog2
xxx
++=

c)
4
7
log2log0
6
x
x

loglog2
5
x
x
-=
h)
7
1
loglog2
7
x
x
-=

i)
5
1
2log2log
5
x
x -= k)
22
3 loglog40
xx
-=

l)
33
3loglog310
xx

log4log550
xx
+-=

r)
2
9
log5log5log5
4
xxx
x+=+ s)
2
9
log3log1
x
x
+=

t)
12
1
4lg2lgxx
+=
-+
u)
13
1
5lg3lgxx
+=
-+

-++=
d) xxxx 26log)1(log
2
2
2
-=-+
e)
2
33
(2)log(1)4(1)log(1)160
xxxx
+++++-=
f)
2
2
log(2)log2
x
x
xx
-
++=

Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Trần Sĩ Tùng
Trang 66

g)
2
33
log(1)(5)log(1)260
xxxx

)
x
xx
6
log
26
log3log
+=
e)
(
)
7
log3
4
x
x
+
=
f)
(
)
23
log1log
xx
+=
g)
222
log9loglog3
2
.3

xxxx
+=>
b)
22
loglog
2
35
xx
x +=

c)
5
log(3)3
xx
+=-
d)
2
log(3)
xx
-=

e)
2
22
log(6)log(2)4
xxxx
+=++
f)
2
log

2loglog.log2x11
=+-Baøi 10. Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):
a)
23
ln(sin)1sin0
xx
-+=
b)
(
)
22
2
log11
xxx
+-=-
c)
2132
2
3
8
22
log(444)
xx
xx
+-
+=
-+

++++=
d)
(
)
( )
lg
2
lg1
mx
x
=
+

e)
2
33
log(4)log(221)
xmxxm
+=

f)
2
227227
log(1)log()0
xmmxx
+-
-++-=

Baøi 12. Tìm m để các phương trình sau:
a)

1
, x
2
thoả
22
12
1
xx
+>
.
d)
22
33
loglog1210
xxm
++ =
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
3
1;3
éù
ëû
.
e)
( )
2
22
4loglog0
xxm
++=
có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

432
x
x
y
y
ì
ï
=
í
=
ï
î

c)
2
31
319
y
y
x
x
ì
ï
-=
í
+=
ï
î
d)
1

xy
xy
ì
ï
=
í
=
ï
î

f)
.
2520
5.250
xy
xy
ì
ï
=
í
=
ï
î
g)
2.312
3.218
xy
xy
ì
ï

x
xy

ì
ï
=
í
-=>
ï
î

Baøi 2. Giải các hệ phương trình sau:
a)
437
4.3144
xy
xy
ì
ï
-=
í
=
ï
î
b)
2317
3.22.36
xy
xy
ì

+
ì
ï
+=
í
+=
ï
î

e)
1
11
324
321
xy
xy
+
++
ì
ï
-=-
í
-=-
ï
î
f)
22
2
2(1)12
21.

2
2
2
2
()21
9()6
yx
xy
xy
xy
-
-
ì
ï
+=
í
+=
ï
î

i)
2
3277
327
xy
xy
ì
ï
-=
í

=+
ï
î
b)
3211
3211
x
y
xy
yx
ì
ï
+=+
í
+=+
ï
î

c)
22
22
3
xy
yx
xxyy
ì
ï
-=-
í
++=

loglog3
xy
xy
ì
+=
í
+=
î
b)
loglog2
6
yx
yx
xy
ì
+=
í
+=
î

c)
2
2
log4
2log2
xy
xy
ì
+=
í

2
3
log
log23
9
y
y
x
x
ì
ï
+=
í
=
ï
î

g)
î
í
ì
=
=+
8
5)log(log2
xy
yx
xy
h)
23

î
k)
3
12
log1
3
y
yx
x
ì
-=
í
=
î

Baøi 5. Giải các hệ phương trình sau:
a)
(
)
( )
log322
log232
x
y
xy
xy
ì
+=
ï
í

-=-
ï
ç÷
ï
èø
í
+=
ï
ï
î
d)
2
2
44
loglog1
loglog1
y
xy
xy
ì
-=
ï
í
-=
ï
î

e)
(
)


g)
î
í
ì
=-
=+
1loglog
27.2
33
loglog
33
xy
yx
xy
h)
22
2
42
loglog
3.2.10
loglog2
yx
xy
xy
ì
ï
+=
í
+=

ì
=
ï
æö
í
=
ç÷
ï
èø
î

l)
222
2
lglglg()
lg()lg.lg0
xyxy
xyxy
ì
ï
=+
í
-+=
ï
î
m)
22
6
5
loglog

í
=-
ï
-
î
o)
(
)
( ) ( )
22
lg1lg8
lglglg3
xy
xyxy
ì
+=+
ï
í
+ =
ï
î

p)
( )
1
log2
log233
x
x
y

lg
lglg4
1000
y
xy
x
ì
+=
í
=
î
b)
( )
2
6
36
42log9
xy
x
xyx
-
ì
ï
=
í
-+=
ï
î

Trần Sĩ Tùng Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit

=
ï
î

e)
2
1
2
2log2log50
32
x
y
xy
xy
ì
æö
-+=
ï
ç÷
í
èø
ï
=
î

Baøi 7. Giải các hệ phương trình sau:
a)
244
399
41616

í
ï
+=+
î

c)
22
11
11
log(12)log(12)4
log(12)log(12)2
xy
xy
yyxx
xx
+-
+-
ì
-++++=
ï
í
+++=
ï
î
d)
23
23
log13sinlog(3cos)
log13coslog(3sin)
xy


f)
2
32
32
2log(632)log(69)6
log(5)log(2)1
xy
xy
yxyxxx
yxì
-+-+-+=
ï
í
+=
ï
î

Baøi 8. Giải các hệ phương trình sau:
a)
2
log
4
22
2
loglog1
x

ï
++-=
î

c)
88
loglog
44
4
loglog1
yx
xy
xy
ì
ï
+=
í
-=
ï
î
d)
( )
1
3
3.218
log1
xy
xy
ì
=

yx
yx
f)
( ) ( )
33
432
log1log
xy
yx
xyxy
+
ì
ï
=
í
ï
-=-+
î

g)
( )
3
3.2972
log2
xy
xy
ì
=
ï
í

-=
ï
î
k)
33
loglog2
22
42()
3312
xy
xy
xyxy
ì
ï
=+
í
+ =
ï
î

l)
33
loglog
33
227
loglog1
yx
xy
yx
ì