Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 14

Baøi 1. Giải các phương trình sau:
a)
44
242
xx
-+-=
b)
3562
xx
x
+=+
c)
55
1
(1)
16
xx
+-=

Baøi 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a)
2
21
xxm
++=
b) 22(2)(2)
xxxxm
-++ +=

.
a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2].
b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2].
Baøi 5. Tìm m để các bất phương trình sau:
a)
31
mxxm
£+
có nghiệm. b)
(2)1
mxmx
+-³+
có nghiệm x Î [0; 2].
c)
22
(1)1
mxxxx
-+£++
nghiệm đúng với mọi x Î [0; 1].
(
)
00
;()
Uxfx
gl im un ca th hm s y = f(x) nu tn ti mt khong (a; b)
cha im x
0
sao cho trờn mt trong hai khong (a; x
0
) v (x
0
; b) tip tuyn ca th ti
im U nm phớa trờn th cũn trờn khong kia tip tuyn nm phớa di th
2. Tớnh cht:
ã Nu hm s y = f(x) cú o hm cp hai trờn mt khong cha im x
0
, fÂÂ(x
0
) = 0 v
fÂÂ(x) i du khi x i qua x
0
thỡ
(
)
00
;()
Uxfx
l mt im un ca th hm s.
ã th ca hm s bc ba

=-+
e)
432
124810
yxxx
=-++
f)
54
3532
yxxx
=-+-

Baứi 2. Tỡm m, n th ca hm s sau cú im un c ch ra:
a)
32
3334
yxxmxm
=-+++
; I(1; 2). b)
3
2
8
(1)(3)
33
x
ymxmx
=-+-++-
; I(1; 3)
c)
32

=++
; I(1; 2)
Baứi 3. Tỡm m th ca cỏc hm s sau cú 3 im un:
a)
5
43
4
(43)51
53
x
yxmxx
=-+++-
b)
2
2
1
1
xmx
y
x
+-
=
+

Baứi 4. Chng minh th ca cỏc hm s sau cú 3 im un thng hng:
a)
2
21
1
x

1
x
y
x
+
=
+
e)
2
1
x
y
x
=
+
f)
2
2
25
1
xx
y
xx
++
=
-+

g)
2
2

a)
432
2621
yxxxmxm
= ++-
cú hai im un thng hng vi im A(1; 2).
b)
3
2
2
33
x
yxmx
= ++
cú im un trờn ng thng
2
yx
=+
.
c)
42
1
4
yxmxn
=-++
cú im un trờn Ox. IV. I
M UN CA TH

+
®
=-¥
;
0
lim()
xx
fx
-
®
=+¥
;
0
lim()
xx
fx
-
®
=-¥

· Đường thẳng
0
yy
=
đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
()
yfx
=
nếu ít nhất
một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

fxaxb
®+¥
-+=
;
[
]
lim()()0
x
fxaxb
®-¥
-+=

2. Chú ý:
a) Nếu
()
()
()
Px
yfx
Qx
== là hàm số phân thức hữu tỷ.
· Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x
0
thì đồ thị có tiệm cận đứng
0
xx
=
.
· Nếu bậc(P(x)) £ bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang.
· Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên.

-
=
-
b)
103
12
x
y
x
+
=
-
c)
23
2
x
y
x
+
=
-

d)
2
43
1
xx
y
x
-+

=
-+
b)
2
2
9
x
y
x
+
=
-
c)
2
2
45
1
xx
y
x
++
=
-

d)
2
2
233
1
xx

2
4
yxx
=- b)
2
42
9
x
y
x
+
=
-
c)
2
1
43
y
xx
=
-+

V. ĐƯ
ỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 17

d)
1

y
+
=
-
b) ln
2
xx
ee
y
-
-
= c)
2
ln(56)
yxx
=-+

Baøi 5. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng:
a) y
xmxm
22
3
42(23)1
=
+++-
b)
2
2
2
32(1)4

xmxm
22
1
2(1)2
-
=
+-+-
f)
2
3
221
y
xmxm
=
++-

Baøi 6. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có tiệm cận xiên:
a)
2
(32)21
5
xmxm
y
x
+++-
=
+
b)
2
(21)3

c)
2
7
3
xx
y
x
+-
=
-

Baøi 8. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau tạo với các trục toạ độ một tam giác
có diện tích S đã chỉ ra:
a)
2
1
1
xmx
y
x
+-
=
-
; S = 8 b)
2
(21)23
1
xmxm
y
x

1
xx
y
x
-+
=
-
b)
2
254
3
xx
y
x
+-
=
+
c)
2
7
3
xx
y
x
+-
=
-

+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương).
– Tính y¢¢.
– Tìm các điểm tại đó y¢¢ = 0 và xét dấu y¢¢.
+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị.
+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ
độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức
tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác
hơn.
+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.
2. Hàm số bậc ba
32
(0)
yaxbxcxda
=+++¹
:
· Tập xác định D = R.
· Đồ thị luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
· Các dạng đồ thị:

a > 0 a < 0
y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Û ’ = b
2
– 3ac > 0 y’ = 0 có nghiệm kép
Û ’ = b
2
– 3ac = 0


x

0

I

y

x

0

I

VI. KH
ẢO SÁT SỰ BIẾN THI
ÊN

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 19

ã Tp xỏc nh D = R.
ã th luụn nhn trc tung lm trc i xng.
ã Cỏc dng th:

4. Hm s nht bin
(0,0)
axb

5. Hm s hu t
2
(.'0,)
''
axbxc
yaatửỷkhoõngchiaheỏtchomaóu
axb
++
=ạ
+
:
ã Tp xỏc nh D =
'
\
'
b
R
a
ỡỹ
-
ớý
ợỵ
.
ã th cú mt tim cn ng l
'
'
b
x
a
=-

y

x

0

y

x

0

y

x

0

y

x

0
0

ad bc > 0


b)
32
335
yxxx
=+++
c)
32
32
yxx
=-+-

d)
2
(1)(4)
yxx
=
e)
3
2
1
33
x
yx
=-+
f)
32
342
yxxx
= +


=-++
f)
42
248
yxx
=-++

Baøi 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a)
1
2
x
y
x
+
=
+
b)
21
1
x
y
x
+
=
-
c)
3
4
x

-
=
+

Baøi 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a)
2
1
1
xx
y
x
++
=
+
b)
2
2
1
xx
y
x
++
=
-
c)
2
2
1
xx

=
+

Baøi 5. Vẽ đồ thị của các hàm số:
a)
3
32
yxx
=-+
b)
32
32
yxx
=-+-
c)
42
23
yxx
=

d)
1
1
x
y
x
+
=
-
e)


y

Trn S Tựng Kho sỏt hm s
Trang 21
1. S TNG GIAO CA CC TH
1. Cho hai th (C
1
): y = f(x) v (C
2
): y = g(x). tỡm honh giao im ca (C
1
) v (C
2
)
ta gii phng trỡnh: f(x) = g(x) (*) (gi l phng trỡnh honh giao im).
S nghim ca phng trỡnh (*) bng s giao im ca hai th.
2. th hm s bc ba
32
(0)
yaxbxcxda
=+++ạ
ct trc honh ti 3 im phõn bit
Phng trỡnh
32
0
axbxcxd

ù
=+
ù
ợ
b)
2
24
1
24
x
y
x
yxx
ỡ
-
=
ù
ớ-
ù
=-++
ợ
c)
3
43
2
yxx
yx
ỡ
=-
ớ

ợ
f)
2
1
31
x
y
x
yx
ỡ
ù
=
ớ
-
ù
=-+
ợ

Baứi 2. Bin lun theo m s giao im ca cỏc th ca cỏc hm s sau:
a)
yxx
ymx
3
32
(2)
ỡ
=
ớ
=-
ợ

ù
=-+
ớ
ù
=-
ợ

d)
21
2
2
x
y
x
yxm
ỡ
+
ù
=
ớ
+
ù
=+
ợ
e)
1
1
2
x
y

1
3
1
3
yx
x
ymx
ỡ
ù
=-++
ớ
-
ù
=+
ợ
h)
2
33
2
41
xx
y
x
ymxm
ỡ
-+
ù
=
ớ
-

ct nhau ti hai im phõn bit.
b)
2
23
;2
1
xxm
yyxm
x
-+
==+
-
ct nhau ti hai im phõn bit.
c)
2
;2
1
mxxm
yymx
x
++
==+
-
ct nhau ti hai im cú honh trỏi du.
d)
2
45
;2
2
xx

=
-
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
Baøi 4. Tìm m để đồ thị các hàm số:
a)
32
32;2
yxxmxmyx
=+++=-+
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
b)
32
3(12)1
ymxmxmx
=+
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c)
22
(1)(3)
yxxmxm
= +-
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
d)
322
2221;22
yxxxmyxx
=+-+-=-+
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
e)
3222

==+
-
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB
ngắn nhất.
b)
41
;
2
x
yyxm
x
-
==-+
-
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB
ngắn nhất.
c)
2
24
;22
2
xx
yymxm
x
-+
==+-
-
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tính AB
theo m.
Baøi 7. Tìm m để đồ thị của các hàm số:

yxmxmx=++++ cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một
cấp số nhân. Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 23

2. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

· Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)
Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)


1
, b
2
, … của d, d
1
, d
2
, …
để biện luận.

Dạng 4: F(x, m) = 0 Û f(x) = m(x – x
0
) + y
0
(4)
Khi đó (4) có thể xem là phương trình
hoành độ giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m(x – x
0
) + y
0

· d quay quanh điểm cố định M
0
(x
0
; y
0
).


b
.

·
Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m.
y

c.
x

m

A

(C)

c
.
(d) : y = m

c.
y
CĐ

y
CT

1

d

d
2

O

y

x
0

d
3

d
1

y
0

0

(C)

c.
M
1

(+)

M

x

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 24

VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các
dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị.

Baøi 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m
số nghiệm của phương trình:
a)
33
31;310
yxxxxm
=-+-+-=
b)
33
31;310
yxxxxm
=-+ ++=

c)
332
31;3220
yxxxxmm

yxmxm
x
-+
=-+++=
-

b)
2
2
242
;22(2)320
23
xx
yxmxm
x
-+
=-+-+=
+

c)
2
2
1
;(1)210
x
ymxx
x
+
=-+-=


23
;cos2(3)cos210(0)
2
xx
ymm
x
-
=-+++=££
-
aaap

c)
2
2
33
;cos(3)cos320(0)
2
xx
ymm
x
++
=+-+-=££
+
aaap

d)
3232
36;cos3cos60
yxxxxm
=-+-+-=


c)
2
2
254
;2(5)40
1
tt
xx
yemem
x
-+
=-+++=
-

d)
2
2
54
;(5)40
tt
xx
yeme
x
-+
=-++=

Baøi 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (T).
Dùng đồ thị (T) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
a)

d)
33
3222
():29124;():29124;29120
CyxxxTyxxxxxxm
=-+-=-+ ++=

e)
2222
():(1)(2);():(1)2;(1)2(1)(2)
CyxxTyxxxxmm
=+-=+-+-=+-

f)
22
2
11
():;():;(1)210
xx
CyTymxx
x
x
++
==-+-=

Baứi 6. Cho hm s
2
()
1
x

a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) vuụng gúc vi ng thng
20
xy
-=
.
c) Dựng th (C), bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh:

2
2(1)10
xmxm
-+++=

Baứi 8. Cho hm s
2
()
1
x
yfx
x
==
-
.
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) i qua im A(0; 1).
c) Dựng th (C), bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh:

2
(1)(1)10
mxmx

fkhoõngcoựcửùctrũha
fcoựcửùctrũ
hb
yy
(.1)
2
(.1)
.0
ộ
ờ
ỡ
ờ
ớ
>
ờ
ợ
ở

(C)

A

x
0

O


2

y
CT

y
C

Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 26 ·
Trường hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm
Û
(C) tiếp xúc với Ox

Û

2
(.2)
.0
CÑCT
fcoùcöïctrò
h
yy
ì
í
=
î

Û
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

Û

2
.0
0,0
.(0)0(0)
CÑCT
CÑCT
fcoùcöïctrò
yy
xx
afhayad
ì
ï
<
ï
í
>>
ï
<<
ï
î
x
1

x
A

x
B

x
C

C

(C)

y
CĐ

y

A

o

x
2


y

A

o

x
2

x

a < 0

y
CT

B

f(0)

x"
0

C

x
1

(C)

y
CĐ

y

A

x
0

o

x
1

B

x'
0

(y
CT
= f(x
0
) = 0)

x

(H.2)



a > 0

y
CT

B

f(0)

x
C

x
2

x
1

x
A

x
B

C

(C)

y