ðỀ CƯƠNG ÔN THI HỌC KÌ II LỚP 11 CƠ BẢN.
*CÁC DẠNG BÀI TẬP CẦN LƯU Ý
1/ ðại số và Giải tích:
1/ Tìm giới hạn của hàm số (
0
x x
→
hoặc
x
→ ±∞
).
2/ Khảo sát tính liên tục của hàm số tại 1 ñiểm, trên tập xác ñịnh
3/ Ứng dụng tính liên tục của hàm số ñể chứng minh sự tồn tại nghiệm.
4/ Dùng các qui tắc, tính chất ñể tính ñạo hàm của một hàm số, làm việc với các hệ thức ñạo hàm.
5/ Vận dụng ñạo hàm ñể viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (tại hoặc biết hệ số góc k)
2/ Hình học:
1/Chứng minh hai ñường thẳng vuông góc với nhau.
2/Chứng minh ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng
3/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
4/ Xác ñịnh và tính góc giữa ñường thẳng và ñường thẳng, ñường thẳng và mặt phẳng; mặt phẳng và mặt phẳng.
**MỘT SỐ DẠNG TOÁN MẪU:
I/ ðại số và giải tích:
Bài 1: Tính giới hạn các hàm số sau:
1)
2
3 3 3
4 3 ( 3)( 1)
lim lim lim( 1) 2
3 3
x x x
x x x x

= = = = -
- + - + - + - -

4)
2
2 2 2
4 (2 )(2 )( 7 3) (2 )( 7 3)
lim lim lim 24
7 9 1
7 3
x x x
x x x x x x
x
x
→ → →
− − + + + − + + +
= = = −
+ −
+ −

5)
2
2 2 2
2 ( 2)( 4 1 3) ( 1)( 4 1 3) 9
lim lim lim
8
4 1 3 (4 1 9)( 2) 4( 2)
x x x
x x x x x x x
x x x x x x

= = =
+ −
+ − + −

7)

2
1 1 1 1 1
1 2 ( 2 ) 2
2
lim lim lim
2 2
2 3 3
( 3) 3
1 2
lim
2 3
x x xx
x x
x x x x x
x
x
x x
x x
x
→−∞ →−∞ →−∞→−∞
− − − − − −
= = = =
−
− −

a)

−
≠

=
−



2
4
Õu x 2
( )
2
4 Õu x=2
x
n
f x
x
n
t
ạ
i
ñ
i
ể
m x
o
= 2.

<

= =

− −

− ≥


Ta có: + f(1)= -2; +
+ +
→ →
= − = −
1 1
lim ( ) lim( 2 ) 2
x x
f x x

+
− − − −
→ → → →
− − − + − +
= = = = −
− − −
− −
1 1 1 1
1 ( 1)( 2 1) 2 1
lim ( ) lim lim lim 2
2 1 1
2 1

≠
= =

−

+ =


Ta có: + f(1)= 3 + m;
+
→ → → →
− + − − +
= = = + =
− −
3 2 2
1 1 1 1
2 2 ( 1)( 2)
lim ( ) lim lim lim( 2) 3
1 1
x x x x
x x x x x
f x x
x x
.
ðể
hàm s
ố
liên t
ụ
c t

liên tục tại x = 2.

Ta có:
2
2 2 2 2
lim ( ) lim 3 12, lim ( ) lim(2 1) 4 1 (2)
x x x x
f x x f x mx m f
− − + +
→ → → →
= = = + = + =

f(x) liên tục tại x = 2 khi
2 2
lim ( ) lim ( ) (2)
x x
f x f x f
− +
→ →
= =

suy ra
2 2
11
lim ( ) lim ( ) 12 4 1
4
x x
f x f x m m
− +
→ →

ố
y =
− +
3
3 1
x x
là hàm
ñ
a th
ứ
c nên liên t
ụ
c trên các kho
ả
ng [-2; 0], [0; 1], [1; 2].
Mà : + f(-1).f(0)=-1.1=-1 <0 nên hàm s
ố
có
ít nhất một nghiệm
trên
(
-2; 0
)
;
+ f(0).f(1) = 1 1=-1<0 nên hàm s
ố
có
ít nhất một nghiệm
trên
(

y hàm s
ố

có
ñ
úng 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
b) t
ươ
ng t
ự
xem nh
ư
bài t
ậ
p.
Bài 4 :ðạo Hàm
1.
Cho hàm s
ố
f(x) = x
5
+ x
3
– 2x - 3. CMR: f’(1) + f’(-1) = - 4f(0)
Ta có
: f’(x) = 5x

+ + − − + + −
=
−2 2 2 2
2 2 2
(2 2)( 1) ( 2 5) 2( 1) 2 5 2 7
( 1) ( 1) ( 1)
x x x x x x x x x
x x x
+ − − + + − − − − − −
= = =
− − −

b)
2
2
2
1
1 0
2 7
' 0 0
2 7 0
( 1)
1 2 2 1 2 2
x
x
x x
y

\
− +
.
3. Tính ñạo hàm các hàm số sau:
a)
x
y
x
3 2
2 5
−
=
+
b)
y x x x
2
( 3 1).sin
= − +

a)
x
x x
x
y'=
x
x x x x
2
3 2 5
3(2 5) 2 6 13
2 5

′ ′
= + + = + +
⇒
= +
3 2 3 2
(2 )' 1 1
( ) 2 5 2 5 (1) 5
2 2 2 2 2
x
f x x x x x f
x x

5. Cho hàm s
ố

( )
1 2
f x sin x sin3x sin5x
3 5
= + + . Tính
( ) ( )
A f ' 3f 2
= p - p
.
Ta có :
( )
f ' x cosx cos3x 2cos5x f '( ) 1 ( 1) 2.( 1) 4
= + + Þ p = - + - + - = -
,
f(2

0
0
1
'( 1) 1
y
x
y
=

= −
⇒

− =

, suy ra ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n là:
1( 1) 0 1
y x y x
= + + ⇔ = +
.
2)
Ta có
3 2
0 0 0 0
2 2 1 '(1) 5

p
ñ
i
ể
m. Vì ti
ế
p tuy
ế
n có h
ệ
s
ố
góc k = 1
nên:
= ⇔ + =
2
0 0 0
'( ) 1 3 2 1
y x x x

= −

⇔ + − = ⇔

=


0
2
0 0

1 4
3 27
x y
⇒ PTTT:
= − + ⇔ = −
1 4 5
1( )
3 27 27
y x y x

V
ậ
y có hai ti
ế
p tuy
ế
n có k =1 là
= +
1
y x
.và
= −
5
27
y x

4)
Vì ti
ế
p tuy

a ti
ế
p
ñ
i
ể
m.

y x x x
2
0 0 0
'( ) 5 3 2 5
= ⇔ + =
x
x x
x
0
2
0 0
0
1
3 2 5 0
5
3

=

⇔ + − = ⇔

= −

= +

V
ậ
y có hai ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i d là :
y x
5 3
= −
và
y x
175
5
27
= +
.
5)
Ta có:
1 9 1
5 9 0 5 9
5 5 5
x y y x y x k
∆
+ − = ⇔ = − + ⇔ = − + ⇒ = −


ố
ng câu 4: G
ọ
i
x y
0 0
( ; )
là to
ạ

ñộ
…).
II. Hình học:
Cho hình chóp S.ABCD có
ñ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh
b
ằ
ng
a
và SA
⊥
(ABCD) và SA =
a
6
3
. 1) Ch
ứ

(SA (ABCD)) ( )
.
trong (SAC)
à ( )
BD AC h vu ng
BD SA BD SAC
BD SC
SA AC A
m SC SAC

⊥



⊥ ⊥ ⇒ ⊥
 
⇒ ⊥


∩ =



⊂


2)

(ðể chứng minh ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta chứng minh ñường thẳng này vuông góc với hai ñường thẳng cắt
nhau nằm trong mặt phẳng).


⊥



⊥ ⊥ ⇒ ⊥
 
⇒ ⊥


∩ =



⊂

.
4)

(Tính góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng ta phải tìm hình chiếu của ñường thẳng trên mặt phẳng, khi ñó góc giữa ñường thẳng và
mặt phẳng là góc giữa ñường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng).

Ta có :Hình chi
ế
u c
ủ
a SC trên (ABCD) là AC nên:
(SC,(ABCD))=(SC,AC)= SAC
( vì SA (ABCD))
⊥

SO SBD SO BD
∩ =


⊂ ⊥ ⇒ = =


⊂ ⊥

.
Trong tam giác vuông SAO ta có:
 
0
6
2 3
3
tan( ) 49 6'
3
2
2
a
SA
SOA SOA
OA
a
= = = ⇒ = .
***CÁC ðỀ THI THỨ HỌC KÌ II
ðỀ 1:
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
1)

khi x
f x
x
khi x

− +
≠

=

−

=

tại x = 3.
Bài 3: Cho hàm số
( )
3 2
y f x 2x 4x 1
= = + -
có ñồ thị
( )
C
.
1) Giải bất phương trình
( )
f ' x 0
³
.
2) Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị

, bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n có h
ệ
s
ố
góc b
ằ
ng
2
-
.
Bài 4:
Cho hai hàm s
ố
:
4 4
( ) sin cos
f x x x
= +
và
1
( ) cos4
4
g x x
=

ứ
ng
minh r
ằ
ng:
(
)
⊥
SO ABCD
.
b.
Tí
nh
gó
c gi
ữ
a SC
và
(ABCD). c.
Gọ
i M, N l
ầ
n l
ượ
t
là
trung
ñ
i
ể

2)
(
)
2 2
lim 2 1
x
x x x
→+∞
+ − +

Bài 2:
Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
2
2 3 5
1
( )
1
7 1
x x
khi x
f x
x
khi x
+ −
>

C
.
1) Tính
( )
( )
2f ' 1 3
A 1
f 3
- +
= +
-
. 2) Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
( )
f ' x 0
>
.
3) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế

ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
ñồ
th
ị

( )
C
, bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng
d :5x 4y 3 0

ẳ
ng
d':x 5y 4 0
+ - =
.
Bài 4:
Cho
hì
nh
chó
p S.ABCD
có ñá
y ABCD
là hì
nh thoi
cạ
nh a,
gó
c

= °
60
BAD
,
=
3
2
a
SA
.

.
Tí
nh SH, SC.
2) Tính góc gi
ữ
a (SBD) và (ABCD). 3) Ch
ứ
ng minh AB
⊥
SD.