MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1. Phương pháp thế
Nội dung phương pháp: Thông thường ta rút một biến hoặc một biểu thức thích hợp từ
một phương trình và thay vào phương trình còn lại của hệ ta thu được phương trình một
ẩn.
Chú ý:
 Phương trình một ẩn này phải giải được
 Một phương trình trong hệ có thể đưa về tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình :
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x

   


  





 
1
2

12 48 64 0
x x x x
    

 
3
4 0
x x
  
0
4
x
x




 


Với x = 0 thay vào phương trình


2
ta thấy không thỏa mãn.
Với
4
x
 
thay vào phương trình

xy y
xy xy y y y

 


    


. ĐS:








; 0;3 ; 2;1 ; 4; 1
x y
   

2)


4 3 2
2 2
1
x x y x x y
x y



. ĐS:
   
5
; 1; 1 ; 2;
2
x y
 
   
 
 

Chia sҿ bӣi Cӝng Ĉӗng Gia Sѭ : Congdonggiasu.Edu.Vn
Tìm kiӃm tài liӋu - Tìm kiӃm Gia Sѭ - Tìm Lӟp Gia Sѭ MiӉn phí

4)
 
3 3
2 2
4 16
1 5 1
x y y x
y x

  


  


2 2
2
2 1 2 2
xy x y x y
x y y x x y

   


   




 
1
2
.

Giải Điều kiện:
1
0
x
y




Với x = - y ( vô lí )
Với x = 2y + 1. Thay vào phương trình (2) và biến đổi, thu gọn ta được:
 


1 2 2 0 2
y y y
    
( do
0
y

)
5
x
 

Vậy nghiệm của hệ phương trình là :
5
2
x
y





.
2
2
6 3 1
3 3 2
x xy x y
x y x y

   


   


. ĐS:
   
1
; 0;1 ; ;0
3
x y
 

 
 

3)
  
2 2
2
5 4 16 8 16
5 4 4

   


     


. ĐS:
 


3 3
; 2 4; 4
x y 

5)
3 2 2 2
2 0
2 2 0
xy x
x x y x y xy y
  


     

.
HD
 
 
2




; , ;
u f x y v g x y
  . Có
ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một số phép biến đổi cơ bản
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y

     


   


.

Giải

Đặt y = - z, ta được hệ phương trình

3 3 2 2
2 2


    


Đặt :
2
, 4
x z S
S P
xz P
 





.
Ta có:


3 2
2
3 3 2 9 22 0
1
2
2
S SP S P S
S P S

     

3
2
x
y
x z x y
xz xy
x
y










 
   
 


  
 

 
  





;
1
2
3
2
x
y






 


.

Bài tập

Giải các hệ phương trình sau:

1)


2 2
2 2
3 4 3




Đặt
2 2
2
2
u x y
v x y
 


 

ĐS:
   
8 9
; 0;1 ; ;
7 7
x y
 
 
 
 

2)


   
4 2 2


    



Đặt
2
x y u
xy v

 



ĐS:




; 1;3
x y 
3)




 
3 2 2 3
2 2
1 2 30 0

Đặt
x y u
xy v
 




ĐS:
     
5 21 5 21 5 21 5 21
; 1;2 ; 2;1 ; ; ; ;
2 2 2 2
x y
   
   

   
   
   

4)
 
2 3 3
4 2
5
4
5
1 2
4


   



Đặt
2
x y u
xy v

 



ĐS:
 
3 3
5 25 3
; ; ; 1;
4 16 2
x y
 
 
  
 
 
 
 
 



6)
3
2 2
7 3
4 4 3
x y x y
x xy y xy

    


     


. ĐS:




; 5; 4
x y
 

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :


 
 
2



  



 


  
 

 


Đặt :
2
1
2 1
1 1
2
x
u u v u
y
uv v
y x v



  




 

 


 


  




Vậy nghiệm của hệ phương trình là :
1
2
x
y





;

7
1
13
x
x
x y
x
x
x y

 
  
 

 



 

  
 

 


Đặt
1
x u
y

1
2 3
xy x y
x y
x
x y

   





 



.
HD:
   
 
2 2
2
3
3 7
1
3
x y x y
x y
x y x y




; 1;0
x y 
3)
2 2
2 2 2
6
1 5
y y x x
x y x

 


 


.
HD:
2
2
2
2
2
1
6
6
1

 

 
Đặt
1
y
v
x
y u
x






 


ĐS:
   
1
; 1;2 ; ;1
2
x y
 


.
HD:
2 2
2 2
1 1
5
1 1
49
x y
x y
x y
x y

   





   



Đặt
1
1
x u
x
y v
y

x y x y

  


 



HD:
3
3
125
27 9
5 5
3 . 3 6
x
y
x x
y y

 




 

 
 


Nội dung phương pháp
Điểm quan trọng của phương pháp này là biến đổi một phương trình của hệ về dạng




f u f v
 với
f
là hàm số đơn điệu trên D. Từ đó suy ra u = v Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:


 
2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x

    



x x y y
     
 


2 5 2
f x f y
  

Xét hàm số






2 2
1 ' 3 1 0,
f t t t f t t t
      



f t
 là hàm đồng biến với
t R
 

 
 

 
 





Nhận xét x = 0, x
3
4

không phải là nghiệm của




Xét
 
2
2
5 4
4 2 3 4 7
2
x
g x x x

 
    
 
 

0
2 2
g x
 
  
 
 

Vậy nghiệm của hệ là :
1
2
2
x
y







.

Bài tập

Giải các hệ phương trình sau:
1)




 

Xét
 


2
1 1
f t t t
  


f t
 đồng biến
1
2y
x
 
 
1
; 1;
2
x y
 
 
 
 

2)
 

 
 
3
4
2 2
2 4 3 0
2 4 3 1 0
x y xy
x y x xy y x y

   


       


.
ĐS:
 
1 1
; ;
2 2
x y
 

 
 

4)
3 4

2 3 9 3
3 7
t t t t
 
  
 
 

 
3
2 3 9 3
3
9 3
3 7 0
3 7 0
t t t t
t t t
 
    
 
 
    
Xét hàm số:
 


3

2
4 5 8 6
x xy y y
x y

  


   


.
ĐS:






; 1;1 ; 1; 1
x y
 

6)
4 4
2 2
16 1
8
2 8
x y

 

ĐS:
 


; 2 2; 4 2
x y   

7)




2 2
1 1 1
6 2 1 4 6 1
x x y y
x x xy xy x

    



    

.
HD: phương trình (1)
   
2 2



.
HD: phương trình (1)
 
1
3 2 1f y f
x
 
   
 
 

ĐS:
 
111
; 7;
98
x y
 

 
 

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
3 3 2
2 2 2
2 3 2
1 3 2 2 0
x y x y



1 0;2
z x z   
Phương trình (1)
3 2 3 2
3 3
z z y y
    . Xét hàm số:




3 2
3 , 0;2
f t t t t   






2
' 3 6 3 2 0, 0;2
f t t t t t t       


f t
 là hàm nghịch biến trên


Giải các hệ phương trình sau:
1)
 
3
4
1 8
1
x y x
x y

   


 


. ĐS:




; 2;1
x y 

2)
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y


 

. ĐS:
   
1 5 1 5 1 5 1 5
; 1;1 ; ; ; ;
2 2 2 2
x y
   
       

   
   
   

4)
3 3
8 4
5 5
1
x x y y
x y

  


 







f x f y
 với
 
2 2
2 22 2 1, 0
f t t t t t t t
       
x y
 

Thay vào phương trình thứ nhất

Phương trình có dạng :




1
g x g
 , với
 
2 2
2 1 2 22 , 0
f x x x x x x t
       


2 6 2
y x x
x y y

   


  

 Giải
Hệ đã cho
2
2
2 ( 1) ( 2)
2 2( 1) ( 2)
y x x
x y y

    



   



Nếu x > 2 thì từ phương trình (1)

x x y
x x
xy
y y x
y y

  

 



  

 
 Giải

Cộng vế với vế hai phương trình ta được:

2 2
3 2 2
3
2 2
2 9 2 9
xy xy
x y
x x y y

 
 

Mặt khác:
2 2
2
x y xy
 

VT (1)

VP (1). Dấu bằng xảy ra
1
0
x y
x y
 



 


Thử lại ta được nghiệm của hệ là :
0
0
x
y




  


  

.
HD:
2
2
2
2
2
2
60
36 25
60
36 25
60
36 25
x
y
x
y
z
y
z
x
z


x y xy
x y

  


   


. ĐS: x = y =1

3)
3
1 1 4
x y xy
x y

  


   


. ĐS: x = y = 3
4)
2
4
4
32 3 0
32 6 24 0

5)
  
2 2
2 2
7
2 1 2 1
2
7 6 14 0
x y xy
x y xy x y

  



     

.
HD: Phương trình (2)
7 10
1; ; 2;
3 3
y x
   
  
   
   

Phương trình thứ nhất
1 1 7

f x f y f f
 
ĐS:




; 2;1
x y 
6)
4 3
4 3
12 3 1
2
4
12 3 1
2
4
x y x
y x y


  



 

  


4
2 2
2 4 3 0
2 4 2 3 1 0
x y xy
x y x xy y x y

   


       



HD:
 
 
3
4
2 2
2 4 3 0
2( ) ( ) (2 1) 0
x y xy
x y x y x y y

   



       


8)
 
2 2 2 2
3
5 2 2 2 2 5 3
2 1 2 7 12 8 2 5
x xy y x xy y x y
x y x y xy y

      


       



HD:
2 2 2 2
5 2 2 2 2 5
x xy y x xy y
    
         
2 2 2 2
2 2 2 2 3 3
x y x y x y x y x y x y x y x y
               

Vậy phương trình thứ nhất
0

x x x
x x
x x
x x
x x x x
   
          
   
 

    
  
     

2
0
x x
  
.
ĐS:






; 0;0 ; 1;1
x y 