HỆ THỐNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A.PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (a ≠ 0)
Chú ý :- Phương trình bậc lẻ luôn luôn có nghiệm thực
- Định lý Viete : Nếu phương trình ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 (a ≠ 0) có 3
nghiệm x
1
, x
2
, x
3
thì : x
1
+ x
2
+ x
3
= -b/2a
x
1
x
2
+ x
2

3
= (A + B)
3
pt ↔ A
3
+ B
3
= A
3
+ B
3
+ 3AB(A + B) ↔ AB(A + B) = 0
II. Những dạng tổng quát
1. Phương trình 4x
3
- 3x = q
* Với │q│ ≤ 1
- Đặt x = cost , pt trở thành : cos3t = q
- Gọi α là góc thỏa cosα = q, như vậy : cos3t = cosα
- Ta chọn t
1
= α/3 ; t
2,3
= (α ± 2π)/3
- Kết luận phương trình có 3 nghiệm x
1,2,3
= cos t
1,2,3
Chú ý rằng bước đặt x = cost là một cách đặt "ép" ẩn phụ, ta không cần chứng minh
rằng pt trên luôn có nghiệm nhỏ hơn 1, khi tìm được đủ 3 nghiệm thì ta có thể kết

- Giả sử phương trình có nghiệm x
0
, dùng đạo hàm ta CM được x
0
là nghiệm duy nhất
- Ta chọn a thuộc R để pt có dạng 4x
3
+ 3x = ½ (a
3
- 1/a
3
) rồi CM x
0
= ½ (a - 1/a) là
nghiệm (duy nhất) của phương trình (phương pháp tương tự như trên)
3. Phương trình x
3
+ px + q = 0 (Công thức Cardan - Tartaglia)
- Đặt x = u - v sao cho uv = p/3
- Từ pt, ta có : (u - v)
3
+ 3uv(u - v) = u
3
- v
3
= q
- Hệ phương trình uv = p/3 và u
3
- v
3

± 3t = Q
B.PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN:ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0 (a ≠ 0)
I. Những dạng đặc biệt
1/ Pt trùng phương ax
4
+ bx
2
+ c = 0: Đặt t = x
2
(t ≥ 0), phương trình trở về dạng
bậc hai
2/(x + a)
4
+ (x + b)
4
= c: Đặt t = x + ½(a + b), pt có dạng : (t + m)
4
+ (t - m)
4
=
c, khai triển sẽ được pt trùng phương
3/ (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (m ≠ 0) với a + b = c + d
pt ↔ [x
2

2
(x) + 1/f
2
(x)] + b[f(x) ± 1/f(x)] + c = 0
Đặt t = f(x) ± 1/f(x) (tổng quát hơn so với dạng phương trình 4)
6/ a.f
2
(x) + b.f(x).g(x) + c.g
2
(x) = 0 (a ≠ 0)
- Với g(x) = 0, pt ↔ f(x) = 0
- Với g(x) ≠ 0, chia 2 vế phương trình cho g
2
(x)
- Đặt t = f(x)/g(x), pt trở về dạng bậc hai theo t
7/ x = f(f(x)): pt ↔ hệ đối xứng loại 2 : t = f(x) và x = f(t)
* Chú ý : Nếu trong phương trình có chứa tham số, trong vài trường hợp ta có
thể đổi vai trò của ẩn và tham số (xét phương trình theo tham số a, tính a
theo x rồi suy ra x theo a)
II. Pt bậc 4 tổng quát X
4
+ AX
3
+ BX
2
+ CX + D = 0 (công thức Ferrari)
- Đặt X = x - A/4, phương trình trở về dạng khuyết bậc ba :x
4
= ax
2

= f
2
(x)
C.PTRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI - CĂN THỨC
I. Phương trình - bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối
│A│ = │B│ ↔ A = B hay A = -B
│A│ = B ↔ (A ≥ 0 và A = B) hay (A ≤ 0 và -A = B) ↔ (B ≥ 0 và A = B) hay (B ≥ 0
và A = -B)
│A│ < │B│ ↔ A
2
< B
2
↔ (A + B)(A - B) < 0
│A│ < B ↔ (A ≥ 0 và A < B) hay (A ≤ 0 và -A = B) ↔ -B < A < B
│A│ > B ↔ A < -B hay A > B
* Chú ý :│A + B│ = │A│ + │B│ ↔ AB ≥ 0
│A│ + │B│ = A + B ↔ A ≥ 0 và B ≥ 0
II. Phương trình - bất phương trình chứa căn
2
√A = √B ↔ A ≥ 0 (có thể thay bằng B ≥ 0) và A = B
√A = B ↔ B ≥ 0 và A = B
2
3
√A =
3
√B ↔ A = B
3
√A = B ↔ A = B
3
√A < B ↔ A ≥ 0 và B > 0 và A < B

√A +
3
√B) bằng
3
√C ta được pt hệ quả :
A + B +
3
√(ABC) = C (sau đó thử lại nghiệm)
D.HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Đặt
- D ≠ 0 : Hệ có nghiệm duy nhất x = D
x
/D và y = D
y
/D
- D = 0 và (D
x
≠ 0 hay D
y
≠ 0) : hệ vô nghiệm
- D = D
x
= D
y
= 0 : hệ có vô số nghiệm (theo công thức nghiệm tổng quát)
Nhân tiện mình sẽ trình bày hệ phương trình tuyến tính (n phương trình n ẩn)
theo phương pháp Cramer (tham khảo)
Đặt:


Thông thường,trừ vế với vế 2 pt, ta có pt dạng (x - y).h(x,y) = 0
3. Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2
* Với y = 0 , giải và tìm nghiệm của hệ
* Với y ≠ 0,giả sử (x,y) là 1nghiệm của hệ thì luôn tồn tại 1
số thực k sao cho x = ky
Thay x = ky ta được hệ 2 pt mới
Chia 2 pt trên cho nhau ta được một pt chỉ chứa k.
Tìm được k , suy ra y và x
E.Một số bảng giá trị cần nhớ
4
Nguyễn Tấn Thành sưu tầm
Nguồn:Olympiavn.org
5