Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT
A-MỞ ĐẦU – LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình đường tròn là một trong những phương trình đường cong hay gặp
nhất trong môn toán ở nhà trường phổ thông.
Khái niệm về đường tròn và phương trình đường tròn không nhiều, nhưng hệ
thống bài tập thì đa dạng và phong phú vô cùng. Những ứng dụng quan trọng của
nó là giải bất phương trình, tìm GTLN,GTNN của biểu thức, biện luận số nghiệm
của hệ phương trình … Đó chính là công việc “hình học hóa môn đại số”. Sử dụng
được phương pháp này lời giải rất “đẹp,dễ nhớ và thoáng”.
Đứng trước bài toán biện luận hệ phương trình, tìm GTLN, GTNN của biểu thức
phải xác định được phương pháp giải của nó.
Có nhiều tác giả nghiên cứu về các dạng bài tập nhiều cách giải khác nhau; dùng
định lý thuận, đảo dấu tam thức bậc hai; tách ghép đánh giá; dùng bất đẳng thức
Côsi, Bunhiacôpski…Song khai thác triệt để và có hệ thống việc sử dụng phương
trình đường tròn vào việc biện luận hệ phương trình thì chưa có. Rất nhiều bài toán
nhờ ứng dụng phương pháp đường tròn được giải quyết một cách ngắn gọn dễ dàng.
Thông qua đề tài này chúng ta có thể :
- Cung cấp cho học sinh một phương pháp hay về việc giải một số bài toán đại
số.
- Phát triển sự tư duy sáng tạo cho học sinh.
- Giúp học sinh một cách nhìn rất logic trong chương trình toán phổ thông.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài :
- Các dạng phương trình, hệ phương trình trong chương trình toán phổ thông:
phương trình đại số, phương trình siêu việt.
- Phương trình đường thẳng, đường tròn.
Nghiên cứu trong phạm vi cả chương trình toán phổ thông.
Vì những lý do trên tôi chọn đề tài : “ Ứng dụng của đường thẳng và đường tròn
trong việc giải toán đại số ở trường THPT ”
Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu
1
1

) đến đường thẳng (d) có
phương trình : Ax + By + C = 0 ( A
2
+B
2
≠
0)

( )
2 2
Ax By C
d M,d
A B
+ +
=
+
5. Điều kiện để đường thẳng (d) : Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của đường tròn
( C ) tâm I(a;b) bán kính R là : d(I;d)=R.
6. Sự tương giao của hai đồ thị y=f(x) và y=g(x).Hoành độ giao điểm của hai đồ
thị trên là nghiệm của phương trình : f(x)=g(x).
7. Sự biểu diễn các đường cong trên mặt phẳng tọa độ,cách xác định miền
đường thẳng hoặc đường tròn thỏa mãn bất phương trình,hệ bất phương
trình.
8. Vị trí tương đối của hai đường tròn ( C ) :
( ) ( )
2 2
2
x a y b R− + − =
và
Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu

9. Phương tích của điểm M(x
0
;y
0
) đối với đường tròn (C):
( ) ( )
2 2
2
x a y b R− + − =
tâm I(a;b) bán kính R là :
P( M/ (C) )=
( ) ( )
2 2
2 2 2
0 0
MA.MB IM R x a y b R= − = − + − −
Nếu M nằm trên hoặc ngoài đường tròn ta có : P( M/ (C) )= MT
2
(với MT là tiếp tuyến với đường tròn tại điểm T)
10. Trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm :
( C ) :
( ) ( )
2 2
2
x a y b R− + − =
( C’) :
( ) ( )
2 2
2
x a ' y b' R '− + − =

1.2.Phương pháp:
 Bước 1: Biểu diễn phương trình ban đầu dưới sự tương giao của các đường
cong.
 Bước 2 : Biểu diễn các đường cong xuất hiện ở bước 1 trên mặt phẳng tọa độ.
 Bước 3 : Xét sự tương giao của các đường cong :
- Nếu hai đồ thị không cắt nhau thì phương trình đã cho vô nghiệm.
- Nếu hai đồ thị cắt nhau tại bao nhiêu điểm thì phương trình đã cho có bấy nhiêu
nghiệm.
1.3.Bài toán áp dụng.
Bài toán 1: Giải và biện luận theo m phương trình :

( )
m x m x m 1+ + − =
Giải:
+ Nếu m < 0
⇒
Phương trình (1) vô nghiệm.
+ Nếu m = 0
⇒
x x 0
+ − =
TXĐ :
x 0
x 0
x 0
≥

⇔ =

− ≤

( )
2 2
x v m
u v 2m
2
u 0
v 0
+ =


+ =


≥


≥

Nghiệm của (2) chính là giao điểm của hai đường thẳng :
Đường thẳng (d) : u+v=m và cung
»
AB
của đường tròn (C) : u
2
+v
2
=2m tâm O(0;0)
và bán kính
R 2m=
.

2u 2mu m 2 0
m 4m m
u
2
⇔ − + − =
± −
⇔ =

2
2
2
1,2 1,2
2
m 4m m
x u m m
2
m 4m m
2
 
± −
⇒ = − = −
 ÷
 ÷
 
−
= ±
Vậy :
+ Nếu :
m 4
m 0

6
6
Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT

2 2
cos x 2 cos x cos x. 2 cos x m+ − + − =
Cơ sở:
Xuất hiện hai đại lượng đối nhau là cosx và
2
2 cos x−
vì vậy ta có thể đặt ẩn phụ
theo 2 ẩn u,v sau đó xét sự tương giao của đường thẳng và đường tròn để giải
phương trình đã cho.
Lời giải:
•
Đặt

( )
2
2 2
2 2
2 2
u cosx
u 1;1 v 2
v 2 cos x
u cos x
u v 2
v 2 cos x
=


+ + =
+ + + − =


 


+ =
 
+ =
⇔
 
− ≤ ≤
 
− ≤ ≤
 
≤ ≤

≤ ≤



( )
2
2 2
u v 2(u v) 2m 2 0
u v 2
1 u 1
1 v 2




− ≤ ≤

≤ ≤


Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu
7
7
Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT
u
v
O
A
B
C
1
1
-1
-1
d2
d'1
d1
d":1
Coi (*) là giao điểm của 3 đường cong :
( C ) : u
2
+v
2

( )
∆
cón (d
1
) luôn nằm ở phía trên
hoặc trùng với
( )
∆

( )
¼
2
d ABC⇒ ∩
Vậy để hệ có nghiệm thì :
( )
¼
1 1
d ABC (d )
∩ ⇒
chạy trong miền từ (d
1
) qua A
Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu
8
8
Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT
và //
( )
∆
đến (d

3.
f (x) A f (x) f(x) A f(x) B+ − + − =
(A_const,B_chứa tham số)
4. Tất cả các bài toán trên có thể chuyển thành bài toán khác như sau :
5. Tìm m để phương trình sau vô nghiệm,có 1 nghiệm,có 2 nghiệm :
a)
x A x x A x m+ − + − =
(A là hằng số)
b)
f (x) A f (x) f(x) A f(x) m+ − + − =
(A là hằng số)
Bài toán 3 : Cho phương trình :

( ) ( )
1 x 8 x 1 x 8 x a+ + − + + − =
a) Giải phương trình khi a=3.
b) Xác định a để phương trình đã cho có nghiệm.
Cơ sở :
Xuất hiện hai đại lượng đối là x và –x nên có thể chuyển phương trình đã cho về
hệ phương trình với 2 ẩn là u và v,khi đó làm mất biến x ta thu được một phương
trình của hệ có dạng phương trình của đường tròn.Vận dụng xét sự tương giao để
giải hệ từ đó để giải phương trình đã cho.
Lời giải:
TXĐ
( ) ( )
1 x 0 x 1
8 x 0 x 8 1 x 8
1 x 8
1 x 8 x 0


= + ≥
= +


⇔ ⇒ + =
 
= −
= − ≥



Khi đó phương trình (1) trở thành :

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
1
u v uv a
u v u v 9 a
2
u v 9
u v 9
u 0

≥

≥



+ + + − − =


+ =
⇔

≥


≥


+ = − + + ≥ −


+ =
⇔

≥


≥

Với a=3

+v
2
=9 với
u 0;v 0≥ ≥
Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu
10
10
Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT
(d
1
) là đường thẳng có phương trình : u+v=3.

(d
2
) là đường thẳng có phương trình : u+v=-5
Được biểu diễn trên hình vẽ :

u
v
H
O
3
3
-5
d2
d1
d1'
d"1
Từ hình vẽ trên ta có phương trình có 2 nghiệm :



= −
=
 

+ =






=



− =



Với a=3 thì phương trình có 2 nghiệm x=8 và x=-1.
Khi đó (*) là giao điểm của các đường sau :
(C) : là cung tròn u
2
+v
2
=9 với
u 0;v 0≥ ≥

Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu

( ) ( )
2
a 5 d C∀ ≥ − ⇒ ∩
(d
1
’) nằm trên đường thẳng
( )
: a 5∆ ∀ ≥ −
Để phương trình có nghiệm thì (d
1
’) chạy từ (d
1
) tới (d
1
”)

( )
OH OK OI
3 2
1 2 5 a 3
2
11
3 2 10 2a 16
2
9 3 2
a 3
4 2
⇔ ≤ ≤
⇔ ≤ − + + ≤
⇔ + ≤ + ≤

2
A x−
ở một vế của phương trình do đó ta có thể chuyển
vế và coi phương trình đã cho là hoành độ giao điểm của hai đồ thị mà một tổng hai
Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu
12
12
Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT
đồ thị đó là cung tròn.
Lời giải
TXĐ :
2 m 2− ≤ ≤

( ) ( )
2
1 4 x mx m 2 1'
⇔ − = − +
Coi (1’) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị

2
y 4 x= −
và y=mx-m+2
Trong đó đồ thị
2
y 4 x= −
là cung tròn của đường tròn x
2
+y
2
=4 với

) là 2 tiếp tuyến của đường tròn (C) ứng với hệ số góc
m=0 và m=-4/3.
Đường thẳng (d
2
) đi qua điểm A(2 ;0) ứng vói hệ số góc m=-2 và (d
3
) đi qua
điểm B(-2 ;0) ứng vói hệ số góc m=2/3
Vậy từ hình ta có đường thẳng (d) với hệ số góc m bất kì biến thiên trong góc
nhọn tạo bởi (d
1
) và (d
4
) thì
( ) ( )
d C∩ ⇒
phương trình vô nghiệm.

4
m 0
3
⇒ − < <
Đường thẳng (d) biến thiên trong góc nhọ tạo bởi (d
2
) và (d
3
) thì (d) cắt (C) tại
một điểm duy nhất nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

3

4
) thì (d) cắt (C) tại 2 điểm
phân biệt
2
0 m
3
⇒ < ≤
Mở rộng bài toán
1.Có thể thay bằng việc xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và cung tròn (C)
bởi đường cong có thể biểu diễn trên mặt phămgr tọa độ.
2.Bài toán sau là bài toán mở rộng của bài toán trên :

2
A x Bx C 0− + + =
Trong đó A,B,C là các biểu thức chứa tham số hoặc không chứa tham sô.
1.4.Các bài toán tương tự của bài bài toán ứng dụng đường tròn để giải
phương trình.
Bài 1 : Cho phương trình :

( ) ( )
x 1 3 x x 1 3 x m+ + − − + − =
a) Giải phương trình khi m=2.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm.
Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu
14
14
Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT
c) Tìm m để phương trình vô nghiệm.
Bài 2 : Xác định m đẻ phương trình sau có nghiệm


−
− − =
2. Ứng dụng đường tròn để giải bất phương trình
2.1.Cơ sở lý luận
Một số bất phương trình sau một vài bước biến đổi sẽ xuất hiện dạng hệ bất
phương trình mà các bất phương trình của hệ là dạng các dường cong đã biết và có
thể biểu diễn chúng trên mặt phẳng tọa độ.Vì vậy ta sẽ dựa vào hình vẽ để tìm miền
nghiệm cuẩ hệ sau đó suy ra nghiệm của bất phương trình ban đầu.
2.2.Phương pháp:
 B1 : Biểu diễn các điểm thỏa mãn bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ.
 B2 : Tìm miền nghiệm của bất phương trình.
 B3 : Kết luận các miền thỏa mãn và các miền không thỏa mãn điều kiện bài
toán đặt ra.
2.3.Một số bài toán cụ thể
Bài toán 1: Giải và biện luận theo a bất phương trình sau:

( )
a x a x 2 1+ + − ≤
•
Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu
15
15
Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT
•
Cơ sở :
Xuất hiện hai đại lượng đối nhau là
a x+
và
a x−
do đó có thể đặt ẩn phụ

2 2
u a x
v a x
u a x
v a x
u v 2a(u,v 0

= +



= −


= +

⇒

= −


⇒ + = ≥
Khi đó bất phương trình (1) trở thành

( )
2 2
u v 2
u v 2a *
u 0;v 0
+ ≤


¼
a 2 AHB OCD⇒ > ⇒ ∩ = ∅ ⇒
Phương trình vô nghiệm
+ Nếu
2a d(O, ) 2 0 a 1≤ ∆ = ⇒ ≤ ≤ ⇒
(1) có nghiệm thỏa mãn :

0 u 2a 0 a x 2a 0 a x 2a≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤

0 x a 2 2a 2 1 a 2⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
+Nếu
( )
d O; 2a 2 (1)∆ ≤ ≤ ⇒
có nghiệm thỏa mãn:

1
2
0 u a x u
u u a x 2a

≤ = + ≤


≤ = + ≤

Với u
1
, u
2

⇒

+ − ≤ + ≤


≤ + ≤ − −
⇔

+ − ≤ + ≤



≤ ≤ − −
⇔ ⇒ − ≤ ≤


− ≤ ≤

Kết luận :
Với
a 0
a 2
<


>

thì bất phương trình vô nghiệm.
Với
0 a 1≤ ≤

A f (x) B f (x) C
A f (x) B f (x) C

+ + − ≥

+ + − ≤


(A,B chứa tham số m,C_const)
Bài toán 2 : Cho bất phương trình sau :
Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu
18
18
Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT

( )
2
x 6x 5 m 2x 1
− + − ≥ −
a) Giải bất phương trình khi m=8
b) Tìm m để bất phương trình (1) có nghiệm
[ ]
x 1;5∀ ∈
Cơ sở
Một vế của bất phương trình có dạng biểu thức dưới dấu căn bậc 2 mà biếu thức
trong căn chỉ chứa các số hạng chứa biến x,x
2
.Nên ta có thể đưa việc giải bất
phương trình trên về việc xét sự tương giao của hai đường cong.Mà 1 trong 2 đường
đó có liên quan đến đường tròn.


Là nửa đường tròn tâm I(3;0) bán kính R=2.
Gọi (d) là đường thẳng y = m-2x
a) Nếu m=8

( )
d⇒
có phương trình y=8-2m
Giao của (C) và (d) là nghiệm của hệ phương trình :
Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu
19
19
Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT
2
y 8 2x
y x 6x 5
= −



= − + −


O
u
v
1
3
4
5

5
x 3
t / m
y 8 2x
y 2
≥


⇔ − = − + −


= −



≥
=







=






0
d Oy M(0;m)∩ =
và (d
0
)//(d) hoặc
( ) ( )
0
d d≡
Gọi (d
1
) là đường thẳng đi qua điểm N(1;0)
(d
1
) có pương trình y=-2(-1+x)
Vậy để bất phương trình nghiệm đúng
[ ]
x 1;5∀ ∈

( )
C⇔
không nằm dưới (d
0
)
⇔
(d
1
) không nằm dưới (d
0
)
⇔

x 2;4∀ ∈ −
Bài 4 : Cho bất phương trình :
Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu
21
21
Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT
( ) ( )
2
4 4 x 2 x x 2x a 18− − + ≤ − − + −
a) Giải bất phương trình khi a=6
b) Tìm a để (1) nghiệm đúng
[ ]
x 2;4∀ ∈ −
3. Ứng dụng đường tròn để giải hệ phương trình
3.1.Cơ sở lý luận :
Một số hệ phương trình mà mỗi phương trình của hệ biểu diễn biểu thức của các
đường cong có thể biểu diễn chúng trên mặt phẳng tọa độ do đó ta có thể xét sự
tương giao giữa chúng để giải hệ phương trình ban đầu.
3.2.Phương pháp
• B1: Đưa mỗi phương trình của hệ về phương trình của các đường cong đã biết.
• B2: Biểu diễn các đường cong đó trên mặt phẳng tọa độ.
• B3: Xét sự tương giao của các đường cong để tìm nghiệm hoặc biện luận hệ đã
cho
• B4 : Kết luận.
3.3Bài toán cụ thể
Bài toán 1 : Cho hệ phương trình :
( )
( )
2 2
x ay a 0 1

>0.
- Phương trình (2) của hệ có dạng phương trình đường tròn.Do đó có thể biểu
diễn hệ đã cho trên mặt phẳng tọa độ để xét sự tương giao của chúng.
Lời giải
Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu
22
22
Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT
a) Xét tập hợp các điểm hệ các điểm M(x;y) thỏa mãn hệ (I).Chính là giao điểm của
các đường thẳng (d):x+ay-a=0 và đường tròn (C ) có tâm I(1/2;0) và có bán kính
R=1/2.
Để hệ (I) có 2 nghiệm phân biệt
( ) ( )
d C⇔ ∩
tại 2 điểm phân biệt
2
2
d(I;d) R
1
a
1
2
2
1 a
1 2a 1 a
⇔ <
−
⇔ <
+
⇔ − < +

2 1 2 1
1
MN 2R x x y y 2. 1
2
⇒ ≤ ⇔ − + − ≤ =
( ) ( )
2 2
2 1 2 1
x x y y 1⇔ − + − ≤
(đpcm)
- Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi MN là đường kính khi và chỉ khi
(d) đi qua tâm I của đường tròn (C ).

1 1
a 0 a
2 2
⇔ − = ⇔ =
Vậy với a=1/2 thì dấu = xảy ra
Lê Thị Minh Nga Tổ Toán – Tin.Trường THPT Khoái Châu
24
24
Ứng dụng đường thẳng và đường tròn trong việc giải toán đại số ở trường THPT
Mở rộng bài toán
- Thay bằng việc tìm a để hệ (I) có 2 nghiệm phân biệt bằng tìm a để hệ có
nghiệm duy nhất,hệ vô nghiệm.
- Thay bởi việc cho đường thẳng thay đổi (phương trình đường thẳng chứa tham
số m) ta cho đường tròn có bán kính chứa tham số m khi đó ta cũng được một lớp
bài toán mới.
-
Bài toán 2 : Tìm m để hệ sau đây có 2 nghiệm

( )
( )
( )
( )
2 2
x y 2 1'
I x y 2 1''
x y 2(1 m) 2

+ =



⇔ + = −




+ = +

Từ (2) ta thấy nếu
( )
2 1 m 0 1 m 0 m 1+ ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ −
thì phương trình (2) vô
nghiệm do đó hệ đã cho vô nghiệm
m 1⇒ ≤ −
không thỏa mãn.
+ Nếu
m 1 0 m 1+ > ⇒ > −
thì (2) là phương trình đường tròn (C ) tâm O(0;0) bán