Chương 3
PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM
MỘT BIẾN
3.1 Dãy số và giới hạn của dãy số
3.1.1 Định nghĩa giới hạn của dãy số
Định nghĩa 3.1. Dãy số thực là một ánh xạ
a : N → R
n → a(n) = a
n
Khi đó ta được một dãy các số thực a
1
, a
2
, a
n
,
+ Kí hiệu là {a
n
}.
+ a
n
gọi là số hạng tổng quát thứ n của dãy. Dãy số hoàn toàn được xác định khi biết số hạng
tổng quát của nó.
- Dãy con.
Cho dãy số thực a
n
. Giả sử n
1
< n
2
< n

Định lý 3.1. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.
Chứng minh. Giả sử lim
n→∞
a
n
= a . Nếu có số b = a cũng là giới hạn của dãy {a
n
} . Khi đó với
ε =
|b −a|
2
> 0 , thì: ∃N
1
∀n > N
1
: |a
n
− a| < ε, ∃N
2
∀n > N
2
: |a
n
− b| < ε
Chọn N
0
= max{N
1
, N
2

a
n
= a
21
Ví dụ 3.2. Giới hạn lim
n→∞
1
n
= 0. Thật vậy, với mọi ε > 0 chọn N =
1
ε
+ 1, thì với mọi n ta có:
|a
n
− 0| =
1
n
− 0 =
1
n
<
1
N
< ε
.
Ví dụ 3.3. Giới hạn lim
n→∞
q
n
= 0 nếu |q| < 1. Thật vậy

n
} được gọi là bị chặn trên, bị chặn dưới nếu tập A = {a
n
: n ∈ N} có tính
chất tương ứng.
Định lý 3.3. Dãy số {a
n
} hội tụ thì nó bị chặn.
Chứng minh. Giả sử lim
n→∞
a
n
= a. Khi đó với ε = 1 ∃N
0
∀n > N
0
: |a
n
− a| < 1.
Do đó |a
n
| < a + 1, ∀n > N
0
Chọn M = max {|a
1
|, |a
2
|, , |a
N
0

n = +∞ . Thật vậy, ∀M > 0 ∃N = M
2
∀n > N :
a
n
=
√
n >
√
N =
√
M
2
= M
Ví dụ 3.6. Xét dãy {a
n
= 1 −n
2
} , ta có: lim
n→∞
1−n
2
= −∞. Thật vậy ∀M > 0 ∃N =
√
1 + M ∀n >
N : a
n
= 1 −n
2
< 1 − (

n
(nếu b
n
= 0 ∀n và b = 0 ) cũng hội tụ. Hơn nữa, ta có:
(i) lim
n→∞
(a
n
± b
n
) = a ± b
(ii) lim
n→∞
(a
n
.b
n
) = a.b
(iii) lim
n→∞
a
n
b
n
=
a
b
.
22
Chú ý. - Định lý có thể mở rộng thêm cho các dạng sau đây:

x→∞
(a
n
− b
n
) có dạng ∞ − ∞
và trong trường hợp này lim
x→∞
(a
n
− b
n
) = a với a tuỳ ý mà ta chọn.
Ví dụ 3.8. Cho hai dãy {a
n
=
a
n
}; {b
n
=
1
n
} , thì lim
n→∞
a
n
b
n
có dạng

n
n} là các
VCL.
Một số tính chất của VCB và VCL.
1. Tổng hoặc tích của hai VCB là một VCB.
2. Tích của một VCB và một đại lượng bị chặn là một VCB.
3. Dãy {a
n
} là một VCB khi và chỉ khi {|a
n
|} làmột VCB.
4. lim
n→∞
a
n
= a ⇔ {a
n
− a} là một VCB.
5. {a
n
} là VCL và |b
n
| ≥ |a
n
| với mọi n, thì là một VCL.
6. Tích của một VCL và một dãy có giới hạn khác 0 là một VCL.
7. Dãy {a
n
} là VCL thì {
1

: |a
n
− a| < ε.
Mặt khác, ta có: ||a
n
| −|a|| < |a
n
− a| < ε , với mọi n > N
0
Định lý 3.6. . Nếu lim
n→∞
a
n
= a, lim
n→∞
b
n
= b và a
n
≤ b
n
với mọi n , thì a ≤ b.
Chứng minh.
23
Giả sử rằng a > b . Khi đó với ε
0
=
a −b
2
∃N

= b + ε
0
> b
N
0
.
Điều đó mâu thuẫn với giả thiết a
n
≤ b
n
với mọi n và định lý được chứng minh.
Định lý 3.7. Định lý 7 (Giới hạn kẹp). Nếu lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
= d và a
n
≤ c
n
≤ b
n
với mọi n , thì
{c
n
} cũng hội tụ và lim
n→∞

Do đó |c
n
− d| < max {|a
n
− d|, |b
n
− d|} < ε với mọi n>m
Vậy c
n
cũng hội tụ và lim
n→∞
c
n
= d.
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy số
a
n
=
√
n
2
+ 1
n
2
+
√
n
2
+ 2
n

≤ a
n
≤ 1 +
1
n
↓ ↓
1 1
Do đó
lim
n→∞
a
n
= 1
3.2 Hàm số một biến số
3.2.1 Hàm số
Định nghĩa 3.5. Đại lượng biến thiên y gọi là hàm số của đại lượng biến thiên x trong miền biến
thiên X của nó nếu có một quy tắc để mỗi giá trị x ∈ X đều được đặt tương ứng với một giá trị xác
định y ∈ Y.
- Đại lượng x gọi là đối số hay biến độc lập. Miền biến thiên X của x gọi là miền xác định của
hàm số. Đại lượng y gọi là biến phụ thuộc. Nếu quy tắc tương ứng giữa x và y là f thì ta viết
y = f(x), x ∈ X
- Tập f(X) = {f (x) : x ∈ X} gọi là miền giá trị của hàm số f.
Trong trường hợp hàm số cho bởi một công thức y = f(x) mà không nói gì thêm thì ta hiểu miền
xác định của hàm số là tập tất cả các x mà công thức có nghĩa.
Ngoài ra đôi khi ta còn dùng từ hàm thay cho hàm số.
Ví dụ 3.9. y =
√
1 −x
2
có miền xác định là [-1,1];

2
).
- Đơn điệu tăng hoặc giảm gọi là hàm đơn điệu.
- Nếu x
1
< x
2
kéo theo f(x
1
) < f (x
2
) thì hàm gọi là tăng ngặt hay đồng biến, tương tự ta có
khái niệm giảm ngặt hay nghịch biến.
Ví dụ 3.11. y = x đồng biến trên R.
Ví dụ 3.12. y = x
2
nghịch biến trên (−∞, 0], đồng biến trên [0, +∞).
Ví dụ 3.13. Hàm Dirichlet D(x) =
1 nếu x ∈ Q
0 nếu x ∈ I
Không đơn điệu trên bất kỳ khoảng nào của R.
ii) Hàm chẵn, hàm lẻ.
Cho hàm y = f(x) có miền xác định X . Khi đó
+y = f(x) gọi là hàm chẵn ⇔
x ∈ X ⇒ −x ∈ X
f(−x) = f(x), ∀x ∈ X
+ y = f (x) gọi là hàm lẻ ⇔
x ∈ X ⇒ −x ∈ X
f(−x) = −f(x), ∀x ∈ X
Ví dụ 3.14. Hàm y = x

−1
(x), x ∈ X , gọi là hàm ngược
của hàm y = f(x).
Chú ý rằng, chỉ có hàm đơn trị 1-1 mới có hàm ngược.
ii) Hàm hợp
Cho hai hàm y = f(x), x ∈ X và z = g(y), y ∈ Y sao cho f(X) ⊂ Y. Khi đó ta có hàm
(gof)(x) = g(f(x)), x ∈ X gọi là hàm hợp của hai hàm đã cho.
Ví dụ 3.16. f (x) = x
2
+ 1 và g(x) = cos x thì (gof)(x) = cos(x
2
+ 1); (fog)(x) = cos
2
x + 1.
Ví dụ 3.17. h(x) = cos
2
x + 2 cos x + 5 có thể coi là hàm hợp của hàm y(x) = cos x và g(y) =
y
2
+ 2y + 5.
25
Ví dụ 3.18. Từ định nghĩa hàm ngược ta có:
f
−1
of(x) = x với ∀x ∈ X
fof
−1
(y) = y với ∀y ∈ Y.
3.2.4 Các hàm sơ cấp
Ta gọi hàm sơ cấp đơn giản là những hàm thuộc một trong các loại sau đây

.
v) Hàm lượng giác
Hàm y = sin x có miền xác định R , miền giá trị [-1,1], là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 2π.
Hàm y = cos x có miền xác định R , miền giá trị [-1,1], là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ π.
vi) Hàm lượng giác ngược
Hàm y = arcsin x, x ∈ [−1, 1] là hàm ngược của hàm y = sin x, x ∈ [−
π
2
;
π
2
]. Miền xác định của
hàm là [-1,1], miền giá trị là [−
π
2
;
π
2
]. Ta có
y = arcsin x ⇔ sin y = x, y ∈ [−
π
2
;
π
2
]
Chú ý rằng arcsinx là ký hiệu tất cả các giá trị y mà sinyC =x còn y =arcsinx là giá trị duy nhất
y ∈ [−
π
2

x
− e
−x
e
x
+ e
−x
, cthx =
e
x
+ e
−x
e
x
− e
−x
26
Các hàm này có tên gọi theo thứ thự là sin hyperbolicC, cosin hyperbolic, tang hyperbolic và cotang
hyperbolic. Các hàm hyperbolic có các tính chất gần tương tự với hàm lượng giácC:
thx =
shx
chx
; cthx =
chx
shx
;
chx(x ±y) = chxchy ± shxshy;
sh(x ±y) = shxchy ± chxshy
ch
2

n
< x
0
với mọi n ≥ 1 ta nói dãy x
0
là
điểm tụ bên phải hoặc bên trái của X.
Định nghĩa 3.7. Cho hàm số y = fx trên X\{x
0
} với x
0
là điểm tụ của X.
A = lim
x→x
0
f(x) ⇔ ∀{x
n
} ⊂ X\{x
0
}, x
n
→ x
0
: f(x
n
) → A. (3.1)
Nếu x
0
là điểm tụ bên phải hoặc bên trái của X mà (3.1) thoả mãn với mọi dãy {x
n

0
f(x).
Ta thường gặp trường hợp X = (a, b) và khi đó x
0
∈ [a, b]. Lưu ý rằng khi x
0
= a hoặc x
0
= b
ta chỉ có thể nói tới giới hạn bên phải hoặc bên trái của hàm đã cho. Để đơn giản trong phát biểu,
từ nay nếu không có gì nói thêm ta luôn coi X = (a, b). Trong trường hợp x
0
= a = −∞ thì ta viết
lim
x→−∞
f(x) = A. Nếu x
0
= b = +∞ thì ta viết lim
x→+∞
f(x) = A.
Ví dụ 3.21. lim
x→2
x
2
− 1
x
.
Với dãy số bất kỳ {x
n
}, {x

1
x
.
Với dãy số bất kỳ {x
n
}, x
n
→ +∞ , ta có
1
x
n
→ 0. Do đó lim
x→+∞
1
x
= 0.
27
Ví dụ 3.23. lim
x→0
+
1
x
Với dãy bất kỳ, {x
n
}, x
n
→ 0, x
n
> 0, ta có
1

n
→ 1.
Do đó theo định nghĩa giới hạn trên không tồn tại.
2. Định nghĩa theo ngôn ngữ  −δ
Định nghĩa 3.8. Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a, b)\x
0
, x
0
∈ [a, b]
lim
x→x
0
f(x) = A
⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ (a, b) 0 < |x − x
0
| < δ : |f (x) −A| < ε (3.2)
Định nghĩa này chỉ xác định khi x
0
và A thuộc R.
Trước hết ta sẽ chứng minh trong trường hợp này định nghĩa theo ngôn ngữ dãy và ngôn ngữ
 −δ là tương đương.
(3.1) ⇒ (3.2). Nếu trái lại, (3.1) xảy ra nhưng không có (3.2), nghĩa là: ∃
0
> 0 ∀δ =
1
n
∃x
n
∈
(a, b)0 < |x

n
} ⊂ (a, b), x
n
→ x
0
, x
n
= x
0
. Chọn N sao cho ∀n > N thì |x
n
− x
0
| < δ. Khi đó, ta
cũng có: |f (x
n
) −A| < ε, ∀n > N.
Vậy f(x
n
) → A và ta có (3.1).
3.3.2 Một số định lí về giới hạn của hàm số
Định lý 3.8. Nếu tồn tại các giới hạn lim f (x)
x→x
0
= A, lim
x→x
0
g(x) = B thì tồn tại các giới hạn sau đây
nếu vế phải là xác định:
(i) lim

và g(x
n
) → B . Do đó ta có: g(x
n
) ±f (x
n
) → A ± B. Vậy
lim
x→x
0
[f(x) ± g(x)] = A ± B
Các tính chất khác chứng minh tương tự .
28
Định lý 3.9 (Nguyên lý kẹp giữa). Cho hàm f(x), g(x), h(x) xác định trên (a, b) \{x
0
}, x
0
∈ [a, b]
và thỏa mãn f (x) ≤ g(x)h(x). Khi đó nếu lim
x→x
0
f(x) = lim
x→x
0
h(x) = A, thì tồn tại lim
x→x
0
(x) = A.
Chứng minh. Với dãy tuỳ ý {x
n

g(x) = A
Ví dụ 3.25. Tìm giới hạn lim
x→o
x sin
1
x
.
Ta có: x sin
1
x
≤ |x| suy ra
−|x| ≤ x sin
1
x
≤ |x|
↓ ↓
0 0
Do đó: lim
x→0
x sin
1
x
= 0
3.3.3 Một số ví dụ về tính giới hạn
Khi tính giới hạn, ngoài hai giới hạn cơ bản
i) lim
x→0
sin x
x
= 1

.
Từ hai giới hạn cơ bản và định lý 4.1 ta có:
lim
α(x)→0
sin α(x)
α(x)
= 1, lim
α(x)→0
(1 + α(x))
1
α(x)
= e
Ví dụ 3.26. lim
x→0
sin 2x
sin 3x
=
2
3
. lim
x→0
sin 2x
2x
.
3x
sin 3x
=
2
3
Ví dụ 3.27. lim

x→x
0
α(x) = 0 ; α(x) gọi là vô cùng lớn (VCL) trên (a, b) khi
x → x
0
nếu lim
x→x
0
|α(x)| = +∞.
29
2. Tính chất
Vì VCB và VCL là những giới hạn, nên theo tính chất của giới hạn ta có:
+ Tổng hai VCB là một VCB;
+ Tích của một VCB và một đại lượng bị chặn là một VCB;
+ Tích hai VCL là một VCL;
+ Tổng của một VCL và một đại lượng bị chặn là một VCL;
+ α(x) là VCB và α(x) = 0 thì
1
α
là VCL;
+ α(x) là VCL thì
1
α
là VCB;
+ lim
x→x
0
f(x) = A ⇔ f(x) = A + α(x); là VCB khi x → x
0
.

x, x, x
2
, sin x, 1 − cos x là các VCB khi x → 0 . + Vì lim
x→0
x
3
√
x
= lim
x→0
x
2
x
= 0 nên
x = O(
3
√
x), x
2
= O(x).
+ Vì lim
x→0
sin x
x
= 1 nên sin x ∼ x.
+ Vìlim
x→0
1 −cos x
x
2

0
α(x)
β(x)
= lim
x→x
0
α
∗
(x)
β
∗
(x)
.
α(x)
α
∗
(x)
β(x)
β
∗
(x)
= lim
x→x
0
α
∗
(x)
β
∗
(x)

Ta có:
1 −
√
cos x
1 −cos x
√
x
=
1 −cos x
(1 −cos
√
x)(1 +
√
cos x)
.
Chú ý rằng: 1 − cos x ∼
1
2
x
2
, 1 −cos x
√
x ∼
1
2
x,
nên ta nhận được
lim
x→0
1 −

0
f(x) = f(x
0
).
Nếu chỉ tồn tại lim
x→x
+
0
f(x) = f(x
0
), hoặc lim
x→x
−
0
f(x) = f(x
0
). ta gọi lần lượt là liên tục phải, liên
tục trái tại.
Cho hàm f(x) xác định tại x
0
∈ (a, b). Nếu f(x) không liên tục tại x
0
, thì ta gọi x
0
là điểm gián
đoạn của hàm f(x).
Định lý 3.10. Hàm số f(x) gọi là liên tục tại x
0
nếu và chỉ nếu f (x) liên tục phải và liên tục trái
tại x

ln x nếu x > 0
1 nếu x ≤ 0.
Ta có lim
x→0
+
h(x) = −∞ lim
x→0
−
h(x) = 1 = h(0). Do đó, h(x) gián đoạn tại x = 0 , liên tục trái tại đó.
Ví dụ 3.34. Xét hàm k(x) = sin
1
x
Hàm số đã cho là gián đoạn tại x = 0 vì không tồn tại các giới hạn lim
x→0
−
k(x) và lim
x→0
+
k(x).
2. Phép toán trên hàm liên tục
31
Định lý 3.11. Nếu hàm y = f(x) liên tục tại x
0
∈ (a, b), hàm z = g(y) xác định trong một khoảng
chứa y
0
= f(x
0
) và liên tục tại y
0

) ≤ f (x) ≤ f(c
2
); ∀x ∈ [a, b]
Bổ đề. Nếu hàm ϕ(x) liên tục trên đoạn [a, b] thoả mãn ϕ(a)ϕ(b) < 0 , thì tồn tại ít nhất một
điểm c ∈ (a, b) để ϕ(x) = 0.
Định lý 3.15 (Bolzano-Cauchy). Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a)=A, f(b)=B , thì mọi
α nằm giữa A và B đều tồn tại c ∈ (a, b) để f(c) = α.
Hệ quả. Cho hàm f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và
M = sup {f (x) : x ∈ [a, b]}; m = inf {f (x) : x ∈ [a, b]}.
Khi đó, với mọi α ∈ [m, M] tồn tại c ∈ [a, b] sao cho: f(c) = α.
3.4 Đạo hàm và vi phân
3.4.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản của đạo hàm
1. Định nghĩa
Định nghĩa 3.12. Cho Hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a, b), x
0
∈ [a, b], ∆x = x − x
0
, gọi
là số gia của x tại x
0
; ∆y = f (x + ∆x) − f(x
0
), gọi là số gia của hàm số ứng với số gia ∆x.
Nếu tồn tại và hữu hạn lim
∆x→0
∆y
∆x
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm f(x) tại x
0
và được kí

−
∆y
∆x
thì các giới hạn đó lần lượt gọi là các
đạo hàm bên phải, đạo hàm bên trái của hàm f(x) tại x
0
.
Định lý 3.16. f(x) có đạo hàm tại khi và chỉ khi f(x) có đạo hàm bên phải và đạo hàm bên trái tại
x
0
32
Ví dụ 3.35. Tính đạo hàm của y = x
2
− 1 tại x
0
= 3.
Cho số gia ∆x ta có ∆y = (x
0
+ ∆x)
2
− 1 (x
2
0
− 1) = (3 + ∆x)
2
− 3
2
= 5∆x + (∆x)
2
.

)) là y − f(x
0
) = f

(x
0
)(x −x
0
).
b) Ý nghĩa cơ học: Một chất điểm chuyển đông thẳng có phương trình quãng đường đi được s
theo thời gian t là s = s(t). Xét tại điểm t
0
khi đó
∆s
∆t
là vận tốc trung bình của chất điểm trong
khoảng thời gian từ t
0
đến t
0
+ ∆t . Vì vậy s

(t
0
) = lim
∆t→0
∆s
∆t
là vận tốc tức thời của chất điểm tại
thời điểm t


v − vu

v
2
Định lý 3.18 (Đạo hàm của hàm hợp). Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm theo x, kí hiệu là u

x
và
hàm số y = f(u) có đạo hàm theo u, kí hiệu là y

u
thì hàm số y = f(g(x)) có đạo hàm theo x, kí hiệu
là y

x
và y

x
= y

u
.u

x
3. Bảng đạo hàm
3.4.2 Vi phân.
1. Định nghĩa
Định nghĩa 3.13. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại x
0

).∆x (3.3)
Mà ∆y = f (x
0
+ ∆x) − f(x
0
) nên
(3.3) ⇔ f (x
0
+ ∆x) − f(x
0
) ≈ f

(x
0
)∆x
⇔ f (x
0
+ ∆x) ≈ f(x
0
) + f

(x
0
)∆x (3.4)
Ví dụ 3.36. Tính gần đúng
√
4, 01 .
Ví dụ 3.37. Tính gần đúng ln(1,01)
33
3.4.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao.

(x) = f (x).
Ví dụ 3.38. Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số:
a) y = e
mx
m ∈ R b) y = sinx
Giải.
a) y
(n)
= m
n
e
mx
, n ∈ N
∗
b)
y =
cos x , n = 4k + 1
−sin x , n = 4k + 2
−cos x , n = 4k + 3
sin x , n = 4k
2. Vi phân cấp cao
Tương tự như đạo hàm cấp cao ta có thể nói về vi phân cấp cao. Cho hàm y = f(x) khả vi trên
(a; b). Như đã biết biểu thức dy = f

(x
0
)∆x gọi là vi phân cấp 1 của hàm f(x). Hàm này phụ thuộc
vào hai biến độc lập là x và ∆x . Tuy nhiên nếu cố định ∆x thì nó trở thành hàm một biến đối với
x. Nếu hàm này khả vi trên (a; b) thì nó được gọi là vi phân cấp 2 của hàm f(x)và kí hiệu là d
2

n
dx
n
Vi phân cấp cao không có dạng thức bất định như vi phân cấp 1. Thật vậy:
- Nếu y = f(u), u là biến độc lập thì d
2
y = f

udu
2
(∗)
- Nếu u = u(x) thì d
2
y = (f(u(x)))

dx
2
= (f

(u).u

(x))

dx
2
== [f

(u).(u

(x))

0
− δ; x
0
+ δ) ⊂ (a, b) để ∀x ∈ B
δ(x
0
)
thì f(x) ≤ f (x
0
) f (x) ≥ f(x
0
) .
Điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
Định lý 3.20 (Fecmat). Nếu hàm số y=f(x) đạt cực trị tại x
0
và có đạo hàm tại x
0
thì f

(x
0
) = 0.
34
Định lý 3.21 (Rolle). Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trên (a, b)và
f(a)=f(b). khi đó tồn tại c ∈ (a, b) để f’(c)=0.
Định lý 3.22 (Lagrange). Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trên (a, b).
Khi đó tồn tại c ∈ (a, b) đẻ f

(c) =
f(b) − f(a)

k!
(x −x
0
)
k
+
f
(n+1)
(c)
(n + 1)!
(x −x
0
)
n+1
,
trong đó c là một số nằm giữa x
0
và x.
Kí hiệu P
n
(x) =
n
k=o
f
(k)
(x
0
)
k!
(x −x

x
5
5!
− + (−1)
k−1
x
2k−1
(2k − 1)!
+
+(−1)
k
x
2k+1
(2k + 1)!
cos θx, 0 < θ < 1
(iii) cos x = 1 −
x
2
2!
+
x
4
4!
− + (−1)
k−1
x
2k−2
(2k − 2)!
+
+(−1)

α(α − 1)
2!
x
2
+ +
+
α(α − 1) (α − n −1)
n!
x
n
+
α(α − 1) (α − n)
(n + 1)!
(1 + θx)
α−n
,
0 < θ < 1
3. Một số áp dụng của khai triển Taylor
35
Ví dụ 3.39. Tính gần đúng số e với sai số nhỏ hơn 0,001.
Giải. Ta có khai triển Taylor của hàm e
x
e = 1 + 1 +
1
2!
+ +
1
n!
+
1

+
1
4!
+
1
5!
+
1
6!
= 2, 718
Ví dụ 3.40. Biểu diễn f(x) = 2x
3
− 3x
2
+ 5x + 1 dưới dạng tổng lũy thừa của (x + 1)
Giải. Ta có f
(n)
(x) = 0 với mọi n ≥ 4
Vậy áp dụng công thức Taylor vào hàm số f(x) trong lân cận của điểm x
0
= −1 ta có
f(x) = f(−1) +
f

(−1)
1!
(x + 1) +
f

(−1)

x
sin x −x cos x
x sin x
= lim
x→0
x −
x
3
3!
+ 0(x
3
) −x(1 −
x
2
2!
+ 0(x
2
))
x
2
(x + 0(x
2
))
=
1
2
−
1
6
=

0
g(x) = +∞ (2)
thì lim
x→x
0
f(x)
g(x)
= A
Ví dụ 3.42. lim
x→0
+
ln x
x
= lim
x→0
+
1
x
1
= +∞
Ví dụ 3.43. lim
x→0
+
x ln x = lim
x→0
+
ln x
1
x
= lim

2
x
+ 4
x
4
x
− 3
x
 3.2. Tìm giới hạn các hàm số sau
a. lim
x→∞
(
√
x + 1 −
√
x)
b. lim
x→0
3
√
1 + x −
3
√
1 −x
x
c. lim
x→−2
x
3
+ 3x

2
+ 1
g. lim
n→∞
(
1
n
2
+
2
n
2
+ +
n −1
n
2
)
h. lim
n→∞
1 +
1
2
+ +
1
2
n
1 +
1
3
+ +

4. lim
x→0
1 + sin ax − cos ax
1 + sin bx − cos bx
5. lim
x→1
sin πx
α
sin πx
β
6. lim
x→0
√
cos x −
3
√
cosx
sin
2
x
7. lim
x→1
sin
2
(π2
x
)
ln cos(π2
x
)

1 + x
2
)
−
1
ln(1 + x)
 3.4. Xác định các hằng số a, b để các hàm số sau liên tục tại mọi x.
a. y
1
=
e
x
nếu x < 0
a + x nếu x ≤ 0
b. y
2
=
−2 sin x nếu x ≤ −
π
2
a sin x + b nếu |x| <
π
2
cos x nếu x ≥
π
2
c. y
3
=
(e

3. y = (sin x)
x
4. y = x
x
x
5. y = x + x
x
+ x
x
x
6. y = x
3
e
x
2
sin 2x
7. y =
(x −2)
2
3
√
x + 1
(x −5)
3
8. y = (1 + x)
√
2 + x
2
3
√

; y =
t
t
2
− 1
. Tính y

(x), y

(x).