TỔNG HỢP CÁC CÂU HỎI PHỤ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài 1.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
2x
x −2
biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B mà
tam giác OAB thỏa mãn AB = OA
√
2
Giải
Cách 1 Gọi M(x
0
; y
0
), (x
0
= 2) thuộc đồ thị hàm số. Pt tiếp tuyến d tại M có dạng: y−
2x
0
x
0
−2
=
−4
(x
0
−2)
2
(x−
x
0

Cách 2 nhận xét tam giác AOB vuông tại O nên ta có : sin(ABO) =
OA
AB
=
1
√
2
= sin
π
4
nên tam giác AOB vuông cân tại O. phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M = (x
0
; y
0
) có dạng :
y = −
4
(x
0
−2)
2
)
(x −x
0
) +
2x
0
x
0
−2

(x
0
−2)
2
⇔ x
3
0
(x
0
−4) = 0
+) với x
0
= 0 ta có phương trình tiếp tuyến là : y + x = 0
+) với x = 4 thì phương trình tiếp tuyến là : y = −x +4
Bài 2.
Tìm các giá trị của m để hàm số y =
1
3
x
3
−
1
2
m.x
2
+

m
2
−3

2
thỏa yêu cầu bài toán khi và chỉ khi pt y
′
= 0 có 2 nghiệm phân biệt dương,
triệt tiêu và đổi dấu qua 2 nghiệm đó
⇔









∆ > 0
S > 0
P > 0
⇔









4 −m
2

1
+ x
2
= m
x
1
x
2
= m
2
−3
Mà x
2
1
+ x
2
2
=
5
2
⇔ 2(x
1
+ x
2
)
2
−4x
1
x
2

′
= x
2
−mx + m
2
δ
′
y
′
= 3 > 0 hàm số đã cho luôn có 2 cực trị
mặt khác theo bài ra ta có :

x
2
1
+ x
2
2
=

5
2
(x
1
+ x
2
)
2
−2x
1

=
7
2
vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là :m =

7
2
hoặc m = −

7
2
Bài 3.
Tìm tất cả các giá trị m sao cho trên đồ thị (C
m
) : y =
1
3
mx
3
+ (m −1)x
2
+ (4 −3m)x + 1 tồn tại đúng 2
điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (L) : x +2y −3 = 0.
Giải
Cách 1: Có y
′
= mx
2
+ 2(m −1)x + 4 −3m
Từ yêu cầu bài toán dẫn đến pt: y

P > 0
⇔















m = 0
4m
2
−4m + 1 > 0
m −1
m
< 0
2 −3m
m
> 0
⇔



< m <
2
3
Vậy m ∈

0;
1
2

∪

1
2
;
2
3

là các giá trị cần tìm của m
Cách 2: Có y
′
= mx
2
+ 2(m −1)x + 4 −3m
Từ yêu cầu bài toán dẫn đến pt: y
′
·

−
1
2

1
2
;
2
3

Bài 4.
Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) :y = x
3
−3x + 2 tại 3 điểm phân biệt A, B,C sao cho
x
A
= 2 và BC = 2
√
2
Giải
Bài 5.
Cho hàm số y = 4x
3
−6mx
2
+ 1, m là tham số.Tìm m để đường thẳng d : y = −x + 1 cắt đồ thị hàm số
tại 3 điểm A(0; 1), B,C và B,C đối xứng qua đường phân giác thứ nhất.
Giải
Giao của (C) và (d) có hoành độ là nghiệm của phương trình:
4x
3
−6mx
2
+ 1 = −x + 1 ⇔ x(4x


x
1
= y
2
y
1
= x
2
⇔



x
1
= −x
2
+ 1
x
2
= −x
1
+ 1
⇔ x
1
+ x
2
= 1 ⇔
3
2

m; m
2
−4);C(−
√
m; m
2
−4) là 3 điểm cực trị.
Nhận xét thấy B,C đối xứng qua Oy và A thuộc Oy nên ∆ABC cân tại A.
Kẻ AH⊥BC có S
∆ABC
=
1
2
AH.BC ⇔2 =
|
y
B
−y
A
||
2x
B
|
⇔ 2 = 2m
2
.
√
m ⇔m = 1 Đối chiếu với điều kiên (∗) có m = 1 là giá trị cần tìm.
Bài 7.
Cho hàm số y =

x
0
+ 1

, và cắt tiệm cận đứng tại điểm B(2x
0
+ 1; 1).
Ta có:IA =




x
0
−5
x
0
+ 1
−1




=
6
|
x
0
+ 1
|

p
.
Bởi vậy, r lớn nhất khi và chỉ khi p nhỏ nhất. Mặt khác, tam giác IAB vuông tại I nên:
2p = IA + IB +AB = IA +IB +
√
IA
2
+ IB
2
≥ 2
√
IA.IB+
√
2IA.IB = = 4
√
3 + 2
√
6
Dấu ’=’ xảy ra khi IA = IB ⇔(x
0
+ 1)
2
= 3 ⇔x = −1 ±
√
3
- Với x = −1 −
√
3 ta có tiếp tuyến: d
1
: y = x +2

0
+ 3
x
0
−m

(với x
0
= m) là điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số đã cho.
3
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm này là: y = −
2m
2
+ 3
(x
0
−m)
2
(x −x
0
) +
2mx
0
+ 3
x
0
−m




=




4m
2
+ 6
x
0
−m




; IB =
|
2x
0
−m −m
|
= 2
|
x
0
−m
|

Để (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt khi pt (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔(2) có 2 nghiêm phân biệt t > 0
⇔









∆
′
= 4 −m > 0
S = 4 > 0
P = m > 0
⇒ 0 < m < 4 (i)
Gọi t
1
;t
2
(0 < t
1
< t
2
) là 2 nghiệm của pt (2). Lúc đó pt(1) có 4 nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần là:
x
1
= −
√


x
4
x
3
(−x
4
+ 4x
2
−m) dx ⇒
x
5
4
5
−
4x
3
4
3
+ mx
4
= 0 ⇒3x
4
4
−20x
2
4
+ 15m = 0
Từ đó có x
4

vào (3) có:
9m
2
4
−5m = 0 ⇒m = 0 ∨m =
20
9
Đối chiếu điều kiện (i) có m =
20
9
là giá trị cần tìm.
Bài 10.
Cho hàm số y = x
4
−2(1 −m
2
)x
2
+ m + 1. Tìm m để hàm số đã cho có ba điểm cực trị và ba điểm cực
trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất.
Giải
y
′
= 4x
3
−4x(1 −m
2
) = 0 ⇔x = 0, x
2
= 1 −m

≤ 1. Dấu = xảy ra khi m = 0.
Đáp số: m = 0
Bài 11.
Cho hàm số y =
−x + 1
x −3
có đồ thị là (H). Tìm trên (H) điểm M để tiếp tuyến tại M có hệ số góc lớn
hơn 1 tạo với đường thẳng ∆ : 3x + 4y −1 = 0 một góc có giá trị bằng
2
√
5
25
4
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Giải
Vì chỉ biết công thức tính cos của góc từ 2 vecto cho trước, với lại bài này cho kết quả cos khá đẹp
cos(
2
√
5
25
) ≈0,9999 ≈ 1 nên em nghĩ là sẽ áp dụng công thức tính cos của góc giữa 2 vecto luôn.
Gọi vecto chỉ phương của pt tiếp tuyến tại M là:
−→
u
1
(
2


4 + (x −3)
4
⇔(x−3)
2
=
3
2
⇔
x =? => M =?
Bài 12.
Cho hàm số y =
x + 3
x −2
có đồ thị (H). Tìm m để đường thẳng d : y = −x + m + 1 tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho

AOB nhọn.
Giải
Giao của (H) và d có hoành độ là nghiệm của pt:
x + 3
x −2
= −x + m +1 ⇔x
2
−(m + 2)x + 2m +5 = 0
Để pt trên có 2 nghiệm pb thì ∆ > 0, x = 2 ⇔



m

1
+ m +1)
2
+ (−x
2
+ m +1)
2
⇔ −2x
1
x
2
+ (m +
1)(x
1
+ x
2
) −(m + 1)
2
< 0 ⇔m > −3
Kết hợp với đk ban đầu để suy ra giá trị của m.
Bài 13.
Cho hàm số y =
x
x −1
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) của hàm số đã cho biết tiếp tuyến
tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bằng 2(2 +
√
2)
Giải
Cách 1. 2 đường tiệm cận của đồ thị là x = 1, y = 1 Gọi pttt của (H) tại M(x

−1
). Khi y = 1 ⇒x = 2x
o
−1 ⇒B(2x
o
−1; 1), I(1; 1)
⇒ P
(ABC)
= IA + IB +AB =
x
o
+ 1
x
o
−1
−1 + 2x
o
−2 +

(2x
o
−2)
2
+ (1 −
x
o
+ 1
x
o
−1

2
+ (2 +
√
2)
2
(x
o
−1) −2(2 +
√
2) = 0
Cách 2. - Phương trình tiệm cận đứng: x = 1, phương trình tiệm cận ngang y = 1
- Gọi M(a;
a
a −1
), phương trình tiếp tuyến tại M: y =
−1
(a −1)
2
(x −a) +
a
a −1
- Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận đứng là: A(1;
a + 1
a −1
)
- Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang là: B(2a −1; 1)
- Chu vi tam giác IAB là: C = IA + IB +AB =
2
|a −1|
+ 2|a −1|+ 2

2x −m
mx + 1
= 2x −2m ⇔2mx
2
−2m
2
x −m = 0

x = −
1
m

(2)
Do m = 0 nên (2) ⇔ f (x) = 2x
2
−2mx −1 = 0

x = −
1
m

(∗)
Để tồn tại 2 điểm A, B thì pt (∗) phải có 2 nghiệm phân biệt x
A
; x
B
khác −
1
m
⇔

|
√
5
. Lại có A, B ∈d ⇒ y
A
= 2x
A
−2m; y
B
= 2x
B
−2m
Theo viet có:



x
A
+ x
B
= m
x
A
.x
B
=
1
2
.
Có: AB =

A
x
B
⇔ AB =
√
5m
2
+ 10
Vì M, N là giao điểm của d với Ox, Oy nên M(m; 0); N(0; 2m)
Theo giả thiết :S
OAB
= 3S
OMN
⇔ OH.AB = 3OM.ON ⇔
|
−2m
|
√
5
.
√
5m
2
+ 10 = 3
|
x
M
||
y
N

1
2
Vậy với m = ±
1
2
là các giá trị cần tìm .
Bài 15.
Tìm trên (H) : y =
−x + 1
x −2
các điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng 4 và đường thẳng AB
vuông góc với đường thẳng y = x
Giải
Do AB⊥d : y = x ⇒ pt AB : y = −x + m Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và đường thẳng AB:
−x + 1
x −2
= −x + m ⇔g(x) = x
2
−(m + 3)x + 2m +1 = 0 (x = 2) (1)
Để tồn tại 2 điểm A, B thì pt(1) cần có 2 nghiệm phân biệt x
A
; x
B
và khác 2
⇔



∆
g(x)

A
+ m; y
B
= −x
B
+ m
Mà AB = 4 ⇔AB
2
= 16 ⇔(x
B
−x
A
)
2
+ (y
A
−y
B
)
2
= 16 ⇔(x
B
−x
A
)
2
= 8 ⇔ (x
B
+ x
A

√
2); A(3 −
√
2;
√
2)
6
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
+Với m = −1 thay vào pt (1) có: x
2
−2x −1 = 0 ⇔ x = 1 ±
√
2 ⇒ y = −2 ±
√
2. Lúc này tọa độ 2 điểm
A, B là A(1 +
√
2; −2 −
√
2); B(1 −
√
2; −2 +
√
2) hoặc B(1 +
√
2; −2 −
√
2); A(1 −

Để 4 điểm đó có hoành độ >-2 thì:
TH1:−
√
m −1 > −1 ⇔ m < 2, kết hợp với đk ⇒ 1 < m < 2
TH2:−2 < −
√
m −1 < −1| ⇔ 2 < m < 5
Vậy :m ∈(1; 2)∪(2; 5) là giá tr ị cần tìm.
Bài 17.
Cho hàm số y =
x + 3
x + 2
có đồ thị là (H). Tìm m để đường thẳng d : y = 2x + 3m cắt (H) tại hai điểm
phân biệt sao cho
−→
OA.
−→
OB = −4 với O là gốc tọa độ.
Giải
- Xét phương trình:
x + 3
x + 2
= 2x + 3m ⇒2x
2
+ 3(1 + m)x + 6m −3 = 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt khác -2
khi ∆ = 9m
2
−30m + 33 > 0 điều này xảy ra với mọi m.
- Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là x
1

Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
˘mx
2
+ m˘1 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn −2.
Giải
Đổi hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ IXY bằng phép tịnh tiến
−→
OI với I(1; 3) Công thức đổi trục:



x = X +1
y = Y + 3
Trong hệ tọa độ mới pt hàm số được viết lại là :Y =
2
X
(1) và điểm A trở thành A(1; −2)
Xét 2 điểm B

a;
2
a

;C

b;
2
b




(1 −a)
2
=

2 +
2
b

2
(2)




2 +
2
a




=
|
b −1
|
(3)
Từ (2) có


b −1
|
⇒

3b
2
+ 9b + 6 = 0(4)
3b
2
+ 7b + 2 = 0(5)
7
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
+ Với (4) pt có 2 nghiệm b = −1 ∨b = −2 không thỏa do b > 0
+ Với (5) pt có 2 nghiệm b = −
1
3
∨b = −2 không thỏa do b > 0 Với a =
−b −2
b
từ (3) có




4
b + 2



= 0 ⇔x = 0, x = −2
- Tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị a(0; m), B(−2; m +4)
- Yêu cầu của bài toán dẫn đến giải phương trình:
−→
OA.
−→
OB
OA.OB
= −
1
2
⇔ −2m(m + 4) = |m|
√
m
2
+ 8m + 20 ⇔ m = 0,m =
−12 +
√
132
3
Đáp số: m = 0, m =
−12 +
√
132
3
Bài 20. đề thi thử đại học THPT Thanh Thủy lần 2 tỉnh Phú Thọ
Cho hàm số y =
2x −1
x + 1
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d : y = x +m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

B
= 1 −m
x
A
.x
B
= m + 1
Lại có A, B ∈ d ⇒ y
A
= x
A
+ m; y
B
= x
B
+ m Do AB = 2
√
2 ⇔AB
2
= 8 ⇔(x
A
−x
B
)
2
+ (y
A
−y
B
)